电容层析成像系统图像重建算法的研究
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图像处理 文章编号：１００８－ ０５７０（２００７）０６－ ３－ ０２７２－ ０３
中 文 核 心 期 刊 《微 计 算 机 信 息 》（ 管 控 一 体 化 ）２００７ 年 第 ２３ 卷 第 ６－３ 期
电容层析成像系统图像重建算法的研究
Ｓ ｔｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｉｍ ａ ｇ ｅ Ｒｅ ｃｏ ｎ ｓ ｔｒｕ ｃｔｉｏ ｎ Ａｌｇ ｏ ｒｉｔｈ ｍ ｆｏ ｒ Ｅｌｅ ｃｔｒｉｃａ ｌ Ｃａ ｐ ａ ｃｉｔａ ｎ ｃｅ Ｔｏ ｍ ｏ ｇ ｒａ ｐ ｈ ｙ Ｓ ｙｓ ｔｅ ｍ
２ ＥＣＴ 系统的图像重建
在 ＥＣＴ 系统中， 图像重建公式为
ＳＧ＝Ｃ
（ ９）
式中 Ｓ 是 ｍ×ｎ 维的敏感场矩阵， 一般通过有 限元 法 得 到；
Ｇ 是 ｎ 维的归一化介电常数分布向量； ｃ 是 ｍ 维的归一化电容
测量值向量， 在图像重建中代表介电常数灰度值。则解为
（ １０）
式 中 各 参 数 代 表 的 含 义 可 以 类 推 。本 文 以 气 ／油 两 相 流 为 对 象， 采 用 ８ 电极 阵 列 ， 可以 得 到 ２８ 组电 容 测 量值 。而 在 有 限 元 剖分场域时采取三角剖分将管道内部划分为 ３９２ 个单元。相对 应 的 ， 敏 感 场 矩 阵 Ｓ 的 维 数 为 ２８×３９２， 因 为 ＳＴＳ 共 具 有 ３９２ 个 特征值， 所以 Ｓ 具有 ２８ 个非零奇异值以及 ３６４ 个零奇异值。在 一般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化的处理中， 是采取了下式
２．解 中 大 奇 异 值 模 式 部 分 构 成 了 解 的 大 致 轮 廓 ， 决 定 了 解
的主要近似部分， 所以本文完整保留了该部分。但仅仅以这部
分为解仍然与实际分布存在较大的偏差；
３．解 中 小 奇 异 值 模 式 可 用 以 构 成 解 的 细 节 部 分 ， 但 如 果 不
进行任何处理， 也会导致在解组合中对应模式幅度被放大， 使结
曹琳琳： 硕士研究生
设存在一病态线性方程组
Ａｘ＝ｙ
（ １）
式中 Ａ 属于 ｍ×ｎ 矩阵， ｘ 为 ｎ 维向量， ｙ 为 ｍ 维向量。标准
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化方法将问题转化为求下列的范函最小值问题：
（ ２）
式中 λ为正则化参数， 该范函极值问题的正则化解 ｘα也 是 下列方程的唯一解：
（ ３）
设 Ａ 的奇异系统为
新
引言
１ 基本理论知识
电 容 层 析 成 像 （ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ， 简 称 ＥＣＴ） 中 图 像 重建 算 法 的研 究 是 ＥＣＴ 技术 和 应 用的 重 点 环 节 。 实现图像重建的基本思路是在分析电极激励的静电场问题得 到敏感场数据以后， 建立被测介电常数与测量电容值之间的关 系方程， 再运用合适的方法反演截面图像， 并要求一定的成像 质 量和 速 度 。ＥＣＴ 图像 重 建 属于 逆 问 题， 通 常 观 测数 据 值 远 远 少于被测数据， 而且由于敏感场矩阵本身存在的大条件数， 导 致 求 解 问 题 的 不 适 定 性 ， 另 由 于 ＥＣＴ 系 统 固 有 的 “软 场 ”性 质 ， 待解问题的非线性， 使这类问题的求解有一定的困难。
的 ＥＣＴ 系统， 数值实验表明采取后者的处理方式更加合适；
４．由 于 ＳＴＳ 存 在 很 多 零 奇 异 值 ， 而 零 奇 异 值 对 应 奇 异 向 量
对于解的组成而言属于线性相关项， 并没有增加附加的信息，
所以可以采取舍去处理。
技 基 于 以 上 几 点 ， 取 值 的 范 围 应 为 １ 到 ２８， 求 解 过 程 可 以 用
术 ｔｈｅ ｚｅｒｏｓ ａｒｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｌｅｓｓ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｒａｐｉｄｅｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｃａｎ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｔｅｃｈ－ ｎｉｑｕｅ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｉｍａｇｅｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｂａｃｋ
以下计算公式表示：
术 （ １２）
创
新
图 ２ 奇异向量映射得到的模式图 Ｆｉｇ．２ Ｍａｐｐｉｎｇ ｍｏｄｅｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ
３ 成像仿真效果分析
在比较不同图像重建算法重建图像时， 本文中的测量数据
即电容值通过有限元法仿真得到， 这是数值实验通常采用的方
法， 以便构造出各种各样两相介质的分布模型并计算出相应的
ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｍａ－
技 ｔｒｉｘ． Ｄｉｆｆｅｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｍｏｒｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ， ａ ｎｅｗ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｍａｌｌ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｅｘｃｅｐｔ
， 即满足
（ ４）
则可得到 （ ５）
Ａ 的奇异值为 μｉ， 则 ＡＴＡ 的特征值为 μｉ２。那么根据特征值 理论满足
（ ６） 从而使得
（ ７） 代入（ ５） 式则可得到正则化解为
（ ８）
可 以 看 出 ， 方 程 （ １） 的 解 可 以 看 作 是 奇 异 向 量 ｘｉ 和 系 数 的线性组合。但是如果系数矩阵 Ａ 的性态不好， 存
投影数据， 从而在成像质量和速度做出比较全面的评估。
Βιβλιοθήκη Baidu
本文采用的 ＥＣＴ 系统， 激励电位为 ５ Ｖ。传感器参数为： 内
管 壁 半 径 Ｒ１＝２５．５ｍｍ， 外 管 壁 半 径 Ｒ２＝３２．５ｍｍ， 屏 蔽 罩 半 径 Ｒ３＝
当前存在的 ＥＣＴ 图像重建算法中， 常用的方法 有 线 性反 投 影 算法 （ ＬＢＰ） 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭 代 法 及 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 算 法 。ＬＢＰ 将问题看成简单线性问题， 求解速度快， 但是误差较大； 而 Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭代法利用 ＬＢＰ 得到初始图像， 然 后 计 算电 容 值 和 测量电容值之间的误差， 反复进行修正， 可以得到比较精确的 图像， 但同时速度慢， 不利于实时应用。
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化 方法 用 于 ＥＣＴ 的图 像 重 建， 它 方 法 上是 引 入一正则化参数试图减小敏感场矩阵的条件数， 然后进行求 解， 但是实质上却对敏感场矩阵所有的奇异值都加上了一个正 则化参数， 这样对大奇异值项来说， 肯定会造成一定的误差， 所 以本文为了避免这种误差的存在， 将解展开为奇异向量的线性 组合， 通过分析小奇异值对应的项对计算结果产生的影响， 给 出了选择合适的正则化参数的方法， 可使图像重建达到比较理 想的结果。
在相对很小的奇异值， 则相对小奇异值的某些组合分量即具有 很大的系数。此时如果已知向量 ｙ 存在误差或噪声， 并且该噪
－２７２－ ３６０元 ／ 年 邮局订阅号： ８２－９４６
《现场总线技术应用 ２００ 例》
您的论文得到两院院士关注
图像处理
声在小奇异值对应向量上存在投影， 即会导致方程解奇异向量 线性组合中的对应向量被放大， 使结果明显偏离实际应该得到 的解。在实际应用中， 由于 ＥＣＴ 本身必然存在测量误差等因素， 所以必须对小奇异值及其对应的奇异向量采取措施， 以保证一 定的求解精度， 其中正则化是通常使用的方法。目前在 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化参数 λ的选取方面所具有的方法包含基于 Ｍｏｒｏｚｏｖ 偏 差 原理的方法、广义交叉校验方法等。本文利用文献中的方法， 选 择了利用 Ｌ 曲线法来确定正则化参数的取值。
