导数综合题

高三数学第二轮复习导数自助餐1.已知函数x x f =)(，)1ln()(x x g +=，.1)(xx x h += （1）证明：当0>x 时，恒有);()(x g x f > （2）当0>x 时，不等式)0()(≥+>k xk kxx g 恒成立，求实数k 的取值范围; （3）在x 轴正半轴上有一动点)0,(x D ，过D 作x 轴的垂线依次交函数)(),(),(x h x g x f的图象于点C B 、、A ，O 为坐标原点.试将AOB ∆与BOC ∆的面积比表示为x 的函数)(x m ，并判断)(x m 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由.解：（1）设)()()(x g x f x F -=，则)('x F =xxx +=+-1111 ，……2分 当0>x 时，0)('>x F ，所以函数)(x F 在（0，)∞+单调递增，又)(x F 在0=x 处连续，所以0)0()(=>F x F ，即0)()(>-x g x f ， 所以)()(x g x f >。

……4分 （2）设xk kxx g x G +-=)()(， 则)(x G 在（0，)∞+恒大于0，xk k k x x G ++-+=2)1ln()(，22222))(1()2()(11)('x k x xk k x x k k x x G ++-+=+-+=，……6分 0)2(22=-+x k k x 的根为0和,22k k -即在区间（0，)∞+上，0)('=x G 的根为0和,22k k -若022>-k k ，则)(x G 在)2,0(2k k -单调递减，且0)0(=G ，与)(x G 在（0，)∞+ 恒大于0矛盾； 若022≤-k k ，)(x G 在（0，)∞+单调递增，且0)0(=G ，满足题设条件，所以022≤-k k ，所以.20≤≤k ……9分（3）xxx x x S S x m BOCAOB+-++-==∆∆1)1ln()1ln()( 2)1)1(ln()'1)1(ln())1ln(()1)1(ln()]'1ln([)('xx x x x x x x x x x x x x m +-++-+⋅+--+-++-=其分母为正数，其分子为：2222)1(2)1(2)1ln(x x x x x x +-+++⋅+]22)1[ln()1()2(2x x x x x x +-+++=……12分 由第（2）问知：xxx +>+22)1ln(在),0(+∞恒成立， 所以0)('>x m 在),0(+∞恒成立，即)(x m 在),0(+∞为单调递增函数， 故)(x m 而无极值.……14分☆2.设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）求证：01ba<≤； （Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值． 解：（Ⅰ）证明：2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得(1)20f a b c '=++=， （1）2()2f m am bm c a '=++=-， （2）又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得113ba-<<， （3） 将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根．故其判别式2480b ab ∆=+≥得 2b a -≤，或ba≥0， （4）由（3），（4）得01ba<≤；（Ⅱ）解：由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->，知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则由根与系数的关系得122122,10b bx x x x a a+=-=--<<， 当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+，由（Ⅰ）知01ba<≤得 ||s t -的取值范围为[2,4)；（Ⅲ）解：由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<，因为0a <，则2220b b x x a a +⋅-⋅>，整理得2(22)0bx x a-+>， 设2()(22)b b g x x a a =-+，可以看作是关于ba的一次函数，由题意()0bg a>对于01b a <≤恒成立，故(1)0,(0)0,g g ⎧⎨>⎩≥ 即22220,0,x x x ⎧-⎪⎨>⎪⎩≥+得1x ≤或1x ，由题意，[,)(,1][31,)k +∞⊆-∞-+∞，故1k ，因此k 1． ☆3.已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xtx x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点 分别为M 、N .（I ）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递均区间； （II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内总存在)()()()(,,,,,1121121++<++++m m m m a g a g a g a g a a a a m 使得不等式个数成立，求m 的最大值. 解：（I ）当,2)(,2xx x f t +==时0221)(222>-=-='x x x x f…………2分2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞…………14分（II ）设M 、N 两点的坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x x tx t x P x x x tx t x y PM xt x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2）由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x…………8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+ 把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为…………9分（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，,)()()()().()()()2().1,,2,1)(()2(12121成立对一切正整数则n a g a g a g a g a g a g a g g m m i a g g m m m i +<++++++≥⋅+=≤∴恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴……11分,)64(20)64(2022022022nn n n m +++<⨯+⨯ …………6分.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m n n n n n n n nn n n m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m .…………13分又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6.