离散时间信号通过线性时不变系统
dip1
实验一 离散时间信号通过线性时不变系统1.1 实验目的1、通过本实验，进一步加深对离散线性时不变系统的理解。
2、掌握利用线性卷积求解离散线性时不变系统输出的方法。
3、掌握利用差分方程求解离散线性时不变系统输出的方法。
1.2 实验原理与方法离散时间系统的作用是将输入序列通过一定的运算处理转变为输出序列,这种运算关系用[]T ∙表示，因此离散时间系统的输出信号和输入信号之间的关系可描述为：()[()]y n T x n = （1-1）离散时间系统线性时不变（LTI Linear time-invariant ）的特点是系统具有线性性质和时不变特性。
即系统满足线性叠加原理。
1212()[()()]()()y n T ax n bx n ay n by n =+=+ （1-2） 系统对输入信号的运算关系[]T ∙在整个运算过程中不随时间变化，即系统是时不变系统：()[()]y n i T x n i -=- （1-3）对于LTI 系统，设该系统的单位脉冲响应为h(n)，则该系统的输入输出满足线性卷积关系：()()()()()i y n h i x n i x n h n +∞=-∞=-=*∑ （1-4） 即线性时不变系统的输出等于输入序列与系统单位脉冲响应的线性卷积。
另外一个LTI 系统的输入输出关系还可以用一个N 阶线性常系数差分方程来表示：0()()()M Ni i i i i y n b x n i a y n i ===---∑∑ （1-5）显然当0,0,1,2,,i a i N == 时，式（1-4）与（1-5）等价，即此时系统的输入输出满足线性卷积的关系。
另外：周期信号通过离散时间线性时不变系统，输出仍然是周期信号，并且周期与输入信号周期相同。
1.3 实验内容及步骤1. 在实验编程前，认真复习离散时间线性时不变系统的有关内容，阅读本实验原理与方法，掌握线性卷积和差分方程的求解方法，了解单载波信号通过LTI 系统的特性。
奥本海姆离散时间信号处理课后习题答案(中文版)
奥本海姆离散时间信号处理课后习题答案(中文版)第一章信号与系统1.1 信号与系统的基本概念习题1.1答案：信号是描述现象或事件随时间或空间变化的数学表示。
系统是对信号进行处理、转换或传递的装置或过程。
习题1.2答案：连续时间信号是定义在连续时间范围内的信号，例如音频信号；离散时间信号是定义在离散时间点上的信号，例如图像信号。
习题1.3答案：线性系统满足叠加性和齐次性两个性质。
具体地，对于系统而言，若输入为x1(t)和x2(t)，输出分别为y1(t)和y2(t)，则对于任意常数a1和a2，输入为a1x1(t)+a2x2(t)时输出为a1y1(t)+a2y2(t)。
1.2 线性时不变系统习题1.4答案：时不变系统的输出仅与输入在时间上的延迟有关，与系统的初始时刻无关。
习题1.5答案：系统的单位冲激响应是对单位冲激信号的系统输出。
习题1.6答案：对于线性时不变系统，输入信号可以表示为一系列单位冲激信号的线性组合，输出信号是对这些单位冲激响应的线性组合。
第二章离散时间信号与系统2.1 离散时间信号的表示习题2.1答案：离散时间信号可以通过序列来表示，例如x[n]。
答案：离散时间信号有两种表示方法：时域表示和频域表示。
时域表示是离散时间信号在时间上的展示，例如折线图；频域表示是离散时间信号在频率上的展示，例如傅立叶变换。
习题2.3答案：离散时间信号可以视为连续时间信号在时间上的采样得到的。
2.2 离散时间系统的基本概念习题2.4答案：对于离散时间系统，输入信号和输出信号都是离散时间信号。
习题2.5答案：线性时不变系统的性质也适用于离散时间系统。
答案：离散时间系统的单位冲激响应是对单位冲激信号的系统输出。
第三章离散时间系统的时域分析3.1 离散时间系统的瞬时描述习题3.1答案：离散时间系统的单位冲激响应可以通过对系统输入的单位冲激信号进行采样得到。
习题3.2答案：离散时间系统的零状态响应是指在该系统中，输入信号的作用结束后，系统输出的响应。
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
离散时间系统的时域特性分析实验报告
信号、系统与信号处理实验报告实验一、离散时间系统的时域特性分析姓名:学号:班级：专业：一．实验目的线性时不变（LTI）离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述，冲激响应列可以刻画时域特性。
本次实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性，以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应和系统的线性和时不变性的理解。
二．基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。
1.线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这几个信号中每一个输入的响应的加权和。
即那么当且仅当系统同时满足和时，系统是线性的。
在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例系数都可以是复数。
2.时不变系统系统的运算关系在整个运算过程中不随时间（也即序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。
若输入的输出为，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着位移外，数值应该保持不变，即则满足以上关系的系统称为时不变系统。
