第二十九届(2018)“希望杯”全国数学邀请赛初中二年级培训题80题
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
初中二年级历届“希望杯”二试解答题
初中二年1-17届“希望杯”二试解答题1.1、从自然数354 , , 3 , 2 , 1 中仸取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。
1.2、平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和D C B A ''''，且正方形D C B A ''''的顶点A '在正方形ABCD 的中心。
当正方形D C B A ''''绕A '转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。
这个结论对吗？证明你的判断。
1.3、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列 <<<<4321n n n n ，试求：21n n ⋅之值。
2.1、已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2。
2.2、一块四边形的地（如图2.2所示）（KG OH FK EO //,//）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的（即两边都是直线）。
但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，幵加以证明。
A B 图2.23.1、若0 , , , >d c b a ，证明：在方程02212=+++cd x b a x ， 02212=+++da x c b x ，02212=+++ab x d c x ，02212=+++bc x a d x 中，至少有两个方程有不相等的实数根。
3.2、（1）能否把1992 , , 3 , 2 , 1 这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明。
2018年度第29届希望杯竞赛初一考前80题以及答案解析
(2018年)第二十九届 “希望杯”初一培训题80题考查内容提要：1,有理数的加、减、乘、除,乘方,正数和负数,数轴,相反数,绝对值,科学记数法,近似数的有效数字. 2、一元一次方程及应用,二元一次方程的整数解3.直线、射线、线段,角的度量、角的比较与运算,余角、补角,对顶角,相交线、平行线、勾股定理和简单勾股数. 4、三角形的边(A)关系、三角形的内角和 5、用字母表示数、合并同类项、代数式求值6·统计表、条形统计图和扇形统计图,抽样调查、数据的收集与整理7·展开与折叠、展开图. 8·简单逻辑推理.9、整式的运算(主要是整式的加、减、乘运算,乘法公式的正用、逆用). 10,数论最初步,高斯记号.11、三视图(北师大版),平面直角坐标系(人教版)、坐标方法的简单应用 12·应用问题.一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内).1. 若322(1)223(1)M -+-=---,则M=( ) (A) 2. (B) ±2. (C) 3. (D) ±3.2.下面有四个判断:(1)正有理数和负有理数统称有理数; (2)若a 是负数,则-a 是正数;(3)0既没有倒数也没有相反数; (4)不存在最小的整数,存在最小的正整数. 其中正确判断的个数是( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.3.若a+b+c=0,abc ≠0,则ab,bc,ca 中,正数的个数是( ) (A)3. (B)2. (C)1. (D)0.4.如图1,大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形,其中位于角上的3个长方形的(A)20 (B)22. (C)18. (D)11.25.5.一光年约等于94605亿千米,将94605保留三位有效数字,用科学记数法可表示为( ) (A)94.60×103, (B)9.46×104 (C)0.95×105. (D)9.461×104.6.在四对数:(1) 23-与32；(2)2与12-；(3)-4与4；(4)2018与12018-中,互为负倒数的有( )(A)1对. (B)2对. (C)3对. (D)4对.7.a=4555,b=6444,c=8333则( )(A)c>b>a. (D)b>a>c. (C)a>c>b. (D)c>a>b.8.如图2,已知AB//FG,CD//EF, ∠ABC=1100. ∠EFG=450,那么∠BCD=( ) (A)450 (B)550 (C)65° (D)7509.有理数a,b,c,d 在单位长度为1的数轴上的位置如图3所示,则错误的关系式是( ) (A) c a>d b(B) c a>b d(C) a c>d b(C) a c<b d10.知有理数a>b>0,那么|-a-b|-|a-b|=( )11.在下列4个方程式:①2x+5=0; ②6x+5=3x+5; ○3x+y=3;○4 43235x x +--=中, ( )是一元一次方程.(A)①②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)②③④. 12.在ABC 中，∠A+∠B=2∠C ，∠A+∠B=∠C ，那么A=( )(A)30° (B)60° (C)90° (D) 120°13.已知5a 4b m c 与73-a n+3b 3c p-2的和是单项式,则m+n+p=( )(A)5. (B)6. (C)7. (D)8.14.If the integer 2345la a a a a is divisidle by11, then a=( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.15.如果x 和y 是两个不同的质数,其中一个比另一个大4,那么下列判断 ○1x ≠7;②y=2017;③x+y=42;④xy=3中,一定是错误的是( ) (A)只有①和③. (B)只有○1和④. (C)只有②和④. (D)只有③和④.16、已知|x+1|+|x-2|=3,则化简||x-3|-4|,得到的结果为( )(A)x+1. (B)-x-1 (C)x-7. (D)7-x17.a,b,c 是三个大于3的质数,则下列判断中一定正确的是( )(A)a+b+c 是偶数.(B)a 2+b 2+c 2是偶数.(C)a+b+c 是3的倍数.(D)a 2+b 2+c 2是3的倍数.18.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:请你根据表中的数据观察规律,判断当输入数据45时,输出的数应是( )(A) 452024 (B) 452026(C) 452028(D) 45203019.已知a+b=1,则a2-b2+2b的值为( )(A)0. (B)1 (C)2 (D)320.有一列数:-2018,-2012,-2006,-2000,-1994,…,它们按一定的规律排列(相邻两数后数比前数大6),那么这列数的前( )项数的和最小.(A)336． (B)337 (C)338. (D)339.21．一项工作,甲乙两人合作6天完成,丙丁两人合作12天完成,甲丙两人合作8天完成,乙丁两人合作n天完成,则n的值为( )(A)7 (B)8. (C)9. (D)10.22．有长度相等的A,B两根蜡烛,A可点燃2小时,B可点燃3小时,将A,B同时点燃t小时后,A点燃掉的部分和B没点燃的部分长度相等,则t=( )(A) 32 (B) 43(C) 54(D) 6523.已知S=20172+20173+20174+20175+20176+20177+20178,则S除以2018所得的余数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0.24．如图4,一只蚂蚁从O(0,0)出发,每一步沿着箭头走一步到同一个正方形的另一个顶点(如(0,0)→(1,0)→(0,1)→(-1,0)→(-2,0)→(-1,1)→(0,2)→),走了2018步,到达的点的坐标为( )(A)(-38,6) (B)(-37,7) (C)(38,6) (D)(38,7)25. 当x=3时,ax 3+3x 2+bx+327=2018;那么当x=-3时,ax 3+3x 2+bx+327的值为( ) (A)-1311. (B)-1310. (C)-1309. (D)-1308.26.1f y=-x+l and z=4x-2,what is the average of 20x, y and 17z,in terms of x? (A)20x-1. (B)20x-11. (C)29x-1. (D)29x-11.27．任意a,b 满足b ba a+=2,求22222a ab b a ab b -+++=( ) (A)1. (B) 12. (C) 13. (D) 14.28.若正整数x,y,z 满足|x-y|2018+|y-z|2018=1,则|x-y|+|y-z|+|x-z|=( ) (A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.29,从a,b,c,d,e 这五个数中任选三个求和,恰得到7,11,13,14,19,21,22,25,26,28这十个不同的数,则a+b+c+d+e=( )(A)25 (B)31 (C)37 (D)4330,已知[x]表示不超过的最大整数,若[x+0.1]+ [x+0.2]+ [x+0.3]…+++…[x+0.9]=104.则x 的最小值是( )(A)9.5 (B)10.5 (C)11.5 (D)12.5二、填空题31. 2222222222012345671234567891022222222-+-+-+-+-+++++++的值是 .32.已知43535418,8,a b c a b c ==则354a b c =33,三角形的一个内角等于61°,且它的一个外角与它的一个内角相等,那么该三角形中最小的内角等于 度.34,书店为了了解同学们每学期购买教辅读物的书籍的花费,随机调查了本校部分同学.根据调查结果,绘制出两个不完整的统计图表.根据以上图表依次回答下列问题:本次参加调查的同学共有 人,其中a= ,b= ,m= . 经过调查,每学期购买教辅不少于60元的同学有较高的意向订阅《数理天地》杂志,请问全校1000位同学中,这样的同学大约有 人.35.已知|x-1|+x 2+|x+2|=2(1-x),则x 2017= .36. 5点8分时,时针与分针的夹角的度数为度.37.若想x,y满足5x2+4xy+y2+6x+9=0,则x+y= .38.If x+y+z=8,xy+yz+xz=17,xyz=10,then the value of (x+y)(y+z)(z+x) is .39.初中学生小鹏惊讶地发现:今年(2018年)的年龄刚好是自己出生年份的四个数字和加上10,他告诉数学王老师这一发现,王老师想了想说:我今年的年龄也刚好是自己出生年份四个数字的和加10.那么王老师比小鹏年长岁.40.如图6,S△ADE=5,S△ACE=9. S△CDE=12.那么S△BDE= .41.已知a-b=3,b-c=1,ab+bc+ca=-3,则|a+b+c|= .42.一个立方体沿着棱剪开,可以展开为一个结合为一体的平面图形,至少需要剪开条棱,至多需要剪开条棱.43.已知(x-2)5=ax5+bx4+cx3+bx2+ex+f,则16(a+b)+4(c+d)+(e+f)= .44.计算:1010= .45.已知三角形的三个外角α,β,γ满足2344{αβαγβγ+-==,则α,β-Y 对应的三个内角的大小之比为 .46.已知对有理数a,b,c 定义新的运算f:使得f(a,b,c)=a 2+2bc,那么f (1,23,76)+ f (23,76,1)+f(76,123)= .47.已知四位数55ab =5·7·m 2,其中m 是正整数,则m= .48.已知正整数x,y 满足以下条件:x+2y 是一个三位数;且11x+4y 是个五位数,那么y 的最大值为 .49.用0,1,2,3,7这5个数字(可重复使用)组成的两位数中所有质数的平均数是 .50.一个长方体的棱长都是整数,它的三条棱长之和的数值恰与体积的数值相等,则这个长方体的表面积等于 .51.甲、乙共同默写四字成语.结果甲写错了成语总数的19,乙只写对了5个成语.又两人都写对的成语个数是总数的16,则甲写对了 个成语.52.若2b a a c b==，则a 2-b 2-bc+ab+2a-2c+2= .53.如图7,矩形ABCD的边AB上有一点E,BC上有一点F,连接CE、DF交于点G,若△CGF 的面积为2,△EGF的面积为3,矩形的面积为30,则△BEF的面积为54.在某次考试中,小明的数学、语文、英语、物理、化学、生物这6科的考试成绩分别为x、85、85、94、89、91,若把这几个科目的成绩制成扇形统计图,小明的数学成绩对应的圆心角的度数为64°,那么小明的数学成绩是 .55.如图8,直线AB//CD，∠BAC的三条四等外线分别交CD于E、F、G. ∠ACD的角平分线分别交AE、 AF、AG、、AB于H、1.J、K.若∠ACD=60°,则图中共有个等腰三角形.56.已知x除以3余2,除以5余4,除以7余4,则满足条件的三位数x最大是 .57.已知p与7p2-4同为质数,则p= .58. 图9是由4个面积为6平方厘米的等圆组成.外围的3个圆都过中间的圆的圆心O,中间的圆过外围任两圆的交点,那么阴影部分的面积总和是平方厘米.是 .60.平面内有7条直线,其中有三条直线两两平行、三条直线相交于一点A.则这7条直线形成的交点最多有个.61.已知a≠0,S1=a,S2=12S, S3=22S,…, S2018=20172S,用含a的代数式表示S2018= .62.如图10,在△ABC中,AB=AC,在AC上取点M,N,使MN=BN,若∠ABM=∠CBN,则∠MBC=63.正数a,b,c满足等式a2b+b2c+ac2+a+b+c=2(ab+bc+ac),则201720162018ca b+= .64.设a,b,c均为非零实数,并且ab=3(a+b),bc=4(b+c),ac=5(a+c),则a= ，b= ，c= .65将1～2018中的每个自然数都写出它的各位数字的乘积(如:一位数5的数字之积就是5;两位数72的数字的乘积是7×2=14,三位数607的数字的乘积是6x0x1=0;等等),则这2018个乘积的和是 .66.如图11,在△ABC中, ∠A=90°.D、E、F分别在AB、BC、CA上,且ED⊥AB，BD=20，CF=18，67.从15以内的质数中任取3个不同的数作为三角形的三条边长,可以构成 个三角形.68.在-2≤x ≤1范围内，化简|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|=y 3-17,则y= .69. 设325363419{x y z x y z ++=++=则3x-2y+z= .70.有一年,小明一家四口人的年龄是:爸爸30岁,妈妈比爸爸小两岁,哥哥的年龄是小明的3倍,今年全家四口人的年龄和为114,则小明今年的年龄为 .71.If two positive integers a and b satisfy the equation a 2-2b=2018, then the smallest value of a plus b is .72.已知(a-1)2-|b-2|+(c-2018)2=0,则1009257a cb +-= .73.已知222020162017201802016201720182018{x y z x y z x y z ++=++=++= 则x+z= .74.平面直角坐标系中有四个点A(-1,1)、B(5,0),C(3,-3)、D(-3,-2),将A点向下平移一个单位,将C点向上平移一个单位后得到的新的四边形ABCD的面积是 .75.如图12,正六边形ABCDEF的边长为1,作正方形GHMN使得点G在AB上、点M在ED上.则正方形GHMN的面积的最大值是 .三、解答题76.如图13,△ABC中,CP=13BC,CQ=14AC,BQ与AP相交于点N,若△ABC的面积为12,求△ABN的面积 .77.甲、乙两个筐中都装有苹果和梨,共计82个,两个筐中的水果的总数差小于10,其中甲筐里的苹果占25,乙筐里的梨占47,问:甲筐中有梨多少个?乙筐中有苹果多少个?78.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,胜一盘得1升,平-盘得0.5外,负一盘得0分;已知其中两名选手共得8分,其他人的平均夯为整数.求参加此次比赛的选手共有多少人?79.若一个三角形的一边长为8,而面积为12,求这个三角形的周长的最小值.80.已知三个实数x,y和x,同时满足等式 (x+y)2+(y+z)2+(x+z)2=94 和(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2=26，求：(1)xy+yz+xz的值;(2)(x+2y+3z)2+(y+2z+3x)2+(z+2x+3y)2的值.。
