矢量运算
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
矢量及矢量的运算
结论4 若矢量 a, b, c 满足关系 c k1a k2b （ k1 , k2 为实 数），则 a, b, c 三矢量共面（由矢量加法可证）。
结论5 三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全 为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 k1a k2b k3c 0 成立。
定理3
三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是 a, b, c 0.
证明 必要性。若 矢量 a, b, c 共面 ，则 a b 与 c 垂直。 所以
2 充分性。若 a, b, c 0. 即 a b c cos t 0, 则 a b 0 或 c 0 或 cos t 0（ t 为 c 与 a b 的夹角）， 若 a b 0 ，则 a b 0, a 与 b 平行，所以 a, b, c 共面； 若 c 0 ，则 c 0, 零向量与 a, b 共面；若 cos t 0 ，则 t ， a b 与 c 垂直，所以 a, b, c 共面。综上所述，
a b a b cos .
式中， a, b , 为 a 与 b 的夹角。即平移两矢量使始端重合 为角的顶点，以两矢量为边所成的角，规定 0 .
数量积满足以下规律： (1) a b b a （交换律） (2) (a b) c a c b c （分配律）; (3) ka b a kb k a b ; 2 2 a a a a . (4)
向量 AB 在轴 u上的投影记为 Pr ju AB .
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j AB | AB | cos
矢量运算公式范文
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
矢量的运算法则
矢量的运算法则矢量是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
矢量的运算法则是研究矢量之间的运算规律的一种数学方法，它包括矢量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
首先，我们来看一下矢量的加法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是A和B的和矢量。
在几何上，矢量的加法可以用平行四边形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从起点到终点的线段就是它们的和矢量。
接下来是矢量的减法。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的减法运算可以表示为A B = D，其中D是A减去B得到的差矢量。
在几何上，矢量的减法可以用三角形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从第二个矢量的终点到第一个矢量的终点的线段就是它们的差矢量。
除了加法和减法，矢量还有数量积和向量积两种运算。
数量积又称点积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值得到一个标量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的数量积可以表示为A·B= |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角。
数量积的几何意义是A在B方向上的投影乘以B的模长。
最后是向量积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的正弦值得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的向量积可以表示为A×B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
向量积的几何意义是A和B所在平面上的一个新的垂直矢量。
矢量的运算法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在力学中，矢量的加法和减法可以用来求解物体的位移和速度；在电磁学中，矢量的数量积和向量积可以用来求解电场和磁场的分布。
《矢量运算》课件
矢量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C) 。
详细描述
交换律和结合律是矢量加法的基本性质，它们表明矢量的加法不依赖 于其排列顺序。
数乘运算
总结词
数乘运算是矢量运算中的一种运算，它表示矢量与实数的 乘积。
总结词
数乘运算满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
详细描述
描述物体速度变化快慢的物理量，包括大 小和方向。加速度可以通过速度的变化量 与时间的比值来定义，也可以通过速率和 方向来描述。加速度是矢量，具有方向性 。通过研究速度和加速度的关系，可以深 入理解物体运动的变化规律和动力学问题 。
06
矢量在数学中的拓展
向量场
向量场是由一组向量构成 的数学结构，这些向量定 义在某个空间或流形上。
内积的定义与性质
总结词
内积是矢量的一种运算，表示两个矢量之间的点乘。
详细描述
内积定义为两个矢量A和B的内积，记作A·B，等于A的模长与B的模长之积与它 们之间夹角的余弦的乘积。内积的结果是一个标量，与矢量的方向无关，只与 矢量的长度和夹角有关。内积具有交换律和分配律。
外积与内积的应用
总结词
外积和内积在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力的过程。力的分解有多种方 法，如正交分解和任意分解。通过力的分解可以更深入地理 解力的作用效果和力的作用方式。
运动的合成与分解
运动的合成
当物体同时参与两个或多个运动时，其合运动可以通过运动的合成来描述。运动的合成包括速度的合 成和加速度的合成。通过运动的合成可以确定合速度的大小和方向，以及合加速度的大小和方向。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
常用矢量公式
常用矢量公式矢量是物理学中常常用到的工具，它能够表示一个物理量的大小和方向。
在研究物体运动、力学和电磁学等方面，常常需要使用矢量公式。
以下是一些常用的矢量公式。
1.矢量的加法：如果有两个矢量A和B，它们的和矢量C可以通过将两个矢量的对应分量相加得到：C=A+B。
2.矢量的减法：如果有两个矢量A和B，它们的差矢量C可以通过将第二个矢量的对应分量取相反数，再与第一个矢量相加得到：C=A-B。
3.矢量的数量积：两个矢量A和B的数量积可以通过将两个矢量的对应分量乘积相加得到：A·B=AxBx+AyBy+AzBz。
4.矢量的向量积：两个矢量A和B的向量积可以通过以下公式计算：C=A×B,其中C是结果矢量，Ax、Ay和Az是矢量A的分量，Bx、By和Bz是矢量B的分量。