3.常系数线性差分方程线性时不变离散系统的输入、输出关系可用以下常系数线性差分方程描述：当输入为单位冲激序列时，输出即为系统的单位冲激响应。
当时，是有限长度的，称系统为有限长单位冲激响应（FIR）系统；反之，则称系统为无限长单位冲激响应（IIR）系统。
三．实验内容及实验结果1.实验内容考虑如下差分方程描述的两个离散时间系统：系统1：系统2：输入：（1）编程求上述两个系统的输出，并画出系统的输入与输出波形。
（2）编程求上述两个系统的冲激响应序列，并画出波形。
（3）若系统的初始状态为零，判断系统2是否为时不变的？是否为线性的？2.实验结果（1）编程求上述两个系统的输出和冲激响应序列，并画出系统的输入、输出与冲激响应波形。
clf;n=0:300;x=cos((20*pi*n)/256)+cos((200*pi*n)/256);num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num1,den1,x);y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('时间信号');ylabel('信号幅度');title('输入信号');subplot(3,1,2);stem(y1);xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输出信号');subplot(3,1,3);stem(y2);xlabel('时间序号n ');ylabel('信号幅度');title('冲激响应序列');（2）N=40;num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,N);y2=impz(num2,den2,N);subplot(2,1,1);stem(y1);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');subplot(2,1,2);stem(y2);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');1.应用叠加原理验证系统2是否为线性系统：clear allclcn = 0 : 1 : 299;x1 = cos(20 * pi * n / 256);x2 = cos(200 * pi * n / 256);x = x1 + x2;num = [0.45 0.5 0.45];den = [1 -0.53 0.46];y1 = filter(num, den, x1);y2 = filter(num, den, x2);y= filter(num, den, x);yt = y1 + y2;figuresubplot(2, 1, 1);stem(n, y, 'g');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;subplot(2, 1, 2);stem(n, yt, 'r');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;2.应用时延差值来判断系统2是否为时不变系统。
信号分析与处理第5章 离散时间线性时不变系统的分析
yzs (n) 3yzs (n 1) 2 yzs (n 2) x(n)
对于因果系统，有 yzs (i) 0 i 0 ，因此，
y(i) yzi (i)
i0
y(i) yzi (i) yzs (i) i 0
求 N 阶差分方程，需用到 N 个初始条件。求零输
入响应的 N 个初始条件为 yzi (i) i 1,2, , N ；求零状态
响应的 N 个初始条件为 yzs (i) i 0,1, , N -1 ；求全响应的 N
5.3 离散时间线性时不变系统的 Z 域分析
5.3.1 Z 变换解差分方程 5.3.2 系统函数 5.3.3 由系统函数的零极点分布确定时域特性 5.3.4 系统的因果性和稳定性
5.4 离散时间线性时不变系统的频域分析
5.4.1 系统的频率特性 5.4.2 离时间信号通过系统的频域分析 5.4.3 理想低通数字滤波器
yzi (n) Czi1 (1)n Czi2 (2)n
n 0
代入初始条件
yzi
(1)
y(1)
0,
yzi
(2)
y(2)
1 2
，有
yzi (1)
Czi1
1 2 Czi2
0
yzi (2)
Czi1
1 4
Czi
2
1 2
解得 Czi1 1， Czi2 2。故系统的零输入响应为
个初始条件为 y(i) i 0,1, , N -1。
2、离散时间线性时不变系统响应的迭代求解
差分方程可用迭代法求解。差分方程可改写为
线性时不变系统
线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ
离散时间信号与系统2学习资料
s|h(n)||a|n
n
n0
如果 |a|<1, 则 s 1 1 | a |
如果|a|≥1 , 则s → ∞，级数发散。故系统仅在|a|<1时是稳定的
稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这 种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即
h(n) n 0
h(n)
0
n0
| h(n) |
解：①初始条件为 y(n)=0，n<0
n=0以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解从n=0求起，由差分方程
、初始条件和输入y ，(0得) ：1.5x(0)1y(1)1.5
2
依次递推
y(1)1.5x(1)1y(0)0.75 2