第二十九届“希望杯”初一培训题80题（2018年）及答案
第⼆⼗九届“希望杯”初⼀培训题80题（2018年）及答案第⼆⼗九届 “希望杯”初⼀培训题80题(2018年)考查内容提要：1,有理数的加、减、乘、除,乘⽅,正数和负数,数轴,相反数,绝对值,科学记数法,近似数的有效数字. 2、⼀元⼀次⽅程及应⽤,⼆元⼀次⽅程的整数解3.直线、射线、线段,⾓的度量、⾓的⽐较与运算,余⾓、补⾓,对顶⾓,相交线、平⾏线、勾股定理和简单勾股数. 4、三⾓形的边(A)关系、三⾓形的内⾓和 5、⽤字母表⽰数、合并同类项、代数式求值6·统计表、条形统计图和扇形统计图,抽样调查、数据的收集与整理7·展开与折叠、展开图. 8·简单逻辑推理.9、整式的运算(主要是整式的加、减、乘运算,乘法公式的正⽤、逆⽤). 10,数论最初步,⾼斯记号.11、三视图(北师⼤版),平⾯直⾓坐标系(⼈教版)、坐标⽅法的简单应⽤ 12·应⽤问题.⼀、选择题(以下每题的四个选项中,仅有⼀个是正确的,请将表⽰正确答案的英⽂字母填在每题后⾯的圆括号内).1. 若322(1)223(1)M -+-=---,则M=( ) (A) 2. (B) ±2. (C) 3. (D) ±3.2.下⾯有四个判断:(1)正有理数和负有理数统称有理数; (2)若a 是负数,则-a 是正数;(3)0既没有倒数也没有相反数; (4)不存在最⼩的整数,存在最⼩的正整数. 其中正确判断的个数是( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.3.若a+b+c=0,abc ≠0,则ab,bc,ca 中,正数的个数是( ) (A)3. (B)2. (C)1. (D)0.4.如图1,⼤长⽅形被平⾏于边的直线分成了9个⼩长⽅形,其中位于⾓上的3个长⽅形的⾯积已经标出,则第4个⾓上的⼩长⽅形⾯积等于( )(A)20 (B)22. (C)18. (D)11.25.5.⼀光年约等于94605亿千⽶,将94605保留三位有效数字,⽤科学记数法可表⽰为( ) (A)94.60×103, (B)9.46×104 (C)0.95×105.(D)9.461×104.6.在四对数:(1) 23-与32；(2)2与12-；(3)-4与4；(4)2018与12018-中,互为负倒数的有( )(A)1对. (B)2对. (C)3对. (D)4对.7.a=4555,b=6444,c=8333则( )(A)c>b>a. (D)b>a>c. (C)a>c>b. (D)c>a>b.8.如图2,已知AB//FG,CD//EF, ∠ABC=1100. ∠EFG=450,那么∠BCD=( ) (A)450 (B)550 (C)65° (D)7509.有理数a,b,c,d 在单位长度为1的数轴上的位置如图3所⽰,则错误的关系式是( ) (A) c a>d b(B) c a>b d(C) a c>d b(C) a c10.知有理数a>b>0,那么|-a-b|-|a-b|=( )(A)b. (B)a. (C)2a (D)2b.11.在下列4个⽅程式:①2x+5=0; ②6x+5=3x+5; ○3x+y=3;○4 43235x x +--=中, ( )是⼀元⼀次⽅程.(A)①②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)②③④. 12.在ABC 中，∠A+∠B=2∠C ，∠A+∠B=∠C ，那么A=( )(A)30° (B)60° (C)90° (D) 120°13.已知5a 4b m c 与73-a n+3b 3c p-2的和是单项式,则m+n+p=( )(A)5. (B)6. (C)7. (D)8.14.If the integer 2345la a a a a is divisidle by11, then a=( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.15.如果x 和y 是两个不同的质数,其中⼀个⽐另⼀个⼤4,那么下列判断○1x ≠7;②y=2017;③x+y=42;④x y=3中,⼀定是错误的是( ) (A)只有①和③. (B)只有○1和④. (C)只有②和④. (D)只有③和④.16、已知|x+1|+|x-2|=3,则化简||x-3|-4|,得到的结果为( )(A)x+1. (B)-x-1 (C)x-7. (D)7-x17.a,b,c 是三个⼤于3的质数,则下列判断中⼀定正确的是( )(A)a+b+c 是偶数.(B)a 2+b 2+c 2是偶数.(C)a+b+c 是3的倍数.(D)a 2+b 2+c 2是3的倍数.18.⼩王利⽤计算机设计了⼀个计算程序,输⼊和输出的数据如下表:请你根据表中的数据观察规律,判断当输⼊数据45时,输出的数应是( )(A) 452024 (B) 452026(C) 452028(D) 45203019.已知a+b=1,则a2-b2+2b的值为( )(A)0. (B)1 (C)2 (D)320.有⼀列数:-2018,-2012,-2006,-2000,-1994,…,它们按⼀定的规律排列(相邻两数后数⽐前数⼤6),那么这列数的前( )项数的和最⼩.(A)336． (B)337 (C)338. (D)339.21．⼀项⼯作,甲⼄两⼈合作6天完成,丙丁两⼈合作12天完成,甲丙两⼈合作8天完成,⼄丁两⼈合作n天完成,则n的值为( ) (A)7 (B)8. (C)9. (D)10.22．有长度相等的A,B两根蜡烛,A可点燃2⼩时,B可点燃3⼩时,将A,B同时点燃t⼩时后,A点燃掉的部分和B没点燃的部分长度相等,则t=( )(A) 32 (B) 43(C) 54(D) 6523.已知S=20172+20173+20174+20175+20176+20177+20178,则S除以2018所得的余数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0.24．如图4,⼀只蚂蚁从O(0,0)出发,每⼀步沿着箭头⾛⼀步到同⼀个正⽅形的另⼀个顶点(如(0,0)→(1,0)→(0,1)→(-1,0)→(-2,0)→(-1,1)→(0,2)→),⾛了2018步,到达的点的坐标为( )(A)(-38,6) (B)(-37,7) (C)(38,6) (D)(38,7)25. 当x=3时,ax 3+3x 2+bx+327=2018;那么当x=-3时,ax 3+3x 2+bx+327的值为( ) (A)-1311. (B)-1310. (C)-1309. (D)-1308.26.1f y=-x+l and z=4x-2,what is the average of 20x, y and 17z,in terms of x? (A)20x-1. (B)20x-11. (C)29x-1. (D)29x-11. 27．任意a,b 满⾜b b a a +=2,求22222a ab b a ab b-+++=( ) (A)1. (B) 12. (C) 13. (D) 14.28.若正整数x,y,z 满⾜|x-y|2018+|y-z|2018=1,则|x-y|+|y-z|+|x-z|=( ) (A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.29,从a,b,c,d,e 这五个数中任选三个求和,恰得到7,11,13,14,19,21,22,25,26,28这⼗个不同的数,则a+b+c+d+e=( )(A)25 (B)31 (C)37 (D)4330,已知[x]表⽰不超过的最⼤整数,若[x+0.1]+ [x+0.2]+ [x+0.3]…+++…[x+0.9]=104.则x 的最⼩值是( )(A)9.5 (B)10.5 (C)11.5 (D)12.5⼆、填空题31. 2222222222012345671234567891022222222-+-+-+-+-+++++++的值是 .32.已知43535418,8,a b c a b c ==则354a b c =33,三⾓形的⼀个内⾓等于61°,且它的⼀个外⾓与它的⼀个内⾓相等,那么该三⾓形中最⼩的内⾓等于度.34,书店为了了解同学们每学期购买教辅读物的书籍的花费,随机调查了本校部分同学.根据调查结果,绘制出两个不完整的统计图表.根据以上图表依次回答下列问题:本次参加调查的同学共有⼈,其中a= ,b= ,m= . 经过调查,每学期购买教辅不少于60元的同学有较⾼的意向订阅《数理天地》杂志,请问全校1000位同学中,这样的同学⼤约有⼈.35.已知|x-1|+x 2+|x+2|=2(1-x),则x 2017= .36. 5点8分时,时针与分针的夹⾓的度数为度.37.若想x,y满⾜5x2+4xy+y2+6x+9=0,则x+y= .38.If x+y+z=8,xy+yz+xz=17,xyz=10,then the value of (x+y)(y+z)(z+x) is .39.初中学⽣⼩鹏惊讶地发现:今年(2018年)的年龄刚好是⾃⼰出⽣年份的四个数字和加上10,他告诉数学王⽼师这⼀发现,王⽼师想了想说:我今年的年龄也刚好是⾃⼰出⽣年份四个数字的和加10.那么王⽼师⽐⼩鹏年长岁.40.如图6,S△ADE=5,S△ACE=9. S△CDE=12.那么S△BDE= .41.已知a-b=3,b-c=1,ab+bc+ca=-3,则|a+b+c|= .42.⼀个⽴⽅体沿着棱剪开,可以展开为⼀个结合为⼀体的平⾯图形,⾄少需要剪开条棱,⾄多需要剪开条棱.43.已知(x-2)5=ax5+bx4+cx3+bx2+ex+f,则16(a+b)+4(c+d)+(e+f)= .44.计算:[(3+5+7+…+2017)(2+4+6+8+…+2016)-(1+3+5+7+…+2017)(4+6+8+…+2016)]÷1010=.45.已知三⾓形的三个外⾓α,β,γ满⾜2344{αβαγβγ+-==,则α,β-Y 对应的三个内⾓的⼤⼩之⽐为 .46.已知对有理数a,b,c 定义新的运算f:使得f(a,b,c)=a 2+2bc,那么f (1,23,76)+ f (23,76,1)+f(76,123)= .47.已知四位数55ab =5·7·m 2,其中m 是正整数,则m= .48.已知正整数x,y 满⾜以下条件:x+2y 是⼀个三位数;且11x+4y 是个五位数,那么y 的最⼤值为 .49.⽤0,1,2,3,7这5个数字(可重复使⽤)组成的两位数中所有质数的平均数是 .50.⼀个长⽅体的棱长都是整数,它的三条棱长之和的数值恰与体积的数值相等,则这个长⽅体的表⾯积等于 .51.甲、⼄共同默写四字成语.结果甲写错了成语总数的19,⼄只写对了5个成语.⼜两⼈都写对的成语个数是总数的16,则甲写对了个成语.52.若2b a a c b==，则a 2-b 2-bc+ab+2a-2c+2= .53.如图7,矩形ABCD 的边AB 上有⼀点E,BC 上有⼀点F,连接CE 、DF 交于点G,若△CGF 的⾯积为2,△EGF 的⾯积为3,矩形的⾯积为30,则△BEF 的⾯积为。
初二希望杯数学竞赛培训题
初二希望杯数学竞赛培训题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的） 1．一个多项式经分解后为(2－a 3)(a 3＋2)，那么该多项式是 （ ）（A ）a 6－4（B ）a 9－4（C ）4－a 9（D ）4－a 62．下列多项式：①a 2＋4ab ＋4b 2；②9m 2＋4n 2－12mn ；③4p 2＋q 2－4p ＋2q ；④25a 4＋16b 4＋40a 2b 2；⑤9s 2－12s ＋6．其中是完全平方式的是（ ） （A ）①，④，⑤ （B ）①，②，⑤ （C ）①，②，④ （D ）①，③，④ 3．当分式1111－＋x 无意义时，x 的取值情况是（ ）（A ）x ＝1 （B ）x ＝±1 （C ）x ＝±1或x ＝0 （D ）x ＝±1且x ＝04．下列根式中与32a -相同的是 （ ）（A ）a a 2-（B ）a a 2--（C ）32a -（D ）aa 22-- 5．a 是实数，且满足05362＝－－aa ，则a 的值是（ ）（A ）6（B ）±6 （C ）≠5的数 （D ）－66．如果a -是整数，则（ ）（A ）a 是正整数 （B ）a 是非负整数 （C ）a 是完全平方数 （D ）－a是完全平方数 7．11＋－n n 与1＋＋n n 的关系是 （ ）（A ）相等 （B ）互为相反数 （C ）互为倒数 （D ）互为负倒数8．方程x 2＋3y 2＝16的整数解的组数是（ ）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）7组以上9．若a ＜b ＜0，则()()22b b a －－÷＝ （ ）（A ）bab －－（B ）bab － （C ）－b (b －a ) （D ）bb a －10．某同学从家到学校的路程为s ，速度为v 1，从学校回家的速度为v 2，那么他来回的平均速度是 （ ）（A ）221v v ＋ （B ）212v v s ＋ （C ）2121v v v v ＋ （D ）21212v v v v ＋11．各边长均为整数且各边长均不相等的三角形周长小于13，则这样的三角形共有（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个12．三角形的三个外角平分线所在的直线围成的三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）直角或钝角三角形13．在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠B ´＋∠C ´＝∠A ´，且b －a ＝b ´－c ´，b＋a ＝b ´＋c ´则这两个三角形 （ ）（A ）不一定全等（B ）不全等（C ）根据“SAS ”全等 （D ）根据“ASA ”全等14．下列说法中，正确的是（ ）（A ）每个命题都有逆命题 （B ）每个定理都有逆定理 （C ）真命题的逆命题是真命题 （D ）假命题的逆命题是假命题 15．等腰△ABC 的顶角A ＝100°，两腰AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则 （ ）（A ）P 点在△ABC 内 （B ）P 点在BC 边上（C ）P 点在△ABC 外 （D ）P 点位置与BC 边的长度有关16．下列命题中，真命题是（ ）（A ）两个全等三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （B ）两个全等的等腰三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （C ）两个全等的等边三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （D ）关于某条直线成轴对称的两个三角形一定是全等三角形 17．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，又AD ∥BC ，在AD 上取一点E ，使∠EBC ＝30°，则BE 和BC 的大小关系是 （ ） （A ）BE ＞BC（B ）BE ＜BC（C ）BE ＝BC （D ）不确定的 18．