随机变量的函数的分布

8.随机变量的函数的分布【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》第二章第五节的随机变量的函数的分布【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。

让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。

其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。

最后导出一个重要的定理。

【学情分析】： 1、知识经验分析学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。

2、学习能力分析学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。

【教学重点、难点】：重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。

难点：连续型随机变量的函数的分布。

【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。

如：已知圆柱截面直径 d 的分布，求截面面积2=4d A π的分布。

又如：已知0t t =时刻噪声电压V 的分布，求功率 2V W R= (R 为电阻）的分布等。

【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。

二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X 的概率分布为{},1,2,k k P X x p k ===易见， X 的函数)(X g Y =显然还是离散型随机变量。

如何由X 的概率分布出发导出Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值， 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的},)(|{i j j i y x g x C ==于是},{})({}{i i i i C X y x g y Y ∈====.}{}{}{∑∈==∈==ij C x ji i x X P C X P y Y P从而求得Y 的概率分布。

例1 设随机变量X 具有以下的分布律，试求()21Y X =-的分布律。

10120.20.30.10.4kX p -解：Y 所有可能取的值为0,1,4，由()2{0}{10}{1}0.1P Y P X P X ==-====()2{1}{11}{0}{2}0.7P Y P X P X P X ==-===+== ()2{4}{14}{1}0.2P Y P X P X ==-===-=即得Y 的分布律为0140.10.70.2kY p一般地,()X Y g X =如果是离散型随机变量其函数.X 也是离散型随机变量若的分布律为1212..........kkkX x x x p p p p则()Y g X =的分布律为1212()()().....().....k kkY g X g x g x g x p p p p =(),.k k g x p 若中有值相同的应将相应的合并【设计意图】：通过这个例子，让学生观察求离散随机变量的函数的分布时我们应该采用什么方法，从而达到让学生掌握在求离散随机变量的函数的分布时先求函数的取值，再求函数的分布律的目的，并在此基础上进一步总结方法。

【总结】：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值， 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的Y 在每一点处取值的概率。

三、连续型随机变量的函数的分布 例2设随机变量X 具有概率密度,0 4.()80,X xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他.求随机变量28Y X =+的概率密度。

解：第一步：先求28Y X =+ 的分布函数().Y F y(){}Y F y P Y y =≤{28}P X y =+≤8{}2y P X -=≤82()d y X f x x --∞=⎰第二步：由分布函数求概率密度。

()()Y y f y F y '=82[()d ]y X f x x --∞'=⎰88()(),22X y y f --'= 1818(),04,()82220,.Y y y f y --⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩所以其他 8,816,320,.y y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 例3设随机变量X 具有概率密度()X f x x -∞<<∞，求2Y X =的概率密度。

解： 设Y 和X 的分布函数分别为()Y F y 和 ()X F x ， 注意到 2Y X = ≥ 0，故当 0y ≤时，()0Y F y =； 当 0y > 时，()()Y F y P Y y =≤ 2()P y X =≤(P X =≤(X X F F =- 求导可得()()Y Y dF y f y dy=(0;,.,00X X f f y y ⎤+>⎦=⎪⎩≤22(),x X f x -=若则 2Y X =的概率密度为2,0;(),.00yY y f y y ->=≤⎩Y 服从自由度为 1 的2χ 分布【设计意图】：通过这两个例子，让学生掌握用分布函数法求连续型随机变量的函数的分布的方法。

【总结】：先求连续型随机变量的函数的分布函数，再对分布函数求导求出概率密度函数。

定理 设随机变量X 具有概率密度()X f x x -∞<<∞，又设函数()g x 处处可导且恒有0)(>'x g (或恒有0)(<'x g )， 则)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为[()|()|,()0,X Y f h y h y y f y αβ'<<⎧=⎨⎩其他 其中)).(),(max()),(),(min(+∞-∞=+∞-∞=g g g g βα()h y 是()g x 的反函数。

证明略。

例4 设随机变量2~(,)X N μσ，试证明X 的线性函数()0Y aX b a =+≠也服从正态分布。

证明X 的概率密度为22()2(),.x μσX f x x --=-∞<<+∞(),y g x ax b ==+设 (),y b x h y a -==得 1()0.h y a'=≠知 [()](),,()0,.XY f h y h y y f y Y aX b αβ'⎧<<=⎨⎩=+由公式其它得的概率密度为2222()[()]2()21()(),.y bμy b a μa a σσY X y b f y f y a a ---+---===-∞<<∞例 5 设电压sin V A =Θ，其中A 是一个已知的正常数，相角Θ是一个随机变量，且有,22ππ⎛⎫Θ- ⎪⎝⎭，试求电压V 的概率密度。

解：ππ()sin (,)22v g θA θ==-因为在上恒有 ()cos 0,g θA θ'=> ()arcsin,vθh v A==所以反函数为 ()h v '=~(,),22ΘU Θππ-又由知的概率密度为 1ππ,,()π220,.θf θ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他sin V A Θ=由定理得的概率密度为 1,π()0,.A v A φv ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他【设计意图】：通过这两个例子，让学生明白当()Y g x =为严格单调时，采用定理能方便的求解出连续型随机变量的函数的分布。

【总结】：连续型随机变量的函数的分布有两种方法 ： 方法1 (){}{()}Y F y P Y y P g X y =≤=≤ ()()d ,(),X g x yf x x x ≤=-∞<<+∞⎰()().Y Y F y Y f y 再对求导得到的密度函数方法2 [()](),,()0,.X Y f h y h y y f y αβ'⎧<<=⎨⎩其他注意条件。

.三、思考与提问：(),,()?g x X Y g X =设是连续函数若是离散型随机变量则也是离散型随机变量吗 ?X 若是连续型的又怎样四、容小结随机变量的函数的分布1．离散型随机变量函数的分布； 2．连续型随机变量函数的分布； 五、课外作业：P59： 33 ， 34 ， 35， 37六、板书设计随机变量的函数的分布一、问题引入例1已知圆柱截面直径 d 的分布， 求截面面积2=4d A π的分布。

例2已知0t t =时刻噪声电压V 的分布， 二、离散型随机变量函数的分布例1 设随机变量X 具有以下的分布律，试求()21Y X =-的分布律。

10120.20.30.10.4kX p -一般的,().X Y g X X =如果是离散型随机变量其函数也是离散型随机变量若的分布律为1212..........k k kX x x x p p p p 则 ()Y g X =的分布律为1212()()().....().....k k kY g X g x g x g x p p p p =(),.k k g x p 若中有值相同的应将相应的合并三、连续型随机变量函数的分布 例2设随机变量X 具有概率密度,0 4.()80,X xx f x ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩其他.求随机变量28Y X =+的概率密度。

例3设随机变量X 具有概率密度()X f x x -∞<<∞，求2Y X =的概率密度。

定理 设随机变量X 具有概率密度()X f x x -∞<<∞，又设函数()g x 处处可导且恒有0)(>'x g (或恒有0)(<'x g )， 则)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为[()|()|,()0,X Y f h y h y y f y αβ'<<⎧=⎨⎩其他 其中)).(),(max()),(),(min(+∞-∞=+∞-∞=g g g g βα()h y 是()g x 的反函数。