异 值 对 应 的 项 设 定 正 则 化 参 数 ， 而 舍 去 零 奇 异 值 对 应 向 量 ， 既 减 少 了 误 差 又 加 快 了 速 度 。例 算 结 果 表 明 ， 用 本 文 方 法 重 建 图
像 ， 比 其 它 如 线 性 反 投 影 算 法 （ ＬＢＰ） 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭 代 法 及 一 般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 算 法 ， 都 有 一 定 程 度 的 改 善 。
关键词：电容层析成像； 图像重建算法； Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化； 奇异系统
中 图 分 类 号 ： Ｔ Ｐ ２１２
文献标识码：Ａ
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ， ｉｔ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｌｌ－ ｐｏｓｅｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ
果因已知向量的噪声误差而产生偏差。后者即为需要正则化求
解的原因。对此一般有两种方法： 一是舍去这些小奇异值对应的
项。试验证明， 对多电极的 ＥＣＴ 系统， 敏感场矩阵 的 性 态很 差 ，
最小奇异值很小， 此时适宜采取这种方法； 二是加入正则化参
数， 以削弱小奇异值因噪声而导致解产生偏差。对于 ８ 电极组成
中黑色区域代表正值， 白色区域代表负值， ｉ 的顺序以奇异值从
大到小排列。通过考察各种模式的图形表示， 可知：
１．大奇异值和小奇异值对应的奇异向量模 式 分 布具 有 明 显
的区别。大奇异值对应模式的分量起伏的次数较少， 而小奇异值
对应模式的起伏次数较多。模式图以图形方式解释了大奇异值
对 应 解 的 低 频 分 量 和 小 奇 异 值 对 应 高 频 分 量 的 数 学 、物 理 意 义 ；
（江南大学）曹 琳 琳
ＣＡＯ ＬＩＮＬＩＮ
摘要：本 文 利 用 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 和 奇 异 系 统 理 论 ， 分 析 了 引 起 电 容 层 析 成 像 系 统 逆 问 题 不 适 定 性 的 根 本 原 因 是 由 于 敏 感 场
矩 阵 小 奇 异 值 的 存 在 。 针 对 一 般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 方 法 将 所 有 的 奇 异 值 都 采 取 同 一 正 则 化 参 数 修 正 带 来 的 误 差 ， 本 文 将 小 奇
创 ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ （ＬＢＰ）， Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｅｌｅｃｔｒ ｉｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒ ａｐｈｙ， ｉｍａｇｅ ｒ ｅｃｏｎｓｔｒ ｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒ ｉｔｈｍ， Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒ ｅｇｕｌａｒ ｉｚａｔｉｏｎ， ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒ ｙ
图 １ 敏感场矩阵的奇异值分布图 Ｆｉｇ．１ Ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ 将各非零奇异值对应的奇异向量 Ｇｉ 展开， 然后映射到管道 区域， 而将每个区域单元的具体数值以正数和负数区分， 如图 ２ 所示。将这些分布图称作奇异向量模式图， 对应向量表示了组 成解的基向量， 方程的解可以用这些向量的线性组合表示。图
（ １１） 来进行求解， 实质上将 Ｓ 的所有奇异值都加入了正则化参 数 λ进行修正处理， 转化成（ １０） 式中的 ｉ 的取值为 １ 到 ３９２。 这样处理虽然成像速度较快， 但是却将所有的奇异值采取 同样的处理， 造成的结果是一方面以削弱了小奇异值带来的放 大作用， 另一方面却不可避免带来了大奇异值项的误差。针对 这个问题， 本文先对敏感场矩阵 Ｓ 进行奇异值分解， 可以求得 各奇异值的值， 如图 １ 所示。从图中可以看出， 各奇异值比较分 散而且后几个奇异值接近于零， 所以必须考虑这些值对结果产 生的误差。