四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形（ ）（A ）一定是菱形（B ）一定是轴对称图形（C ）一定是平行四边形（D ）可能是平行四边形，也可能是轴对称图形19．如图，D 为等腰△ABC 的腰AB 上的一点，E 为另一腰AC延长线上的一点，且BD ＝CE ，则 （ ）（A ）DE ＝BC （B ）DE ＞BC（C ）DE ＜BC（D ）DE 与BC 大小关系决定于角A 的大小20．设△ABC 的三边为c b a ，，，且满足c b a cb a 5.1225.3222＋＝＋＋ ，则△ABC 是 （ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等边三角形 （D ）形状不确定的三角形21．分解因式：＝＋－－412422a b a ____________________．22．如果(x －a )(x ＋2)－1能够分解成两个二项式(x ＋3)和(x ＋b )的乘积，那么a ＝______，b ＝_______．AC BDEAC BD E23．分解因式：xy (m 2－n 2)－mm (x 2－y 2)＝_________________． 24．分解因式：＝＋－233x x ___________________． 25．a ，b 均为实数，且满足()0425322＝－－＋＋aa b a ，那么b ＝_________．26．x ，y 均为实数，且4111222＋＋－＋－＝x x x y ，则x ＋y 的值是__________．27．x 是实数，则25101222＋－－＋＋x x x x 的最大值是____________．28．已知m ，n 互为倒数，且m ＋n ＋1998＝0，那么(m 2＋1999m ＋1)(n 2＋1999n ＋1)的值为____．29．已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是___________． 30．若61＝＋yx ，25122＝＋y x ，那么＝∶y x ____________ 31．若3939＝＋，＝＋zy yx ，则xz 9＋的值等于______________．32．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝32，abc ＝8，那么cb a 111＋＋的值等于___________．33．若a 2＋3b 2－4a －12b ＋16＝0，则a ＋b 的值是________． 34．已知N＋＋＋＋＝4141412，则N 的值是___________．35．若实数x ，y ，z 适合方程组⎩⎨⎧0720634＝－＋＝－－z y x z y x ，那么1999y －1997x ＋1993z ＝_______．36．方程组⎩⎨⎧34231232＝－－＝－＋z y x z y x 中的x ，y 满足条件x ＋y ＝6，那么z 的值等于___________．37．a 为实数，那么aa a a 119991999－＋－＋－的值等于_________． 38．已知12－＝x ，那么xx x－－342的值为__________ 39．化简623232－＋＋，结果是_______________．40．方程x x x －＝＋－41682的正整数解是_____________． 41．化简：(6－2)(3＋2)32-＝_____________．42．已知：A ＝53＋，B ＝53－，若存在正整数N ，使N ＜A 3＋B 3＜N ＋1，则N ＝____． 43．116201－的整数部分是__________．44．求值：100999910014334132231221＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝___________．45．若y ≠z ，且满足()()23322＝－＋＝－＋zy x z y x z y ，则x ＋y ＋z 的值等于__________． 46．已知(x ＋2y －1)是二元二次式3x 2＋axy ＋by 2＋x ＋9y －4的一个因式，则a ＝_______，b ＝______．47．大小不超过(3＋2)6的最大整数为_____________．48．若x ＜0，y ＞0，a －b ＞0，M ＝ax ＋by ，N ＝bx ＋ay ，则M 与N 的大小关系是M ______N ．（填“＞”或“＜”）49．5的整数部分是a ，小数部分为b ，则ba 1－的大小是____________．50．已知a ，b ，c 都是正实数，()()c b a c b a y c b a x ＋＋＋＋＋＝，＋＋＝22222，则x 与y 的大小关系是x ______y ．（填“＞”或“＜”）51．如图，a ，b ，c ，d 为数轴上对应点的数，则｜a ＋b －c ｜＋｜d －a ｜－｜c －d ｜＋｜a －d ｜＝_______． 52．如图，AB 、CD 、MN 三条直线相交，交点分别为E 、F 、G ，则∠EFB 的同位角是________． 53．两个对顶角的和是它的一个邻补角的4倍，则这个邻补角的度数是_________． 54．△ABC 的周长是15，若a ＋c ＝2b ，c －a ＝4则a 2＋b 2＋c 2＝____________． 55．如图，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝_____________．56．△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB ＝9，AC ＝5，则AD 的取值范围是__________．（第52题图） （第55题图） （第57题图） （第58题图）57．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AC ＝4厘米，则△BDE 的周长是___________．58．如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，C 、D 、E 在一条直线上，∠ABE ＝20°，则∠CAD 的大小是____________．59．如图，△ABC 中，D 在AC 上，AD ＝AB ，∠ABC ＝∠C ＋30°，则∠CBD ＝_______． 60．如果一个三角形的两条中线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状是___________．c 0 a bd C EFA B D G M N C EF A B D O A D E C B A D CB E第十一届希望杯数学竞赛初二第一试一．选择题1．与的关系是（）。
最新第29届希望杯竞赛初一考前80题以及答案
(2018年)第二十九届 “希望杯”初一培训题80题考查内容提要：1,有理数的加、减、乘、除,乘方,正数和负数,数轴,相反数,绝对值,科学记数法,近似数的有效数字. 2、一元一次方程及应用,二元一次方程的整数解3.直线、射线、线段,角的度量、角的比较与运算,余角、补角,对顶角,相交线、平行线、勾股定理和简单勾股数. 4、三角形的边(A)关系、三角形的内角和 5、用字母表示数、合并同类项、代数式求值6·统计表、条形统计图和扇形统计图,抽样调查、数据的收集与整理7·展开与折叠、展开图. 8·简单逻辑推理.9、整式的运算(主要是整式的加、减、乘运算,乘法公式的正用、逆用). 10,数论最初步,高斯记号.11、三视图(北师大版),平面直角坐标系(人教版)、坐标方法的简单应用 12·应用问题.一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内).1. 若322(1)223(1)M -+-=---,则M=( ) (A) 2. (B) ±2. (C) 3. (D) ±3.2.下面有四个判断:(1)正有理数和负有理数统称有理数; (2)若a 是负数,则-a 是正数;(3)0既没有倒数也没有相反数; (4)不存在最小的整数,存在最小的正整数. 其中正确判断的个数是( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.3.若a+b+c=0,abc ≠0,则ab,bc,ca 中,正数的个数是( ) (A)3. (B)2. (C)1. (D)0.4.如图1,大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形,其中位于角上的3个长方形的(A)20 (B)22. (C)18. (D)11.25.5.一光年约等于94605亿千米,将94605保留三位有效数字,用科学记数法可表示为( ) (A)94.60×103, (B)9.46×104 (C)0.95×105. (D)9.461×104.6.在四对数:(1) 23-与32；(2)2与12-；(3)-4与4；(4)2018与12018-中,互为负倒数的有( )(A)1对. (B)2对. (C)3对. (D)4对.7.a=4555,b=6444,c=8333则( )(A)c>b>a. (D)b>a>c. (C)a>c>b. (D)c>a>b.8.如图2,已知AB//FG,CD//EF, ∠ABC=1100. ∠EFG=450,那么∠BCD=( ) (A)450 (B)550 (C)65° (D)7509.有理数a,b,c,d 在单位长度为1的数轴上的位置如图3所示,则错误的关系式是( ) (A) c a>d b(B) c a>b d(C) a c>d b(C) a c<b d10.知有理数a>b>0,那么|-a-b|-|a-b|=( )11.在下列4个方程式:①2x+5=0; ②6x+5=3x+5; ○3x+y=3;○4 43235x x +--=中, ( )是一元一次方程.(A)①②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)②③④. 12.在ABC 中，∠A+∠B=2∠C ，∠A+∠B=∠C ，那么A=( )(A)30° (B)60° (C)90° (D) 120°13.已知5a 4b m c 与73-a n+3b 3c p-2的和是单项式,则m+n+p=( )(A)5. (B)6. (C)7. (D)8.14.If the integer 2345la a a a a is divisidle by11, then a=( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.15.如果x 和y 是两个不同的质数,其中一个比另一个大4,那么下列判断 ○1x ≠7;②y=2017;③x+y=42;④xy=3中,一定是错误的是( ) (A)只有①和③. (B)只有○1和④. (C)只有②和④. (D)只有③和④.16、已知|x+1|+|x-2|=3,则化简||x-3|-4|,得到的结果为( )(A)x+1. (B)-x-1 (C)x-7. (D)7-x17.a,b,c 是三个大于3的质数,则下列判断中一定正确的是( )(A)a+b+c 是偶数.(B)a 2+b 2+c 2是偶数.(C)a+b+c 是3的倍数.(D)a 2+b 2+c 2是3的倍数.18.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:请你根据表中的数据观察规律,判断当输入数据45时,输出的数应是( )(A) 452024 (B) 452026(C) 452028(D) 45203019.已知a+b=1,则a2-b2+2b的值为( )(A)0. (B)1 (C)2 (D)320.有一列数:-2018,-2012,-2006,-2000,-1994,…,它们按一定的规律排列(相邻两数后数比前数大6),那么这列数的前( )项数的和最小.(A)336． (B)337 (C)338. (D)339.21．一项工作,甲乙两人合作6天完成,丙丁两人合作12天完成,甲丙两人合作8天完成,乙丁两人合作n天完成,则n的值为( )(A)7 (B)8. (C)9. (D)10.22．有长度相等的A,B两根蜡烛,A可点燃2小时,B可点燃3小时,将A,B同时点燃t小时后,A点燃掉的部分和B没点燃的部分长度相等,则t=( )(A) 32 (B) 43(C) 54(D) 6523.已知S=20172+20173+20174+20175+20176+20177+20178,则S除以2018所得的余数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0.24．如图4,一只蚂蚁从O(0,0)出发,每一步沿着箭头走一步到同一个正方形的另一个顶点(如(0,0)→(1,0)→(0,1)→(-1,0)→(-2,0)→(-1,1)→(0,2)→),走了2018步,到达的点的坐标为( )(A)(-38,6) (B)(-37,7) (C)(38,6) (D)(38,7)25. 当x=3时,ax 3+3x 2+bx+327=2018;那么当x=-3时,ax 3+3x 2+bx+327的值为( ) (A)-1311. (B)-1310. (C)-1309. (D)-1308.26.1f y=-x+l and z=4x-2,what is the average of 20x, y and 17z,in terms of x? (A)20x-1. (B)20x-11. (C)29x-1. (D)29x-11.27．任意a,b 满足b ba a+=2,求22222a ab b a ab b -+++=( )(A)1. (B) 12. (C) 13. (D) 14.28.若正整数x,y,z 满足|x-y|2018+|y-z|2018=1,则|x-y|+|y-z|+|x-z|=( ) (A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.29,从a,b,c,d,e 这五个数中任选三个求和,恰得到7,11,13,14,19,21,22,25,26,28这十个不同的数,则a+b+c+d+e=( )(A)25 (B)31 (C)37 (D)4330,已知[x]表示不超过的最大整数,若[x+0.1]+ [x+0.2]+ [x+0.3]…+++…[x+0.9]=104.则x 的最小值是( )(A)9.5 (B)10.5 (C)11.5 (D)12.5二、填空题31. 2222222222012345671234567891022222222-+-+-+-+-+++++++的值是 .32.已知43535418,8,a b c a b c ==则354a b c =33,三角形的一个内角等于61°,且它的一个外角与它的一个内角相等,那么该三角形中最小的内角等于 度.34,书店为了了解同学们每学期购买教辅读物的书籍的花费,随机调查了本校部分同学.根据调查结果,绘制出两个不完整的统计图表.根据以上图表依次回答下列问题:本次参加调查的同学共有 人,其中a= ,b= ,m= . 经过调查,每学期购买教辅不少于60元的同学有较高的意向订阅《数理天地》杂志,请问全校1000位同学中,这样的同学大约有 人.35.已知|x-1|+x 2+|x+2|=2(1-x),则x 2017= .36. 5点8分时,时针与分针的夹角的度数为度.37.若想x,y满足5x2+4xy+y2+6x+9=0,则x+y= .38.If x+y+z=8,xy+yz+xz=17,xyz=10,then the value of (x+y)(y+z)(z+x) is .39.初中学生小鹏惊讶地发现:今年(2018年)的年龄刚好是自己出生年份的四个数字和加上10,他告诉数学王老师这一发现,王老师想了想说:我今年的年龄也刚好是自己出生年份四个数字的和加10.那么王老师比小鹏年长岁.40.如图6,S△ADE=5,S△ACE=9. S△CDE=12.那么S△BDE= .41.已知a-b=3,b-c=1,ab+bc+ca=-3,则|a+b+c|= .42.一个立方体沿着棱剪开,可以展开为一个结合为一体的平面图形,至少需要剪开条棱,至多需要剪开条棱.43.已知(x-2)5=ax5+bx4+cx3+bx2+ex+f,则16(a+b)+4(c+d)+(e+f)= .44.计算:.45.已知三角形的三个外角α,β,γ满足2344{αβαγβγ+-==,则α,β-Y 对应的三个内角的大小之比为 .46.