向量积的结果是一个垂直于两个矢量的平面，并且它的大小等于两个矢量张成的平行四边形的面积。
5.矢量的标量三重积：三个矢量A、B和C的标量三重积可以通过以下公式计算：(A×B)·C,其中×表示向量积，·表示数量积。
标量三重积的结果是一个标量，它可以用来计算三个矢量张成的平行六面体的体积。
6.矢量的分解：一个矢量A可以被分解为垂直于另一个矢量B的分量和平行于矢量B的分量。
平行分量可以通过数量积来计算：A\，B=(A·B)B/，B，^2，其中\，表示平行于。
垂直分量可以通过减去平行分量得到：A⊥B=A-A\，B。
7.矢量的模长：一个矢量A的模长可以通过以下公式计算：，A，=√(Ax^2+Ay^2+Az^2)，其中Ax、Ay和Az是矢量A的分量。
8.矢量的单位矢量：一个矢量A的单位矢量可以通过以下公式计算：Ā=A/，A，其中Ā是单位矢量。
9. 矢量的投影：一个矢量A在另一个矢量B上的投影可以通过以下公式计算：Proj_A(B) = (A · Ā)Ā，其中Ā是单位矢量。
10. 矢量的夹角：两个矢量A和B之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B)/(，A，B，)，其中θ是夹角。
矢量及矢量的运算
定理1
两个矢量 a 与 b 垂直的充分必要条件是 b 垂直，则 与 b 的夹角 , 2 所以
a b a b cos
2
0.
充分性。若 a b 0, 则 a b cos 0, a 当 b 与 至少有一个为零矢量时，零矢量与任何矢量垂直。当 a 与 b 均为非零矢量时，即 a 0, b 0 时，有 cos 0; 即 a 与 b 的夹角 , 两矢量垂直。
定理2
两个矢量 a 与 b 平行的充分必要条件是 a b 0.
证明 必要性。若 a 与 b 平行，则 a 与 b 的夹角 0 或 , 故
a b a b sin 0,
所以 a b 0. 充分性。若a b 0. 则 a b a b sin 0, 当 a 与 b 至少有一个为零矢量时，因零矢量与任何矢量 平行，所以 a 与 b 平行。当 a 与 b 均为非零矢量时， 则 a 0, b 0, 因此 0 或 , 所以 a 与 b 平行。
数乘矢量满足下列规律： (1) ka =ak（交换律）; (2) k la kl a, k , l 为实数(结合律）; (3) k l a ka la, k a b ka kb (分配律); (4)若 k 0, ka kb, 则 a b, 若 a 0, ka la, 则 k l （消去律）;
(a b ) a (a c ) a 0 a (b c ) a
0 设a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
0 a | a | a
a 0 a . |a|
b 3a 1 例1 化简 a b 5 b 5 2 b 3a 1 解 a b 5 b 5 2 5 5 1 2a b. (1 3)a 1 5 b 2 2 5
矢量的运算
得：
r • r r1 • r1 r1 • r2 r2 • r1 r2 • r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
上式开方得： r r12 r22 2r1r2 cos
11
例3、设在直角坐标系中的两个矢量分别为：
矢量的运算运算矢量向量矢量运算矢量的矢量的运算向量的运算矢量的叉乘数的运算复数的运算
矢量基础
一、矢量与标量
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通 的代数运算法则。
矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行 四边形法则。
二、矢量的基本概念
矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示 r 。 r 手写时在字符上加一箭号 表示。
两矢量相互垂直时， 点积为0。
10
例2、设有两个矢量分别为：r1
、r2
他们间的夹角为θ。
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
3
矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍）
当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
矢量的运算法则
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y
矢量的运算
矢量的运算矢量是物理学中一个重要的概念，它具有大小和方向的特点。
在矢量运算中，我们经常会遇到加法、减法、数量乘法和点乘等运算。
本文将对这些矢量运算进行详细介绍。
1. 矢量加法矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在矢量加法中，两个矢量的大小和方向都要考虑。
如果两个矢量的方向相同，则它们的大小相加；如果方向相反，则它们的大小相减。
矢量加法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，所得的矢量就是它们的和矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相加得到和矢量的坐标分量。
2. 矢量减法矢量减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在矢量减法中，我们要先确定两个矢量的方向，然后将它们的大小相减。
几何方法和代数方法也可以用于计算矢量减法。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将第二个矢量的终点与第一个矢量的起点相连，所得的矢量就是它们的差矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相减得到差矢量的坐标分量。
3. 数量乘法数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数得到一个新的矢量。
在数量乘法中，矢量的方向不变，只有大小发生改变。
当实数大于1时，矢量的大小会增加；当实数在0和1之间时，矢量的大小会减小；当实数小于0时，矢量的方向会反向。
数量乘法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将矢量的起点放在原点上，然后将矢量的终点与实数乘积的点相连，所得的矢量就是它们的乘积矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将矢量的坐标分量与实数相乘得到乘积矢量的坐标分量。
4. 点乘点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个标量。
点乘的结果是两个矢量之间的夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。
