六年级奥数6、整除及数字整除特征

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小学奥数数的整除性知识点+例题+练习 (分类全面)

拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。

由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。

账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。

应是__________元。

（注：微波炉单价为整数元）。

36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。

42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。

39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。

48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。

小学奥数关于数的整除规律

数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。

6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。

7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。

(完整word版)小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征(word文档良心出品)

第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

则有 b-a=8，或者a-b=3。

①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。

六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）

第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。

（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。

重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。

要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。

学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。

三位。

我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。

例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。

学习这一讲知识要学会举一反三。

经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。

思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。

六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案)

第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。

（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。

（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。

学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。

例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。

因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。

记忆要理论联系实际。

经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。

一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。

解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。

小学奥数数论问题第二讲数的整除特性

第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。

【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。

六年级奥数全教程

第一章数与计算第一单元同余问题1．知识前提。

（1）整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a 。

（2）乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

n 个相同因数a 相乘，即n aa a a •L 14243个，记做n a 。

其中a 叫做底，n 叫做指数，na 读做a 的n 次方。

（3）幂的运算法则：① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即m n m n a a a +•=。

② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即 ()mn nm a a =。

③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

即 ()nn n ab a b =•。

2．同余如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。

我们把m 称为模。

如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。

3．规律、方法应用。

（1）反身性规律：a 和a 对于m 同余。

（2）对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。

（3）传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。

（4）同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b －d ，a c 和bd 对于m 同余。

（5）同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n a 和n b 也对于m 同余。

（6）同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……na 和nb 对于m 同余，那么123n a a a a +++L 和123n b b b b +++L 也对于m 同余。

奥数——数的整除特征

数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。

2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。

3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。

4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。

5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。

6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。

★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。

例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。

例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。

例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。

3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。

请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。

奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）

奥数数论：数的整除问题要点及解题技巧（六年级）
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

六年级奥数-整除和位值原理(教师版)

第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且a，b，c为整数，且0没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。

也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。

例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。

小学奥数模块教程数的整除性质和特征(一)

数的整除性质和特征（一）------数的整除性（一）（2012.12.23.五）数论是数学中一门古老的应用广泛的学科，整除是数论的重要组成部分，不少有趣的数学问题都可以用书的整除加以解决，因而在数学竞赛中，有关整除的问题屡见不鲜。

整数a除以不为零的自然数b，若能得到整数商而没有余数，则称b能整除a或a能被b整除，记作b|a。

若b不a能整除记作b a例如：12÷4=3，则称4能整除12或12能被4整除，记作4| 12.又如12÷5=2.4，则称5不能整除12或12不能被5整除，记作5 12。

整除部分性质如下（1）如果b|a,那么b|am；例如：∵4 |12，∴4 |12×3（2）如果c |b,b |a,那么c |a;例如3 |9,9 |27，∴3 |27（3）如果c |a,c |b,那么c |(a±b)；例如∵4 |28，4|16，∴4|（28±16）；（4）如果（b、c）=1，且c|a，b|a，那么bc|a。

例如∵（3,4）=1，3|24，4|24，∴3×4|24。

在小学数学学习中，我们学习了能被2、3、5整除的数的特征，但还不够用，现把它们扩充如下：（一）能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除；例如：∵2|8，∴2|158。

又如：∵5|5，∴5|3715。

再如：∵2|10，5|0，∴2|1720，5|1720。

而（2,5）=1, ∴2×5|1720，即10|1720。

（二）能被3和9整除的数的特征是：这个数的个位数上的数的和能被3或9整除；例如：∵9|(9＋3＋4＋7＋4)，∴9|93474。

又如：∵9 (3＋6＋5＋7)，∴9 3657。

例1．判断30168能否被18整除。

答案：能例2.填出下列各数中记有□的所有可能的数字，使适合所提出的条件。

（1）877□既能被9整除，又能被5整除；（2）7274□既能被3整除，又能被2整除。

小学六年级奥数整除综合之整除判别方法

【例6】(★★★★)
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个。
【例7】 (★★★)
如果(a＋2b)是7的倍数，求证：(3a－b)也是7的倍数。 (a、b都是自然数)。
一、本讲重点知识回顾 1．末尾系：2,5；4,25；8,125
2. 和系：3,9；99
3. 差系：7,11,13
11倍数
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系能否被2或5整除是看末一位；能否被4或25整除是看末两位；能否被8或125整除是看末三位。
3．和系一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
若：1 0 0 1 efg b cd a 则：1 0 0 1 a b cd efg 1