已知对有理数a,b,c 定义新的运算f:使得f(a,b,c)=a 2+2bc,那么f (1,23,76)+ f (23,76,1)+f(76,123)= .47.已知四位数55ab =5·7·m 2,其中m 是正整数,则m= .48.已知正整数x,y 满足以下条件:x+2y 是一个三位数;且11x+4y 是个五位数,那么y 的最大值为 .49.用0,1,2,3,7这5个数字(可重复使用)组成的两位数中所有质数的平均数是 .50.一个长方体的棱长都是整数,它的三条棱长之和的数值恰与体积的数值相等,则这个长方体的表面积等于 .51.甲、乙共同默写四字成语.结果甲写错了成语总数的19,乙只写对了5个成语.又两人都写对的成语个数是总数的16,则甲写对了 个成语.52.若2b a a c b==，则a 2-b 2-bc+ab+2a-2c+2= .53.如图7,矩形ABCD的边AB上有一点E,BC上有一点F,连接CE、DF交于点G,若△CGF 的面积为2,△EGF的面积为3,矩形的面积为30,则△BEF的面积为54.在某次考试中,小明的数学、语文、英语、物理、化学、生物这6科的考试成绩分别为x、85、85、94、89、91,若把这几个科目的成绩制成扇形统计图,小明的数学成绩对应的圆心角的度数为64°,那么小明的数学成绩是 .55.如图8,直线AB//CD，∠BAC的三条四等外线分别交CD于E、F、G. ∠ACD的角平分线分别交AE、 AF、AG、、AB于H、1.J、K.若∠ACD=60°,则图中共有个等腰三角形.56.已知x除以3余2,除以5余4,除以7余4,则满足条件的三位数x最大是 .57.已知p与7p2-4同为质数,则p= .58. 图9是由4个面积为6平方厘米的等圆组成.外围的3个圆都过中间的圆的圆心O,中间的圆过外围任两圆的交点,那么阴影部分的面积总和是平方厘米.是 .60.平面内有7条直线,其中有三条直线两两平行、三条直线相交于一点A.则这7条直线形成的交点最多有 个.61.已知a ≠0,S 1=a,S 2= 12S , S 3= 22S ,…, S 2018= 20172S ,用含a 的代数式表示S 2018= .62.如图10,在△ABC 中,AB=AC,在AC 上取点M,N,使MN=BN,若∠ABM=∠CBN,则∠MBC=63.正数a,b,c 满足等式a 2b+b 2c+ac 2+a+b+c=2(ab+bc+ac),则201720162018c a b+= .64.设a,b,c 均为非零实数,并且ab=3(a+b),bc=4(b+c),ac=5(a+c),则a= ，b= ，c= .65将1～2018中的每个自然数都写出它的各位数字的乘积(如:一位数5的数字之积就是5;两位数72的数字的乘积是7×2=14,三位数607的数字的乘积是6x0x1=0;等等),则这2018个乘积的和是 .66.如图11,在△ABC 中, ∠A=90°.D、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上,且ED ⊥AB ，BD=20，CF=18，67.从15以内的质数中任取3个不同的数作为三角形的三条边长,可以构成 个三角形.68.在-2≤x ≤1范围内，化简|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|=y 3-17,则y= .69. 设325363419{x y z x y z ++=++=则3x-2y+z= .70.有一年,小明一家四口人的年龄是:爸爸30岁,妈妈比爸爸小两岁,哥哥的年龄是小明的3倍,今年全家四口人的年龄和为114,则小明今年的年龄为 .71.If two positive integers a and b satisfy the equation a 2-2b=2018, then the smallest value of a plus b is .72.已知(a-1)2-|b-2|+(c-2018)2=0,则1009257a c b +-= .73.已知222020162017201802016201720182018{x y z x y z x y z ++=++=++= 则x+z= .74.平面直角坐标系中有四个点A(-1,1)、B(5,0),C(3,-3)、D(-3,-2),将A点向下平移一个单位,将C点向上平移一个单位后得到的新的四边形ABCD的面积是 .75.如图12,正六边形ABCDEF的边长为1,作正方形GHMN使得点G在AB上、点M在ED上.则正方形GHMN的面积的最大值是 .三、解答题76.如图13,△ABC中,CP=13BC,CQ=14AC,BQ与AP相交于点N,若△ABC的面积为12,求△ABN的面积 .77.甲、乙两个筐中都装有苹果和梨,共计82个,两个筐中的水果的总数差小于10,其中甲筐里的苹果占25,乙筐里的梨占47,问:甲筐中有梨多少个?乙筐中有苹果多少个?78.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,胜一盘得1升,平-盘得0.5外,负一盘得0分;已知其中两名选手共得8分,其他人的平均夯为整数.求参加此次比赛的选手共有多少人?79.若一个三角形的一边长为8,而面积为12,求这个三角形的周长的最小值.80.已知三个实数x,y和x,同时满足等式 (x+y)2+(y+z)2+(x+z)2=94 和(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2=26，求：(1)xy+yz+xz的值;(2)(x+2y+3z)2+(y+2z+3x)2+(z+2x+3y)2的值.精品文档精品文档精品文档。
第19届希望杯初二第2试试题及答案
第19届希望杯全国数学邀请赛试题·解答初中二年级 第2试一、选择题 (以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为是正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号)1．将数字“6”旋转180 ，得到数字9；将数学“9”旋转180 ，得到数字6；那么将两位数“69”旋转180 ，得到的数字是（ ） A ．69B ．96C ．66D ．992．关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩有无数组解，则a ，b 的值为（ ）A ．0a =，0b =B ．2a =-，1b =C ．2a =，1b =-D ．2a =，1b =3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB ，O 是坐标原点，点A 的坐标是()a b ，，底边AB 的中线在1，3象限的角平分线上，则点B 的坐标是（ ）A ．()b a ，B ．()a b --，C ．()a b -，D ．()a b -，4．给出两列数：⑴1，3，5，7，…，2007；⑵1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数是（ ） A ．201B ．200C ．199D ．1985．If one side of a triangle is 2 tines of another side and it has the largest possible area ，then the ratio of its three sides is ( ) A ．1:2:3B ．1:1:2C ．1:3:2D ．1:2:5（英汉小词：possible 可能的；area 面积；ratio 比率，比值）6．有面值为10元、20元、50元的人民币（至少一张）共24张，合计1000元，那么其中面值为20元的人民币有（ ）张． A ．2或4B ．4C ．4或8D ．2到46之间的任意偶数7．由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次，这样的四位数有（ ） A ．33个B ．36个C ．37个D ．39个8．如右图，矩形ABCD 的长9AD =厘米，宽3AB =厘米，将它折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（ ） A ．5厘米，10厘米 B ．5厘米，3厘米 C ．6厘米，10厘米D ．5厘米，4厘米93FEABDCCDBA9．如右图，函数4y mx m =-的图像分别交x 轴、y 轴于点M ，N ，线段MN 上两点A ，B 在x 轴上的垂足分别为1A ，1B ，若114OA OB +>，则1OA A △的面积1S 与1OB B △的面积2S 的大小关系是（ ） A ．12S S > B ．12S S =C ．12S S <D ．不确定的10．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ）A ．第1象限B ．第2象限C ．第3象限D ．第4象限二、填空题11．化简1004200820082008200873153735+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得到 ．12．三位数3ab 的2倍等于8ab ，则3ab 等于 ．13．当2x >时，化简代数式2121x x x x +-+--，得 ．14．已知()11112f x x x x =--++，并且()0f a =，则a 等于 ． 15．If the sum of a 4-digit natural number and 17，the difference between it and 72 are allsquare numbers ，then the 4-digit natural number is ．（英汉小词典：4-digit natural number 四位自然数；difference 差；square number 完全平方数）16．将等腰三角形纸片ABC 的底边BC 沿着过B 点的直线折叠，使点C 落在腰AB 上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则______A ∠=．17．将100只乒乓球放在n 个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的个数都含有数字“8”，如当3n =时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为了8，8，84；若5n =时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 ．18．已知一个有序数组()a b c d ，，，，现按下列方式重新写成数组()1111a b c d ，，，，使1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，按照这个规律继续写出()2222a b c d ，，，，…，()n n n n a b c d ，，，，若10002000n n n na b c d a b c d+++<<+++，则_________n =．19．如右图，一束光线从点O 射出，照在经过()10A ，，()01B ，的镜面上的点D ，经AB 反射后，后经y 轴再反射的光线恰好通过点A ，则点D 的坐标是 ．20．某条直线公路上有1A ，2A ，…，11A 共11个车站，且212i i A A +≤千S 2S 1B 2A 1BANOy =mx -4mxy OABxy米()1239i = ，，，，，317i i A A +≥ 千米()1238i = ，，，，，若11156A A =千米，则101127______A A A A +=千米．三、解答题21．如下左图，在ABC △中，90ACB ∠= ，10AC BC ==，CD 是射线，60BCF ∠= ，点D 在AB上，AF ，BE 分别垂直CD （或延长线）于F ，E ，求EF 的长．60oF D EBCA21yxA O CB22．如上右图，在直角坐标系中，ABC △满足：90C ∠=，2AC =，1BC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始在x 轴正半轴上运动时，点C 随着在y 轴正半轴上运动．⑴ 当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ； ⑵ 当OA OC =时，求原点O 到点B 的距离OB ；⑶ 求原点O 到点B 的距离OB 的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？23．已知m ，()n m n >是正整数．⑴ 若3m 与3n 的末位数字相同，求m n +的最小值； ⑵ 若3m 与3n 的末两位数字都相同，求m n -的最小值．参考答案一、选择题 1．A【解析】 把数字“69”看做一个图形，则这是一个中心对称图形，旋转180 之后，与原来的数字相同，即得到数字还是69．选A ．2．B【解析】 方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩①②2a ⨯+⨯①②，得()()22ab x a +=-+，若20ab +≠，则方程组只有一解，若20ab +=，而20a +≠，则方程组无解， 若方程组有无数组解，则2020.ab a +=⎧⎨+=⎩，解得2a =-，1b =．选B ．3．A【解析】 因为OAB △是等腰三角形，O 为顶点，所以OA OB =，又AB 为底边，所以AB 垂直于中线即垂直于直线y x =，不妨设2a =，1b =，画图可知()21A ，关于y x =的对称点为()12，，选A ．4．A【解析】 由观察可知，同时出现在两列数中的数是1，11，21，…，2001，即每相邻两个数之间相差10，所以总数是20011120110-+=．选A ．5．D译文：若一个三角形的一条边是另一条边的2倍，那么当这个三角形的面积最大时，它的三条边的比值为（ ） A ．1:2:3B ．1:1:2C ．1:3:2D ．1:2:5【解析】 如右图，使AB 边不动，让12AC AB =绕点A 旋转，则BAC ∠可能为直角，也可能是锐角或钝角，很明显，只有当BAC ∠为直角时，ABC △的面积最大，且两条直角边之比为1:2，结合勾股定理，可知此时三条边由小到大的比值为1:2:5．故选D ．6．B【解析】 设10元，20元，50元分别有x ，y ，()24x y -+张，则()102050241000x y x y ++--=，即4030200x y +=，4320x y +=．其中x ，y 都是正整数．由1x ≥知316y ≤，所以1613y ≤≤，所以y 只能从1，2，3，4，5中取．又()345y x =-，其中5x -是正整数，3与4是互质的， 所以y 中一定有一个因数4． 所以y 只能取4．选B7．B【解析】 这样的四位数中的四个数码一定是恰好有两个数码相同，如：1，1，2，3．⑴ 如果相同的数码是1，即四个数码为1，1，2，3，那么当两个1相邻时，有1123，1132，2112，3112，2311，3211共6个数，若两个1不相邻有1213，1312，1231，1321，2131，3121，也是有6个数，即恰好有两个1的四位数有12个，同理，恰好有两个2，与恰好有两个3的四位数都有12个，总共有36个四位数．选B ．8．A【解析】 如右图，设ED x =，则9AE x =-，BE ED x ==．在直角ABE △中，得()22239x x +-=，C'C"CBAE AD解得5x =，即5ED =厘米．过E 点作EG BC ⊥交BC 于点G ，5BF DE ==厘米，4BG AE ==厘米， 所以1FG =厘米．在Rt EFG △中，22223110EF EG GF =+=+=厘米， 所以选A ．9．A【解析】 设()11A x y ，，()22B x y ，，则114y mx m =-，224y mx m =-．又()1111111422S OA A A x mx m =⋅=-，()2112211422S OB B B x mx m =⋅=-，则()()22121212122S S m x x m x x -=---()()1212142m x x x x =-+-． 由题意，知0m <，12x x <，且124x x +>，所以12S S >．选A10．