中 文 核 心 期 刊 《微 计 算 机 信 息 》（ 管 控 一 体 化 ）２００７ 年 第 ２３ 卷 第 ６－３ 期
电容层析成像系统图像重建算法的研究
Ｓ ｔｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｉｍ ａ ｇ ｅ Ｒｅ ｃｏ ｎ ｓ ｔｒｕ ｃｔｉｏ ｎ Ａｌｇ ｏ ｒｉｔｈ ｍ ｆｏ ｒ Ｅｌｅ ｃｔｒｉｃａ ｌ Ｃａ ｐ ａ ｃｉｔａ ｎ ｃｅ Ｔｏ ｍ ｏ ｇ ｒａ ｐ ｈ ｙ Ｓ ｙｓ ｔｅ ｍ
２ ＥＣＴ 系统的图像重建
在 ＥＣＴ 系统中， 图像重建公式为
ＳＧ＝Ｃ
（ ９）
式中 Ｓ 是 ｍ×ｎ 维的敏感场矩阵， 一般通过有 限元 法 得 到；
Ｇ 是 ｎ 维的归一化介电常数分布向量； ｃ 是 ｍ 维的归一化电容
测量值向量， 在图像重建中代表介电常数灰度值。则解为
（ １０）
式 中 各 参 数 代 表 的 含 义 可 以 类 推 。本 文 以 气 ／油 两 相 流 为 对 象， 采 用 ８ 电极 阵 列 ， 可以 得 到 ２８ 组电 容 测 量值 。而 在 有 限 元 剖分场域时采取三角剖分将管道内部划分为 ３９２ 个单元。相对 应 的 ， 敏 感 场 矩 阵 Ｓ 的 维 数 为 ２８×３９２， 因 为 ＳＴＳ 共 具 有 ３９２ 个 特征值， 所以 Ｓ 具有 ２８ 个非零奇异值以及 ３６４ 个零奇异值。在 一般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化的处理中， 是采取了下式
２．解 中 大 奇 异 值 模 式 部 分 构 成 了 解 的 大 致 轮 廓 ， 决 定 了 解
的主要近似部分， 所以本文完整保留了该部分。但仅仅以这部
分为解仍然与实际分布存在较大的偏差；
３．解 中 小 奇 异 值 模 式 可 用 以 构 成 解 的 细 节 部 分 ， 但 如 果 不
进行任何处理， 也会导致在解组合中对应模式幅度被放大， 使结
曹琳琳： 硕士研究生
设存在一病态线性方程组
Ａｘ＝ｙ
（ １）
式中 Ａ 属于 ｍ×ｎ 矩阵， ｘ 为 ｎ 维向量， ｙ 为 ｍ 维向量。标准
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化方法将问题转化为求下列的范函最小值问题：
（ ２）
式中 λ为正则化参数， 该范函极值问题的正则化解 ｘα也 是 下列方程的唯一解：
（ ３）
设 Ａ 的奇异系统为
新
引言
１ 基本理论知识
电 容 层 析 成 像 （ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ， 简 称 ＥＣＴ） 中 图 像 重建 算 法 的研 究 是 ＥＣＴ 技术 和 应 用的 重 点 环 节 。 实现图像重建的基本思路是在分析电极激励的静电场问题得 到敏感场数据以后， 建立被测介电常数与测量电容值之间的关 系方程， 再运用合适的方法反演截面图像， 并要求一定的成像 质 量和 速 度 。ＥＣＴ 图像 重 建 属于 逆 问 题， 通 常 观 测数 据 值 远 远 少于被测数据， 而且由于敏感场矩阵本身存在的大条件数， 导 致 求 解 问 题 的 不 适 定 性 ， 另 由 于 ＥＣＴ 系 统 固 有 的 “软 场 ”性 质 ， 待解问题的非线性， 使这类问题的求解有一定的困难。
的 ＥＣＴ 系统， 数值实验表明采取后者的处理方式更加合适；
４．由 于 ＳＴＳ 存 在 很 多 零 奇 异 值 ， 而 零 奇 异 值 对 应 奇 异 向 量
对于解的组成而言属于线性相关项， 并没有增加附加的信息，
所以可以采取舍去处理。
技 基 于 以 上 几 点 ， 取 值 的 范 围 应 为 １ 到 ２８， 求 解 过 程 可 以 用
术 ｔｈｅ ｚｅｒｏｓ ａｒｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｌｅｓｓ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｒａｐｉｄｅｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｃａｎ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｔｅｃｈ－ ｎｉｑｕｅ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｉｍａｇｅｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｂａｃｋ
以下计算公式表示：
术 （ １２）
创
新
图 ２ 奇异向量映射得到的模式图 Ｆｉｇ．２ Ｍａｐｐｉｎｇ ｍｏｄｅｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ
３ 成像仿真效果分析
在比较不同图像重建算法重建图像时， 本文中的测量数据
即电容值通过有限元法仿真得到， 这是数值实验通常采用的方
法， 以便构造出各种各样两相介质的分布模型并计算出相应的
ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｍａ－
技 ｔｒｉｘ． Ｄｉｆｆｅｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｍｏｒｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ， ａ ｎｅｗ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｍａｌｌ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｅｘｃｅｐｔ
， 即满足
（ ４）
则可得到 （ ５）
Ａ 的奇异值为 μｉ， 则 ＡＴＡ 的特征值为 μｉ２。那么根据特征值 理论满足
（ ６） 从而使得
（ ７） 代入（ ５） 式则可得到正则化解为
（ ８）
可 以 看 出 ， 方 程 （ １） 的 解 可 以 看 作 是 奇 异 向 量 ｘｉ 和 系 数 的线性组合。但是如果系数矩阵 Ａ 的性态不好， 存
投影数据， 从而在成像质量和速度做出比较全面的评估。
Βιβλιοθήκη Baidu
本文采用的 ＥＣＴ 系统， 激励电位为 ５ Ｖ。传感器参数为： 内
管 壁 半 径 Ｒ１＝２５．５ｍｍ， 外 管 壁 半 径 Ｒ２＝３２．５ｍｍ， 屏 蔽 罩 半 径 Ｒ３＝
当前存在的 ＥＣＴ 图像重建算法中， 常用的方法 有 线 性反 投 影 算法 （ ＬＢＰ） 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭 代 法 及 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 算 法 。ＬＢＰ 将问题看成简单线性问题， 求解速度快， 但是误差较大； 而 Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭代法利用 ＬＢＰ 得到初始图像， 然 后 计 算电 容 值 和 测量电容值之间的误差， 反复进行修正， 可以得到比较精确的 图像， 但同时速度慢， 不利于实时应用。
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化 方法 用 于 ＥＣＴ 的图 像 重 建， 它 方 法 上是 引 入一正则化参数试图减小敏感场矩阵的条件数， 然后进行求 解， 但是实质上却对敏感场矩阵所有的奇异值都加上了一个正 则化参数， 这样对大奇异值项来说， 肯定会造成一定的误差， 所 以本文为了避免这种误差的存在， 将解展开为奇异向量的线性 组合， 通过分析小奇异值对应的项对计算结果产生的影响， 给 出了选择合适的正则化参数的方法， 可使图像重建达到比较理 想的结果。
在相对很小的奇异值， 则相对小奇异值的某些组合分量即具有 很大的系数。此时如果已知向量 ｙ 存在误差或噪声， 并且该噪
－２７２－ ３６０元 ／ 年 邮局订阅号： ８２－９４６
《现场总线技术应用 ２００ 例》
您的论文得到两院院士关注
图像处理
声在小奇异值对应向量上存在投影， 即会导致方程解奇异向量 线性组合中的对应向量被放大， 使结果明显偏离实际应该得到 的解。在实际应用中， 由于 ＥＣＴ 本身必然存在测量误差等因素， 所以必须对小奇异值及其对应的奇异向量采取措施， 以保证一 定的求解精度， 其中正则化是通常使用的方法。目前在 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化参数 λ的选取方面所具有的方法包含基于 Ｍｏｒｏｚｏｖ 偏 差 原理的方法、广义交叉校验方法等。本文利用文献中的方法， 选 择了利用 Ｌ 曲线法来确定正则化参数的取值。
异 值 对 应 的 项 设 定 正 则 化 参 数 ， 而 舍 去 零 奇 异 值 对 应 向 量 ， 既 减 少 了 误 差 又 加 快 了 速 度 。例 算 结 果 表 明 ， 用 本 文 方 法 重 建 图