六年级奥数数的整除

六年级奥数：第五讲整数问题之一整数是最基本的数;它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中;有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外;还必须通过课外活动来补充一些整数的知识;以及解决问题的思路和方法..对于两位、三位或者更多位的整数;有时要用下面的方法来表示：49=4×10+9;235=2×100+3×10+5;7064=7×1000+6×10+4;…………………有时我们用a;b;...表示数字;例如abcde是个五位数;也就是abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b;商是整数且余数为0;我们就说a能被b整除;或b能整除a;或b整除a;记作b丨a.此时;b是a的一个因数约数;a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除;那么a+b;a-b也都能被m整除这里设a>b.例如：3丨18;3丨12;那么3丨18+12;3丨18-12.性质2如果a能被b整除;b能被c整除;那么a能被c整除..例如： 3丨6;6丨24;那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除;那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36;9丨36;6和9的最小公倍数是18;18丨36.如果两个整数的最大公约数是1;那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的;18与91是互质的.性质4整数a;能分别被b和c整除;如果b与c互质;那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除;由3与4互质;72能被3与4的乘积12整除.性质4中;“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除;但不能被乘积48整除;这就是因为6与8不互质;6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质;它们的最小公倍数是b×c.事实上;根据性质4;我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除;如果b与c互质;就可以分别考虑;a被b整除与a被c整除.能被2;3;4;5;8;9;11整除的数都是有特征的;我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征1能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数;那么它必能被2整除.2能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5;那么它必能被5整除.3能被3或9整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3或9整除;那么它必能被3或9整除.4能被4或25整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4或25整除;那么它必能被4或25整除.5能被8或125整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8或125整除;那么它必能被8或125整除.6能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差大减小能被1 1整除;那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除;要是这个四位数尽可能的小;a和b是什么数字解：18=2×9;并且2与9互质;根据前面的性质4;可以分别考虑被2和9整除.要被2整除;b只能是0;2;4;6;8.再考虑被9整除;四个数字的和就要被9整除;已有7+4=11.如果 b=0;只有 a=7;此数是 7740；如果b=2;只有a=5;此数是7542；如果b＝4;只有a＝3;此数是 7344；如果 b＝6;只有 a＝1;此数是 7146；如果b＝8;只有a＝8;此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值;分情况进行讨论;是解决整数问题常用办法;例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶;共□67.9□元;其中□处是被虫蛀掉的数字;请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679;它应被72整除.72＝9×8;9与8又互质.按照前面的性质4;只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征;79要被8整除;因此b＝2.从6792能被9整除;按照被9整除特征;各位数字之和+24能被9整除;因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1;2;3;4;5;6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数有些数字可以重复出现;使得能被组成它的每一个数字整除;并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5;组成数的最后一位数字就必须是5;这样就不能被偶数2;4;6整除;也就是不能选2;4;6.为了要选的不同数字尽可能多;我们只能不选5;而选其他五个数字1;2;3;4;6.1+2+3+4+6＝16;为了能整除3和6;所用的数字之和要能被3整除;只能再添上一个2;16+2＝18能被3整除.为了尽可能小;又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除;求出所有这样的四位数.解：55＝5×11;5与11互质;可以分别考虑被5与11整除.要被5整除;个位数只能是0或5.再考虑被11整除.7+4-百位数字+0要能被11整除;百位数字只能是0;所得四位数是704 0.7+4-百位数字+5要能被11整除;百位数字只能是6零能被所有不等于零的整数整除;所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040;7645.例5一个七位数的各位数字互不相同;并且它能被11整除;这样的数中;最大的是哪一个解：为了使这个数最大;先让前五位是98765;设这个七位数是98765ab;要使它被11整除;要满足9+7+5+b-8+6+a=21+b-14+a能被11整除;也就是7+b-a要能被11整除;但是a与b只能是0;1;2;3; 4中的两个数;只有b＝4;a＝0;满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11参见下页除式.要满足题目的条件;这个数是9876543减6;或者再减去11的倍数中的一个数;使最后两位数字是0;1;2;3;4中的两个数字.43-6＝37;37-11＝26;26-11＝15;15-11＝4;因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小;应如何去求;是哪一个数呢答：1023495例6某个七位数1993□□□能被2;3;4;5;6;7;8;9都整除;那么它的最后三个数字组成的三位数是多少与上例题一样;有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外;只要再分别考虑它能被9;8;7整除.1＋9＋9＋3＝22;要被9整除;十位与百位的数字和是5或14;要被8整除;最后三位组成的三位数要能被8整除;因此只可能是下面三个数：1993500;1993320;1993680;其中只有199320能被7整除;因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2;3;4;5;6;7;8;9的最小公倍数是2520;这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除;具体的除式如下：因为 2520-2200＝320;所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数能被7整除;中间方格代表的数字是几解：因为 111111＝3×7×11×13×37;所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除.