D【解析】 当0x ≤时，3310x x +-<，所以0x ≤时，原方程无解；同样当13x ≥时，3310x x +->，所以原方程的实数根只能在103⎛⎫ ⎪⎝⎭，之间，因为a 是方程3310x x +-=的一个实数根，所以103a <<．对于直线1y ax a =+-，0a >，10a ->， 所以直线不经过第四象限，选D ．二、填空题 11．1【解析】 ()()200820082007200820082008200820082008200831531537357715++==++，所以原式1004100473137⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．12．374【解析】 由题意知()230010100108a b a b ⨯++=++，化简得1074a b +=，所以原来的三位数是374．13.21x -【解析】 2121x x x x +-+--()()12111211x x x x =-+-++---+()()221111x x =-++--因为2x >，所以110x -->． 所以原式()()111121x x x =-++--=-．14．2±【解析】 ()()()211121212x f x x x x x x x -=--=++++， 所有由()0f a =得220a -=， 也就是22a =，得2a =±．15．2008译文：有一个四位自然数，若加上17或减去72，结果都是完全平方数，则这个自然数是 ．【解析】 设这个自然数是a ，由题意得221772a ma n⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（m n >，且m ，n 均为自然数） 两式相减得2289m n -=，89是一个质数，所以()()891m n m n +-=⨯， 只有891m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4544m n =⎧⎨=⎩．所以245172025172008a =-=-=．16．36【解析】 如右图所示，设折叠后点C 落在D 点，BE 是折痕．则BDE BCE DBC ∠=∠=∠．在等腰ADE △中，若A ∠是顶角，则DE BC ∥，ADE DBC ∠=∠， 由前面已证DBC BDE ∠=∠， 所以得到90ADE BDE ∠=∠= 矛盾；若AED ∠是顶角，则180180A ADE BDE ACB ∠=∠=-∠=-∠ ，180A ACB ∠+∠=，矛盾．所以ADE ∠是顶角，则()221801802180A ADE A A ∠+∠=∠+--∠÷= ．解得36A ∠= ．17．8，8，18，28，38【解析】 5个盒子中的乒乓球个数都含有数字8，则5个数的个位都为8，或有一个数的十位数为8，但后一种情况不可能．所以每个盒子中各放入8只，再将剩下的60只合理分配在各个箱子中即可，得8，8，18，28，38．18．10【解析】 由已知()11112a b c d a b c d +++=+++即11112a b c d a b c d+++=+++．同理得22224a b c da b c d+++=+++．33338a b c d a b c d +++=+++，……，2n n n n na b c d a b c d+++=+++，CB EDA所以10022000n <<，10n =．19．1233⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】 如右图，点O 关于AB 的对称点为()'11O ，，点A 关于y 轴的对称点为()10A '-，，AB 所在的直线的方程为1y x =-+A O ''所在直线的方程为()112y x =-． 由()1112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以点D 的坐标为1233⎛⎫⎪⎝⎭，．20.34【解析】 因为1101447710A A A A A A A A =++，317i i A A +≥（千米）所以11017513A A =×≥（千米）．又11156A A =（千米），所以10115A A ≤（千米）． 有81117A A ≥（千米），81012A A ≤（千米）， 所以10115A A ≥（千米）． 于是只有10115A A =（千米）． 同理125A A =（千米）．而1734A A ≥（千米），所以2729A A ≥（千米）， 又210565546A A =--=（千米），71017A A ≥（千米）， 所以2729A A ≤（千米）． 所以2729A A =（千米） 所以10112734A A A A +=（千米）．三、解答题 21．【解析】 在Rt ACF △和Rt CBE △中，AC BC =，906030ACF ∠=-= ，30CBE ∠= ，即ACF CBE ∠=∠，所以ACF CBE △≌△，5CE AF ==，53BE CF ==． 所以()531EF CF CE =-=-．22．【解析】 ⑴ 当A 点在原点时，如下左图，AC 在y 轴上BC y ⊥轴，所以点B 的坐标是()12，， 于是225OB x y =+=；y xB AOO'A'12x y AO BC321DyxA O CB⑵ 当OA OC =时，如上右图，OAC △是等腰三角形，且2AC =， 所以2OA OC ==，1245∠=∠= ，从点B ，C 分别作x 轴，y 辆的垂线，两条直线交于点D ，所以345∠= ， 因为1BC =，所以22CD BD ==， 得B 点的坐标是23222⎛⎫⎪⎪⎝⎭，． 所以22232522OB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶ 如右图，取AC 的中点E ，连结OE ，BE ， 在Rt AOC △中，OE 是斜边AC 上的中线， 所以112OE AC ==．在ACB △中，1BC =，112CE AC ==，90BCE ∠= ，所以2BE =．若点O ，E ，B 不在一条直线上，则12OB OE EB <+=+．若点O ，E ，B 在一条直线上，则12OB OE EB =+=+．所以当O ，E ，B 三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为12+．23．【解析】 ⑴ 由已知得33m n -是10的倍数，即()33331m n n m n --=-是10的倍数．又3n 与10的互质的，所以只能是31m n --是10的倍数． 令m n s -=，所以只要3s 的末位数字是1即可， 显然4381=满足条件，所以m n -的最小值是4； 取1n =，则5m =，此时m n +最小，最小值为6． ⑵ 由⑴的思路得33m n -是100的倍数， 即()33331m n n m n --=-是100的倍数，又3n 与1000是互质的，所以只能是31m n --是100的倍数． 令m n r -=，所以只要3r 的末位数字是01即可， 因为3r 末位数字为1，所以r -一定是4的倍数，令4r t =（t 是正整数），所以43381r t t ==的末两位数是01．EyxA O CB。
第20届希望杯全国数学邀请赛初二年级组第2试试题及答案解析
第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。
B 。
C 。
D 。
2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数 图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（ ）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =． 则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________． （英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提 示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-， 所以 0100x x x y <+<-<，，， 则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++， 即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是 （1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数． 所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。
2018年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)
第十八届（2018年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题“希望杯”命题委员会（未署名的题，均为命题委员会命题）初中二年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内）1．有下面的四个叙述：①整式加整式还是整式；②整式减整式还是整式；③整式乘整式还是整式；④整式除整式还是整式．其中正确叙述的个数为（）．（A）4 （B）3 （C）2 （D）12．若x是有理数，分式1||2x-的值为正整数，则x的个数为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）无数个3．将分式2aa b+中的a扩大2倍，6扩大4倍，而分式的值不变，则（）（A）a=0 （B）b=0 （C）a=0，且b=0 （D）a=0或b=04．已知x与y+2成反比例，当x=1时，y=4，那么y=1时，x的值是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）45．若实数a，b，c满足a2+b2≠0，a3+a2c-ab c+b2c+b3=0，则a+b+c的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）26．若实数a，b，c满足1a+1b+1c=1a b c++，则a+b，b+c，c+a中等于零的（）（A）有且只有1个（B）至少有1个（C）最多有1个（D）不可能有2个7．设f=2x-3x-2，g=x-2，考察下面四个叙述：①f+g是整式；②f-g是整式；③f×g是整式；④当x≠2时，f÷g是整式．其中正确叙述的个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）18．如果≠0成立，那么下列各式中正确的是（）（A）a+b≥0 （B）a+b>0 （C）a+b≤0 （D）a+b<09．甲、乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象如图，根据图中提供的信息，•有下列叙述：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发了0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象的叙述有（）个．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5(第9题) (第10题) (第15题)10．已知直线y=2x+a与y=2a-x的图象的交点在如图所示的阴影长方形区域内（•含长方形边界），则a的取值范围是（）（A）0≤a≤32（B）65≤a≤95（C）65≤a≤32（D）0≤a≤9511．甲车追超过前方的乙车，经过时间t后在A处追上，若甲、乙各提速a%，则（）（A）甲车追上乙车所用的时间增加了a%; （B）甲车追上乙车所用的时间减少了a% （C）甲车仍在A处追上乙车; （D）甲车驶过A处后才追上乙车12．某人用1000元钱购进一批货物，第二天售出，获利10%，•过几天后又以上次售出的价格的90%购进一批同样的货物，由于卖不出去，•两天后他将其按第二次购进价的九价再出售，这样他在两次交易中（）（A）刚好盈亏平衡（B）盈利1元（C）盈利9元（D）亏损1．1元13．某足球赛，记分规律如下：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，A队经过12场比赛后，积19分，若队员出赛一场的出场费为500元/人，胜一场奖金1000元/人，•平一场奖金500元/人，那么A队队员在12场比赛后的最高收益可能是（）（A）13500元/人（B）14000元/人（C）13000元/人（D）12500元/人14．小明和小刚用掷两枚骰子的方法来确定点P（x，y）在坐标系上的位置，他们规定：小明掷得的点数为x，小刚掷得的点数为y，•那么他们各掷一次所确定的点落在已知直线y=-2x+6上的概率为（）（注：骰子是骨制的一个白色小正方体，它的六个面上分别刻有1个，2个，3个，4个，5个，6个红色小圆点，将其随意掷放于一个平面上，骰子必有一面向上，•这个面上红色圆点的个数就叫做点数）．（A）16（B）112（C）118（D）1915．如图，晴朗的夏天，太阳当空，•一只小鸟以不变的速度水平地飞过一个斜坡上空，则小鸟在斜坡上的影子移动的速度（）（A）越来越大（B）越来越小（C）不变（D）一定和小鸟的飞行速度一样大16．当5个整数从小到大排列时，中位数是4，如果这5个整数的惟一众数是6，则这5个整数的和最大是（）．（A）20 （B）21 （C）22 （D）2317．某市出租车的起步价为12元（行程在3公里以内），行程到达3公里之后，•每增加1公里需加付m元（不足1公里亦按1公里计价），•张老师坐这种出租车从学校到离学校n 公里的教育局开会，沿途未遇红灯，下车时付车费28元，则m与n的关系是m=（）（注：[n]表示不大于n的最大整数，如[3，2]=3，[4]=4．）（A ）16162828()()3()3[]3[]2[]3[]2B C D n n n n ------ 18．用200元钱买A 、B 、C 、D 四种商品共10件，若A 、B 、C 、D 的单价依次是13元，17元，22元，35元，则（ ）（A ）A 、B 、C 、D 各买了2，3，4，1件 （B ）A 、B 、C 、D 各买了4，2，2，2件（C ）以上两种情况都可能 （D ）以上三种情况都不可能19．如图，直线AE ∥BF ，点P 在AE 上方，点M 、N 分别在AE 、BF 上，若PC 平分∠MPN 交AE 、BF 于C 、D 两点，∠PCE=α，则∠1=∠2的大小为（ ）（A ）α （B ）2α （C ）3α （D ）4α(第19题) (第22题) (第25题)20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形的个数为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）7 （D ）821．如果△ABC 的垂心G （三条高的交点）在△ABC 的内部，并且在BC 边的中线AD 上，那么△ABC 一定是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形（C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形22．如图5，△ABC 中，∠A=60°，AC=16，S △ABC AB=（ ）（A ）554（B ）55 （C ）45 （D ）23．有下面四个判断性语句：①平行四边形的四个内角之和为360°；②有两个内角相等的四边形是平行四边形；③平行四边形的四个内角中有两对是相等的；④四个内角中有两对相等的四边形是平行四边形．（A）4 （B）3 （C）2 （D）124．对凸四边形ABCD，给出下列4个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB．现从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD•为平行四边形的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）5625．