第5节 差分方程的一般概念
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2( x2 ) (2x 1) [2( x 1) 1] (2x 1) 2 3( x2 ) (2) 2 2 0
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
列出差分表
x x2 ( x2 ) 2(x2) 3(x2)
12345 6 7 1 4 9 16 25 36 49 3 5 7 9 11 13 2 2 22 2 0 0 00
F ( x, yx , yx ,L , n yx ) 0
其中 F 为已知函数，且至少 n yx要出现。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
差分方程的不同形式之间可以相互转化 例3 yx2 2 yx1 yx 3x 是用定义7.5 表示的，将原方程左边写成
yx2 2 yx1 yx ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) 2 yx yx1 yx 2 yx 2 yx 2 yx
设 t 时期的价格 Pt 由 t 1 时期的价格 Pt1 与估计量及需求量之差 St1 Dt1 按如下关系 确定
Pt Pt1 ( St1 Dt1 ) (为常数)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
即
Pt [1 (b d )]Pt1 (a c)
这样的方程就是差分方程。
t
则 y y(t 1) y(t) 可近似代表变量的变化速 度。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
【定义7.4】设函数 y f ( x) ，记为 yx， 当 x 取遍非负整数时函数值可排成一个数列：
y0 , y1 , L , yx , L
则差 yx1 yx 称为函数 yx的差分，也称一阶 差分，记为 yx ，即 yx yx1 yx
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
上例中，可以验证 yx A 2x ( A为常数) 均为此差分方程的解。
有时会在初始时刻对差分方程附加一定的 条件，称其为初始条件。满足初始条件的解称 为特解。若差分方程解中含有相互独立的任意 常数的个数等于方Baidu Nhomakorabea的阶数，称其为方程的通 解。
§7.5 差分方程的一般概念
1. 差分 2. 差分方程的一般概念
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
1. 差分 在生活中，连续变化的时间范围内，变量 y 的变化速度是用 dy 刻画的，但有时，变量
dt
要按一定的离散时间取值，这时需取规定的时 间上的差商 y 来刻画变化速度。若取 t 1 ,
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
差分的性质
(1) (cyx ) cyx (c为常数） (2) ( yx zx ) yx zx
例1 求 ( x2 ) ,2( x2 ) ,3( x2 ) 解 ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
内容小结 1.差分方程的概念 2.差分方程的阶 通解 3.差分方程的解 特解
4/6/2020 1:54 AM
故原方程可化为 2 yx 2 yx 3x 即转化为定义7.6的形式。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
【定义7.7】若一个函数满足差分方程， 称其为差分方程的解。
例4 设有差分方程 yx1 yx 2 将 yx 15 2x 代人此方程 左边 15 2( x 1) (15 2x) 2 ＝右边 故 yx 15 2x 是方程的解。
(yx ) yx1 yx yx2 yx1 ( yx1 yx ) yx2 2 yx1 yx 记为 2 yx
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
即
2 yx yx2 2 yx1 yx
称为函数 yx的二阶差分；同样定义三阶差分，
四阶差分，……
3 yx (2 yx ) , 4 yx (3 yx ) ,L
【定义7.5】含有自变量 x 和两个或两个 以上的 yx , yx1 ,L 的函数方程称为差分方程。
n 阶差分方程的一般形式
F ( x, yx , yx1 ,L , yxn ) 0
其中 F 是已知函数。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
【定义7.6】（差分方程的另一个定义） 含有自变量 x ，未知函数 yx及 yx的差分 yx ,2 yx ,L 的函数方程称为差分方程。方程 中未知函数差分的最高阶数，称为差分方程 的阶。 n 阶差分方程的一般形式
[( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x 2)L ( x n 2) nx(n1)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
2. 差分方程的一般概念 引例 某种商品 t 时期的供给量 St 与需求 量 Dt都是这一时期价格 Pt 的线性函数：
St a bPt (a,b 0) , Dt c dPt (c,d 0)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
例2 设 x(n) x( x 1)( x 2)L ( x n 1) , x(0) 1 , 求 x(n)
