电容层析成像系统图像重建算法的研究

曹琳琳： 硕士研究生
设存在一病态线性方程组
Ａｘ＝ｙ
（ １）
式中 Ａ 属于 ｍ×ｎ 矩阵， ｘ 为 ｎ 维向量， ｙ 为 ｍ 维向量。标准
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化方法将问题转化为求下列的范函最小值问题：
（ ２）
式中 λ为正则化参数， 该范函极值问题的正则化解 ｘα也 是 下列方程的唯一解：
（ ３）
设 Ａ 的奇异系统为
关键词：电容层析成像； 图像重建算法； Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化； 奇异系统
中 图 分 类 号 ： Ｔ Ｐ ２１２
文献标识码：Ａ
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ， ｉｔ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｌｌ－ ｐｏｓｅｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ
（ １１） 来进行求解， 实质上将 Ｓ 的所有奇异值都加入了正则化参 数 λ进行修正处理， 转化成（ １０） 式中的 ｉ 的取值为 １ 到 ３９２。 这样处理虽然成像速度较快， 但是却将所有的奇异值采取 同样的处理， 造成的结果是一方面以削弱了小奇异值带来的放 大作用， 另一方面却不可避免带来了大奇异值项的误差。针对 这个问题， 本文先对敏感场矩阵 Ｓ 进行奇异值分解， 可以求得 各奇异值的值， 如图 １ 所示。从图中可以看出， 各奇异值比较分 散而且后几个奇异值接近于零， 所以必须考虑这些值对结果产 生的误差。
图 １ 敏感场矩阵的奇异值分布图 Ｆｉｇ．１ Ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ 将各非零奇异值对应的奇异向量 Ｇｉ 展开， 然后映射到管道 区域， 而将每个区域单元的具体数值以正数和负数区分， 如图 ２ 所示。将这些分布图称作奇异向量模式图， 对应向量表示了组 成解的基向量， 方程的解可以用这些向量的线性组合表示。图
（江南大学）曹 琳 琳
ＣＡＯ ＬＩＮＬＩＮ
摘要：本 文 利 用 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 和 奇 异 系 统 理 论 ， 分 析 了 引 起 电 容 层 析 成 像 系 统 逆 问 题 不 适 定 性 的 根 本 原 因 是 由 于 敏 感 场
矩 阵 小 奇 异 值 的 存 在 。 针 对 一 般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 方 法 将 所 有 的 奇 异 值 都 采 取 同 一 正 则 化 参 数 修 正 带 来 的 误 差 ， 本 文 将 小 奇
以下计算公式表示：
术 （ １２）
创
新
图 ２ 奇异向量映射得到的模式图 Ｆｉｇ．２ Ｍａｐｐｉｎｇ ｍｏｄｅｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ
３ 成像仿真效果分析
在比较不同图像重建算法重建图像时， 本文中的测量数据
即电容值通过有限元法仿真得到， 这是数值实验通常采用的方
法， 以便构造出各种各样两相介质的分布模型并计算出相应的
ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｍａ－
技 ｔｒｉｘ． Ｄｉｆｆｅｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｍｏｒｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ， ａ ｎｅｗ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｍａｌｌ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｅｘｃｅｐｔ
在相对很小的奇异值， 则相对小奇异值的某些组合分量即具有 很大的系数。此时如果已知向量 ｙ 存在误差或噪声， 并且该噪
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图像处理
声在小奇异值对应向量上存在投影， 即会导致方程解奇异向量 线性组合中的对应向量被放大， 使结果明显偏离实际应该得到 的解。在实际应用中， 由于 ＥＣＴ 本身必然存在测量误差等因素， 所以必须对小奇异值及其对应的奇异向量采取措施， 以保证一 定的求解精度， 其中正则化是通常使用的方法。目前在 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化参数 λ的选取方面所具有的方法包含基于 Ｍｏｒｏｚｏｖ 偏 差 原理的方法、广义交叉校验方法等。本文利用文献中的方法， 选 择了利用 Ｌ 曲线法来确定正则化参数的取值。
图像处理 文章编号：１００８－ ０５７０（２００７）０６－ ３－ ０２７２－ ０３
中 文 核 心 期 刊 《微 计 算 机 信 息 》（ 管 控 一 体 化 ）２００７ 年 第 ２３ 卷 第 ６－３ 期
电容层析成像系统图像重建算法的研究
