二次曲线与二次曲面
推理2.8二次曲线二次曲面归于二次型
2.8 二次曲线 二次曲面 归于二次型在中学阶段的数学学习中，遇到最多的也是很重要的问题要算是“二次”问题了。
如二次式、二次方程、二次函数、二次不等式、二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线等，对这些“二次”，我们都作了详尽的讨论，而且还知道了球面方程也是二次的：x 2+y 2+z 2=r 2。
但是你类比了吗？归纳了吗？联想了吗？这些“二次”有什么联系？二次曲线就椭圆、双曲线、抛物线三种吗？除了球面外，还有其他的二次曲面吗？等等。
二次式、二次方程、二次函数、二次不等式的联系我们已经在学习中基本解决。
其中最基本的就是一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c ∈R ，a ≠0），它可以配方、换元改写成ay 2+m=0，相当于作了一次平移变换x+ab2=y 。
于是可以根据a 、m 的符号来讨论该方程根，有也只有三种情况：两个实数根、一个重根、一对共轭虚根，对应于二次函数与x 轴的交点个数依次是2个、1个、0个。
我们对二次曲线的类型也有了初步认识，二次曲线一般是用二元二次方程表示：ax 2+2bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0。
我们也可以通过配方、换元消去二次乘积项，如2x 2+4xy-y 2+4x-2y+3=0配方得：2(x+y+1)2-3(y+1)2+4=0，再换元就可以化简了。
一般地，二元二次方程都可以经过旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x 与平移变换⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x ，化简为下列三种形式： 02221=++m y x λλ，02122=+x y λλ，022=+m y λ（021≠λλ）。
根据系数1λ、2λ的正负，又可把二次曲线分成如下九种标准形：其中退化曲线是少了一个变量的曲线，它的种类数就是一元二次方程根的种类数，或者说这几种曲线恰好是一元二次方程根的延拓。
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
二次曲线与二次曲面的对称性与性质
二次曲线与二次曲面的对称性与性质二次曲线与二次曲面是在我们的日常生活中经常出现的数学概念。
它们具有许多独特的对称性与性质，本文将从几何的角度探讨二次曲线与二次曲面的对称性与性质。
一、二次曲线的对称性与性质二次曲线是平面上的曲线，具有与原点对称的特点。
根据方程类型的不同，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆椭圆是一种闭合曲线，其对称轴与坐标轴平行，在 x 轴与 y 轴上分别有两个对称中心。
椭圆的长轴与短轴的长度有关系 a^2 + b^2 = c^2，其中 a 为长轴的长度，b 为短轴的长度，c 为焦点到中心的距离。
2. 双曲线双曲线是一种开放曲线，其对称轴与坐标轴平行，在 x 轴与 y 轴上各有两个对称中心。
双曲线的开口方向与长轴有关系 a^2 - b^2 = c^2，其中 a 为长轴的长度，b 为短轴的长度，c 为焦点到中心的距离。
3. 抛物线抛物线是一种开放曲线，其对称轴为过焦点的直线。
抛物线的开口方向与焦点的位置有关系，焦点在抛物线的上方，开口向下；焦点在抛物线的下方，开口向上。
二、二次曲面的对称性与性质二次曲面是三维空间中的曲面，也具有与原点对称的特点。
根据方程类型的不同，二次曲面可分为椭球、双曲面和抛物面三种。
1. 椭球椭球是一种闭合曲面，其主轴与坐标轴平行。
椭球的长轴与短轴的长度有关系 a^2 + b^2 + c^2 = r^2，其中 a、b 和 c 分别为三个轴的长度，r 为半径。
2. 双曲面双曲面是一种开放曲面，其主轴与坐标轴平行。
双曲面的形状与焦点的位置有关系，焦点在双曲面的内部，形成一个连续的曲面；焦点在双曲面的外部，形成两个分离的曲面。
3. 抛物面抛物面是一种开放曲面，其主轴与坐标轴垂直，通常呈现对称性。
抛物面的开口方向与焦点的位置有关系，焦点在抛物面上方，开口向下；焦点在抛物面下方，开口向上。
三、二次曲线与二次曲面的共同性质除了具有对称性外，二次曲线与二次曲面还具有许多共同的性质。
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
二次型与二次曲面-母线与坐标轴平行的柱面方程
二次型与二次曲面-母线与坐标轴平行的柱面方程母线与坐标轴平行的柱面方程定义：直线L 在空间平行于固定方向运动，并且总和一条定曲线Γ相交所形成的曲面叫做柱面，直线L 叫做柱面的母线，定曲线Γ叫做柱面的准线。
