函数误差与误差合成
误差理论与大数据处理实验报告材料
标准文档误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1nii v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差理论与数据处理第六版
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
函数误差与误差合成
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
yf(x1,x2,...,xn)
▪ x1,x2,与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 及其其他非测量值，又称输入量 ▪间接测量值，又称输出量
函数误差与误差合 成
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
2
教学重点和难点
▪ 函数系统误差 ▪ 函数随机误差 ▪ 函数误差分布的模拟计算 ▪ 随机误差的合成 ▪ 未定系统误差和随机误差的合成 ▪ 误差分配 ▪ 微小误差取舍准则 ▪ 最佳测量方案的确定
x2 2 a n 2
2 xn
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ya 12x 2 1a22x 2 2 an2x 2 n
▪ x第i i个直接测得量 的x i极限误差
16
三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sinf(x1,x2,...,xn)
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2
2
2
y2 x f1
x1 2 x f2
x2 2 x fn
2 xn
或
y x f1 2
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差分配
误差
已定系统误差 未定系统误差 随机误差
设个误差因素皆为随机误差，且互不相关
式中，Di为函数的部分误差， 若已给定σ y，需确定Di或相应的σi，使满足
按等作用（各部分误差的影响相同）原
则分配误差：
即：
故：
或：
其中： δ是函数的总极限误差，δi是各单项误差的极限误差
按可能性调整误差：
1、按等作用原则分配误差可能会出现不合理 的情况，有时候会导致某些测量值的精度需 要高精度的仪器和更大的劳动（近视比较重 的可能需要再配一副眼镜）才能保证
2、当个部分误差一定时，相应的测量值的误 差与传递系数成反比，故其相应测量值的误 差并不相等
验算调整后的误差：
测量一圆柱体的体积时，可以通过测量高和圆柱 直径来计算，要求测量的体积的相对误差为1%， 试确定直径D和高度h的测量精度（已知直径和高 度的公称值为D=20mm，h=50mm）
算人：郭永奇
误差的合成 和分配
函数误差的计算 随机误差的合成
系统误差的合成
系统误差与随机误 差的合成
函数系统误差的计算
函数随机误差的计算 标准差的合成 极限误差的合成 已定系统误差的合成
未定系统误差的合成 按极限误差合成
按标准误差的合成
误差分配
微小误差取舍和最 佳测量方案
误差分配：已知给定测量的总误差，选择合理的测量方案，进行误差 分配，确定各单项误差，保证测量精度。
直径用2级千分尺，20mm的极限误差为±0.013mm,高度用 分度值为0.10mm的游标卡尺测量，50mm测量范围的极限误 差为±0.150mm.
远远小于要求的157.08,故不够合理，改用分度值为 0.05mm的游标卡尺测量，50mm测量范围内，极限误差为 ±0.08mm。检验符合要求
误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
教案(误差理论与数据处理)
本节课的新进展
'
非统计测量不确定度理论
教 学 过 程
课前：
】
1、准备教学内容
2、准备多媒体课件
理论课：多媒体课件结合板书讲授理论课。
1、测量不确定度的概念 15分钟
2、标准不确定度的评定 35分钟
3、测量不确定度的合成25分钟
4、举例45分钟
]
课 后 作 业
P8：3、5、6
难点：结合实例的随机误差、系统误差的确定。
!
