第3章 聚合风险模型1

的分数部分的影响是可以忽略不计的.
为使用近似方法，我们需要S 的半不变 量． 记 k 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布， 我们有
tk 我们知上式 的系数即为所需要的半不变量 k!
偏度
个体和聚合风险模型
• 考虑n个一年期寿险保单．
• 第i个被保人在年内死亡的概率为qi ．
• 如果第i个被保人在年内死亡则保险公司应支付
这是一个在0点有跳度p 而在其它处为指数型的分布 函数．
利用给定N = n 之下S 的条件分布，可计算分布F :
因此
当选取的X 为某些特殊的随机变量时，n重卷积 比较容易计算，如正态分布和伽玛分布。
(1) n 个服从 N , 分布的独立随机变量和的分布为N n , n ； (2) n 个服从 , 分布的独立随机变量和的分布为 n , .
当 时，逆高斯分布也被称为 Wald 分布．
利用矩母函数容易证明
是一个刻度参数，事实上，如果 X 服从 IG ( , ) 分布．
(1) N 1 , N 2 , N m 相互独立； (2) N i 服从 Poisson i 分布。
证明
记 N N1 Nm , n n1 nm .对 N = n 取条件得
N1 ,, N m 的条件分布为多项分布 M n, 1 ,, m ．于是，
例 3 .3 .2（负二项分布也是复合泊松分布）
在某个交叉路口
N Poisson
一年之中发生 N 次重大交通事故．第 i 次事故中伤亡人数是
Li Li
，所以总伤亡人数为
S L1 L2 LN
．设
,
服从参数为 c 的对数分布，即
其中 h c log 1 c 。现问 S 的分布是什么？
把 上 式 对所 有 的 n i k 相 加， 可 求 出 N k 的 边 际 分布为
i
Poisson k
． N i 之间的独立性是由于 Pr N
1
n1 , , N m nm
等于
Ni ni
的边际概率的乘积．
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
负二项分布N(r,p)
r k 1 r r (1 p) r (1 p) p (1 p) k , E[ X ] P( N k ) , Var[ X ] , 2 k p p r p E[e tX ] 1 (1 p)e t
理赔 bi ．
建立一个聚合模型来近似所有保单产生的
总损失和总收益．
b （1）保单 i 导致赔付i 的次数为 I i Bernoulli qi 分
布， 我们现在用一个 Poisson i 随机变量来替代赔付
bi 的次数Ii ．
在个体模型中，考虑理赔总额
（2）考虑下面的近似随机变量：
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
在一年中发生的车祸次数服从一个 Poisson 分布．参数 未知，
且因人而异．我们设 是一个随机变量 ．如果给定 ，一年
中车祸的次数 N 的条件分布是Poisson ， 那么 N 的分布是什么？
S x 当每一个 i 有非随机的理赔额 i xi 其中 N i Poisson i ．现设所有
时，我们有 Si xi N i ， 全不相同，则随机变量
是一个复合泊松变量，参数为
定理3.4.2（逆命题） 设S的形式如下：
服从复合泊松分布，其中参数为 ，理赔分布是一 个离散型分布，满足 则：

给出．记
Tk X1 X k . 由对称性得
另一种方法
Poisson 分布，此时 a 0, b 0 ，被简化为
例 3.5.3 （Panjer 递推） 续例 3.4.3，考虑复合泊松分布，其中
4且
Pr X 1, 2,3
1 1 1 1 1 4, p 2 , , p 1 p 3 4 2 4． 4 2和 于是把
b p 2. 负二项分布 NB r , p ， 1 a, r 1 ， a
a ba ,k 3．二项分布 B k , p ， p 。 a 1 a
证明 初始值
f 0 由 Pr S 0 Pr N n p n 0
n 0
简化为
初始值为
计算结果：
注3.5.5 (Panjer递推式的基于概率母函数的证明）
Panjer递推还可以通过概率母函数来证明．对于复
合泊松分布，我们可以证明如下．首先，
因为
g S t gs t g t X
现在，代入 gs 和 g X 的级数展开式，得
2
2
设理赔额服从指数
Exp 1
分布，即 1,1 分布.
卷积的分布为： (n,1)
理赔次数的分布
• 理赔发生应该是一个“稀有事件”。 • 泊松分布，负二项分布是较好的选择。 泊松分布P(λ )
P( N k )
k
k!
e , E[ X ] Var[ X ] , E[e tX ] exp( e t 1)
1
2
,
是一列独立 Poisson 1 随机变量，X
ij
, i 1, 2, ,
j 1, 2, 是一列相互独立且具有共同分布 P 的随机变量，
那么对整数值 ，有
上中的S是 个独立同分布的随机变量的和，我们可