y ┆(2)1.5x(2)1 2y(1)1.5 1 2 20.375
y(n)h(n)1.51nu(n) 2
y(n)T[x(n)]Tm x(m )(nm )
由于系统是线性的，满足迭加定理
y(n)x(m)T(nm) m
又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。
T (n m ) h (n m )
注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示
因此
y(n) xHale Waihona Puke m )h(nm )x(n)*h(n)
m
该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h(n)来 表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。
令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为
y ( n ) x ( m ) h ( n m ) x ( n m ) h ( m ) h ( n )* x ( n )
4、系统的稳定性与因果性
第二章 线性时不变系统
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
6.离散时间信号与系统的时域分析
0, n 1 1 z ( n) x ( n) y ( n) , n 1 2 1 n 1 ( 2 )( n 1)( 2 ) , n 0
6 线性时不变离散系统的时域分析
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y ( n)
k
x(k ) x(n) * u(n)
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n n1 ) * (n n2 ) f (n n1 n2 )
6 线性时不变离散系统的时域分析
例 已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) x2 (n) u(n) u(n 3) 试求信号 x (n) ，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 应相加得一新序列。
6 线性时不变离散系统的时域分析
例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n …
6 线性时不变离散系统的时域分析
2.单位阶跃序列
u（n）
1, u ( n) 0,
n0 n0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
(n) u (n) u (n) u (n 1)
m 0
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
数字信号处理第一章离散时间信号与系统3
(8)序列的卷积和
设两个序列为x(n)和h(n)，则序列x(n) 和h(n)的卷积和定义为：
（“*”是卷积和运算符号） 卷积和类似于连续线性时不变系统 的卷积积分，是求离散线性移不变系统输 出响应的主要方法。
卷积和的图解法计算步骤如下：
翻褶：先将x(n)和h(n)的变量置换为m，得到x(m) 和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻摺 为h(-m)； 移位：将h(-m)沿m轴平移n得到h(n-m)，当n>0 时，右移n位，当n<0时，左移|n|位； 相乘：对给定的某个n值，将h(n-m)和x(m)相同 m值的对应点相乘； 相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可 以得到给定的某n值时的y(n)。
2
3
… …
n
(b) 单位阶跃序列图象
（3）矩形序列
1 RN (n) 0 0 n N 1 n为其他值
RN(n)和δ(n)、u(n)的关系为：
RN (n) u(n) u(n N )
RN (n) (n m)
m0 N 1
RN(n) 1 -1 0 1 2
h(m)
1 h(n) 0
0n3 其他n
1
m 图1.4 (2) x(n)和h(n)的卷积和图解
序列h(n)的翻褶,得h(-m)
h(0-m)
1
1 h(n) 0
0n3 其他n
m 图1.4 (4) x(n)和h(n)的卷积和图解
序列h(-m)的左移1位
1 h(n) 0
x(n) x(n) x(n 1)
由此得出
x(n) x(n 1)
７、序列的时间尺度（比例）变换
对序列x(n)，其时间尺度（比例）变换 序列为x(mn)或x(n/m)，其中m为正整数。 x(4n)是以低4倍的频率从x(n)中每隔4 个值取1个值，这种运算称为抽取，将x(4n) 称为x(n)的抽取序列。 x(n/4)是将x(n)的抽样间隔从T减少到 T/4，将x(n/4)称为x(n)的插值序列。
信号与系统(王小敏)第3章第1讲线性是不变系统
件，由此可以得出 y(0)。进一步，又可以通过 y(0) 和 y(−1), y(−2),L L , y(−N +1) 求得 y(1),依次类推可求出 所有n ≥ 0 时的解。
若将差分方程改写为：
∑ ∑ y(n −
N)
=
1 aN
⎡ ⎢⎣
M k =0
bk
x(n
−
k
)
−
N −1 k =0
ak
y(n
−
k
)⎤⎥⎦
=0
的解。欲求得齐次解，可根
N
据齐次方程建立一个特征方程：∑ a k λ k = 0 求出
k =0
其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解