像 ， 比 其 它 如 线 性 反 投 影 算 法 （ ＬＢＰ） 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭 代 法 及 一 般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 算 法 ， 都 有 一 定 程 度 的 改 善 。
关键词：电容层析成像； 图像重建算法； Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化； 奇异系统
中 图 分 类 号 ： Ｔ Ｐ ２１２
文献标识码：Ａ
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ， ｉｔ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｌｌ－ ｐｏｓｅｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ
果因已知向量的噪声误差而产生偏差。后者即为需要正则化求
解的原因。对此一般有两种方法： 一是舍去这些小奇异值对应的
项。试验证明， 对多电极的 ＥＣＴ 系统， 敏感场矩阵 的 性 态很 差 ，
最小奇异值很小， 此时适宜采取这种方法； 二是加入正则化参
数， 以削弱小奇异值因噪声而导致解产生偏差。对于 ８ 电极组成
中黑色区域代表正值， 白色区域代表负值， ｉ 的顺序以奇异值从
大到小排列。通过考察各种模式的图形表示， 可知：
１．大奇异值和小奇异值对应的奇异向量模 式 分 布具 有 明 显
的区别。大奇异值对应模式的分量起伏的次数较少， 而小奇异值
对应模式的起伏次数较多。模式图以图形方式解释了大奇异值
对 应 解 的 低 频 分 量 和 小 奇 异 值 对 应 高 频 分 量 的 数 学 、物 理 意 义 ；
（江南大学）曹 琳 琳
ＣＡＯ ＬＩＮＬＩＮ
摘要：本 文 利 用 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 和 奇 异 系 统 理 论 ， 分 析 了 引 起 电 容 层 析 成 像 系 统 逆 问 题 不 适 定 性 的 根 本 原 因 是 由 于 敏 感 场
矩 阵 小 奇 异 值 的 存 在 。 针 对 一 般 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正 则 化 方 法 将 所 有 的 奇 异 值 都 采 取 同 一 正 则 化 参 数 修 正 带 来 的 误 差 ， 本 文 将 小 奇
创 ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ （ＬＢＰ）， Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｅｌｅｃｔｒ ｉｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒ ａｐｈｙ， ｉｍａｇｅ ｒ ｅｃｏｎｓｔｒ ｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒ ｉｔｈｍ， Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒ ｅｇｕｌａｒ ｉｚａｔｉｏｎ， ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒ ｙ
图 １ 敏感场矩阵的奇异值分布图 Ｆｉｇ．１ Ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ 将各非零奇异值对应的奇异向量 Ｇｉ 展开， 然后映射到管道 区域， 而将每个区域单元的具体数值以正数和负数区分， 如图 ２ 所示。将这些分布图称作奇异向量模式图， 对应向量表示了组 成解的基向量， 方程的解可以用这些向量的线性组合表示。图
（ １１） 来进行求解， 实质上将 Ｓ 的所有奇异值都加入了正则化参 数 λ进行修正处理， 转化成（ １０） 式中的 ｉ 的取值为 １ 到 ３９２。 这样处理虽然成像速度较快， 但是却将所有的奇异值采取 同样的处理， 造成的结果是一方面以削弱了小奇异值带来的放 大作用， 另一方面却不可避免带来了大奇异值项的误差。针对 这个问题， 本文先对敏感场矩阵 Ｓ 进行奇异值分解， 可以求得 各奇异值的值， 如图 １ 所示。从图中可以看出， 各奇异值比较分 散而且后几个奇异值接近于零， 所以必须考虑这些值对结果产 生的误差。