这样;18个5和18个9分别组成的18位数;也都能被7整除.右边的三个加数中;前、后两个数都能被7整除;那么只要中间的55□9 9能被7整除;原数就能被7整除.把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99;其中□=A+B.因为7丨55300;7丨399;所以□=3+3＝6.注意;记住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后;由甲开始;轮流把0;1;2;3;4;5;6;7;8;9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字;六个方格都填上数字数字可重复后;就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除;就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除;就算甲胜.如果N小于15;当N取哪几个数时;乙能取胜解：N取偶数;甲可以在最右边方格里填一个奇数六位数的个位;就使六位数不能被N整除;乙不能获胜.N＝5;甲可以在六位数的个位;填一个不是0或5的数;甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N＝1;很明显乙必获胜.如果N＝3或9;那么乙在填最后一个数时;总是能把六个数字之和;凑成3的整数倍或9的整数倍.因此;乙必能获胜.考虑N＝7;11;13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13;乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子;把第一与第四;第二与第五;第三与第六配对;甲在一对格子的一格上填某一个数字后;乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字;这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2;这个六位数;能被7;11或13整除;乙就能获胜.综合起来;使乙能获胜的N是1;3;7;9;11;13.记住;1001＝7×11×13;在数学竞赛或者做智力测验题时;常常是有用的.二、分解质因数一个整数;它的约数只有1和它本身;就称为质数也叫素数.例如;2;5; 7;101;….一个整数除1和它本身外;还有其他约数;就称为合数.例如;4;1 2;99;501;….1不是质数;也不是合数.也可以换一种说法;恰好只有两个约数的整数是质数;至少有3个约数的整数是合数;1只有一个约数;也就是它本身.质数中只有一个偶数;就是2;其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数;例如;15;33;….例9○＋□+△=209.在○、□、△中各填一个质数;使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积;即209＝11×19.不论○中填11或19;□+△一定是奇数;那么□与△是一个奇数一个偶数;偶质数只有2;不妨假定△内填2.当○填19;□要填9;9不是质数;因此○填11;而□填17.这个算式是11×17＋2＝209;11×2＋17＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积;特别是一些质数的乘积;是解决整数问题的一种常用方法;这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中;为质数的因数叫做这个整数的质因数;例如;2;3; 7;都是42的质因数;6;14也是42的因数;但不是质因数.任何一个合数;如果不考虑因数的顺序;都可以唯一地表示成质因数乘积的形式;例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘;32表示2个3相乘.在23中;3称为2的指数;读作2的3次方;在32中;2称为3的指数;读作3的2次方.例10有四个学生;他们的年龄恰好是一个比一个大1岁;而他们的年龄的乘积是5040;那么;他们的年龄各是多少解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以;这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式;不难求出该数的约数个数包括1和它本身.为寻求一般方法;先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1;2;3;4;6;8;12;24.对于较大的数;如果一个一个地去找它的约数;将是很麻烦的事.因为24＝23×3;所以24的约数是23的约数1;2;22;23与3的约数1;3之间的两两乘积.1×1;1×3;2×1;2×3;22×1;22×3;23×1;23×3.这里有4×2＝8个;即 3＋1×1＋1个;即对于24＝23×3中的23;有3＋1种选择：1;2;22;23;对于3有1＋1种选择.因此共有3＋1×1＋1种选择.这个方法;可以运用到一般情形;例如;144＝24×32.因此144的约数个数是4＋1×2+1＝15个.例11在100至150之间;找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝3＋1×1＋1两种情况.127＝128;符合要求;37＞150;所以不再有其他7次方的数符合要求.223＝8;8×13＝104; 8×17＝136;符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135;它乘以任何质数都大于150;因此共有4个数合要求：128;104; 135;136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解;例如720＝24×32×5;168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数;上面两个整数都含有质因数2;较低指数次方是23;类似地都含有3;因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时;很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5;而168中无5;可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180;最大公约数是30;已知其中一个数是90;另一个数是多少解：180＝22×32×5;30＝2×3×5.对同一质因数来说;最小公倍数是在两数中取次数较高的;而最大公约数是在两数中取次数较低的;从22与2就知道;一数中含22;另一数中含2；从32与3就知道;一数中含32;另一数中含3;从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍;也就是在下面这些数中去找30; 60; 90; 120;….这就需要逐一检验;与90的最小公倍数是否是180;最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验;有时会较费力.