自适应格型滤波器

和
假设滤波器输入信号等于零，i<0,则有
∑λ
i=0
n−1
n−1−i 2 m−1
2 b (i) = ∑λn−ibm−1(i −1) i=1
n
f b ) 如果对上式(10)~(12)所规定的 km−1(n) ， Em−1(n) 及 Em−1(n进行修改， 即把其中i=n项从和式中分开离出来，就可获得它们的递归计 算公式。以式(10)为例，我们将它重新写成下式：
fm−1(i)
b
∑
fm (i)
r km
bm−1(i) (i
z−1
bm−1(i −1 )
∑
bm (i)
图1 格型滤波器的单级 图1表示M阶格型滤波器中第m节（m=1,2,… M）结构，按图中信 号流程可以用下列方程式进行描述： (1) (2)
Kb 式中， 为第m级前向反射系数， m为后向反射系数， (i) fm 为前 bm 为后向预测误差序列。 向预测误差序列， (i) .
(27)
由式(26)知0≤k≤i，对式(27)所示正交性来说，全部k值也在此 范围内而存在正交性关系，所以，时延 必满足不等式条件： l 所以，式(26)右边全部期望项之和必然等于零，得 1 ≤ l ≤ m − i, m > i, 到 .
E[ fm (n)x∗ (n − l)] = 0 :1 ≤ l ≤ m − i, m > i
表1中估计是在时间平均内指数加权之和的形式，其中加权常 数λ为正直范围，即0﹤λ≤1.当输入信号为平稳随机过程时， 选取λ=1。 .
我们可将前向反射系数
b 与后向反射系数 Km(n) 分别表示为
(8) 和
b km (n) = −
km−1(n) f Em−1(n)
(9) (10) (11) (12)
(16)
(见式(13)) (见式(8)) (见式(9))
(见式(1)) (见式(2))
f f 2 Em (n) = λEm (n −1) + fm (n) b b 2 Em (n) = λEm (n −1) + bm (n)
(见式(14)) (见式(15))
格型滤波器的相关性质
由图1格型滤波单元可组成M阶格型滤波器模型，如图2所示。我们 可以证明，格型滤波器具有若干重要的相关性质，利用正交性原 理可以描述这些性质： .
Km−1(n) = ∑λn−i fm−1(i)bm−1(i −1) + fm−1(n)bm−1(n −1)
i=1
n−1
= λ∑λn−1−i fm−1(i)bm−1(i −1) + fm−1(n)bm−1(n −1)
n−1 i=1
将上式右边求和项与式(10)对比，不难得到
km−1(n) = λEm−1(n −1) + fm−1(n)bm−1(n −1)
km−1(n) = λkm−1(n −1) + fm−1(n)bm−1(n −1) km−1(n) f km (n) = − b Em−1(n −1) k (n) b km (n) = − m−1 f Em−1(n)
f fm (n) = fm−1(n) + Km (n)bm−1(n −1) b bm (n) = bm−1(n −1) + Km (n) fm−1(n)
E[ fm (n)x∗ (n)] = E[bm (n)x∗ (n − m)] = pm
(19)
p 式中，m 是相对应的预测误差功率。
(3)后向预测误差序列是互相正交的；
pm, m = i E[bm (n)bi (n)] = 0, m ≠ i
(20)
证明 根据后向预测误差的定义，它等于x(n-m)与其预测量
∗ E[bm(n)bi∗(n)] = E[bm (n)bm(n)] = pm
.