解 x(n) ( x 1)(n) x(n)
( x 1)x( x 1)( x 2)L ( x 1 n 1) x( x 1)( x 2)L ( x n 1)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
列出差分表
x x2 ( x2 ) 2(x2) 3(x2)
12345 6 7 1 4 9 16 25 36 49 3 5 7 9 11 13 2 2 22 2 0 0 00
F ( x, yx , yx ,L , n yx ) 0
其中 F 为已知函数，且至少 n yx要出现。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
差分方程的不同形式之间可以相互转化 例3 yx2 2 yx1 yx 3x 是用定义7.5 表示的，将原方程左边写成
yx2 2 yx1 yx ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) 2 yx yx1 yx 2 yx 2 yx 2 yx
设 t 时期的价格 Pt 由 t 1 时期的价格 Pt1 与估计量及需求量之差 St1 Dt1 按如下关系 确定
Pt Pt1 ( St1 Dt1 ) (为常数)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
即
Pt [1 (b d )]Pt1 (a c)
这样的方程就是差分方程。
t
则 y y(t 1) y(t) 可近似代表变量的变化速 度。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
【定义7.4】设函数 y f ( x) ，记为 yx， 当 x 取遍非负整数时函数值可排成一个数列：
y0 , y1 , L , yx , L
则差 yx1 yx 称为函数 yx的差分，也称一阶 差分，记为 yx ，即 yx yx1 yx
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
上例中，可以验证 yx A 2x ( A为常数) 均为此差分方程的解。
有时会在初始时刻对差分方程附加一定的 条件，称其为初始条件。满足初始条件的解称 为特解。若差分方程解中含有相互独立的任意 常数的个数等于方Baidu Nhomakorabea的阶数，称其为方程的通 解。
§7.5 差分方程的一般概念
1. 差分 2. 差分方程的一般概念
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
1. 差分 在生活中，连续变化的时间范围内，变量 y 的变化速度是用 dy 刻画的，但有时，变量
dt
要按一定的离散时间取值，这时需取规定的时 间上的差商 y 来刻画变化速度。若取 t 1 ,
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
差分的性质
(1) (cyx ) cyx (c为常数） (2) ( yx zx ) yx zx
例1 求 ( x2 ) ,2( x2 ) ,3( x2 ) 解 ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
内容小结 1.差分方程的概念 2.差分方程的阶 通解 3.差分方程的解 特解
4/6/2020 1:54 AM
故原方程可化为 2 yx 2 yx 3x 即转化为定义7.6的形式。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
【定义7.7】若一个函数满足差分方程， 称其为差分方程的解。
例4 设有差分方程 yx1 yx 2 将 yx 15 2x 代人此方程 左边 15 2( x 1) (15 2x) 2 ＝右边 故 yx 15 2x 是方程的解。
(yx ) yx1 yx yx2 yx1 ( yx1 yx ) yx2 2 yx1 yx 记为 2 yx
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
即
2 yx yx2 2 yx1 yx
称为函数 yx的二阶差分；同样定义三阶差分，
四阶差分，……
3 yx (2 yx ) , 4 yx (3 yx ) ,L
【定义7.5】含有自变量 x 和两个或两个 以上的 yx , yx1 ,L 的函数方程称为差分方程。
n 阶差分方程的一般形式
F ( x, yx , yx1 ,L , yxn ) 0
其中 F 是已知函数。
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
【定义7.6】（差分方程的另一个定义） 含有自变量 x ，未知函数 yx及 yx的差分 yx ,2 yx ,L 的函数方程称为差分方程。方程 中未知函数差分的最高阶数，称为差分方程 的阶。 n 阶差分方程的一般形式
[( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x 2)L ( x n 2) nx(n1)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
2. 差分方程的一般概念 引例 某种商品 t 时期的供给量 St 与需求 量 Dt都是这一时期价格 Pt 的线性函数：
St a bPt (a,b 0) , Dt c dPt (c,d 0)
4/6/2020 1:54 AM
第7章 微分方程与差分方程
例2 设 x(n) x( x 1)( x 2)L ( x n 1) , x(0) 1 , 求 x(n)
解 x(n) ( x 1)(n) x(n)
( x 1)x( x 1)( x 2)L ( x 1 n 1) x( x 1)( x 2)L ( x n 1)