例13有一种最简真分数;它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列;那么第三个分数是多少解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分否则约分后;分子与分母的乘积不再是4 20了;相同质因数上面分解中的2;要么都在分子;要么都在分母;并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1;3;4;5;7;12;15;20.分子再大就要超过分母了;它们相应的分数是两个整数;如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解;把一个整数分解成若干个整数的乘积;是非常基本又是很有用的方法;再举三个例题.例14将8个数6;24;45;65;77;78;105;110分成两组;每组4个数;并且每组4个数的乘积相等;请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等;就要让每组的质因数一样;并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3; 24＝23×3;45＝32×5; 65＝5×13;77＝7×11; 78＝2×3×13;105＝3×5×7; 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数;把24放在第一组;为了使第二组里也有三个2的因子;必须把6;78;110放在第二组中;为了平衡质因数11和13;必须把77和65放在第一组中.看质因数7;105应放在第二组中;45放在第一组中;得到第一组：24;65;77;45.第二组：6;78;110;105.在讲述下一例题之前;先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数;可以分解成相同的两个整数的乘积;就称为完全平方数.例如：4＝2×2; 9＝3×3; 144＝12×12; 625＝25×25.4;9;144;625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后;每一个质因数的次数;一定是偶数.例如：144＝32×42; 100＝22×52;…例15甲数有9个约数;乙数有10个约数;甲、乙两数最小公倍数是2800;那么甲数和乙数分别是多少解：一个整数被它的约数除后;所得的商也是它的约数;这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时;也就是这个数是完全平方数时;它的约数的个数才会是奇数.因此;甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数;只有1;22;24;52;22×52;24×52.在这6个数中只有22×52＝100;它的约数是2＋1×2+1＝9个.2800是甲、乙两数的最小公倍数;上面已算出甲数是100＝22×52;因此乙数至少要含有24和7;而24×7＝112恰好有4+1×1＋1＝10个约数;从而乙数就是112.综合起来;甲数是100;乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元;并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔也允许只买其中一种;可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完;问红笔、蓝笔每支各多少元解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元否则能把35元恰好用完;也不能是17-5＝12元和17-7＝10元;否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说;已排除了5;7;10;12这四个数.笔价不能是35-17=18元的约数.如果笔价是18的约数;就能把18元恰好都买成笔;再把17元买两种笔各一支;这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1;2;3;6;9.当然也不能是17-1＝16;17-2＝15;17-3＝14;17-6＝11; 17-9＝8.现在笔价又排除了：1;2;3;6;8;9;11;14;15;16.综合两次排除;只有4与13未被排除;而4＋13＝17;就知道红笔每支 1 3元;蓝笔每支 4元.三、余数在整数除法运算中;除了前面说过的“能整除”情形外;更多的是不能整除的情形;例如95÷3; 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2; 38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数;写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2; 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式;它使我们容易从“余数”出发去考虑问题;这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中;余数总是比除数小;这一事实;解题时常作为依据.例175397被一个质数除;所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382;而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大;除数又是质数;所以它只能是23.当被除数较大时;求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍;从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763;再去掉14000还余下 1763;再去掉1400余下363;再去掉350余13;最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强;上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同;那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数;它除967;1000;2001得到相同的余数;那么这个整数是多少解：由上面的结论;所求整数应能整除 967;1000;2001的两两之差;即1000-967＝33＝3×11;2001-1000＝1001＝7×11×13;2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意;我们不必求出三个差;只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如;求出差1000-967与2001-1000;那么差2001-967＝2001-1000＋1000-967＝1001＋33＝1034.从带余除式;还可以得出下面结论：甲、乙两数;如果被同一除数来除;得到两个余数;那么甲、乙两数之和被这个除数除;它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如;57被13除余5;152被13除余9;那么57+152=209被13除;余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20有一串数排成一行;其中第一个数是15;第二个数是40;从第三个数起;每个数恰好是前面两个数的和;问这串数中;第1998个数被3除的余数是多少解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来;再看每一个数被3除的余数有什么规律;但这样做太麻烦.