本节课的新进展
教 学 过 程
课前：
1、准备教学内容
~
2、准备多媒体课件
理论课：多媒体课件结合板书讲授理论课。
1、函数误差 25分钟
2、随机误差的合成 10分钟
3、系统误差的合成 25分钟
4、系统误差与随机误差的合成20分钟
5、 应用举例40分钟
【
课 后 作 业
；
1、了解最小二乘法原理。
2、掌握最小二乘数据处理方法。
教 学 方 法
课堂多媒体课件结合板书讲授全部内容。
参考书及教具
1、梁晋文. 误差理论与数据处理，中国计量出版社，2001
{
2、沙定国主编《误差分析与测量不确定度评定》，中国计量出版社，2003
本课内容的重点和难点
重点：最小二乘法原理、正规方程、精度估计
(
课后小结（优缺点及改进意见）
~
课程名称
误差理论与数据处理
教师姓名
袁江
职称
副教授
授课题目
。
第6章 回归分析
授课对象
测仪041、042
授课日期
2007．10．22
授课方式
误差理论与数据处理
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
误差的合成与分配
二、随机误差的合成 ➢标准差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量 的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的 合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系 数和误差间的相关性影响。
标准差的合成 若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：
1,2, ,q
其相应的误差传递系数为： a1,a2, ,aq
f
f
f
y N x 1 x 1 N x 2 x 2 N ... x n x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
将上面方程组中的每个方程平方得到：
y 1 2 x f 1 2
2
x 1 1 2 ... x f n
x n 1 2 2 1 n i j x fi x fj x i1j1
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
s
过函数关系计算求得直径。
D
如果：
h50mm,limh0.05mm
s500mm,lims 0.1mm求测量Leabharlann 果。s2 D= +h
4h
一、函数误差 ➢误差间的相关
各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随 机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关 联对函数总误差的影响大小。
n
ya 1 2 x 2 1 a 2 2 x 2 2 ... a n 2 x 2 n 2 aa ij i j x i x j 1 ij
函数误差与测量结果的不确定度评定
V0 1% 15708mm3 1% 157.08mm3
V 1 V 4 2 0.351mm D 0.071mm h 2 n V nD n V n Dh h D
按等影响分配原则分配误差：
查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测 高 h 50mm ，在50mm测量范围内的极限误差 为 0.15mm ，用0.02mm的游标卡尺测直径 D 20mm ， 在20mm范围内的极限误差为 0.04mm 。
三、验算调整后的总误差
误差先按等影响原则初步确定，再经过合理调 整后，按误差合成公式计算，若总误差超出给定 的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进 行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实 现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行 比较，直到满足要求为止。
例
测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D D2 及高度 h ，根据函数式 V h
结论
欲使为 最小，必须测量直径，此时 弓高的测量误差 h 已不影响直径的测 量准确度，而只有弦长的测量误差 l 影响直径的测量准确度。但对大直径 测量，此条件难以满足，不过他指出 了当 h 值愈接近值 l 2时，直径的测量误 差越小。
D
练习题
6-1 某一量 u 是由 x 和 y 之和求得， x 是由 16 次测量之算术平均值得出， 其单个测量值标准差为 0.2 （单位略） y 是由 25 次测量之算术平均值得出， ； 其单个测量值标准差为 0.3， x 和 y 不相关，试求 u 的标准差。
相关系数的统计计算与实验估计
根据( xi , x j ) 的多组测量的对应值 xik , x jk ，按如 下统计公式计算相关系数
( xi , x j )
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
函数的合成不确定度表达式
函数的合成不确定度表达式
函数的合成不确定度表达式描述了由于不确定度在函数合成过
程中的传递而引起的误差。
它是一个数值表达式，用于计算合成函数的不确定度，可以用于评估实验结果的准确性。
在合成函数中，每个函数的输出都是下一个函数的输入。
因此，误差会随着函数的组合而传递。
如果我们知道每个函数的不确定度并且它们都是独立的，那么可以使用以下公式计算合成函数的不确定度：δf = √(δf + δf + ... + δfn)
其中δf是合成函数的不确定度，δfi是第i个函数的不确定度。
然而，如果函数之间不是独立的，误差的传递会更加复杂。
在这种情况下，我们需要考虑函数之间的相关性，并使用协方差来描述误差的传递。
因此，合成函数的不确定度表达式变为：
δf = √(∑i∑j ci,j δfi δfj)
其中ci,j是函数i和函数j之间的协方差。
这种方法可以更准
确地估计合成函数的不确定度，并更好地反映误差的传递。
总之，函数的合成不确定度表达式是一个重要的数学工具，可以帮助我们评估实验结果的准确性。
无论函数是否独立，我们都可以使用这个公式计算合成函数的不确定度，并尽可能地减小误差的传递。
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2
4
6
8
10
12
和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
2
| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264
2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量
假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
sx s9 9 0.04μm
修正后检定量块的结果为
x x ( ) 10.0005 (0.0001) 10.0004mm
解：1、计算算术平均值
