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第一课数字特性及数列相关

一、整除特性

1、能被常见数字整除的数字特性

（1）被2整除特性：偶数

（2）能被3整除特性：一个数字每位数字相加能被3整除。可以把被三整除的个别数字直接消掉，以减少计算量

（3）被4和25整除特性：只看一个数字的末两位能不能被4（25）整除

（4）被5整除特性：末尾是0或5

（5）被6整除特性：兼被2和3整除的特性

（6）被7整除特性：划分出末尾3位，大数减小数除以7，能整除说明这个数能被7整除

（7）被8和125整除特性：看一个数的末3位，能被8（125）整除（8）被9整除特性：一个数字每位数字相加能被9整除。可以把被三整除的个别数字直接消掉，以减少计算量

（9）被11整除：奇数位的和-偶数位的和，能被11整除

2、关于整除的其他注意事项

（1）被合数整除的数字，也能被其因数整除

（2）三个连续的自然数之和（积）能被3整除

（3）四个连续自然数之和是偶数，但不能被4整除

（4）平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。

二、奇、偶、质、合性

1、奇偶性

奇数：不能被2整除的整数

偶数：能被2整除的整数（0是偶数）

2、奇数和偶数的运算规律

奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数

奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数

偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数

3、质合性

质数：一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称为素数），如2、5、7、11、13

合数：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数

1既不是质数也不是合数

4、方法技巧及规律

（1）两个连续的自然数之和（或差）必为奇数。

（2）两个连续自然数之积必为偶数。

（3）乘方运算后，数字的奇偶性不变。

（4）2是唯一一个为偶数的质数

如果两个质数的和（或差）是奇数，那么其中必有一个是2

如果两个质数的积是偶数，那么其中必有一个是2

三、公倍数、公约数(往往考察周期性问题)

四、余数问题

基本形式：被除数=除数×商＋余数（都是正整数）

1、同余定义

两个整数a、b除以自然数m(m＞1)，所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余。

2、四种常考形式：余同取余、和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。（1）余同取余，公倍数做周期：一个数除以几个不同的数，余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。（2）和同加和，公倍数做周期：一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和相加的形式。

（3）差同减差，公倍数做周期：一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差相减的形式。

（4）如果三个不符合口诀，先两个结合，再跟第三结合

五、尾数乘方问题

尾数变化规律：底数留个位，指数除4留余数，余数为0转成4

六、数的拆分与重排

数的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等

解答数字的重排问题时，经常需要借助于尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解。

七、不定方程

未知数个数多于方程个数叫做不定方程。通常只考虑他的整数解或正整数解。常用解法有：综合利用整数的奇偶性，质合性、整除特性、尾数法、余数特性、特殊之法、代入排除法等多种数学知识得到答案。

八、数列（等差与等比）

（1）等差数列：求和公式（上底＋下底×高÷2）、中位数求和公式（重点）。

（2） 等比数列：a n =a 1q (n-1)

第二课 终极比例法

比例就是数量之间的对比关系，或指一种事物在整体中所占的分量，运用比例法是将繁琐的数值简化为简单的数值进行分析。

比例问题的重点在于找出两种相关联的量，并明确两者间的比例关系。

比和比例的性质

1.正比：a ÷b=k(k=常数)，则称a 、b 成正比

2.反比：a ×b=k(k=常数)，则称a 、b 成反比

采用比例法的一个重要条件是含有一个固定的乘除等式关系，及1、2所述的正反比例，实际应用中的路程=速度×时间，总量=效率×时间，溶剂=溶液×浓度，利润=成本×利润率。需特别注意：三个量中必须有一个量是固定的，另外两个量才有相对关系。 差值比例：

d

d c -=b b -a 一、常规比例

二、工程问题

工程问题是重点

一、工程问题的本质：将一般的工作问题分数化，就是研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系问题。

二、常用的数量关系式为：

工作总量=工作效率×工作时间

三、工程问题的两大利器

1、比例法

2、特殊值法

四、核心要点：方程问题，用比例不用方程，用份数不用分数

五、题型分类：

单人完成工程问题、全程合作问题、分阶工程问题、轮流合作型、水管问题、时间效率转化

三、和差比例法

四、三量比例法

遇到三个量或者多个量，建立比例关系，需要通过某一个量的统一，比如①甲：乙=2：3，②乙：丙=4:5，需要对乙进行搭桥统一成12。

五、恒值比例法

恒值比例法，在研究比例问题的时候，有一个量是恒定不变的，在题干所述的情况下，从头到尾没有发生变化，那么我们可以利用这样的一个对象所代表的比例点来求解。一般情况下，这种恒量对象在不同的情况下代表的比例点不同，这个时候，需要把不同的比例点化为相同的数值来代替。

第三课行程问题

基础模型之一、相遇追击

1.基本公式：距离=速度×时间

2.相遇及追及问题：

相遇距离=（大速度＋小速度）×相遇时间…………………………………相向追及距离=（大速度－小速度）×相遇时间…………………………………同向