高中数学 第一章 导数及其应用章末复习提升 新人教版选修2-2

x ，(ax)′＝
，
x
答案
(4)导数的四则运算法则：[ f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，
[ f(x)g(x)]′f＝′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
，
gfxx′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
(g(x)≠0).
2.导数的应用
(1)函数的单调性：在区间(a，b)内，f′(x)＞0，
解析答案
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式 f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围.
解 由(1)知 f(x)在[－2,2]上单调递减， ∴[ f(x)]min＝f(2)＝2－e2. ∴当m＜2－e2时，不等式 f(x)＞m恒成立.
反思与感悟
解析答案
解析答案
(2)若函数g(x)＝xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.
∴点(2，－6)在曲线上.
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝3×22＋1＝13， ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.
解析答案
(2)直线l为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐
标解. 设切点坐标为(x0，y0)，
则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1， ∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，
整理得 x30＝－8，
∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， ∴k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).
解析答案
题型二 利用导数求参数取值范围问题
解 函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝ x(1－ex). 若x＜0，则1－ex＞0，所以 f′(x)＜0； 若x＞0，则1－ex＜0，所以 f′(x)＜0； 若x＝0，则 f′(x)＝0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
则 f(x递) 增
；f′(x)＜0，递则减 f(x)
.Baidu Nhomakorabea
(2)函数的极值：f′(x0)＝0，在x0附近，从左到右，f′(x)的符号由
正到负，f(x极0)大为值
；由负极到小正值，f(x0)为
.
答案
(3)函数的最值：闭区间[a，b]上图象连续不断的函数 y＝f(x)，
最值在 极值点
区间端点 或
处取得，
最大的为最大值，最小的为最小值.
， f′(x)
＝
.
f(x0)
(2)导数的几何y意－义f(：x0曲)＝线f′y＝(xf0)(·x)(在x－点x(0x)0，f(x0))处的切线斜率等于
，其切线方程为
0
nxn－1
.
(3)函数的求co导s 公x 式：(C)′1＝－sin，x(xn)′＝1
ax·ln a
，
(sin x)′ex＝ ，(cos xx)l′n a＝
第一章 导数及其应用
章末复习提升
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要点归纳 主干梳理
1.导数的运算及几何意义
(1)函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
fx0＋Δx－fx0
＝
lim
Δx→0
Δx
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
解析答案
(2)证明：当x>0时，x2<ex.
证明 令g(x)＝ex－x2， 则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0. 故g(x)在R上单调递增， 又g(0)＝1>0， 因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； 解 ∵f(2)＝23＋2－16＝－6，
所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
所以 g(x)＞g(1)＝16＞0， 所以当 x＞1 时，12x2＋ln x＜23x3.
反思与感悟
解析答案
解析答案
(2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值. 解 x在变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
x
－2 (－2，－1) －1 －1，23
(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
防范措施
解析答案
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当堂检测
1.函数 f(x)＝(2πx)2的导数C是( ) A. f′(x)＝4πx C. f′(x)＝8π2x 1解6π析x 因 f(x)＝4π2x2， 故 f′(x)＝8π2x，选C.
2 3
23，1
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x) 2
－32
22
1
27
2
解析答案
易错易混 解实际问题时因忽略定义域致误
例4 现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35 海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成
本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方 成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.
解析答案
题型三 利用导数求函数的极值、最值问题
解 f′(x)＝x－ax，因为 x＝2 是一个极值点， 所以 2－a2＝0，则 a＝4. 此时 f′(x)＝x－4x＝x＋2xx－2，
因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，
所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.
(4)生活中的优化问题(导数的实际应用).
答案
3.定积分概念、运算和应用
F(b)F(a)
答案
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题型探究 重点突破
题型一 解决与切线有关的问题
例1 已知函数 f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线 y ＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数 f(x)的极值；
解析答案
(2)求 f(x)的单调区间；
解 因为 f′(x)＝x－ax＝x2－x a，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
当 a＞0 时，f′(x)＝x－ax＝x2－x a＝x＋
ax－ x
a ，
解析答案
(3)求证：当 x＞1 时，12x2＋ln x＜23x3.
证明 设 g(x)＝23x3－12x2－ln x， 则 g′(x)＝2x2－x－1x， 因为当 x＞1 时，g′(x)＝x－12xx2＋x＋1＞0，