1 10 x xi 24.7724mm 10 i 1 2、计算残余误差 vi xi x
n
1 2
xi
24.774 24.778
vi
0.0016 0.0056 -0.0014
3
4
24.771
24.780
0.0076
-0.0004 0.0046
5
6 7
24.772
( x ) t0.05 2 (n 1)s( x ) 2.306 0.000978 0.002256( mm)
9、写出最后测量结果
x 24.77489mm 24.7749mm
( x ) 0.002256mm 0.0023mm
x x x 24.7749 0.0023 mm
比较项目 内容
系统误差
随机误差
不 同
发 现 方 法
恒定系统误差 用标准器具计量检定 统计检验 可变系统误差 残差观察法 和检验法 小样本序差法
消除误差源 引入修正值 改进测量方法
减 小 点 方 法
重复测量n次取平 均值其标准差减小 为原 1 n
异 同 点
比较项 目内容
客观性
系统误差
随机误差
都是误差，它们都始终存在于一 切科学实验中
直接测量结果的数据处理步骤
1、计算算术平均值 2、计算残余误差 vi xi x 1 n 2 3、计算单次测量的标准差 s( x ) xi x n 1 i 1 4、判断系统误差
1 n x xi n i 1
恒定系统误差：用标准器具检定 可变系统误差：残差观察法、和检验法、小样本序差法（组内） 3σ准测(n>50)、Grubbs准测(3<n<50)、Dixon准则(3<n<30)
5、判别粗大误差
6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差 7、计算算术平均值的标准差 s( x ) 8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）s( x ) n 9、写出最后测量结果 ( x ) t s / n
直接测量结果的数据处理实例
对某一轴径等权测量10次 （mm），求测量结果
f xi (i 1,2,, n) 为各个输入量在该测量 点 ( x1, x2 ,, xn ) 处的误差传播系数 xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用 xi 和 y 的量纲或单位不相同，则 f xi 起到误差单位换算的作用
常见函数的系统误差计算
24.777 24.773 24.775 24.774
3、计算单次测量的标准差
vi2
i 1 10
0.0006
0.0026 0.0016 -0.0224
8
s
10 1
0.008343mm
9
10
24.750
4、判断系统误差
0.01 0.005
根据残余误差观察法， 0 可以看出误差符号大 0 -0.005 体上正负相同，且无 -0.01 显著变化规律，因此， -0.015 可判断该测量列无变 -0.02 化的系统误差存在。
比较项目内容
定义 误差源
随机误差 无限多次测量的平 测得值与无限多次 均值与真值之差 测量的平均值之差
多与单个因素有关 多由大量均匀小的因素 共同影响造成
系统误差
不 同
本质特性 抵偿性 表示方法 数 字 特 征
确定性 无
确定性函数
统计规律 有 统计概率分布
点
恒定系统误差用算 用算术平均值代表期望值 术平均值对真值的 用实验标准差代表分散性 偏离来表示 非恒定系统误差用 用置信限代表结果的可能 多参数表示 取值范围
【解】 用基准量块检定该仪器含有+0.1 μm 的基本误差， 故用该仪器检定量块的修正值为-0.0001mm 。 计算
0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.6 0.4 10.0005mm 9 1 0, 2 0.2, 3 0.1, 4 0, 5 0.2, 6 0.1, 7 0, 8 0.1, 9 0.1μm x 10 s9 1 ( xi x )2 0.12μm 9 1
pv
i 1 m
m
2 i 1
(m 1) pi
i 1
1.1
3、求加权算术平均值的区间半宽度 因为该角度进行六组测量共有120个直接测 得值，可认为该测量列服从正态分布，取置 信因子k=3 最后结果的区间半宽度为
( ) 3s( ) 31.1 3.3
4、写出最后测量结果
o
75o1806 4 75o1810
2、求加权算术平均值的标准偏差 计算残差
v1 1 75o1806 75o1810 4
v2 0, v3 2, v4 6, v5 3, v5 1
s
f f f dy dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
各个直接测量值的系统误差 x1 , x2 ,L , xn , 由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分 量 dx1 , dx2 ,L , dxn
函数系统误差
y
的近似计算公式
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
y f ( x1, x2 ,..., xn )
x1, x2 ,, xn 与被测量有函数关系的各个直接 测量值及其他非测量值，又称输入量 y 间接测量值 又称输出量
一、函数系统误差计算
函数系统误差公式
y f ( x1, x2 ,..., xn )
由高等数学可知，对于多元函数，其增量可 用函数的全微分表示，则函数增量
因
p1 : p2 : p3 : p4 : p5 : p6 1: 5 : 4 : 2 : 2 : 6
取 p1 1, p2 5, p3 4, p4 2, p5 2, p6 6
p
i
6
i
20
计算加权算术平均值
p
i 1 6 i
6
i
p
i 1
i
1 0 5 4 4 2 2 10 2 7 6 3 75 1806 20
计算结果
残差和统计法
0 0.2 0.1 0 0.1
1
1 2
0.1 0 0.1 0.1 0.1
2
0.1 0.1 0 2 9 s9 0.72
故可判断无显著的线性系统误差。 小样本序差统计法 8
1
B ( i i 1 )2 0.22 0.32 0.12 0.2 2 0.32 0.12 0.12 0.2 2 0.33 B A i 0.12 1.4 2A 1
x 1 xi 24.77489mm 9 i 1
9
s
v
i 1
9
2 i
91
0.002934mm
7、计算算术平均值的标准差
s( x ) 0.002934 s( x ) 0.000978mm n 9
8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度） 因为测量列的测量次数较少，算术平均值的区间半 宽度按t分布计算，查t分布临界值表 t0.05 2 (9 1) 2.306
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算
出被测量 间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的 函数
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误
差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差