根据上面说到的结论;可以采取下面的做法;从第三个数起;把前两个数被3除所得的余数相加;然后除以3;就得到这个数被3除的余数;这样就很容易算出前十个数被3除的余数;列表如下：从表中可以看出;第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数;每八个循环一次;因为1998＝8×249＋ 6;所以;第1998个数被3除的余数;应与第六个数被3除的余数一样;也就是2.一些有规律的数;常常会循环地出现.我们的计算方法;就是循环制.计算钟点是1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日;一;二;三;四;五;六.这也是一个循环;相当于一些连续自然数被7除的余数0; 1; 2; 3; 4; 5; 6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季;说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象;我们还称作具有“周期性”;12个数的循环;就说周期是12; 7个数的循环;就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环;发现周期性和确定周期;是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前;再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除;得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除;它的余数就是两个余数的积;被这个除数除所得的余数.例如;37被11除余4;27被11除余5;37×27＝999被 11除的余数是4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2;就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几解：从上面的结论知道;191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘;被7除的余数.先写出一列数2;2×2＝4;2×2×2 ＝8;2×2×2×2＝16;….然后逐个用7去除;列一张表;看看有什么规律.列表如下：事实上;只要用前一个数被7除的余数;乘以2;再被7除;就可以得到后一个数被7除的余数.为什么请想一想.从表中可以看出;第四个数与第一个数的余数相同;都是2.根据上面对余数的计算;就知道;第五个数与第二个数余数相同;……因此;余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数;与21997 被 7除的余数相同;这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行;除了两头的两个数以外;每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0;1;3;8;21;55;….问：最右边一个数第70个数被6除余几解：首先要注意到;从第三个数起;每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0;8=3×3-1;21=8×3-3;55=21×3-8;……不过;真的要一个一个地算下去;然后逐个被6去除;那就太麻烦了.能否从前面的余数;算出后面的余数呢能同算出这一行数的办法一样为什么 ;从第三个数起;余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3;减去再前一个数的余数;然后被6除;所得余数即是.用这个办法;可以逐个算出余数;列表如下：注意;在算第八个数的余数时;要出现0×3-1这在小学数学范围不允许;因为我们求被6除的余数;所以我们可以0×3加6再来减 1.从表中可以看出;第十三、第十四个数的余数;与第一、第二个数的余数对应相同;就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此;第七十个数被6除的余数;与第十个数的余数相同;也就是4.在一千多年前的孙子算经中;有这样一道算术题：“今有物不知其数;三三数之剩二;五五数之剩三;七七数之剩二;问物几何”按照今天的话来说：一个数除以3余2;除以5余3;除以7余2;求这个数.这样的问题;也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题;也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”;这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题;但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里;我们通过两个例题;对较小的数;介绍一种通俗解法.例23有一个数;除以3余2;除以4余1;问这个数除以12余几解：除以3余2的数有：2; 5; 8; 11;14; 17; 20; 23….它们除以12的余数是：2;5;8;11;2;5;8;11;….除以4余1的数有：1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29;….它们除以12的余数是：1; 5; 9; 1; 5; 9;….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中;只有5是共同的;因此这个数除以12的余数是5.上面解法中;我们逐个列出被3除余2的整数;又逐个列出被4除余1的整数;然后逐个考虑被12除的余数;找出两者共同的余数;就是被12除的余数.这样的列举的办法;在考虑的数不大时;是很有用的;也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下;不求被12除的余数;而是求这个数.很明显;满足条件的数是很多的;它是5＋12×整数;整数可以取0;1;2;…;无穷无尽.事实上;我们首先找出5后;注意到12是3与4的最小公倍数;再加上12的整数倍;就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2;除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.孙子算经提出的问题有三个条件;我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并;就可找到答案.例24一个数除以3余2;除以5余3;除以7余2;求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26;…;再列出除以5余3的数：3; 8; 13; 18; 23; 28;….这两列数中;首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数;列出这一串数是8; 23; 38;…;再列出除以7余2的数2; 9; 16; 23; 30;…;就得出符合题目条件的最小数是23.事实上;我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间;有三个连续的自然数;其中最小的能被3整除;中间的能被5整除;最大的能被7整除;写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数;第一个能被3整除;第二个能被5整除又是被3除余1.例如;找出9和10;下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15;考虑11加15的整数倍;使加得的数能被7整除. 11＋15×3＝56能被7整除;那么54;55;56这三个连续自然数;依次分别能被3;5;7整除.为了满足“在100至200之间”将54;55;56分别加上3;5;7的最小公倍数105.所求三数是159; 160; 161.注意;本题实际上是：求一个数100～200之间;它被3整除;被5除余4;被7除余5.请考虑;本题解法与例24解法有哪些相同之处。

