华大新高考联盟2018届高三1月理科数学试题

华大新高考联盟2018届高三1月教学质量测评理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z 为12i -的共轭复数(i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．2 C ．i D ．2i2. 设集合2{|log ,04}A y y x x ==<≤，集合{|1}xB x e =>，则A B 等于（ ）A ．(,2]-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R 3. 给出下列四个结论： ①命题“10,2x x x∀>+≥”的否定是“00010,2x x x ∃>+<”； ②“若3πθ=，则3sin 2θ=”的否命题是“若3πθ≠，则3sin 2θ≠”； ③p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1:1,:ln 0p q x x≤≥，则p 是q 的充分不必要条件，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示是以为猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是（ ） A ．492 B ．382 C ．185 D ．1235. 函数()23f x x a =-+在区间[1,)+∞上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1]-∞6.已知,,,m n a b R ∈，且满足346,341m mm a b +=+=22()()m a n b -+-的最小值为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．127. 某数学期刊的国内统一刊号是CN42—1167/OI ，其邮发代号38—69，设n a 表示421167n -的个位数字，则数列的第38项之第69项之和383969a a a +++= （ ）A ．180B ．169C ．150D ．1408. 已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AC 上，当BPD ∠最大时，四棱锥P ABCD - 的体积与正方体的体积比为（ ）A ．124 B ．118 C ．19 D ．1129. 已知椭圆的短轴长为8，点12,F F 为其两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，12PF F ∆的内切圆面积最大值为94π，则椭圆的离心率为（ ）A ．45 B ．22 C ．35D ．22310. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ） A ．83 B ．43C ．823D ．22311. 如图，在扇形OAB 中，0120,2AOB OA OB ∠===,点M 为OB 的中点，点P 为阴影区域内的任意一点（含边界），若OP mOA nOM =+，则m n + 的最大值为（ ）A ．273 B ．2213C ．7D ．43312. 关于函数()22ln f x x x x =++，下列说法错误的是（ ） A ．不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立B ．对任意12,(0,)x x ∈+∞，若12x x <，有()2112()x f x x f x <C ．对任意121212()(),(0,1),()22x x f x f x x x f ++∈≤D ．若正实数12,x x ，满足12()()4f x f x +=，则122x x +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知[0,]2πα∈，则直线cos 310x α-=的倾斜角的范围是 ．14.数列{}n a 满足121,5a a ==，若11(1,1),(,2),0n n n m a n a a m n ++=+=+-⋅=，则数列{}n a 通项公式为 ．15设实数,x y 满足约束条件202601y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12x z y =+的最小值为. ．16.已知圆22:42440C x y x y +---=，点P 的坐标为(,4)t ，其中2t >，若过点P 有且只有一条直线l 被圆C 截得的弦长为6l 的一般式方程是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线03x π=是函数()22cos 4sin cos 3f x x m x x =-++的一个极值点，将()f x的图象向左平移4π个单位，向下平移2个单位得到()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）设锐角ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()0g B =，且3,2cb t a =>-恒成立，求t 的取值范围.18. 某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分，现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，其茎叶图如下图所示：（1）已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；（2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分布2(,)N μσ，某校实验班学生30人. ①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在(94,100)的学生人数（结果四舍五入取整数）；②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在(94,100)的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为23，用随机变量X 表示通过预选赛的人数，求X 的分布列和数学期望.正态分布参考数据：()0.6828,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=19.已知四边形ABCD 为等腰梯形，//,2,1AB CD AB AD CD BC ====,BD 沿对角线将ABD ∆旋转，使得点A 至点P 的位置，此时满足PD BC ⊥. （1）判断PDC ∆的形状，并证明；（2）求二面角A PB C --的平面角的正弦值.20. 已知动圆G 过定点(4,0)F ，且在y 轴上截得的弦长为8. （1）求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程Γ；（2）过点(2,0)S 的动直线与曲线Γ交于,A B 两点，平面内是否存在定点T ，使得直线,AT BT 分别交Γ于,C D 两点，使得直线,AB CD 的斜率12,k k ，满足122k k =？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()()211(0)12x f x x f x f e -'=-+. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）若()()212g x f x x x =-+，讨论函数()2()(())h x x e g ax x x =-⋅--零点的个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.以平面坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知圆1C 的参数方程为1cos 2(11sin 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），圆2C 的极坐标方程为2416cos 150ρρθ-+=.（1）分别12,C C 写出的直角坐标方程；（2）已知点,M N 分别是圆12,C C 上的动点，点P 的坐标为(2,2)，求PN PM -的最大值.23.已知函数()()1,2f x x g x t x =-=-. （1）解关于x 的不等式()21f x x >+.（2）若不等式()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求t 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDCDB 6-10:CBCCA 11、B 12：C二、填空题13. [0,]6π 14.21n n +- 15.1 16.43360x y +-=三、解答题17.