的形式为：
N
∑ yh (t) = Ckeλkt , k =1
其中Ck 是待定的常数。
要确定系数 Ck ，需要有一组条件，暂且称为附加 条件。仅仅从确定待定系数 Ck 的角度来看，这一组 附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给 出附加条件的时刻都可以是任意的。
累加器是可逆的LTI系统，其 h(n) = u(n) ，其逆 系统是 g(n) = δ (n) − δ (n −1)，显然也有：
h(n) ∗ g(n) = u(n) ∗[δ (n) − δ (n −1)] = u(n) − u(n −1) = δ (n)
但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。
3. 因果性： ∞ 由 y(n) = ∑ x(k)h(n − k)，当LTI系统是因果系统 k =−∞
可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来 描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微 分方程或差分方程。
一.线性常系数微分方程
（ Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）
离散时间信号通过线性时不变系统
数字信号处理实验报告实验名称：离散时间信号通过线性时不变系统姓名：专业：年级：学号：指导教师：P=16,N=32,q=2,FFT点数为512P=16,N=32,q=30 FFT点数为512时域：q取值的增大，信号波形变宽，变矮，在最大值处过度变的平缓。
频域：信号的频谱向低频靠近。
方差q=2 时，信号变化相对快，高频分量大。
方差q=30时，信号变化相对慢，低频分量大。
因为随着q取值的增大，高斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延P=30,N=32,q=10 FFT点数为512P=32,N=32,q=10 FFT点数为512时域：p取值的增大，信号波形逐渐向右平移。
频域：信号的频谱中高频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混叠现象。
当p=32时，能力泄漏至旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。
随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。
f=0.0625,N=32,FFT点数32当FFT点数为32时，频谱为单线谱，只在谱峰处有值，其他位置都为f=0.0625,N=32,FFT 点数512FFT 点数为512时除谱峰以外，其他位置也有值。
出现这种现象是由于栅栏效应引起的，导致采样时只采到谱峰与零值点。
利用频谱估计频率时，Nm f ，m 为谱峰的位置，估计值与实际值一致，所以谱峰的位置正确。
f=0.265625,N=32,FFT 点数32f=0.265625,N=64,FFT 点数32f=0.265625,N=64,FFT 点数64N=FFT 点数=32、64时没有出现单线谱 N=FFT 点数=64的时候出现单线谱因为当点数为32时，FFT 对频域采样点没有采到谱峰位置，而有一定的相位差，其他点采到了各个旁瓣的峰值。
而当点数为64点时，正好采样采到谱峰和旁瓣的零点。
要使频谱正好采到谱峰，满足Nk Fs f =。
a=0.01 f=0.21875 N=32 FFT点数32 a=0.01 f=0.4375 N=32 FFT点数32a=0.01 f=0.21875 N=32 FFT点数256 a=0.01 f=0.4375 N=32 FFT点数256FFT 点数256 （2）反三角序列⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=elsen n n n n x d 0743304)(FFT 点数为256FFT 点数=8，虽然两者的时域波形不同，但是频域波形却相同，因为二者满足循环移位关系，即)())4(()(88n R n x n x d e -=，从而)()(k X k X e d =，这种现象是栅栏效应引起的。
《信号与系统》第二章
x[1]
0
n 1 n 1
x[0]
[n]
x[0] 0
n0 n0
x[1]
[n
1]
x[1]
0
n 1 n 1
x[2]
[n
2]
x[2] 0
n2 n2
[n
图2.1 一个离散时间信号分解为一组加 权的移位脉冲之和
因此 x[n] 可表示为
x[n] x[3][n 3] x[2][n 2] x[1][n 1] x[0][n]
若 n 0, 则有
ak x[k]h[n k]
0
0k n 0k
因此,对于 n 0 :
y[n]
n
ak
1 an1
k 0
1 a
对于全部 n :
1 an1
y[n] (
)u[n]
1 a
n0 n
1 1 a
图2.7 例2.3的输出响应
例2.5 一个LTI系统,其输入x[n]和单位脉冲响应h[n]如下:
第二章
线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统:卷积和
2.1.1 用脉冲表示离散时间信号
图2.1(a)是单位脉冲序列,每个脉冲的大小与x[n]所对应的时刻值相等。
图(b)~ (f)分别为 n= -2 、-1、0、1、2时的单个脉冲。即
x[2] [n
2]
x[1]
0
n 2 n 1
x[1]
[n
1]
具体地说,若令
[n k] 系统hk[n]