点乘可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，并计算夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。
矢量运算
点乘，也叫向量的内积、数量积。
顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>
向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
因此
向量的外积不遵守乘法交换率，因为
向量a×向量b=-向量b×向量a
在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
将向量用坐标表示（三维向量），
若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，
则
向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b=
| i j k|
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
矢量运算公式大全
矢量运算公式大全一、矢量加法。
1. 平行四边形法则。
- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。
- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。
2. 三角形法则。
- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。
即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。
- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。
二、矢量减法。
1. 定义。
- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。
2. 三角形法则。
- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。
把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。
- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。
三、矢量的数乘。
1. 定义。
- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。
- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。
2. 在直角坐标系中的表示。
- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。
四、矢量的点积（数量积）1. 定义。
- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。
矢量运算
矢量运算矢量运算，矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
中文名：矢量运算应用学科：物理适用领域范围：矢量适用领域范围：标量基本内容矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
相关计算3D engine中用到的矢量运算详细内容：两点距离2D系统：Point1（x1，y1），Point2（x2，y2）距离D=sqr（（x1-x2）*（x1-x2）+ （y1-y2）*（y1-y2））3D系统：Point 1（x1，y1，z1）Point 2 at（x2，y2，z2）。
xd = x2-x1yd = y2-y1zd = z2-z1距离Distance = SquareRoot（xd*xd + yd*yd + zd*zd）做游戏和demo永远不要去做开方:1.用LUT查表技术（Look up Table）2.在做碰撞检测时，误差Distance*Distance<a certain number就可以认为点相撞了规格化，单位化（Normalize）先要说矢量的长度：矢量Vector（x，y，z）矢量长度Length（Vector）= |Vector|=sqr（x*x+y*y+z*z）Normalize后：（x/Length（Vector），y/Length（Vector），z/Length（Vector））方向不变，长度为1个单位点乘点积数量积（Dot Product）是一回事儿。
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A oB
矢量的大小称为矢量的模，用A或 A 表示。
如果某一矢量的模大小为1，且方向与矢量 A 相同，则称该矢
量为矢量 A 的单位矢量，用 e 表示。
A A e Ae
e A A
空间直角坐标系，常用 i, j, k 分别表示 x, y, z 轴的单位矢量。
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矢量
三、矢量的加法和减法
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矢量
根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系
i • i j • j k • k 1,
i• j i•k j•k 0
若具有如下两个矢量 A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
则 A• B (Ax i Ay j Az k) • (Bx i By j Bz k) Ax Bx Ay By Az Bz
②空间直角坐标系
y Ay
Ax Ax i Ay Ay j Az Az j
A Ax i Ay j Az k A Ax2 Ay2 Az2
A
j
o
ki
Ax x
Az z
arccos Ax , arccos Ay , arccos Az
A
A
A
两矢量相加减 A B
A Ax i Ay j Az k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
B Bx i By j Bz k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
矢量
四、矢量的乘积
该矢量函数的导数矢量大小为 d A(t)
dt
该矢量函数的导数矢量方向
dA
dt
其方向为当t 0时 A 的极限方向。即为A(t) 曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。
A A(t)
A(t t)
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矢量
同理可以得到该矢量函数的导数矢量二介导数：
d
2
A
d 2 Ax
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