()()(),0,0,0f x y z g y z x h z x y =----=----=----母线平行于轴的柱面母线平行于轴的柱面母线平行于轴的柱面绕坐标轴旋转的旋转面方程定义：曲线Γ绕一条固定直线L ，在空间旋转一周所成的曲面，称为旋转曲面，曲线Γ叫做母线，定直线L 叫做旋转轴。
定理 设Oxy 坐标面上一条曲线Γ的方程是()00≥=,y x,y f ，则以曲线Γ为母线，x 轴为旋转轴的旋转面方程为 ()022=+z y x,f 。
证明：在旋转面上任选一点P (x ,y ,z )，P 是由Γ上的点()0000,,y x P 绕x 轴旋转而得，则P 和P 0点坐标之间满足⎪⎩⎪⎨⎧=+=0220y z y x x 因为P 0在曲线Γ上，所以有()000=,y x f ，即()022=+z y x,f . 反之，若一点P (x ,y ,z )满足()022=+z y x,f ，则Oxy 坐标面上的点()0000,,y x P 满足方程()000=,y x f ，其中2200,z y y x x +==，因此点P 0在曲线Γ上，而点P 恰是由点P 0绕x 轴旋转而得，于是P (x ,y ,z )在该旋转面上，所以 ()022=+z y x,f 为所求旋转面的方程。
例：球面由⎩⎨⎧==+0222z r y x 绕x 轴旋转而得，所以球面方程为 ()222222222r z y x r z y x =++⇒=++例圆柱面由直线⎩⎨⎧==0x ry 绕z 轴旋转而成，所以圆柱面方程为 ()22222r y x r x y =+⇒=+ 例：⎩⎨⎧==02z x y 分别绕x 轴和y 轴的旋转面方程分别为 ()22222422222z x y z x y y x z y x z y x +=⇒+==+⇒=+轴：轴：空间曲线方程()()⎩⎨⎧==00x,y,z g x,y,z f 二次曲面的分类二次曲面：二次代数方程0222=+++d cz by ax 所代表的曲面。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
二次曲面的形状
二次曲面的形状二次曲面是一个重要的数学概念，在几何学以及数学分析中都有广泛的应用。
本文将介绍二次曲面的形状，并探讨其一些重要特性。
二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是常数，且不全为零。
通过这个方程，我们可以推断二次曲面的形状种类。
根据方程的系数，我们可以将二次曲面分为多种情况：1. 椭圆面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值小于1时，二次曲面呈现为一个椭圆形状。
2. 双曲面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值大于1时，二次曲面呈现为一个双曲线形状。
3. 抛物面：当A、B和C的符号有一个不同，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个抛物线形状。
4. 锥面：当A、B和C有一个为零时，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个尖锥形状。
除了以上情况，二次曲面还可能呈现其他特殊形态，如点、线和平面。
除了形状种类外，二次曲面还有一些重要的特性需要了解：1. 对称性：二次曲面通常具有一些特殊的对称性，如旋转对称性、对称轴等。
2. 曲率：二次曲面在不同点上具有不同的曲率，对于椭圆面和双曲面来说，曲率可以有正和负两种情况。
3. 焦点和直纹：对于椭圆面和双曲面来说，焦点和直纹是其重要特性，可以通过二次曲面的方程来确定。
了解二次曲面的形状和特性，对于解决几何问题、优化问题以及建模等领域都非常重要。
掌握了这些基础知识，我们可以更好地理解和运用二次曲面的相关概念。
总结起来，二次曲面的形状多种多样，可以根据方程的系数判断具体形态。
在研究二次曲面时，我们还需了解其特性，如对称性、曲率、焦点和直纹等。
掌握这些知识，对于深入理解数学和几何学都具有重要意义。
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
几种常见的曲面及其方程()
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
8.二次型与二次曲面
a=b ？ a=b=c ？ a=b ？
b=c ？
a=b ？
(二)、λ1 、λ2 不为零,λ3 = 0
λ1 x2+λ2 y2= c z + d y2 o x2 5 2p + 2q = z ( p、q同号) 椭圆抛物面 y2 = z ( p、q同号) o x2 双曲抛物面 6 2p - 2q 2 2 2 2 x y x y o o 8 a 2 - b 2 =1 7 a 2 + b 2 =1
x2 + y2 + z2 =1 例1:求曲线C: x2 + y2 -x =0 在xOy , zOx 坐标面上的投影.