解:（1）化简得()2sin 2cos22f x m x x =-+， 由题意知3x π=是函数()f x 的一条对称轴，222sincos 233m ππ=-+，解得m =，故()2cos 222sin(2)26f x x x x π=-+=-+，于是()2sin(2)3g x x π=+.（2）由()02sin(2)023326k g B B B ππππ=⇒+=⇒+=-，解得3B π=， 由正弦定理22sin ,2sin sin sin sin a b ca A c C A B C ===⇒==，所以22sin sin 2sin sin())236c a A C A A A ππ-=-=--=-,又锐角ABC ∆，所以(,)(0,)sin()62636A A A πππππ∈-∈⇒-∈， 则3(0,)22c a -∈，故32t ≥. 18.解：（1）由茎叶图可知这10个数据依次为78,81,81,86,86,87,92,96,97， 中位数为868786.52+=，由平均数为22222222222188[(10)(7)(4)(2)(2)(1)1589]3610x s ==-+-+-+-+-+-++++=. （2）①由（1）知88,6μσ==，(22)()(91100)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+<<=+<<+=0.9544068280.13592-==，该班学生成绩在(94,100)的人数为300.1359 4.054⨯=≈. ②随机变量0,1,2,3,4X =，显然X 服从二项分布2(4,)3B ， 其分布列为4422()()(1)33kkkP X k C -==-，其中0,1,2,3,4k =，()28433E X =⨯=.19.解：（1）PCD ∆为等腰直角三角形，证明：在等腰梯形ABCD 中，由平面几何知识可得060A ∠=，又2,1AB AD ==，由余弦定理得BD =，则222AD BD AB +=，故AD BD ⊥， 折叠后PD BD ⊥，又,PD BC BD BC B ⊥=，故PD ⊥平面BCD ，而CD ⊂面BCD ，故PD CD ⊥， 又PD CD =，故PCD ∆为直角三角形.(2)由（1）知PD ⊥平面BCD ，AD BD ⊥，以点D 为坐标原点，以,,DB DA DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,1,0),(0,0,1),(,0)22A B P C -， 则31(0,1,1),(3,0,1),(,0)22AP PB BC =-=-=--， 平面APB 的法向量为1(,,)n x y z =，则110000y z n AP z n BP ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨-=⋅=⎪⎩，取1x y z =⇒==1(1,3,n =，同理可求得平面PBC 的一个法向量2(1,3,3)n =-， 设二面角A PB C --的平面角为θ，则12121331cos 777n n n n θ-+⋅===⋅⋅， 结合图形可知43sin 7θ=.20.解：（1）设动圆圆心(,)G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然2221,(1)GM x GF x y =+=-+，于是2222(4)4x y x -+=+，化简整理得2:8y x Γ=，故的轨迹方程为2:8y x Γ=.（2）设11223344(,),(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y T m n ，设直线AB 的方程为2x ay =+，由22281608x ay y ay y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， 得12128,16y y a y y +==- ，所以，直线AB 的斜率为11k a=， 由11(,),(,)A x y T m n 的直线AT 的方程为11()y ny n x m x m--=--， 由121111112()8()8808y n y n x m x m nx my x m y y y n y n y x-⎧-=---⎪-⇒-+=⎨--⎪=⎩ 于是1112188nx my y y y n -=-，又2118y x =，则211121ny my y y y n-=-，于是1218ny m y y n -=-，同理2328ny my y n-=-，于是直线CD 的斜率21212221212212112888888y y y y k ny m ny my y x x y y y n y n --====---++---，22121222212128[()]8(168)2(8)()162(16)(8)816y y n y y n aa n k ny y m n y y mn n m n a mn-++--+==-+++⨯--+⨯+ 2221684(8)2na n n m n a mn +-=++-，即22216814(8)22na n n m n a mn +-=++-， 即2216(3832)240na n m a m n -++--+=恒成立，故216038320240n n m mn n -=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，解得0,1n m ==，故(1,0)T .21.解：（1）对()()211(0)12x f x x f x f e -'=-+，求导可得()()()101x f x x f f e -''=-+，所以()()()()110101f f f f ''=-+⇒=，与是()()101f f e -'=，所以()1f e '=，所以()212x f x x x e =-+， 于是()()1,xf x e x f x ''=+-在R 上单调递增，注意到()00f '=，故(,0)x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，(0,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. （2）由（1）可知()221122x x g x x x e x x e =-+-+=， 由()0h x =，得x e =或2()0g ax x x --=，若2()0g ax x x --=，则2ln ax x x -=，即ln 1xax x-=， 设()()2ln 1ln x xx x x x ϕϕ-'=⇒= 所以()x ϕ在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，分析知1x >时，()0,x x ϕ>→+∞时，()0,0x x ϕ==时，()x ϕ， 现考虑特殊情况：①若直线1y ax =-与()x ϕ相切，设切点为00(,)x y ，则0200001ln ln 1x a x x ax x -⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得002ln 10x x +-=，设000()2ln 1m x x x =+-，显然0()m x 在(0,)+∞单调递增， 而(1)0m =，故01x =，此时1a =.②若直线1y ax =-过点(,())e e ϕ，由1()e e ϕ=，则11ae c -=，则211a e e=+， 结合图形不难得到如下的结论： 当1a >时，()h x 有一个零点；当0a ≤和1a =或211a e e =+时，()h x 有两个零点， 当01a <<且211a e e≠+，()h x 由三个零点.22.解：（1）由圆1C 的参数方程1cos 2(11sin 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），得221(1)4x y +-=，由圆2C 的极坐标方程为2416cos 150ρρθ-+=，得224()16150x y x +-+=， 整理得221(2)4x y -+=. （2）212111()()122PN PM PC PC PC PC -≤+--=-+2222(22)(20)(20)(21)135=-+--+-=23.解：（1）由()1,()21f x x f x x =->+，得121x x ->+，当1x ≥时，121x x ->+，解得2x <-（舍去），当1x <时，121x x ->+，解得0x <，所以0x <，综上，不等式的解集为{|0}x x <.(2)由()()f x g x ≥，得12x t x -≥-，下面分四种情形讨论：当0x =时，不等式恒成立t R ∈；当0x <时，不等式化简整理得(1)3t x -≤，即31t x-≥恒成立，则10t -≥，所以1t ≤； 当01x <<时，不等式化简整理得(1)3t x -≤，即31t x-≤恒成立，则13t -≤，所以2t ≤； 当1x ≥时，不等式化简整理得(1)1t x -≤，即11t x -≤恒成立，则10t -≤，所以1t ≤； 综上1t ≤.。