以直接应用中心极限定理．注意到在上面取 为整数
值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应
t s 1 的系数，我们有 比较
如何用Panjer递推公式计算卷积???
复合分布的近似
定理 3.6.1（复合泊松分布与中心极限定理） 设 S 服从 P 复合泊松分布，其参数为 ，理赔分布 具有有限方 差．记
E S
和
2 Var S
，则
证明
如果 N , N
第3章 聚合风险模型
3.1 引
言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要
计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在
要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记 其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额．
此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
设Λ的分布函数为 U Pr ，则N 的分布为
N 的期望和方差分别为
现在再假设 , ，
其中 p / 1 ，从而 N 服从参数为 和 / 1 的负二项分 布（记为 NB , / 1 ）.
代入 Panjer 递推公式得到
初始值 f 0 e4 0.0183．我们有
例3.5.4 （Panjer 递推与停止损失保费） 对于一 个整值随机变量S , 其值整取自留额的停止损失保 费可以表示为（见1.4节）:
既然停止损失保费的右导数满足
而按照自留额所在的区间分布函数取常数值，故停止
Panjer 递推
定理3.5.1( Panjer 递推) 考虑这样一个复合分布，其中
理赔额取非负整值，具有概率分布函数 p x , x 0,1, 2,,
而且事件“有n个理赔发生”的概率满足递归式
这里a 和b 是两个实数．于是事件“理赔总额等于s” 的概率满足如下关系式：
1 . Poisson 分布， a 0, b 0 ，
记 q 1 p ．我们首先来计算S 的矩母函数，然后
尝试通过得到的矩母函数来确定该复合分布．当 qet 1
（ 即 t log q ）时，有
由 X Exp 1 知 mX t 1 t
1
直接代入计算
由分布函数与矩母函数之间的一一对应关系得到S
的分布函数也具有同样的形式：这是一个混合分布。
注意到 Li 的矩母函数是
于是S 的矩母函数为
这是一个参数为 / h c / log 1 c 和 1 c 的负二项分布的矩母函数．
复合泊松分布
定理 3.4.l 复合泊松的和仍是复合泊松） 如果S1 , S2 ,, Sm （
是一列独立的复合泊松随机变量， 分别具有参数 i 和理赔
逆高斯分布 IG( , )
X 0, 分布函数为
当x

0 时其极限为 0 ；
而当 x 时其极限为 1。
导数在 0, 上取正值，具有如下形式：
矩母函数
矩母函数在 t 2 处有穷，而在t 该 分布累积量母函数的反函数．


2
处无穷．
逆高斯”这个名字源于其累积量函数是正态 “
（3）如果取
i qi
，则在两个模型中保单 i 的期望赔付次
i log 1 qi qi
数相同．为了安全起见我们也可以取
．
•在聚合模型和个体模型下保单i发生0理赔的概率相等． •比原先模型下有更大的理赔总额，因此，隐含了差额。
（4）尽管上式仍然具有个体模型的形式，由定理3.4.1
损失保费是逐段线性的．当d 取非整数值时停止损失
保费的计算可以通过插值法来完成．
利用Panjer 递归法，停止损失保费也可以通过递归求 得．事实上，由（3.34）的后一式，对整数d,
作为一个例子，我们取复合Poisson(1)分布,其中
p 1 p 2 1 2
于是Panjer递推公式（3.31）可以被
Pi , i 1, 2, , m
分布Байду номын сангаас
，那么 S =
S1 S2 Sm
仍是一个复合
泊松随机变量，具有参数
证明 记 mi 为 Pi 的矩母函数，则S的矩母函数为
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松
分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设 4 , Pr X 1, 2,3 4 , 2 , 4 .
1 1 1
S 1N1 2 N 2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1 4
1 1 1 1, 2 4 2, 3 4 1 4 2 4
（1）由（3.1）给出的S 具有一个复合分布。 （2）记：
（3）利用给定N 之下S 的条件分布，可以计算S 的期望值．
（4）总理赔额的方差可以由条件方差的公式得到。
（5）同样技巧可以求出总理赔额S 的矩母函数。
例3 . 2 . l （分布函数具有封闭形式的复合分布） 设N 服从参数为p 的几何分布，0 < p < 1 , X 服从参数为1 的指数分布，那么S 的分布函数是什么？
可知S服从复合泊松分布，S对应于聚合模型，其参数
为
如果 i qi ，则期望赔付次数保持相等：
S 和 S 的期望也是相等的：
S 和 S 的方差：
S略大一些
3.8 几个理赔额分布的参数族
1 ．伽玛分布 ( , ) ：适用于理赔分布的尾概率不是太 “重”情形，例如在机动车险中保对自己车辆损伤情况； 2 ．对数正态分布 LN ( , 2 ) ：适用于理赔分布的尾概率略微 重一些的情形，例如火险中的理赔额； 3 . Pareto ( , x0 ) 分布：在发生大理赔的可能性很大时用这 个分布，特别是在责任险中．
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如恶劣的天气条件会导致大量的 小理赔.不过，在实际中这些现象的影响是很小的。
• 聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各 个风险是独立同分布的，即 （X1， X2，… Xn） 独立同分布。