第5节 差分方程的一般概念
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
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公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程-精选文档
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NUDT
差分方程及其应用
数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较
函数 y f (x)
增减性 凹凸性
数列{ a n }
f ( x ) 0 fx ( ) 增 a 0 { a } 增 n n
一阶差分方程
x (1 t ) f ( x ( t ) ) , t 0 , 1 , 2 ,
x f ( x ) , k 0 , 1 , 2 , k 1 k
n 阶差分方程
x ( t 1 )f (x () t ,x () t , ,x () t) 1 1 1 2 n x t 1 )f2(x () t ,x () t , ,x () t) 2( 1 2 n t 0 ,1 ,2 , x t 1 )fn(x () t ,x () t , ,x () t) n( 1 2 n
NUDT
差分方程及其应用
影响虫口的因素 周围环境提供的空间和食物有限 虫子之间为了生存互相竞争而咬斗 传染病及天敌对虫子生存的威胁 简化——规律 咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件
P n 只虫子配对的事件总数
1 1 2 Pn ( Pn 1) P n (P n 2 2
1 )
影响虫口的因素量化 b P n 2
NUDT
差分方程及其应用
一、差分方程的概念
1. 差分的概念及简单性质
a } : a , a , , a , 实数序列 { n 1 2 n
一阶差分 a a ( n 1 , 2 , ) 差分算子 n n 1a n
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
微积分9.5 差分及差分方程的基本概念
定义2’ 函数yt的n 1阶差分的差分称为n阶差分，
记为 n yt ,即 n yt n 1 yt 1 n 1 yt .
例7 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 从例2已经得到yt 2t 1.于是
yt 2t 1 ［2 t 1 1］ 2t 1 2,
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
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例8 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 yt ［ t 1 2 t 1］ t 2 2t 2t 3，
2
yt 2t 3 2,
差分的基本运算性质： （1）Δ(Cyt)=CΔyt(C为常数); （2）Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt; （3）Δ(yt· zt)=ztΔyt+yt+1Δzt;
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例6 求yt t 2 · 2t的差分.
解 由差分的性质，有
yt (t 2 2t ) 2t t 2 (t 1)2 (2t )
项在方程中出现.
未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分 方程的阶.
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例10 将差分方程3 yt 2 yt 0表示成不含 差分的形式.
解 因2 yt yt 2 2yt 1 yt， 3 yt yt 3 3yt 2 3yt 1 yt，
2 2
例3 已知阶乘函数t
0
( n)
n
t (t 1)(t 2)(t n 1)，
t 1.求t 解 设yn t ( n ) t (t 1)(t 2)(t n 1)，则
差分方程的定义
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
差分方程中yt和yt+1的关系
差分方程是描述离散时间系统动态演化的数学工具，对于许多领域如经济学、物理学、生物学和工程学都有着重要的应用。
在差分方程中，yt和yt+1的关系是其中一个基本问题，本文将从多个角度深入探讨yt和yt+1之间的关系。
一、差分方程的基本概念差分方程是描述离散时间系统动态演化的数学工具，其一般形式可以表示为：yt+1 = f(yt, yt-1, ..., y0, t)其中yt表示系统在时刻t的状态，f为系统的演化规律。
在许多情况下，我们希望能够通过已知的yt求解yt+1，这就需要深入研究yt和yt+1之间的关系。
二、线性差分方程中的yt和yt+1关系在很多情况下，系统的动态演化规律可以通过线性方程来描述。
线性差分方程的一般形式为：yt+1 = Ayt + But其中A和B为常数矩阵，ut为外部输入。
根据上式可以得到yt和yt+1之间的关系：yt+1 = Ayt + But= A(Ayt-1 + But-1) + But= A^2yt-1 + ABut-1 + But= A^3yt-2 + A^2But-2 + ABut-1 + But= ...根据上述推导，我们可以得到yt和yt+1之间的关系满足：yt+1 = Ayt + ABut + A^2But-1 + ...这一关系可以帮助我们预测系统在未来时刻的状态，对于许多实际问题具有重要意义。
三、非线性差分方程中的yt和yt+1关系除了线性差分方程外，许多系统的动态演化规律是非线性的。
对于非线性差分方程，yt和yt+1之间的关系可能更加复杂。
考虑一个简单的非线性差分方程形式：yt+1 = yt^2根据上式可以得到yt和yt+1之间的关系：yt+1 = (yt)^2这一关系表明yt和yt+1之间的关系并不是简单的线性关系，而是通过平方运算建立起来的。
对于非线性差分方程，其yt和yt+1之间的关系需要通过数值方法或者近似方法进行求解，这对于实际问题的建模具有挑战性。
差分方程基本知识
a.
t 1 a t 0
分别称为方程
yt 1 ayt 0
和
a
(4)
的特征方程和特征根. 故
yt a t
是方程 (4) 的解. 再由解的结构及通解的定义知：
yt Ca t (C 为任意常数)
是齐次方程的通解.
例4 求 2 yt 1 yt 0 的通解.
(5)
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. )
的特解.