…………14分☆4.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，其图象均在x 轴的上方，对任意[),0,m n ∈+∞都有[]()()nf m n f m ⋅=且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'()0f x >恒成立（Ⅰ）求(0),(1)f f -的值;（Ⅱ）解关于x的不等式22f ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦，其中(1,1)k ∈- 解：（Ⅰ）令m=2,n=0,得f(0)=1，令m=2,n=21,得f(1)=2, 又()y f x =是定义在R 上的偶函数，∴f(-1)=2 （Ⅱ）令m=21,n=2,得f(21)=2,由()y f x =是定义在R 上的偶函数，其图象均在x 轴的上方及0x ≥时，其导函数'()0f x >恒成立∴不等式22f ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⇔)21()422(2f x kx f ≥++⇔)21()422(2f x kx f ≥++ ⇔214222≥++x kx ⇔422+≥+x kx ⇔04)1(22≤--kx x k 当k=0时，解集为{0}当-1<k<0时, 解集为)0,14(2kk- 当0<k<1时, 解集为)14,0(2k k-☆5.定义函数),(,2,1)1()(*∈->-+=N n x x x f n n 其导函数记为)(x f n '. （1）求证：nx x f n ≥)(； （2）设)1()1()()(1010++=''n n n n f f x f x f ，求证：100<<x ； 是否存在区间],0,(],[-∞⊆b a 使函数)()()(23x f x f x h -=在区间],[b a 上的值域为],[kb ka ？ 若存在，求出最小的k 值及相应的区间],[b a .解：（1）∵()(1)1nn f x nx x nx -=+--，令()(1)1ng x x nx =+--则1'()[(1)1]n g x n x -=+-当(2,0)x ∈-时'()0g x <，当(0,)x ∈+∞时，'()0g x > ∴()g x 在(2,0)-上递减，在(0,)+∞上递增 故()g x 在0x =处取得极（最）小值(0)0g =∴()0g x ≥，即()n f x nx ≥（当且仅当0x =时取等号）……………………4分（2）由0101'()(1)'()(1)n n n n f x f f x f ++=，得1010(1)21(1)(1)21n n nn n x n x -++-=++- ∴10(21)1(1)(21)n n n x n +-+=+-，10(1)21(1)(21)n n n x n +-+=+-，易知00x >，…………….6分而10221(1)(21)n nn x n ++--=+- 由（1）知当0x >时，(1)1n x nx +>+，故112(11)112n n n n ++=+>++=+∴01x <，∴001x <<…………………………………………………………9分（3）232()()()(1)h x f x f x x x =-=+2'()(1)2(1)(1)(13)h x x x x x x =+++=++令'()0h x =，得1x =-或13x =-，∴当(2,1)x ∈--时，'()0h x >； 当1(1,)3x ∈--时，'()0h x <； 当1(,)3x ∈-+∞时，'()0h x >， 故()h x 的图象如图所示.下面考查直线(0)y kx k =>与()y h x =的相交问题 由图可知直线(0)y kx k =>与()y h x =存在交点， 且满足()h x 在区间[,]a b 上的值域为[,]ka kb∵在[1,0]-上，14(,)327A --为图象的极小值点 （1）∴过A 作直线427y =-与()y h x =的图象交于另一点44(,)327B --，当直线y kx = 绕原点O 顺时钟旋转至点B 时，满足条件的k 取最小值，即k 的最小值为19，相应区间[,]a b 为4[,0]3-.6.设函数()ln 1f x x px（Ⅰ）求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n nn 解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，xpxp x x f -=-='11)( …………2分 当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 …………3分当p>0时，令x x f x f px x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='的变化情况如下表： x(0，1p ) 1p 1(,)p从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点px 1=………………6分 （Ⅱ）当p>0时在1x=p 处取得极大值11()lnf pp，此极大值也是最大值， 要使()0f x 恒成立，只需11()ln 0f pp，∴1p∴p 的取值范围为[1，+∞) …………………10分（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ， ∴1ln 22-≤n n ，∴22222111ln nn n n n -=-≤ …………12分 ∴)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222nn +++--= ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n …………13分 )11141313121()1(+-++-+---=n n n)1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n∴结论成立 …………………14分☆7. 已知函数)0(1ln )(∞+∈++=，，x ax xx x f (a 为实常数). (1)若)(x f 在)2[∞+，上是单调函数，求a 的取值范围； (2)当a = 0时，求)(x f 的最小值； (3)设各项为正的无穷数列}{n x 满足11ln 1<++n n x x (n ∈N *)，证明：n x ≤1(n ∈N *).解：(1)222111)(x x ax a x x x f -+=+-='当a ≥0时，12-+x ax 在[2，＋∞)上恒大于零，即0)(>'x f ，符合要求； 2分当a ＜0时，令1)(2-+=x ax x g ，g (x )在[2，＋∞)上只能恒小于零故△＝1＋4a ≤0或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤>+2210)2(041ag a ，解得：a ≤41-∴a 的取值范围是)0[]41(∞+--∞，， 6分(2)a = 0时，21)(xx x f -='当0＜x ＜1时0)(<'x f ，当x ＞1时0)(>'x f ，∴1)1()(min ==f x f8分(3)反证法：假设x 1 = b ＞1，由11ln 1ln )2(++>≥+n n n n x x x b b x ，∴)(1ln *1N ∈+>+n x b x b n n故 >+++>++>+>=)1(ln 1ln ln )1(ln 1ln 1ln 142321x b b b b b x b b b x b x b b b b b b b n ln 111ln )1111(2-=+++++> ，即1ln 111<-b b①又由(2)当b ＞1时，11ln >+b b ，∴1ln 11111ln >-⇒->b bb b 与①矛盾，故b ≤1，即x 1≤1 同理可证x 2≤1，x 3≤1，…，x n ≤1(n ∈N *) 12分 8.