当m=i时，式(22)被简化成 证毕
(4)前向预测误差 fm(n) fi (n)之间不存在正交性，即 与
E[bm (n)bi∗ (n)] = pm, m ≥ i
(23)
证明略 (5)前向预测误差 fm(n) 与前向预测误差 fi (n ± l)是正交的，即有
根据定义，很容易写成
E[ fm (n) fi∗ (n − l)] = E[ fm (n + l) fi∗ (n)] = 0
证毕
(6)时移前向预测误差 fm (n + m) 与 fi (n + i) 是正交的，即有 pm, m = i ∗ E[ fm (n + m) fi (n + i)] = (28) 0, m ≠ i 证明略
(7)后向预测误差与时移后向预测误差仍是正交的，即
E[bm (n)bi∗ (n − l)] = E[bm (n + l)bi∗ (n)];0 ≤ l ≤ m − i −1, m > i (29)
此外，两个时移后向预测误差 bm (n + m) 与 bi (n + m) 将是相关的，有
E[bm (n + m)bi∗ (n + i)] = pm, m ≥ i
f0 (n)
f1(n)
∑
K1f
fm−1(n)
b Km
fm(n)
∑
fM−1(n)
b KM
∑
fM (n)
X(n)
K1f
−1
f Km
f KM
b0 (n) z
∑
b1(n) b (n) m−1
z
−1
∑
z bM (n) bM−1(n)
−1
∑
bM (n)
图2 M阶格型滤波器
(1)前向预测误差 fm (n)与输入信号x(n)是正交的：
E[ fm (n)x (n)] = E[bm (n)∑ai∗,i−k x∗ (n − k)]
∗ k =0 k
(22)
利用性质1中式(18)，有
E[ fm (n)x∗ (n − k)] = 0，≤ k ≤ m −1 0
当m>i和0≤k ≤i时，式(22)的右边全部期望项总和都等于零， 即得
E[bm(n)bi∗(n)] = 0, m ≠ i
二 格型递归算法
格型滤波器最突出的特点是局部相关联的模化 块结构， 格型系数对于数值扰动的低灵敏性 ， 块结构 ， 格型系数对于数值扰动的低灵敏性， 以 及格型算法对于信号协方差矩阵特征值扩散的相 对惰性， 对惰性 ， 使得其算法具有快速收敛和优良数值特 性 ， 已被广泛应用于信号预测和滤波处理。 在估 已被广泛应用于信号预测和滤波处理 。 计 和 预 测 理 论 中 格 型 结 果 往 往 是 与 Levinson 和 Durbin递推算法相关联的 ， Durbin 递推算法相关联的， 这种算法是针对在有 限观察间隔内的平稳随机过程的一步预测值来设 计的， 计的 ， 格型预测器已成功地用于语音分析和合成 等领域。 等领域。
MA格型滤波器结构
利用图1所示的单级格型滤波器可以构成如图3 所示的多极 格型滤波器。图3(a)表示输入信号的第一级，即 .
f f x(n) = f0 (n) = b0 (n). 假设前向反射系数 Km 等于后向反射系数 Km
ˆ x(n − m)之差，这个预测量是由抽头输入x(n),x(n-1),…,x(n-m+1)
估计的。为了证明式(20),我们可以用输入x(n)的卷积和表示后向 预测误差 bm (n) 如下： .
bi (n) = ∑ai,i−k x(n − k)
k =0
i
(21)
式中 ai,i−k , ，k=0,1,…,m,是m阶后向预测误差滤波器的系数。因 此，把式(21)代入式(20)左边，得到 .
E[ fm (n) f i∗ (n − l)] = E[ fm (n)∑ai,k x∗ (n − l − k)]
k =0 i
(26)
= ∑ai,k E[ fm (n)x∗ (n − l − k)]
k =0
i
应用性质(1),有
E[ fm (n)x∗ (n − l − k)] = 0,1 ≤1+ k ≤ m
(4)
b Km 的最优值为 同理，不难求得后向反射系数
.
K
b m,0
E[ fm−1(i)bm−1(i −1)] =− 2 E[ fm−1(i −1)]
(5)
格型滤波器的递归算法有时间递归算法与阶数递归算法两种， 这里我们我们重点讨论时间递归算法如下：
时间递归算法
当格型滤波器的输入信号是平稳随机时间序列时，每 级格型结构的前向反射系数与后向反射系数可调节在 最优值，存在以下 条件：
在前向和后向方法中，利用前向预测误差 fm(i) 的均方最小化来 选择前向反射系数 ，用后向预测误差 bm (i)的均方最小来选 b 取最小化来选取后向反射系数 Km 。这两种预测误差被用来测 f b 量格型滤波器的输入信号。假设 Km和 Km 都是非随机参数，于 是利用式(1)可求 fm(i) 的均方值，如下： . (3) 将均方误差 对前向反射系数 求微分，并令其导数等于 零，得到前向反射系数 的最优值 .
E[ fm(n) f i∗(n −l)] = E[ fm(n + l) f i∗(n)] = 0,1≤ l ≤ m−i, m > i
fi (n) = ∑ai∗,k x(n − k)
k =0 i
(24) .
x(n) 因为前向预测误差 fi (n) 可用输入信号x(n)的卷积和表示为 (25) 式中，ai,k ，k=0,1,…,i等于i阶前向预测误差滤波器的系数，所 以，式(24)可写成 .
证明略
(30)
(8)前向预测误差与后向预测误差存在下列互相关性质： Γ∗ pm, m ≥ i E[ fm (n)bi∗ (n)] = i (31) 0, m < i 证明略