* 令 y (1) 当 a 1 时， t k 代入方程 (5) , 得：
k ak c 即
c y k ; 1 a
* t
(2) 当 a 1 时，令 yt* kt 代入方程 (5) , 得：
k (t 1) akt c 即 k c .
称
2 yt ( yt ) yt 1 yt
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称
3 yt ( 2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
n yt (n1 yt )
且有
i n yt C n ( 1)i yt n i . i 0 n
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当
a , b, C 是常数， y t , z t 是函数时，
有以下结论成立：
1
2
(C ) 0;
(Cyt ) C( yt );
对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为
初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分
差分方程的概念
微积分Calculus差分方程的概念一差分的概念1定义()y f x =的增量1x x xy y y +∆=− 称为函数()y f x =在点x 的一阶差分，x y ∆记为。
当自变量从变到时，函数x 1x + (1)x a a =−()(1)n n nx x x ∆=+-分别求()x a ∆与()n x ∆由定义知：1()x x xa a a +∆=-例解2()0c ∆= （1）（为常数）c ()x x cy c y ∆=∆（为常数）c （2）由定义容易证明，差分具有以下性质：()x x x x ay bz a y b z ∆+=∆+∆（3）（为常数）,a b 11()x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆=∆+∆=∆+∆（4）1()(0)x x x x xx x x x y z y y z z z z z +⋅∆−⋅∆∆=≠⋅（5）113[cos(1)cos ]cos (33)x x x x x x ++=+−+−13cos(1)3cos x x x x+=+−求的一阶差分3cos x y x =(3cos )xx y x ∆=∆13(cos )cos 3x xx x +=∆+⋅∆按照差分的定义，我们可以继续求二阶及其它各阶差分。
例解二阶差分：x x x x y y y y ∆−∆=∆∆=∆+12)()(112x x x x y y y y −−−=+++x x x y y y +−=++122xx x x y y y y 21223)(∆−∆=∆∆=∆+三阶差分：32(2)x x x y y y ++=−+xx x x y y y y −+−=+++1233321(2)x x x y y y ++−−+反之x x x y y y ∆+=+1x x x x y y y y 222∆+∆+=+xx x x x y y y y y 32333∆+∆+∆+=+22x =−2()x x y y ∆=∆∆(22)x =∆−2()(2)2x =∆−∆=32()x x y y ∆=∆∆0312+−+=x 已知231y x x =−+，求x y ∆2x y ∆3和2()3()(1)x y x x ∆=∆−∆+∆(2)0=∆=例解二差分方程的概念含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
差分方程初步
2 − cos1 sin 1 cos t + yt = C2 − sin t 5 − 4cos1 5 − 4cos1
t
∆2 yt = ∆yt +1 − ∆yt = yt +2 − 2yt +1 + yt ∆2 yt +1 = ∆yt +2 − ∆yt +1 = yt +3 − 2yt +2 + yt +1
类似地，可以定义三阶差分： 类似地，可以定义三阶差分： 三阶差分
∆3 yt = ∆2 yt +1 − ∆2 yt = yt +3 − 3yt +2 + 3yt +1 − yt
一般地，可依次定义 阶差分 阶差分： 一般地，可依次定义k阶差分：
i ∆k yt = ∑(−1)i Ck yt +k−i i=0 k
2、差分的性质 、 性质1 性质 性质2 性质 为常数， 若a为常数，则∆a=0。 为常数 。 为常数， 若a、b为常数，则有 、 为常数
∆(ayt + bzt ) = a∆yt + b∆zt
差分方程初步
一、差分的概念及其性质 1、差分的概念 、 在经济与管理的实际问题中， 在经济与管理的实际问题中，经济数据大多是以等 间隔时间统计的。例如，国民收入、 间隔时间统计的。例如，国民收入、工农业总产值等 按年统计，产品产量、 按年统计，产品产量、商品销售收入和利润等按月统 计。由于这个原因，在研究分析实际经济与管理问题 由于这个原因， 时，各有关经济变量的取值是离散变化的。描述各级 各有关经济变量的取值是离散变化的。 经济变量之间变化规律的数学模型的数学模型是离散 型的数学模型。 型的数学模型。下面简单介绍一类最常见的离散型数 学模型——差分方程。 差分方程。 学模型 差分方程
差分方程_基础知识
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
差分方程的概念
x
x
(2) 0
9
二 差分方程的概念 1 定义 含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。
如 yx2 6yx1 8yx 2x
3 y y 1 0
x
x
差分方程的一般形式：
F(x, yx , yx,
或
, n yx ) 0
(x,yx , yx1, , yxn ) 0
10
2 差分方程的阶
反之 yx1 yx yx
yx2
yx
2yx
2 y
x
yx3
yx
3yx
32 y x
3 y x
8
例
已知 y x2 3x 1 ，求 2 y 和 3 y
x
x
解
yx (x2 ) 3(x) (1)
2x 1 3 0
2x 2
2 y (y ) (2x 2)
x
x
2(x) (2) 2
3 y (2 y )
差分方程中，(x, yx , yx1, , yxn ) 0
未知函数的下标之间的最大差数称为差分方程的阶.