已知函数).0()1ln(1)(>++=x xx x f（Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1)(+>x kx f 恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n －3. 解：（I ）)]1ln(11[1)]1ln(11[1)(22+++-=+--+='x x x x x x x x f …………（2分）.0)(,0)1ln(,011,0,02<'∴>+>+>∴>x f x x x x),0()(∞∴在x f 上是减函数.……………………………………………………（4分）（II ）.)]1ln(1)[1()(,1)(恒成立即恒成立k xx x x h x k x f >+++=+>即h (x )的最小值大于k .…………………………………………………………（6分）).0)(1ln(1)(,)1ln(1)(>+--=+--='x x x x g x x x x h 记则),0()(,01)(+∞∴>+='在x g x xx g 上单调递增，又.02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=g g0)(=∴x g 存在唯一实根a ，且满足).1ln(1),3,2(++=∈a a a当.0)(,0)(00)(,0)(<'<<<>'>>x h x g a x x h x g a x 时，，当时， ∴)4,3(1)]1ln(1)[1()(min )(∈+=+++==a aa a a h h x故正整数k 的最大值是3 ……………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0(13)1ln(1>+>++x x x x∴xx x x x 32132113)1ln(->+-=-+>+ ………………11分令*))(1(N n n n x ∈+=，则)1(32)]1(1ln[+->++n n n n∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]321332)111(32])1(1323211[32])1(32[)3132()2132(->++-=+--=+++⨯+⨯-=+-++⨯-+⨯->n n n n n n n n n n∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n－3………………14分9.已知函数).1ln()(+-=x e x f x（I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）已知.11ln1:,0122112+++><≤-x x ex x x x 求证 解：（I ）函数11)(},1|{)(+-='->x e x f x x x f x 的定义域是 当0)(011111,01<'<+-∴>>+<<-x f x e e x x x x 得时这说明函数)0,1()(-在区间x f 上是减函数 …………3分当0110111,0,1)0(,0<+-∴>+>>>==x e x e x f x x x时当时 即[)+∞>',0)(,0)(在区间这说明函数x f x f 上是增函数 …………5分 （II ）由（I ）知，当1)()1ln()(,0min =≥+-=≥x f x e x f x x时…………6分而1)1ln()(,0,01212122112≥+--=->-<≤-x x e x x f x x x x x x 因此)1ln(11212+-+>∴-x x e x x ①…………8分又1)1)(1(ln 11ln)1ln(21121212+++-=++-+-x x x x x x x x 01ln ]11)(ln[1)1()(ln212122121=>++-=+++-=x x x x x x x x x11ln)1ln(1212++>+-∴x x x x ② …………12分综合①、②得11ln11212+++>-x x ex x 成立 …………13分☆10.已知函数.ln )(x x x f =（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和最小值；（Ⅱ）当e beb b 1)1(:,0≥>求证时（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）；（Ⅲ）若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解：（Ⅰ）.ln 1ln ,0)(),0(1ln )(1-=-≥≥'>+='e x x f x x x f 即令 …………1分 ),0(ln ,128718.2+∞=∴>=在x y e 上是单调递增函数.).,1[.11+∞∈∴=≥∴-e x ee x同理，令].1,0(0)(e x x f 可得≤'∴f (x )单调递增区间为),1[+∞e ，单调递减区间为]1,0(e.……………………2分由此可知.1)1()(min ee f x f y -===…………………………………………1分（Ⅱ）由（I ）可知当0>b 时，有eb b e x f b f 1ln ,1)()(min -≥∴-=≥，即c bee b 1)1ln(1)ln(=-≥.c b eb 1)1(≥∴.……………………………………………………………………3分（Ⅲ）解法1：即证：0)(2ln )()()(≥+-+++b a f b a b f a f分成立所以即所以所以有最小值时为减函数此时时为增函数此时时，得令分设10...........................)()(2ln )()(0)(2ln )()()(,0)()(,0.0)()(0)()()(0)(',)(0)(',00)(')ln(2ln )ln(12ln ln 1)('8......).........0)(ln()(2ln )(ln ln )(2ln )()()()(b f b a f b a a f b a f b a b f a f b g a g a b g x g b g x g b x x g x g b x x g x g b x bx x g b x x b x x x g x b x b x b x b b x x b x f b x b f x f x g -+≥++≥+-+++=≥>=≥==∴>><<<==+-=+--++=>++-+++=+-+++=11.已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+（Ⅰ）求()F x 的单调区间，（Ⅱ）若以(]()(0,3)y F x x =∈图象上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值，（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数22()11a y g m x =+-+的图象与2(1)y f x =+的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。