如图，以Rt△ABC的两直角边AB、BC为边，•在△ABC•外部作等边△ABE•和△BCF，EA、FC的延长线交于M点，则点B一定是△EMF的（（A）垂心（B）重心（C）内心（D）外心26．Assume that in Fig． 7 ABCD is a square，and •point •E •is •on •theline BC，CE=AC．we connect A and E，AE intersects CD at point •F，•then •thedegree of ∠AFC is（）（A）150°（B）125°（C）135°（D）112.5°（英汉词典：Fig．是figure（图、图形）的缩写；to cormect连接；to intersect…at相交于；degree度、度数）(第26题) (第27题) (第28题) (第30题)27．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）（A）80°（B）70°（C）65°（D）60°28．如图，顺次连接凸四边形ABCD的中点，得到四边形EFGH．要使四边形EFGH•是正方形，应补充的条件是（）（A）四边形ABCD是等腰梯形（B）四边形ABCD是平行四边形（C）四边形ABCD是菱形（D）AC=BD，且AC⊥BD29．将一把折扇逐渐打开，会发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，•那么能正确描述这种变化的函数是（）（A）正比例函数（B）反比例函数（C）一次函数y=kx+b（b≠0）（D）以上都不是30．如图是一间卧室地面瓷砖的图案，在这间卧室地下藏有一宝物，•则藏在白色瓷砖和灰色瓷砖下的可能性是（）（A）藏在白色瓷砖下的可能性大（B）藏在灰色瓷砖下的可能性大（C）藏在两种瓷砖下的可能性一样大（D）藏在灰色瓷砖下与藏在白色瓷砖下的可能性之比是3：2二、填空题31．计算：20082+20072+20062-2008×2007-2007×2006-2006×2008=________．32．已知则x2007=2，则（x2006+x2005+x2004+…+x+1）（x-1）=__________．33．设a，b，c是实数，则能使（a+b+c）（1a+1b+1c）=1成立的条件是______或_______．（•写出两个满足条件即可）34．Ifm and n are positive integers satisfying m2+27mn+n2=729 and m+•n>mn，then the value of m+n is_________．（英汉词典：positive integer正整数；to satisfy满足；value值、数值）35．计算：（+2=________．36．已知A=20072007×20082008×20092009，B=（2007×2008×2009）2007200820093++，则A•与B•的大小关系是A_____B．（填“>”、“<”或“＝”）37．设B =，则A_______B ．（填“>”、“<”或“＝”）38．39．If a and •b •are •constant ．•and •the •set •of •solutions •of •theinequality ax+b>0 is x<13，then the set of solutions of the inequalityba<0 is________． （英汉词典：constant 常数；set 集合；solution 解、解答；inequality 不等式）40．一次智力测试有25道题，答对一题得4分，不答扣2分，答错扣4分，小明要想在这次智力测试中的得分不低于60分，他至少要答对________道题．41．设正数a ，b ，c ，x ，y 满足：a ≠c ，22222222221,x xy y x xy y a b c c b a++=++=1，则代数式222111a b c++的值为________． 42．若以x 为未知数的方程42ax x -+=3无解，则a=_______． 43．已知m 与n 使m m m n m n ++-的值等于-14，则n m的值是_________． 44．当x=2时，多项式75312a b c d x x x x ++++的值是3，那么当x=-2时，多项式的值是_______． 45．若实数a ，b 满足1a -1b -1a b +=0，则2222b a a b-的值等于________． （拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学214432）46．如果以x ，y 为元的二元一次方程12ax y x ay +=⎧⎨+=⎩有解，那么a 不等于________．52．如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=4x（x>0）的图象上，•斜边OA，AA都在x轴上，则点A的坐标是________．(第52题) (第53题) (第55题) 53．In the following traffic marks，the number of marks whose•figuresaxially-symmetric is___________．（英汉词典：traffic交通；•mark•标志；•number•个数；•figure•图形；•axially-symmetric（轴对称）54．仅将两个全等的非等腰的直角三角形的一条边重合，拼接成新的图形，•拼成的图形可能是下列各种图形中的一种或几种：①矩形；②菱形；③直角梯形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．则正确结论的序号是_______．（把所有正确的图形的序号都填上）55．如图所示，平行四边形ABCD中，过BD的中点O的直线交AB、CD于M、N，•交DA、BC 延长线于E、F，则图中有全等三角形________对．56．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，•阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是_______；周长的比是________．(第56题) (第58题) (第59题) (第60题)57．在平面直角坐标系内点A 、B 的坐标分别为（-3，-2），（3，a ），点B 在第一象限，•且A 、B 两点间的距离为10，那么a 等于______．58．在建筑工地上，工人用如图所示的装置能将重物运往高处：•绳子绕过定滑轮，一端系着重物，在地面的工人手拿绳子的另一端，沿着垂直于滑轮轴的方向，向前走一段距离，重物便上升到定滑轮外，被高处的工人卸下，已知重物上升的距离是5米，则地面上的工人向前行走的距离为________米．59．图中的两个滑块A 、B 由一个连杆连接，可以在竖直和水平的滑道内滑动，•开始时，滑块A 距0点15厘米，滑块B 距0点20厘米，A 、B 的距离为25厘米，那么滑块B 滑到C 点时，滑块A 共滑动了_________厘米．60．如图，△ABC 的边AB 长为2，AB 边上的中线CD 长为1，AC 、BC，则△ABC 的面积为_________．61．a 、b 、c 是三角形的三边，它们满足ac 2+b 2c-b 3=abc ，若三角形的一个内角是120°，那么a ：b ：c=_______．62．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，满足c a b a b c b c a c a b <<+-+-+-，则三边中最长的边是________．63．如图，0是△ABC 外部一点，AO 交BC 于A 点，BO ，CO 的延长线分别交AC ，AB•的延长线于点B ，C ，则111AO BO CO AA BB CC ++的值为_________．(第63题) (第64题) (第65题) (第66题)64．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=132，梯形ABCD•的面积为30，则AB+BC+DA的值为________．65．如图，边长为2的正方形ABCD中，若∠PAQ=45°，则△PCQ的周长是_____．66．如图，A，B两个平行四边形草坪有公共部分（阴影处），A，B•草坪面积之和为160m2，A的面积为120m2，B的面积为74m，则重叠部分的面积是_______m2．67．若凸4n+2边形AA…A（A为正整数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A=∠A=∠A=90°，则n的值是________．？68．服装店进了某款式的时装，开始按比进价提高30%的价格销售，但是无人问津，•于是决定打折降价销售．•如果要使利润率不低于10%，••那么打折的幅度不能低于_________．（保留两位有效数字）69．红光中学去年有120人参加“希望杯”全国数学邀请赛，•今年的参赛人数增加了50%，考场数比去年多了3个，而且平均每个考场安排的考生增加了2人，今年安排的考场有_________个．70．直角三角形三边长均为整数，其中一条直角边长为35，•则它的周长的最大值是________，最小值是_______．（拟题：刘朝晖广东省中山市第一中学初中部528400）71．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，•若现在所需要的时间为b小时，则_______<b<______．（用关于a的表达式表示）72．1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，……从中找出一般规律是________．73．一种商品的进价为90元，原售价定为m 元，售出一半之后，剩余的一半按8折出售，全部售出后共获利10%，则原售价定为m=________元．74．某学校八年级的数学竞赛小组进行了一次数学测验，如图所示是反映这次测验情况的频率分布直方图，那么该小组共有______人；70.5～90.5这一分数段的频率是______．(第74题) (第76题) (第77题) 75．用[a ，b]表示自然数a ，b 的最小公倍数，（a ，b ）表示□，b 的最大公约数，若[•a ，b]=1085-（a ，b ），那么当a>b 时，a-b 的最小值是________． 76．如图,△ABC 中，∠C=90°，EC=13AC ，CD=13BC ，BE=8，AD=EC+CD=6，则S △BCD =______． （拟题：刘朝晖 广东省中山市第一中学初中部528400）77．如图，E 是平行四边形ABCD 的边CD 上任一点，AE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结BE 、DF ，则S △BCE _______S △DEF ．（填“>”、“<”或“＝”） （拟题：李廷江 贵州省修文县第二中学550200）78．若4x 2+1+kx 是关于x 的完全平方式，则k 2-2k+2的值为________． （拟题：窦桐生 吉林省磐石市明城中学 132301） 79．解方程：20052007200820042004200620072003x x x x x x x x +++++=+++++得x=_________．（拟题：钟金子 福建省安溪恒兴中学362400） 三、解答题80．某班有语文、数学两个课外兴趣小组，•其中参加语文组的人数是全班人数的23，既参加语文组又参加数学组的人数是参加数学组人数的23，另外有4•位同学既不参加语文组，也不参加数学组，如果这4位同学参加语文组，•那么参加数学组与参加语文组的人数恰好相等，问全班有多少同学？既参加语文组又参加数学组的人数是多少？81．某工厂计划生产A、B两种产品，为取得最大生产利润，事先做了市场调查，根据厂内实际情况和市场需要得到有关数据如下表：现在工厂可以筹集到的资金用于原料及消耗的是300000元/月，用于工资支出的是110000元/月，问如何确定两种产品的月产量，可以使工厂得到的总利润达到最大？并求这个最大利润值．82．如图，从直线COD上一点O引两条射线OE，OF，使∠GOF=∠FOE=∠EOD=60°，•在射线OF，OG，OE上各取一点A，B，C，使∠CAB=60°，若OA=m，求△ABC面积的最大值．83．从2006年元旦起，公民的月工资、薪金个人所得税的起征点由原来的800•元调整为1600元，如果公民的月工资、薪金超过1600元，则税款按下表累加计算：根据上表，请：（1）写出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数关系式；（2）作出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数图象；（3）若李先生月薪金4000元，他应交纳的个人所得税是多少元？84．用红色刻度线将一根木棍分成135等份，•再用黑色刻度线将这根木棍分成40等份，沿两种刻度线将这一木棍锯成短木棍．问共有多少种不同长度的短木棍？85．100条线段的长度分别为1，2，3，…，99，100，从中取出一些线段，•要使取出的线段中的任意三条都能构成一个三角形，问最多能取出多少条线段？第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题（1～85题）答案．解析一、选择题1．①②③正确，④错误，如整式（x+2）除以整式（2x+1），得到21x +，它不是整式，故选（B ）． 2．原分式即12||x -，要使该式的值为正整数，只须2-│x │的值为1，12，13，…，1n （n是正整数）即可，•所以x 的值有无数个，故选（D ） 3．将分式2a a b+中的a 扩大2倍，b 扩大4倍，得到424a a b +，由题意知424a a b +=2aa b +，所以a=0，或2a+2b=2a+4b ，•解得b=0，故选（D ）． 4．由已知得x=2ky +，因为x=1时，y=4，所以1=42k +，解得k=6，则当y=1时，x=612+=2．故选（C ）． 5．a 3+a 2c -a bc+b 2c+b 3=（a 3+b 3）+a 2c-a bc+b 2c=（a+6）（a 2-ab+b 2）+c （a 2-a b+b 2）=（a 2-ab+b 2）（•a+b+c ）=0．因为a 2-a b+b 2=a 2-ab+b 2+24b -24b =（a -2b ）2+34b 2≥0，因为题设a2+b2≠0，即a，b不同时为零，所以a2-ab+b2>0，从而只能是a+b+c=0，•故选（B）．6．由已知1a+1b=1a b c++-1c=()(),()()a b a b a bc a b c ab c a b c-++-+=++++即，所以a+b=0或ab=-c（a+b+c）．由ab=-c（a+b+c），得c2+c（a+b）+ab=0，即（c+a）（c+b）=0，所以c+a=0或c+b=0．因此，a+b=0或c+a=0或c+b=0，即三个式子中至少有1个成立，故选（B）．另解验证法．当a+c=0且b+c=0时，得a=-c，b=-c，代入到原式左侧，得1a+1b+1c=1a．代入原式右侧得1a b c++=1a，所以a+b，b+c，c+a中有可能有2个式子同时为零，排除（A），（C），（D），故选（B）．7．①②③正确．因式分解f，得f=2x2-3x-2=（2x+1）（x-2），f÷g=2x+1，即f÷g是整式，④正确，故选（A）．8．令a=b=-1，则成立，所以排除（A）和（B）．令a=-1，b=1，则D）．当a<0，b<0时，a+b<0．当a<0，b>0时，因为≥0，所以a+b≤0．当a>0，b>0时，当a>0，b<0时，≠故选（C）．9．①，②，③，④正确，⑤错误，故选（C）．10．先求直线y=2x+a与y=2a-x的图象的交点．解方程组2,3253a x y x a y a xa y ⎧=⎪=+⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩得 因为，交点在长方形区域范围内，所以10325233a a ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得65≤a ≤32，故选（C ）． 