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矢量
（2）矢量函数的导数
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
当变量t改变Δt时，
A
A(t
t)
A(t)
Axi
Ay
j
Az k
S
如上，两矢量相乘得到一个标量，称为标积或点积。定义为
A • B AB cos
则 W F cosS F • S
性质： （1） A• B B • A
（2）当 0时，A• B AB （3）当 时，A• B 0
2 （ 4） A• (B C) A• B A• C
矢量
解：（1） a
b
7i
j
4k ， l1
a
b
66 8.12
a
b
i
7j
6k ， l2
a
b
86 9.27
（2）
a
b
i 4
j 3
k
1 11i 23 j 25k
3 4 5
S
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
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y Ay
A
o
Ax x
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
矢量
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
其中 Cx Ax Bx
Cy Ay By 则 C Cxi Cy j
①矢量乘以标量
一个数m和一个矢量 A 相乘得另一矢量 C，则
C mA
矢量 C 的大小为 C mA
矢量 C 的方向为 若m>0，与 A 同想向；
性质：
m<0，与 A 反向。
m(A B) mA mB
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矢量
②矢量的标积
F
W F cosS
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矢量
矢量函数的积分性质：
(1) ( A B)dt Adt Bdt (2) m Adt m Adt, (m为常量）
(3) ( A • B)dt AxBx AyBy Az Bz dt
(4) ( A B)dt
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矢量
③矢量的矢积
若两矢量 A 和 B 相乘得到一个矢量的叫做矢积，定义为 C AB
矢量 C 的大小为 C ABsin
矢量 C 的方向
C
A B
符合右手螺旋法则
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矢量
性质： （1） A B B A （ 2） A (B C) A B AC
i
d
2
Ay
j
d
2
Az
k
dt2 dt2
dt 2
dt 2
矢量函数的导数性质：
(1) d ( A B) d A d B
dt
dt dt
(2) d (m A) dm A m d A
dt
dt
dt
(3) d ( A • B) d A • B A • d B
dt
dt
dt
(4) d ( A B) d A B A d B
o
A
A
C B
二分矢量：取平面直角坐标系
三分矢量：取空间直角坐标系
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矢量
①平面直角坐标系
Ax Acos
Ay Asin
A Ax i Ay j
A Ax2 Ay2
arctg Ay
Ax
两矢量相加 A B
A Ax i Ay j B Bx i By j
矢量
五、矢量函数的导数和微分
恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来 不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。 （1）矢量函数 在物理上遇到的矢量多为参数时间t的函数。若某一矢量 A 与变 量t之间存在一定的关系，当变量t取定某个值后，矢量有唯一 确定的值（大小和方向）与之对应，则称A 为t的矢量函数，即
；
dt
dt
（4）
2 adt ? ，
2 bdt ?
0
0
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矢量
解：（1）
(1)平行四边形法则(三角形法则）
两个矢量相加
B
A C B
A
B
C
o
A
C AB
A
B
C
C AB B A
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矢量
合矢量的大小和方向
C A2 B2 2ABcos(180 ) A2 B2 2ABcos
B
C
o A
C AB
矢量
一、标量和矢量 在物理学中有两种物理量： (1)标量： 定义：只有大小和正负，没有方向的物理量。 如质量、时间、功、能量、温度等。 表示：数字（可带正负号）。 加减法：代数和。 (2)矢量： 定义：即有大小又有方向的物理量。 如位移、速度、加速度、力、动量、冲量等。
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矢量
若具有如下两个矢量
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
i jk
则 A B Ax Ay Az
Bx By Bz
(Ay Bz Az By )i (Az Bx AxBz ) j (AxBy Ay Bx )k
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d s
b
F
矢量
例 0-1
已知两矢量：
a
4i
3
j
k ，b
3i
4
j
5k ，通
过矢量运算求：
（1）以
a、
b 为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；
（2）该平行四边形的面积；
（3）该平行四边形的内角。
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d r vdt
③变力冲量
r vdt
F dI dt
d I Fdt
I Fdt
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矢量
④力的功
a
元功为dW
dW F cosds F • d s
b
b
W a F cosds a F • d s
若ab闭和，则功有
W F • d s ab
t0 t
t0 t
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矢量
即 d A(t) lim Ax i lim Ay j lim Az k
dt
t0 t
t0 t
t0 t
dAx (t) i dAy (t) j dAz (t) k
dt
dt
dt
可以知道：矢量函数的导数仍然为一矢量。
Ax Ax (t t) Ax (t),
Ay Ay (t t) Ay (t)
Az Az (t t) Az (t)
定义： d A(t) lim A lim Ax i lim Ay j lim Az k