高考数学一轮复习 2.11 函数图象及其变换 理

4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质， 求最值，确定方程的解的个数，解不等式等．数形结合，
直观方便．
一、作图 例1作出下列函数的图象：
(1)y＝2x－＋x1；
(2)y＝12|x＋1|； (3)y＝|log2x－1|.
【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}. y＝2x－ ＋x1＝－1＋x＋3 1，因此由 y＝3x的图象向左平 移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度即可得到 函数 y＝2x－ ＋x1的图象，如图①所示.
y＝f（x）
将函数图象向左平移 ―――――――――――→
b（b＞0）个单位长度
y＝
f（x＋b），
将函数图象向右平移
y＝f（x）
――――――――――→ b（b＞0）个单位长度
y＝
f（x-b）
.
②上下平移变换(上正下负)，具体方法是：
将函数图象向上平移
y＝f（x）
――――――――――→ h（h＞0）个单位长度
二、识图 例2(1)已知定义在区间[0，2]上的函数 y＝f(x)的图 象如图所示，则 y＝－f(2－x)的图象为( B )
3x , x 1,
(2)函数
f(x)＝
log
1 3
x,
x
1则
y＝f(x＋1)的图象大
致是( B )
(3)函数 y＝2cxo－s 26－xx的图象大致为( D )
【解析】(1)解法一：由 y＝f(x)的图象知 f(x)＝ x，0≤x≤1， 1，1<x≤2.
第11讲 函数图象及其变换
【学习目标】
1．熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图 的基本方法(描点法和变换法)．
2．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象 的交点个数．
【基础检测】 1.为了得到函数 y＝2x－3－1 的图象，只需把函数 y＝2x 的图象上所有的点向_右___平移__3__个单位长度， 再向__下__平移__1__个单位长度.
当 x∈[0，2]时，2－x∈[0，2]， 所以 f(2－x)＝12，－0x≤，x1<≤1x，≤2， 故 y＝－f(2－x)＝－x－1，2，0≤1≤x<x≤1，2.
y＝
f（x）＋h
，
将函数图象向下平移
y＝f（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
――――――――――→ h（h＞0）个单位长度
y＝
f（x）-h
.
③伸缩变换包括左右伸缩变换(针对自变量)和上
下伸缩变换(针对函数值整体)，(横缩纵伸)具体方法如
下：
纵坐标保持不变 y＝f（x） ——横—坐—标——缩—为—原—来—的—1a—倍—→ y＝
f（ax），a＞0
④在直角坐标系中__描__点__、___连__线____成图．
(2)变换作图法
常见的变换法则：__平__移__变__换_____、__伸__缩__变__换___
和___对__称__变__换____，具体方法如下：
平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上
下平移变换(针对函数值整体)．
①左右平移变换(左加右减)，具体方法是：
2.函数 y＝ax 与 y＝1ax的图象关于直线 x＝0 对 称.
【解析】y＝1ax＝a－x，故两个函数的图象关于 y 轴，即直线 x＝0 对称.
3.函数 y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义 域是 (－3，－1]∪(0，2] .
4.把函数 y＝log2(x－1)的图象上各点的横坐标缩 短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的 函数式为( D )
【点评】为了正确作出函数的图象，除了掌握“列 表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、 反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函
数、余弦函数以及形如 y＝x＋1x的函数； (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩
变换、对称变换、翻折变换、周期变换等.
，
y＝f（x）
横坐标保持不变 ———————————→ 纵坐标伸长为原来的a倍
y＝
af（x），a＞0
.
(3)对称变换包括中心对称和轴对称 ①y＝f(x)与 y＝－f(x)关于___x_轴____对称； ②y＝f(x)与 y＝f(－x)关于___y_轴____对称； ③y＝f(x)与 y＝－f(－x)关于__原__点____对称； ④y＝f(x)与 y＝f(2a－x)关于___x_＝__a__对称； ⑤y＝f(x)与 y＝|f(x)|，保留 x 轴上方的图象，将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折上去，x 轴下方图象删去； ⑥y＝f(x)与 y＝f(|x|)，保留 y 轴右方的图象，将 y 轴右方的图象沿 y 轴翻折到左边，y 轴左方原图象删去． 3．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、 值域、奇偶性、单调性、特殊点等．
(2)先作出 y＝12x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作 其关于 y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移 1 个 单位长度，即得到 y＝12|x＋1|的图象，如图②所示.
(3)先作出 y＝log2x 的图象，再将图象向下平移 1 个单位长度，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图
象翻折到 x 轴上方来，即得到 y＝|log2x－1|的图象， 如图③所示.
A.y＝log2(2x＋1) B.y＝log2(2x＋2) C.y＝log2(2x－1) D.y＝log2(2x－2)
【解析】把函数 y＝log2(x－1)图象上各点的横坐 标缩短到原来的12倍，得到 y＝log2(2x－1)的图象，再
向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为 y＝
log22x－12－1＝log2(2x－2).故选 D.
【知识要点】 1．基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、 指数函数、对数函数)的图象 2．作图方法：描点法，变换法． (1)描点法作图的基本步骤： ①求出函数的___定__义__域__和__值__域_____． ②找出__关__键__点____(图象与坐标轴的交点，最值点、 极值点)和_关__键___线__(对称轴、渐近线)，并将关键点列表． ③研究函数的基本性质(奇__偶__性__、__单__调__性_、__周__期__性_)． 若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点 或 y 轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只 需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的 图象即可．