11．设开始时甲、乙的速度分别为v 1、v 2，它们相距s ，则t=12sv v -，A 处到乙车出发点的距离为S=v 2t ．若甲、乙各提速a%，则甲车追上乙车的时间为 t ′=12(1%)(1%)1%s ta v a v a =+-++ 此时乙车行驶的距离为S ′=（1+a%）v 2t′=v 2t =s ． 故选（C ）．12．以1000元购货，售出后获利10%，即获利100•元；•第二次以上次售出的价格的90%购进一批同样的货物，即花费1100元的90%，即990元购货，这次售出是按990•元的九折出售，亏损990元的10%，即亏损99元，两次交易合计盈利1元，故选（B ）．13．设A 队胜x 场，平y 场，负z 场，则12319x y z x y ++=⎧⎨+=⎩由y=19-3x 代入①，得x+19-3x+z=12，7=2x-z ，所以z 是奇数． 当z=1，x=4，y=7时，收益为12×500+4×1000+7×500=13500（元）； 当z=3，x=5，y=4时，收益为12×500+5×1000+4×500=13000（元）； 当z=5，x=6，y=1时，收益为12×500+6×1000+1×500=12500（元）．所以当A 队胜4场，平7场，负1场时，队员收益最高为13500元/人，故选（A ）．14．两枚骰子确定的点P （x ，y ）共有36种，能落在直线y=2x+6上的有2种，即x=1，y=4；x=2，y=2．所以P 能落在直线y=2x+6上的概率为213618=，故选（C ）． 15．太阳光是平行光，如图所示，假设小鸟从A →B 和从B →C 的时间相同，•则AB=BC ，由平行线截线段成比例如A ′B ′=B ′C ′，所以小鸟在斜坡上的影子移动的速度不变．若=A ′B ′=AB ，则影子移动的速度将等于小鸟飞行的速度，•但这与太阳光照射角度有关，故选（C ）．16．设这5个整数从小到大排列依次是a ，b ，c ，d ，e ，已知中位数是4，则c=4，•又这5个数的惟一众数是6，则d=e=6，a ≠b ，所以a<b<4．要使5个整数的和最大， 则应取a=•2，b=3．所以这5个整数可能的最大和是2+3+4+6+6=21．故选（B ）． 17．由题意知 28-12=m （[n]+1-3），所以m=16[]2n -，故选（B ）．18．设A 买了x 件，B 买了y 件，c 买了z 件，D 买了w 件，依题意有10,131********.x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩由②得13（x+y+z+w ）+4y+9z+22w=200．将①代入上式，得4+9+22w ≤4y+9z+22w=70，所以22w ≤57，于是w ≤2，当w=1时，4y+9z=48．显然y 是3的倍数，z 是4的倍数，令y=3y ′，z=4z ′，则12y ′+36z ′=48， 所以y•′+3z ′=4，y ′=z ′=1，y=3，z=4，于是得到一组答案：x=2，y=3，z=4，w=1，当w=2时，4y+9z=26， 显然，z 是偶数．令z=2z ′，则4y+18z ′=26，即2y+9z ′=13，显然z ′是整数，所以z ′=1，y=2， 于是得到另一组答案：x=4，y=2，z=2，w=2，故选（C ）．19．如图，由AE ∥BF ，角平分线性质及三角形外角的性质知道:∠1+∠2=∠1+•∠3=∠1+（a+β）=（∠1+β）+a=a+a=2a ．故选（B ）．20．不妨设a<b<c ，则由a+b+c=30，知a+b=30-c ，又由三角形边的性质知a+b>c ，•于是30-c>c ，得c<15．又c>3033a b c ++==10，所以10<c<15， 又因为c 为整数，所以c=11，12，13，14． 当c=11时，b=10，a=9．当c=12时，b=11，a=7；b=10，a=8．当c=13时，B=12，a=5，b=11，a=6；•B=10，a=7；b=9，a=8．当c=14时，b=13，a=3；b=12，a=4；b=11，a=5；b=10，a=6；b=9，a=7． 满足条件的三角形共有12个，故选（B ）．21．已知点G 在△ABC 内部，所以△ABC 不是直角三角形．由于G 点是△ABC 的垂心，•所以AB ⊥BC ，又G 点在BC 的中线AD 上，所以AD ⊥BC ，即BC 边的中线与高重合，△ABC 是等腰三角形．故选（B ）．22．从C 作CH ⊥AB ，H 为垂足，在Rt △ACH 中，∠A=60°，∠1=30°，AC=16，•所以AH=12AC=8．所以ABC 的面积S △ABC所以12·AB · 解得AB=55，故选（B ）．23．①和③是正确的，②和④是错误的，故选（C）．24．从4个条件中任选2个条件，共有6种选法，其中①②，①③，①④，②④这4种组合都可以推出四边形ABCD是平行四边形，而选②③，③④，四边形ABCD•不一定是平行四边形，所以概率P=46=23．故选（C）．25．连结EC、AF，如图?所示，由于△ABE，△BCF是等边三角形，并且∠ABC=90°，易证△EFB≌△ECB≌△AFB，于是CE=AF=EF，所以△CEF和△FAE是等腰三角形，•且EB平分∠FEC，FB平分∠AFE，所以FB⊥AE，EB⊥CF，所以B是△EMF的垂心，故选（A）．26．译文：如图7所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，且CE=AC，连结A，E交CD 于点F，则∠AFC的度数是（）（A）150°（B）125°（C）135°（D）112.5°因为ABCD为正方形，AC是对角线，则∠1=45°，∠2=135°，•因为CE=•CA，•所以△ACE 是等腰三角形，∠E=22.5°，所以∠3=∠FCE+∠E=112.5°，故选（D）．27．连结FB，如图，因为EF垂直平分AB，ABCD是菱形，•所以AF=•FB=•FD．•在菱形ABCD中，∠1=∠2=∠3=12∠BAD=40°，又因为AB∥CD，所以∠CDA=180°-80°=100°，所以∠CDF=100°-40°=60°，故选（D）．28．连结AC，BD，如图所示，由E，F，G，H是所在边的中点，得EH∥FG•∥BD，•且EH=FG=12 BD，及EF∥HG∥AC，且EF=HG=12AC，•可知四边形EFGH•是平行四边形．•要使四边形EFGH是正方形，则必须：①EF=EH，即AC=BD；②EF⊥EH，即AC⊥BD．故选（D）．29．扇形面积S随圆心角的增大而增大，且扇形面积是圆的一部分，设扇形的圆心角为x°，则扇形面积S=22360260x R R x ππ=，其中，变量x 前面的2360R π是常数，故选（A ）． 30．因为白色瓷砖和灰色瓷砖面积相同，所以宝物藏在两种瓷砖下的可能性一样大，故选（D ）． 二、填空题31．3 32．1 33．答案不惟一 34．9 35．14 36．> 37．> 38．0 39．x<-340．20 41．1200742．-3 43．±3 44．-2 45．±1 47．1000048．5 49．．±．252．（0） 53．354．①④⑤ 55．5 56．5；8 4 57．6 58．．35 60611；1 62．b 63．2 64．17 65．4 66．34 67．1 68．8.5折 69．18或15 70．1260；84 71．0.85a ；0.92a72．n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n 是正整数) 73．110 74．25;0.64 75．216.5 76．6.5 77． 78．10或26 79．-2005解析:31．令a=2008，b=2007，c=2006，则原式=a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]=3 32．根据：当n 是正整数时，（x n +x n-1+…+x 2+x+1）（x-1）=x n+1-1，知原式=x 2007-1=1． 33．a+b ，b+c ，c+a 中有一个或两个是0即可，如：a=-b ；或a=c=1，b=-1．34．译文：如果m ，n 是正整数，满足m 3+27mn+n 3=729，m+n>mn ，则m+n 的值是_____．因为m+n>mn ，所以m+n-mn-1>-1，即（m-1）（n-1）<1，而m ，n 是正整数， 所以（m-1）（n-1）=0，m=1或n=1，若m=n=1，不符合题意，舍去．所以m ，n 中有且只有一个是1，不妨设n=1，则m 3+27m+1=729，得m 2+27m-728=0， 即（m-512）+（27m-216）=0，（m-8）（m+8m+64）+•27（m-8）=0，（m-8）（m 2+8m+91）=0，所以m=8或m 2+8m+91=0，而m 2+8m+91=0无实根，故只能m=8，于是m+n=9． 35则原式+22-2+2（）+2=1436．可以构造商式比较大小，由于A>0，B>0，所以20072008200920092007200820092009(200720082009)2007A B ⨯⨯==⨯⨯>1，所以A>B ．37.20082008011A A B =+=+==-=<<<即又A>0，B>0， 所以A>B 38．原式=0 39．译文：如果a ，b 为常数，且不等式ax+b>0的解集是x<13，则不等式bx-a<0•的解集为不等式ax+b>0，即ax>-b 题设它的解是：x<13，所以a<0，且-b a =13即a=-3b ，所以b>0 则不等式bx-a<0的解集为x<ab=-3，即x<-3 40．考虑极端情况，假设小明答题只有答对和答错两种情况，且他答对x 道题，•由题设条件可得4x-4（25-x ）≥60， 解得x ≥20，所以他至少要答对20道题． 41．由题设的22222222221,1x xy y x xy y a b c c b a++=++=，两式相减，得222222x y y x a c --+=0． 所以（x 2-y 2）（2211a c-）=0 因为a ≠c ，且a ，c 为正数 所以2211a c -≠0， 所以x 2-y 2=0．由x ，y 均为正数，且将222111a b c ++=12007． 42．若方程42axx -+=3有解，则应有x ≠-2， 于是有4-ax=3x+6， x=-23a+．显然，必须a ≠-3．因此，当a=-3时，方程无解． 43．题设，m m m n m n ++-=-14， 即2222m m n-=-14， 也即222m n m -=-8，即1-（n m ）2=-8， （n m ）2=9，nm=±3．44．当x=2时，753753113222222a b c d a b c d x x x x ++++=++++=所以7532222a b c d +++=52，753753753121(2)(2)(2)(2)21()2222a b c d x x x x a b c d a b c d ++++=++++----=++++当x=2时, =-2． 45．在1a -1b =1a b+的两边同乘以（a+b ），得a b a ba b ++-=1， 即（1+b a ）-（a b +1）=1，也即b a -ab=1．又b a +a b =4a b=2222b a a b -=（b a -a b ）（ba +ab ）=46．由ax+y=1得y=1-ax ，代入x+ay=2，得x+a （1-ax ）=2，（1-a 2）x=2-a ，因为方程组有解，所以此方程有解，所以1-a 2≠0，这时，方程组有解x=22212,11a a y a a--=--，又，•若a 2=1时，如果方程组有解，则在ax+y=1两边同乘以a ，得到a 2x+ay=a ，即x+ay=a ，所以a=2，与a 2=1矛盾，综上，知：仅当a ≠±1时，原方程组有解 47．由（n-2）a n-2-（n-1）a n-1+1=0，（2≤n ≤100）得a 1=1，a 3-2a 2=-1，2a 4-3a 3=-1，3a 5-4a 4=-1，……98100-9999=-1．以上各式相加，得98a 100-2（a 2+a 3+…+a 99）=98，以a 100=199代入，得a 2+a 3+…+a 99=9800，•于是a 1+a 2+…+a 100=1+9800+199=10000． 48．由题可知xy=1，x=1y，代入到题设的等式，得 19x 2+145+219x =2007， 19（x 2+21x ）=1862， x 2+21x =98， x 2+21x +2=100，（x+1x ）2=100，所以x+1x=±10，2()10,a ba b -+=±-也即=±10，±5（a-b ）=a+b ， 取正数5a-5b=a+b ，则2a=3b ，最小，a=3，b=2，a=b=5； 取负数-5a+5b=a+b ，则3a=2b ，最小，a=2，b=3，a+b=5． 49．由x 3+y 3+z 3=3xyz 得 x 3+y 3+z 3-3xyz=0， （x+y ）3+z 3-3x 2y-3xy 2=0．[（x+y ）+z]3-3（x+y ）2-3（x+y ）z 2-3x 2y-3x y 2-3xyz=0，（x+y+z ）3-3（x+y ）z （x+y+z ）-3xy （x+y+z ）=0， （x+y+z ）3-（x+y+z ）（3x+3xz+3yz ）=0， （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-xz-yz ）=0， （x+y+z ）（2x+2y+2z-2xy-2xz-2yz ）=0． （x+y+z ）[（x-y ）2+（y-z ）2+（z-x ）2]=0． 因为x ，y ，z 互不相等， 所以x+y+z=0 ①又因为②①+②得①-②得所以（2x+z ）2（2y+z ）2=（2+（250．由条件得ab=2，则（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=8，所以a+b=±51=2x，则=2x，则若比例式为1x ，则． 52．依题意，设P 1（m ，4m ），P 2（n ，4n ），则m=4m，m 2=4．所以m=2（m>0）， 所以OA 1=4， 所以4+4n=n ，n 2-4n=4， （n-2）2=8．所以，所以，所以OA 2=n+4n所以点A 的坐标是（0）．53．译文：在下列交通标志中，是轴对称图形的标志有_______个． 只有第三个不是轴对称图形，所以轴对称图形有3个． 54．如图，可得矩形、平行四边形和等腰三角形，填①④⑤．55．因为ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，则△AEM ≌△CFN ，△DEO ≌△BFO ，△BMO ≌△DNO ，△ABD ≌△CDB ，△EDN ≌△FBM ，• 共有5对全等三角形．56．设小正方形的边长为1，则正方形ABCD 的面积为16，周长为16， •阴影部分的面积是16-4×12×3×1=10，周长是 所以，面积比=5：8，4．57．由条件得（a+2）2+62=102，所以（a+2）2=46，a+2=8，a=6． 58．如图所示，已知AC=2AB=10米，∠ABC=90°，•所以地面上的工人行走的距离是．59（厘米）．当滑块B 滑到0点时，滑块A 距0点25厘米，故滑块A 向上滑动了10厘米．当滑块B 由0点滑到C 点时，滑块A 由最高点滑到0点，即向下滑动了25厘米， 所以滑块A 共滑动了35厘米． 60．设AC=b ，BC=a ，AB=c ， 由AB=2，CD=1， 知∠ACB=90°， 于是a 2+b 2=c 2 所以（a+b ）2-2ab =c 2而，c=2所以2-2ab=22，得因此，S △ABC =12 61．由题设条件可知a c 2+bc 2-b 3-abc=b 2（c-b ）+ac （c-b ）=（c-b ）（b 2+ac ）=0 所以c=b ．因此三角形为等腰三角形，又一个内角是120°，所以其底角是30°，则a ：b ：2：1：1．62．因为a ，b ，c 是三角形的三条边，所以a ，b ，c 及a+b-c ，b+c-a ，c+a-b 均为正数， 所以111a b c b c a c a bc a b a b b c a cc a ba b b c a cc a ba b c a b c a b cc a b+++-+->>+++->->-+++>>++++++>>c<a<b ．