如
yx2 6 yx1 8yx 2x 二阶
yx3 6yx2 8yx1 2x 二阶
3 y y 1 0
x
x
变形为 yx3 3yx2 3yx1 1 0 二阶
11
3 差分方程的解
zx
zx z x1
(zx 0)
5
例
求 y 3x cos x 的一阶差分
x
解 yx (3 cos x) 3x1(cos x) cos x 3x
3x1[cos(x 1) cos x] cos x(3x1 3x )
3x1 cos(x 1) 3x cos x
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二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
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第7章 微分方程与差分方程
差分的性质
(1) (cyx ) cyx (c为常数） (2) ( yx zx ) yx zx
例1 求 ( x2 ) ,2( x2 ) ,3( x2 ) 解 ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
(yx ) yx1 yx yx2 yx1 ( yx1 yx ) yx2 2 yx1 yx 记为 2 yx
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第7章 微分方程与差分方程
即
2 yx yx2 2 yx1 yx
称为函数 yx的二阶差分；同样定义三阶差分，
四阶差分，……
3 yx (2 yx ) , 4 yx (3 yx ) ,L
t
则 y y(t 1) y(t) 可近似代表变量的变化速 度。
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第7章 微分方程与差分方程
【定义7.4】设函数 y f ( x) ，记为 yx， 当 x 取遍非负整数时函数值可排成一个数列：
y0 , y1 , L , yx , L
则差 yx1 yx 称为函数 yx的差分，也称一阶 差分，记为 yx ，即 yx yx1 yx
F ( x, yx , yx ,L , n yx ) 0
其中 F 为已知函数，且至少 n yx要出现。
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第7章 微分方程与差分方程
差分方程的不同形式之间可以相互转化 例3 yx2 2 yx1 yx 3x 是用定义7.5 表示的，将原方程左边写成
yx2 2 yx1 yx ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) 2 yx yx1 yx 2 yx 2 yx 2 yx
2( x2 ) (2x 1) [2( x 1) 1] (2x 1/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
列出差分表
x x2 ( x2 ) 2(x2) 3(x2)
12345 6 7 1 4 9 16 25 36 49 3 5 7 9 11 13 2 2 22 2 0 0 00
【定义7.5】含有自变量 x 和两个或两个 以上的 yx , yx1 ,L 的函数方程称为差分方程。
n 阶差分方程的一般形式
F ( x, yx , yx1 ,L , yxn ) 0
其中 F 是已知函数。
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第7章 微分方程与差分方程
【定义7.6】（差分方程的另一个定义） 含有自变量 x ，未知函数 yx及 yx的差分 yx ,2 yx ,L 的函数方程称为差分方程。方程 中未知函数差分的最高阶数，称为差分方程 的阶。 n 阶差分方程的一般形式
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第7章 微分方程与差分方程
内容小结 1.差分方程的概念 2.差分方程的阶 通解 3.差分方程的解 特解
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§7.5 差分方程的一般概念
1. 差分 2. 差分方程的一般概念
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第7章 微分方程与差分方程
1. 差分 在生活中，连续变化的时间范围内，变量 y 的变化速度是用 dy 刻画的，但有时，变量
dt
要按一定的离散时间取值，这时需取规定的时 间上的差商 y 来刻画变化速度。若取 t 1 ,
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第7章 微分方程与差分方程
例2 设 x(n) x( x 1)( x 2)L ( x n 1) , x(0) 1 , 求 x(n)
解 x(n) ( x 1)(n) x(n)
( x 1)x( x 1)( x 2)L ( x 1 n 1) x( x 1)( x 2)L ( x n 1)
故原方程可化为 2 yx 2 yx 3x 即转化为定义7.6的形式。
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第7章 微分方程与差分方程
【定义7.7】若一个函数满足差分方程， 称其为差分方程的解。
例4 设有差分方程 yx1 yx 2 将 yx 15 2x 代人此方程 左边 15 2( x 1) (15 2x) 2 ＝右边 故 yx 15 2x 是方程的解。
设 t 时期的价格 Pt 由 t 1 时期的价格 Pt1 与估计量及需求量之差 St1 Dt1 按如下关系 确定
Pt Pt1 ( St1 Dt1 ) (为常数)
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第7章 微分方程与差分方程
即
Pt [1 (b d )]Pt1 (a c)
这样的方程就是差分方程。
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第7章 微分方程与差分方程
上例中，可以验证 yx A 2x ( A为常数) 均为此差分方程的解。
有时会在初始时刻对差分方程附加一定的 条件，称其为初始条件。满足初始条件的解称 为特解。若差分方程解中含有相互独立的任意 常数的个数等于方程的阶数，称其为方程的通 解。
[( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x 2)L ( x n 2) nx(n1)
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第7章 微分方程与差分方程
2. 差分方程的一般概念 引例 某种商品 t 时期的供给量 St 与需求 量 Dt都是这一时期价格 Pt 的线性函数：
St a bPt (a,b 0) , Dt c dPt (c,d 0)