华大新高考联盟2018届高三1月理科数学试题

华大新高考联盟2018届高三1月教学质量测评

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若z 为12i -的共轭复数(i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．2 C ．i D ．2i

2. 设集合2{|log ,04}A y y x x ==<≤，集合{|1}x

B x e =>，则A B 等于（ ）

A ．(,2]-∞

B ．(0,)+∞

C ．(,0)-∞

D ．R 3. 给出下列四个结论： ①命题“1

0,2x x x

∀>+

≥”的否定是“00010,2x x x ∃>+<”

； ②“若3

π

θ=

，则3sin 2θ=

”的否命题是“若3

π

θ≠，则3sin 2θ≠”； ③p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1

:

1,:ln 0p q x x

≤≥，则p 是q 的充分不必要条件，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示是以为猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是（ ） A ．492 B ．382 C ．185 D ．123

5. 函数()23f x x a =-+在区间[1,)+∞上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1]-∞

6.已知,,,m n a b R ∈，且满足346,341m mm a b +=+=2

2

()()m a n b -+-的最小

值为 （ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．

12

7. 某数学期刊的国内统一刊号是CN42—1167/OI ，其邮发代号38—69，设n a 表示

421167n -的个位数字，则数列的第38项之第69项之和383969a a a ++

+= （ ）

A ．180

B ．169

C ．150

D ．140

8. 已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AC 上，当BPD ∠最大时，四棱锥

P ABCD - 的体积与正方体的体积比为（ ）

A ．

124 B ．118 C ．19 D ．112

9. 已知椭圆的短轴长为8，点12,F F 为其两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，12PF F ∆的内切圆面积最大值为9

4

π，则椭圆的离心率为（ ）

A ．

45 B ．22 C ．3

5

D ．223

10. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ） A ．

83 B ．4

3

C ．823

D ．223

11. 如图，在扇形OAB 中，0

120,2AOB OA OB ∠===,点M 为OB 的中点，点P 为阴

影区域内的任意一点（含边界），若OP mOA nOM =+，则m n + 的最大值为（ ）

A ．

273 B ．221

3

C ．7

D ．433

12. 关于函数()22ln f x x x x =++，下列说法错误的是（ ） A ．不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立

B ．对任意12,(0,)x x ∈+∞，若12x x <，有()2112()x f x x f x <

C ．对任意121212()()

,(0,1),(

)22

x x f x f x x x f ++∈≤

D ．若正实数12,x x ，满足12()()4f x f x +=，则122x x +≥

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知[0,

]2

π

α∈，则直线cos 310x α-=的倾斜角的范围是 ．

14.数列{}n a 满足121,5a a ==，若11(1,1),(,2),0n n n m a n a a m n ++=+=+-⋅=，则数列

{}n a 通项公式为 ．

15设实数,x y 满足约束条件20

2601

y x x y y -≤⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

，则12x z y =+的最小值为. ．

16.已知圆2

2

:42440C x y x y +---=，点P 的坐标为(,4)t ，其中2t >，若过点P 有且只有一条直线l 被圆C 截得的弦长为6l 的一般式方程是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知直线03

x π=

是函数()2

2cos 4sin cos 3f x x m x x =-++的一个极值点，将()

f x

的图象向左平移

4

π

个单位，向下平移2个单位得到()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；

（2）设锐角ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()0g B =，且3,2

c

b t a =>-恒成立，

求t 的取值范围.

18. 某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分，现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，其茎叶图如下图所示：

（1）已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；

（2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分布2

(,)N μσ，某校实验班学生30人. ①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在(94,100)的学生人数（结果四舍五入取整数）；

②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在(94,100)的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为2

3

，用随机变量X 表示通过预选赛的人数，求X 的分布列和数学期望.

正态分布参考数据：

()0.6828,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=

19.已知四边形ABCD 为等腰梯形，//,2,1AB CD AB AD CD BC ====,BD 沿对角线将ABD ∆旋转，使得点A 至点P 的位置，此时满足PD BC ⊥. （1）判断PDC ∆的形状，并证明；

（2）求二面角A PB C --的平面角的正弦值.