Ｓ ｔｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｉｍ ａ ｇ ｅ Ｒｅ ｃｏ ｎ ｓ ｔｒｕ ｃｔｉｏ ｎ Ａｌｇ ｏ ｒｉｔｈ ｍ ｆｏ ｒ Ｅｌｅ ｃｔｒｉｃａ ｌ Ｃａ ｐ ａ ｃｉｔａ ｎ ｃｅ Ｔｏ ｍ ｏ ｇ ｒａ ｐ ｈ ｙ Ｓ ｙｓ ｔｅ ｍ
２ ＥＣＴ 系统的图像重建
在 ＥＣＴ 系统中， 图像感场矩阵， 一般通过有 限元 法 得 到；
Ｇ 是 ｎ 维的归一化介电常数分布向量； ｃ 是 ｍ 维的归一化电容
测量值向量， 在图像重建中代表介电常数灰度值。则解为
（ １０）
式 中 各 参 数 代 表 的 含 义 可 以 类 推 。本 文 以 气 ／油 两 相 流 为 对 象， 采 用 ８ 电极 阵 列 ， 可以 得 到 ２８ 组电 容 测 量值 。而 在 有 限 元 剖分场域时采取三角剖分将管道内部划分为 ３９２ 个单元。相对 应 的 ， 敏 感 场 矩 阵 Ｓ 的 维 数 为 ２８×３９２， 因 为 ＳＴＳ 共 具 有 ３９２ 个 特征值， 所以 Ｓ 具有 ２８ 个非零奇异值以及 ３６４ 个零奇异值。在 一般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化的处理中， 是采取了下式
新
引言
１ 基本理论知识
电 容 层 析 成 像 （ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ， 简 称 ＥＣＴ） 中 图 像 重建 算 法 的研 究 是 ＥＣＴ 技术 和 应 用的 重 点 环 节 。 实现图像重建的基本思路是在分析电极激励的静电场问题得 到敏感场数据以后， 建立被测介电常数与测量电容值之间的关 系方程， 再运用合适的方法反演截面图像， 并要求一定的成像 质 量和 速 度 。ＥＣＴ 图像 重 建 属于 逆 问 题， 通 常 观 测数 据 值 远 远 少于被测数据， 而且由于敏感场矩阵本身存在的大条件数， 导 致 求 解 问 题 的 不 适 定 性 ， 另 由 于 ＥＣＴ 系 统 固 有 的 “软 场 ”性 质 ， 待解问题的非线性， 使这类问题的求解有一定的困难。
２．解 中 大 奇 异 值 模 式 部 分 构 成 了 解 的 大 致 轮 廓 ， 决 定 了 解
的主要近似部分， 所以本文完整保留了该部分。但仅仅以这部
分为解仍然与实际分布存在较大的偏差；
３．解 中 小 奇 异 值 模 式 可 用 以 构 成 解 的 细 节 部 分 ， 但 如 果 不
进行任何处理， 也会导致在解组合中对应模式幅度被放大， 使结
， 即满足
（ ４）
则可得到 （ ５）
Ａ 的奇异值为 μｉ， 则 ＡＴＡ 的特征值为 μｉ２。那么根据特征值 理论满足
（ ６） 从而使得
（ ７） 代入（ ５） 式则可得到正则化解为
（ ８）
可 以 看 出 ， 方 程 （ １） 的 解 可 以 看 作 是 奇 异 向 量 ｘｉ 和 系 数 的线性组合。但是如果系数矩阵 Ａ 的性态不好， 存
异 值 对 应 的 项 设 定 正 则 化 参 数 ， 而 舍 去 零 奇 异 值 对 应 向 量 ， 既 减 少 了 误 差 又 加 快 了 速 度 。例 算 结 果 表 明 ， 用 本 文 方 法 重 建 图
像 ， 比 其 它 如 线 性 反 投 影 算 法 （ ＬＢＰ） 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭 代 法 及 一 般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 算 法 ， 都 有 一 定 程 度 的 改 善 。
当前存在的 ＥＣＴ 图像重建算法中， 常用的方法 有 线 性反 投 影 算法 （ ＬＢＰ） 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭 代 法 及 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 算 法 。ＬＢＰ 将问题看成简单线性问题， 求解速度快， 但是误差较大； 而 Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭代法利用 ＬＢＰ 得到初始图像， 然 后 计 算电 容 值 和 测量电容值之间的误差， 反复进行修正， 可以得到比较精确的 图像， 但同时速度慢， 不利于实时应用。
投影数据， 从而在成像质量和速度做出比较全面的评估。
本文采用的 ＥＣＴ 系统， 激励电位为 ５ Ｖ。传感器参数为： 内
管 壁 半 径 Ｒ１＝２５．５ｍｍ， 外 管 壁 半 径 Ｒ２＝３２．５ｍｍ， 屏 蔽 罩 半 径 Ｒ３＝
果因已知向量的噪声误差而产生偏差。后者即为需要正则化求
解的原因。对此一般有两种方法： 一是舍去这些小奇异值对应的
项。试验证明， 对多电极的 ＥＣＴ 系统， 敏感场矩阵 的 性 态很 差 ，
最小奇异值很小， 此时适宜采取这种方法； 二是加入正则化参
数， 以削弱小奇异值因噪声而导致解产生偏差。对于 ８ 电极组成
中黑色区域代表正值， 白色区域代表负值， ｉ 的顺序以奇异值从
大到小排列。通过考察各种模式的图形表示， 可知：
１．大奇异值和小奇异值对应的奇异向量模 式 分 布具 有 明 显
的区别。大奇异值对应模式的分量起伏的次数较少， 而小奇异值
对应模式的起伏次数较多。模式图以图形方式解释了大奇异值