小学数学奥数解题技巧- 整除及数字整除

2、3、……、12整除。而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时
被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880 现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。因为110880÷13，余数是12；27720÷13，余数是4。也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的
数，就是所求的数。即12+4n，是13的倍数。显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。所以，门牌号码是9的这家电话号码是：110889+27720×10=388089。
联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。
【整数】
【例】一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是 2a[见图5.43（2）]，求这个自然数。
【整数】
【例】某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、 3、……、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？
讲析：
设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、
讲析：
可从最后的商步步向前推算。由图5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）

小学奥数模块教程数的整除性质和特征(三)

数的整出性质和特征（三）---数的整除性（2013.1.20五）上一讲介绍了能被2,5,4，25，8，125,3,9,11整除的数的特征，现在进一步介绍能被7,11,13整除的数的特征。

（六）能被7,11,13整除的数的特征是：这个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（或者反过来）能被7,11,13整除。

例如：因为7|（204-120），所以7|204120又如：因为11|（852-93），所以11|93852.再如：因为13|（434-187），所以13|187434。

例1 在四位数8615后加一个数码a，产生的五位数就能被13整除，a是多少？答案：a=1。

例2 从5,6,7,8,9中，选出四个数字组成四位数，是它能被3,5,7整除，且组成四位数最大。

答案：9765.例3、给出6位数28a25b，当a,b为多少时，这个6位数能被55整除？答案：a=3,b=0; a=8,b=5时给出6位数28a25b能被55整除。

例4、若26|a2000b，那么满足条件的6位数有哪些？答案：520000,420004,320008.例5、如果那么这个多位数最少是多少？答案：最小为例6、在四位数中，能被11整除且个位数字之和为32的数有哪些？答案：所求四位数为：9977,7997,7799,9779,8987,8789,9878,7898,8888，共9个。

例7、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是多少？答案：756.练习1、求出所有能被35整除的形如19a88b的六位数。

2、一个六位数23【】56【】是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？3、从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2,3,5整除的四位数，其中最大的是多少？4、一个三位数正好等于它个位数上的数字和的18倍，这个三位数是多少？5、若11|20052005……200501（n个2005）那么n最小值是多少？6、用8个不同数码组成的八位数中，能被36整除的最小数是几？练习答案：1、194880、192885、1998852、2620、27113、74104、1625、76、10237896。

奥数整除或求余特征法

整除或求余法则
一、末系：
2：末位是0、2、4、6、8的数可以被2整除
5：末位是0或5的数可以被5整除
4：末两位是4的倍数的数可以被4整除
25：末两位是25的倍数的数可以被25整除（00、25、50、75）
8和125：末三位是8（8的整除）的倍数的数可以被8整除；末三位是125（125的整除）的倍数的数可以被125整除
16和625:末四位是16（16的整除）的倍数的数可以被16整除；末四位是625（625的整除）的倍数的数可以被625整除
二、和系：
3：数字和可以被3整除的数，就可以被三整除
9:数字和可以被九整除的数，就可以被九整除
可以用弃九法，将和为九的几个数去掉，再加、除
还有乱切法，有规律地将一个大数切成好多小的数，加、除算余
注：99从末位开始两位断开求和，为99的倍数。

999从末位开始，三位断开求和，为999的倍数。

9999从末位开始，四位断开求和，为9999的倍数。

三、差系：
11:奇位和减偶位和，差求余，不够减加上11
7、11和13：从末位开始三位断开，奇三位减偶三位，求余不够再加7或11或13（别忘
了0也是7、11、13的倍数）
四、拆分系：
一定要拆成因数互质
来源于大牛课堂，励老师讲课。

下一节椅子数特征（较短）。

整除特征

能被2整除个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数余类推。

能被8整除百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除“奇偶位差法”奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

能被17整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。