(z≥0) ,
解:
x2 + y2 + z2 =1 在xOy面上的投影为 x2 + y2 -x =0 往zOx 面上投影: x2 + y2 + z2 =1 (消去y) x2 + y2 -x =0 z2 + x = 1 y =0 x2 + y2 -x =0 z =0
柱面特点: 含有两个变量的方程在空间表示柱面. C: f ( x,y )=0 ( z为母线) S: f (x,y)=0
z=0
柱面名称:与母线名称对应.
(1).椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
z
当 a=b 时,为圆柱面:
x2 y2 a2
o x
y
(2).双曲柱面
z
x2 z2 2 2 1 a b
2 2
√2 2 0 √2 2
0
1
0
,
f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 .
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
8.二次型与二次曲面解读
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
解析几何第四章习题及解答
第4章 二次曲线和二次曲面习题4.11.在直角坐标系x O y 中，以直线:43120l x y -+=为新坐标系的x '轴，取通过(1,3)A -且垂直于l 的直线为y '轴，写出点的坐标变换公式， 并且求直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程。
解：直线:43120l x y -+=的方向是(3,4)，与它垂直的方向是(4,3)±-，新坐标系的x '轴的坐标向量取为34(,)55，y '轴坐标向量取为43(,)55-，与直线:43120l x y -+=垂直且的直线方程可设为340x y c ++=，由于过点(1,3)A -，得到直线方程是3490x y ++=，两直线的交点(3,0)-是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：34355.43055x x y y ⎡⎤-⎢⎥'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程：13443:3(3)2()505555l x y x y ''''---++=，化简有1:18200.l x y ''--=2.作直角坐标变换，已知点(6,5),(1,4)A B --的新坐标分别为(1,3),(0,2)-，求点的坐标变换公式。
解：设同定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1) A B =-变为(1,5)A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到125s i n ,c o s .1313θθ==于是点的坐标变换公式是：5121313.1251313x x a y y b ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦将点(1,4)B -及它的像点(0,2)代入得到3713,6213a b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 51237131313.12562131313x x y y ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设反定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1)A B =-变为(1,5) A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到s i n 1,c o s 0.θθ=-=于是点的坐标变换公式是：01.10x x a y y b '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦将点(1,4B -及它的像点(0,2)代入得到3,4a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 013.104x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为5,3,22(1)(2) 2.3;22x x y x y y x y x y ⎛''=++ '=-+⎧⎨' =-⎩''=-+- ⎝ 其中，(,)x y 与(,)x y ''分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角θ。
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
曲线和二次曲面
x2 y2 z2 (1) a = b, 1 旋转椭球面 2 + 2 + 2 = a a c 2 2 x z 轴旋转而成． 由椭圆 2 + 2 = 1 绕 z 轴旋转而成． a c
( 2) a = b = c ,
x y z 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
2
2
回主视图
椭圆抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
例题
例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程 的球面方程.