而输入x[n]的响应为
x[n]
x[k] [n k] 系统 y[n]
x[k]hk [n]
k
k
因为讨论的是线性时不变系统,所以 [n k] 是 [n] 的时移。同样，hk [n]
数字信号处理基础知识
数字信号处理基础知识数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指对数字信号进行一系列的算法和技术处理的过程。
数字信号处理广泛应用于通信、音频、图像、音视频编码、雷达、生物医学工程等领域，具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍数字信号处理的基础知识，包括数字信号的表示与采样、离散时间信号与离散频率信号、线性时不变系统与卷积、傅里叶变换与频谱分析等。
一、数字信号的表示与采样数字信号是连续信号在时间和幅度上离散化得到的。
在数字信号处理中，常用的表示方式是离散时间信号和离散幅度信号。
离散时间信号是用一系列的时间点和对应的幅度值表示的，而离散幅度信号则是用一组离散的幅度值表示的。
离散时间信号与连续时间信号之间的转换需要进行采样操作，采样是指按照一定的时间间隔对连续时间信号进行抽样。
二、离散时间信号与离散频率信号离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，可以通过将连续时间信号进行采样得到。
离散频率信号是对离散时间信号进行傅里叶变换得到的，表示信号在频域上的分布情况。
离散频率信号通常由实部和虚部表示，包含了信号的相位和幅度信息。
三、线性时不变系统与卷积线性时不变系统是指系统的输出只与输入信号有关，且对于同一输入信号，输出结果不随时间的推移而变化。
卷积是一种常用的信号处理操作，是两个信号之间的一种数学运算。
对于两个离散时间信号的卷积，可以通过将其中一个信号按时间反转后进行平移和乘积运算得到输出信号。
四、傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种方法，可以将信号分解成一系列的正弦和余弦函数。
频谱是指信号在频域上的能量分布情况，可以通过傅里叶变换得到。
频谱分析是对信号进行频谱上的分析，用于分析信号的频率成分和频率分布情况，常用于音频、图像等领域的处理和分析。
总结数字信号处理是对数字信号进行算法和技术处理的过程，广泛应用于通信、音频、图像、雷达、生物医学工程等领域。
信号与系统-第二章线性时不变系统
n
1
k
f1 (k )
f2 (0
k)
3,
k
f1 (k )
f2 (1 k)
3,
n0 n 1
k
f1 (k )
f2(2 k)
1,
0,
n2 n14 3
三. 卷积和的计算：(3)列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n与) 的h(所n)有各点都要遍乘一次；
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
x (t) x(t)
20
x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t，) 即：
(t)
1
/ 0
0t otherwise
则有：
(t
)
1 0
0t otherwise
21
第 个k 矩形可表示为： x(k) (t k)
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x，(t)
即： x (t) x(k) (t k) k 当 时0 ， k d
un 4 ak
an3
1un 4
k 0
a 1
9
例4： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
u(n) n k 1 n1 u(n)
例2 :
1 x(t) 0
h( )
2T
0t T otherwise
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。
在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
第四章 线性时不变离散时间系统
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
x(n)和 y(n) 分别表示输入和输出序列，则系统的输入输出
关系可记为：
y(n) T[x(n)]
其中，T 表示将输入信号转换为输出信号，系统的一般
输入输出关系图为：
x(n)
y(n)
h(n)
系统的输入输出关系图
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
线性
线性系统基本特征就是满足叠加原理。假设系统的输 入分别为 x1(n) 和 x2 (n) ，相应的输出分别为 y1(n) 和 y2 (n) ， 即：
y1(n) T [x1(n)]
y2(n) T[x2(n)]
则当且仅当
T[ x1(n) x2(n)] T[x1(n)] T[x2(n)]
y1(n) y2(n)
s (n)
1 M
M 1
x(n
l 0
l)
1 M
M
1
x
(n
l0
l)
x(n
M)
x(n
M
)
1 M
M l1
x(n
l)
x(n)
x(n
M )
1 M
M
1
x(n
l0
1 l)
x(n)
x(n
M )
M 1 s (n 1) 1 x(n) x(n M )
M
M
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
假设输入信号经过m 步移位得到 x(n m) ，送入同一系
统，若系统的输出为 y(n m) ，用公式表示就是:
时，系统为线性系统，其中, 为任意常数。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
举例
离散时间信号通过线性时不变系统58907409
w[i]=sin(6.28/55.0*i)+sin(125.6/55.0*i);
a[1]=-1.7007,a[2]=0.7613;
b[0]=0.0233, b[1]=0.01, b[2]=0.233;
y[0]=0.0223*x[0];
printf("% f",y[0]);
for(n=1;n<550;n++)
float x[550]={0.0},w[550]={0.0},h[550]={0.0},y[550]={0.0},z[550]={0.0},a[550]={0.0},b[550]={0.0};
for(i=0;i<500;i++)
x[i]=sin(6.28/55.0*i);
for(i=0;i<500;i++)
for(i=0;i<550;i++) line(100+i,50,100+i,x[i]*25+50); for(i=0;i<550;i++) line(100+i,150,100+i,w[i]*25+150); for(i=0;i<550;i++) line(100+i,280,100+i,y[i]*5+280); for(i=0;i<550;i++) line(100+i,400,100+i,z[i]*5+400); getchar(); closegraph(); }
500.
设两个离散时间线性时不变系统分别为：
系统 1：h1(n)=1, 0≤n≤49，
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数字信号处理
实验报告
实验名称：离散时间信号通过线性时不变系统姓名：
专业：
年级：
学号：
指导教师：
}
for(j=0;j<550;j++)
{
for(i=0;i<=j;i++)
{
z[j]=z[j]+w[i]*h[j-i];
}
}
initgraph(1200,600);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,50,100+i,x[i]*25+50);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,150,100+i,w[i]*25+150);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,280,100+i,y[i]*5+280);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,400,100+i,z[i]*5+400);
getchar();
closegraph();
}
图1
说明：从上往下分别为：xa(n)，xb(n),xa(n)过系统1，xb(n)过系统1
代码2：#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include <graphics.h>
void main()
{
int i,j,n;
float x[550]={0.0},w[550]={0.0},h[550]={0.0},y[550]={0.0},z[550]={0.0},a[550]={0.0},b[550]={0.0};
for(i=0;i<500;i++)
x[i]=sin(6.28/55.0*i);
for(i=0;i<500;i++)
w[i]=sin(6.28/55.0*i)+sin(125.6/55.0*i);
a[1]=-1.7007,a[2]=0.7613;
b[0]=0.0233, b[1]=0.01, b[2]=0.233;
y[0]=0.0223*x[0];
printf("%f",y[0]);
for(n=1;n<550;n++) {
for(i=1;(i<3)&&((n-i)>=0);i++)
for(j=0;(j<3)&&((n-j+1)>=0);j++)
{
y[n]=y[n]+b[j]*x[n-j];
}
}
z[0]=0.0223*w[0];
printf("%f",z[0]);
for(n=1;n<550;n++) {
for(i=1;(i<3)&&((n-i)>=0);i++)
{
z[n]=z[n]-a[i]*z[n-i];
}
for(j=0;(j<3)&&((n-j+1)>=0);j++)
{
z[n]=z[n]+b[j]*w[n-j];
}
}
initgraph(1200,600);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,50,100+i,x[i]*25+50);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,150,100+i,w[i]*25+150);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,280,100+i,y[i]*5+280);
for(i=0;i<550;i++)
line(100+i,400,100+i,z[i]*5+400);
getchar();
closegraph();
}
图2
说明：从上往下分别为：xa(n)，xb(n),xa(n)过系统2，xb(n)过系统2.
实验分析：
比较图1与图2可以看出,对信号1而言，区别：系统1输出相对于系统2有较大的延迟！
共性：两系统对信号1的高频分量的滤除效果均比较好！
对信号2而言：区别：系统1滤除效果明显比系统2差，系统1相较于系统2延迟较大。
共性：均对高频有一定的滤除效果。