z
M(x,y,z)
解
是球面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM 0 |= R 即有： 即有：
2 2
x
y
( x − x0 )
2
+ ( y − y0 ) + ( z − z 0 ) = R
第二讲 曲线与二次曲面
教学目的： 教学目的：曲线和二次曲面 难点： 难点： 组合图形的作图 重点：平面、直线和二次曲面的 重点：平面、 图形与方程的对应关系
曲面方程
有下述关系： 定义： 如果曲面S 定义： 如果曲面S与三元方程 F ( x, y , z ) = 0 有下述关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程； ）曲面 上任一点的坐标都满足方程； 上任一点的坐标都满足方程 上的点的坐标都不满足方程， （2）不在曲面 上的点的坐标都不满足方程， ）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么，方程就称为曲面 的方程 就称为方程的图形 那么，方程就称为曲面S的方程，而曲面 就称为方程的图形。 就称为曲面 的方程， 曲面S就称为方程的图形。
空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面
第四章一般二次曲线与二次曲面这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。
其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。
§4.1直角坐标变换平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。
因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。
4.1.1平面直角坐标平移设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出：x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩ （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。
这种坐标变换叫做平移。
如果用旧坐标表示新坐标，那么有x x x y y y '=-⎧⎨'=-⎩ （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。
x'x图4-1-1例1 用平移化简22490x x y --+=，并画出它的图形。
解 原方程可以移项、配方成 2(1)4(2)x y -=-将原点O 移到(1,2)O '，即作平移：12x x y y '=-⎧⎨'=-⎩那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成24x y ''=。
二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究
， 所以ｓ：仃６： 。
￣ ／ ／
， 从而有ａ ：—— ２
霄 １一 ｅ
， ６ ：
－－ ｎ
， 椭 代人
手 ／
ｄ
＝
４／ Ｓ ｉ Ｓ －。 － ｎ ￣ｅ ， ｓ ／ ２ ｄ ｒ ２ １： ０ ｃ ｓ
， ， ，３＝矿， 其 中 Ｉ， ， ， ２＝ ２， ３， ｉ， ２
Ｊｎ ｕ ．，２ ０ ０７
Ｖｏ． ６ Ｎｏ ３ １２ ．
第２ ６卷
第 ３期
二 次 曲线 与 二 次 曲面不 变 量 的几 何 特 性 研 究
王 卫 生 陶成 海 ，
（． １ 重庆文理学院 数学与计算机科学系 ， 重庆 永川 ４ ２ ６ ；． ０ １０ ２ 重庆市第一 中学 ， 重庆 沙 坪坝 ４０ ３ ） ０ ０ ０
［ 收稿 日期 ］２ ０ ０ ７—０ ３—２ １ ［ 作者简介 ］王卫生 （ ９ １一） １８ ．男 ，河南太康人． ［ 基金项 目］ 重庆文理学 院几何 重点课 程项 目资助金资助项 目 ［ ２０ Ｓ０ ］ Ｚ ０５ Ｊ９ ４９
维普资讯
…上 丽
＋ 。中。 征程 一 ＋＝ 两． 半为＝一 ６√ 有半 ＝其， Ａ特方Ａ， ，。 根 的 。√ ＝一 了轴 ． Ａ 是 。 ２ 的 它 ， ． 与 Ａ
长 ， 圆的形状 就唯一确定 了． 椭 接着 就能讨论其几何性 质与不变量 的关系．
１ １ １ 椭 圆 的 面 积 ． ．
根 圆 积 ． 。 椭的 半 入 ． √ √ 仃 条． Ａ 据 的 公ｓ ６ 圆 个轴 ， ： 一 一 √ ： 椭 面 式＝ ， 两 代得 仃 × ＝ Ａ 仃把 ｓ 与 是 方Ａ，，。 根韦 理Ａ＝，得． √ ＝ 有 个 不 特 程一＋ 的 ，达 有Ａ，是 ｓ 鲁 仃 了 公 用 征 ２Ａ２ 两由 定 － ２ 到＝ ．这 式 ｌ＝ ｚ于 仃
解析几何中的因式分解
解析几何中的因式分解
在解析几何中，因式分解通常用于解决与二次曲线、二次曲面和二次方程相关的问题。
以下是一些解析几何中因式分解的应用：
1.二次方程的因式分解：对于形如ax^2+by^2+cz^2+dx+ey+f=0的二次方程，可以通过因式分解将其表示为两个线性方程的乘积形式。
这有助于确定曲线的形状和性质。
2.二次曲线的因式分解：对于二次曲线，可以通过因式分解将其表示为两个线性方程的乘积形式。
这有助于确定曲线的形状和性质，例如椭圆的焦点位置和离心率等。
3.二次曲面的因式分解：对于二次曲面，可以通过因式分解将其表示为三个线性方程的乘积形式。
这有助于确定曲面的形状和性质，例如椭球面的主轴和次轴等。
4.曲线和曲面的参数方程：通过因式分解，可以将曲线和曲面的参数方程表示为更简单的形式，这有助于更好地理解它们的几何性质。
5.曲线和曲面的交点：通过因式分解，可以找到两条曲线或曲面之间的交点，这有助于解决与几何图形相关的问题。
综上所述，因式分解在解析几何中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解几何图形的性质和解决相关问题。