即，三边中最长的边是b ． 63．可转化为面积求解．设△AA 2B ，△BOA 2，△BC 2O ，△B 2CO ，△OA 2C ，△AA 2C 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，△ABC 的面积为S ，如图33所示，并利用以下三个结论：（1）等高三角形面积的比等于对应底边的比（如图34）．11212,S S AD ADS DB S S AB==+ （2）合比定理，若,a c a c a c b d b d b d+===+则 （3）分比定理． 若,a c a c a cb d b d b d-===-则 ？则（见扫描卷） 将上面三式相加，得1112AO BO CO SAA BB CC S++==2 64．延长BE 交AD 的延长线于F ，如图所示，因为AD ∥BC ，E•为CD•的中点，•所以△DFE ≌△CBE，于是BC=DF，BE=EF．？ S=S因为BE=132，所以BF=13，在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2=132？12AB·AF=S=30于是（AB+AF）2=AB2+AF2+2AB·AF=132+120=289=172 所以AB+BC+DA=AB+AF=1765．如图36，延长CB到M，使BM=DQ，连AM，因为AD=AB，∠D=∠ABM=90°，所以△ADQ≌△ABM，AM=AQ，∠MAB=∠DAQ，因为∠BAP+∠DAQ=45°，所以∠MAB+∠BAP=45°，所以∠MAP=∠PAQ又因为AP=AP所以△MAP≌△QAP，MP=PQ，所以△POQ周长=PC+CQ+PQ=PC+BP+CQ+DQ=4．66．设重叠部分的面积是xm2，则120+（74-x）=160，所以x=34．？ 67．由n是正整数，知道凸4n+2边形的边数至少是6．因为∠A，∠A，∠A都是90°，•所以此多边形的外角和是270°．因此，除了∠A ，∠A ，∠A 外，若存在某一角∠A ≤90°（i=4， 5，…，4n+2）， 则此多边形外角和大于360°，与“凸多边形外角和等于360•°”矛盾，又题设该多边形的内角都是30°的整数倍，所以除了∠A ，∠A 和∠A 外，•其余角只能是120°或150°．设∠A ，∠A ，…，∠A 中有k 个120°，t 个150°（k ，t 为非负整数），那么 k+t=（4n+2）-3=4n-1，t=4n-k-1，因为[（4n+2）-2]·180°=3×90°+k ·120°+（4n-k-1）·150°．整理得4n=4-k ，由于n 是正整数，k 非负，所以只能是k=0，n=1．68．设该时装的进价是a ，则原售价是（1+30%）a ，设后来打x 折销售，根据题意有 (130%)10x a a a+⨯-×100%≥10%解得x ≥11013≈8.5 所以打折的幅度不能低于8.5折．69．设今年安排考场x 个，则120120(150%)23x x++=- 解得x=18或x=15．经检验，x=18和x=15都是原方程的根，所以，今年安排的考场有18个或15个．70．设另一直角边和斜边长分别为y ，z ，则352+y 2=z2 即（z+y ）（z-y ）=52·72，设周长为1，则1=35+z+y，又z+y>35，所以z+y最大为52·72，最小为72．？所以1．5．7+35=1260，1=49+35=84．71．由题意，得（1-15%）a<b<（1-8%）a，即0.85a<b<0.92a．72．由于1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，……所以第n个式子从n开始，且有2n-1个连续自然数相加，即第n个式子为 n+（n+1）+…+（n+2n-2）=(32)(21)2n n n+--=（2n-1）2（n是正整数）．即一般规律为n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n是正整数）．73．设商品共有a件，售出一半后，收入为12am元，其余的一半按m元的8折出售，即售价为0.8m元，收入为0.4am元，总收入为0.9am元，依题意有0.9am=1.1a×90，所以m=110．74．总人数是 4+6+10+5=25（人）．在70.5～90.5这一分数段的人数是16人，占25人的64%，所以频率为0.64．75．设a=（a，b）a，b=（a，b）b，（a，b）=1，则[a，b]=（a，b）ab，即（a，b）ab=1085-（a，b）．1085=5×7×31是（a，b）的倍数，所以（a，b）的可能值是1，5，7，31，35，•155，•217，1085．（1）当（a，b）=1时，?? a=a，b=b，ab=1085=271×4，a-b=267．（2）当（a，b）=5时，5ab=1085-5，ab=216=2×3，所以a=3，b=2，a-b=5（3-2）=95．（3）当（a，b）=7时，ab=154=11×7×2，当a=14，b=11时，a-b最小，a-b=21．由于a-b=（a，b）（a-b）≥（a，b），所以当（a，b）≥31时，a-b的值一定大于21，所以a-b的最小值为21．76．设EC=x，CD=y，则有AC=3x，BC=3y．在Rt△ACD中，有（3x）2+y2=62，①在Rt△BCE中，有（3y）2+x2=82．②①+②得10（x2+y2）=100，x 2+y 2=10，又x+y=6，所以xy=222()()361022x y x y +-+-==13 所以S △BCD =12xy=6.5 ? 77．连AC ，如图37所示，在梯形ABCE 中，S=S ，? 在梯形ACFD 中，S=S? 而S-S=S-S? 即S=S? 所以S=S78．因为4x 2+1+kx=（2x ）2+kx+1是关于x 的完全平方式，所以 ±2·2x ·1=kx ，解得 k=±4．当k=4时，k-2k+2=10；当k=-4时，k-2k+2=26．79．原方程可化为1111200420062007200311112006200720032004(2007)(2006)(2004)(2003)(2006)(2007)(2003)(2004)11(2006)(2007)(2003)(2004)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++++-=-+++++-++-+=++++=++++ =（x+2006）（x+2007）=（x+2003）（x+2004）x 2+4013x+4026042=x 2+4007x+40140126x=-12030x=-2005经检验，x=-2005是原方程的根．三、解答题80．设全班共有x 人，有y 人既参加语文组又参加数学组，则有23x 人参加语文组，•有32y 人参加数学组，依题意得 23()448322324432x y y xx y x y⎧+-+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得即全班有48人，既参加语文组又参加数学组的人数是24人．81．设A 和B 两种产品的月产量分别为x ，y 件，则最大利润z=600x+800y ，且x ，y 满足条件0300020003000005001000110000x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩由z=600x+800y=a （3000x+2000y ）+b （500x+1000y ）解得 a=110，b=35所以 z=110（3000x+2000y ）+35（500x+1000y ）≤96000此时3000200030000040500100011000090x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得即 A 产品每月生产40件，B产品每月生产90件．每月可获得的最大利润是96000元．82．在射线OE上取一点M，使AO=AM，如图38所示，则△OAM为等边三角形，过C作CN∥AM，则∠NCO=∠NCB+∠2=60°，又因为∠1+∠NCB=60°，所以∠1=∠2，在△ACN和△BCO中，因为∠1=∠2，∠ANC=∠BOC=120°，NC=CO，所以△ACN≌△BCO．所以BC=AC，所以△ABC是等边三角形．当B、C点各在OG、OE射线上运动时，欲保证△ABC是等边三角形，只有AC或AB•与AO 重合时面积最大（△AOC中，∠ACO>∠AOC，AO>AC）．所以△ABC面积的最大值是△AOM m2．83．（1）当0≤x<1600时，y=0；当1600≤x<2100时，y=（x-1600）×5%；当2100≤x<3600时，y=（x-2100）×10%+500×5%；当3600≤x<6600时，y=（x-3600）×15%+1500×10%+500×5%；……（2）如图39所示．（3）当x=4000时，y=（4000-3600）×15%+1500×10%+500×5%=235（元）．84．（135，40）=5（最大公约数）．135=27×5，40=8×5．将木棍分成5个相等的截段，则每一截段上的红刻度线将它（截段）分成27等份，•黑刻度线将它分成8等份，且5个截段中的红、黑刻度线的分布完全相同，因此只需要考虑一个截段即可，不妨假定一个截段的长度为27×8，则相邻两红线的长度为8，•相邻两黑线的长度为27，注意到27=3×8+3，2×27=6×8+63×27=10×8+1，4×27=13×8+4，5×27=16×8+7，6×27=20×8+2，7×27=23×8+5，8×27=27×8+0．这8个等式表明，对于任意正整数k，0≤k≤7，我们可以找到两个正整数p，q，使得1≤p≤8，1≤q≤27，p×27=q×8=k．上式说明，在一个截段中锯下来的短木棍的长度有1，2，3，4，5，6，7，8共8种，而不可能有比8更长的短木棍（两红段间距为8），其它四个截段也一样．85．设取出一组线段，其中的任意三条都能构成一个三角形，•记这组线段中最短的两条长为x，y，最长的一条长为z，则1≤x<y<z≤100，由于x，y，z构成三角形，故z+y>z．。
第18届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试
初中二年级 第1试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在后面的括号内. 1.下列叙述的运动中属于平移的是（ ） A.乒乓球比赛蝇乒乓球的运动.B.推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行.C.空中放飞的风筝的运动.D.篮球运动员投出的篮球的运动.2.若1x =满足2220mx m x m --=，则m 的值是（ ）A.0B.1C.0或1D.任意实数 3.如图1，将APB △绕点B 按逆时针方向旋转90︒后得到''A P B △，若2BP =，那么'PP 的长为（ ）A.C.2D.34.已知a 是正整数，方程组48326ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解满足0x >，0y <，则a 的值是（）A.4B.5C.6D.4，5，6以外的其他正整数.5.让k 依次取1，2，3，…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①2k +；②2k ；③2k ；④2k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（ ） A.①<②<③<④ B.②<①<③<④ C.①<③<②<④ D.③<②<①<④6.已知一个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ） A.40B.C.20D. 7.Let a be the length of a diagonal of a square ，b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If ::b a a c =，then the ratio of area of the square and rhombus is （ ） A.1：1B.2C.1D.1：2（英汉词典：length 长度；diagonal 对角线；square 正方形；rhombus 菱形；respectively 分别地；ratio 比；area 面积）8.直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（ ） A.132 B.121 C.120 D.111 9.若三角形三边的长均能使代数式2918x x -+的值为零，则此三角形的周长是（ ） 9或18 B.12或15 C.9或15或18 D.9或12或15或8图 1P 'A 'PBA（拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学 214432）10.如图2，A B C D 、、、是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D 上放了写有字母“G ”的纸片，某人站在M 处可以看到镜面D上的字母G 在镜面A B C 、、中的影像，则下列判断中正确的是（）A.镜面A 与B 中的影像一致B.镜面B 与C 中的影像一致C.镜面A 与C 中的影像一致D.在镜面B 中的影像是“G ”二、A 组填空题11.如图3，在B M N △中，6BM =，点A C D 、、分别在MB BN MN 、、上，且四边形ABCD 是平行四边形，NDC MDA ∠=∠，则ABCD 的周长是______________. 12.如果实数a b ≠，且1010a b b a ++=11a b ++，那么a b +的值等于_____________.13.已知a x =M的立方根，y =x 的相反数，且37M a =-，那么x 的平方根是_____________.14.如图4，圆柱体饮料瓶的高是12厘米，上、下底面的直径是6厘米.上底面开有有一个小孔供插吸管用，小孔距离上底面圆心2厘米，那么吸管在饮料瓶中的长度最多是__________厘米.15.小杨在商店购买了a 件甲种商品，b 件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件7元，乙种商品每件19元，那么a b +的最大值是______________. 16.ABC △是边长为的等边三角形.点D 在三角形内，到边AB 的距离是1，到A 点的距离是2，点E 和点D 关于边AB 对称，点F 和点E 关于边AC 对称，则点F 到BC 的距离是_________.17.如图5，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20︒，再沿直线前进10米后，又向左转20︒，……，这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了___________米.18.关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是__________.19.已知点（1，2）在反比例函数ay x=所确定的曲线上，并且该反比例函数和一次函数1y x =+在x b =时的值相等，则b 等于__________. 20.如图6，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于______________.二、B 组填空题21.解公式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m =____________或___________. 图 2M图 3NMDCB A图4图 5M图 622.Let A abcd = be a four-digit number. If 400abcd is square of an integer ， thenA =____________or___________.（英汉词典：four-digit number 四位数；square 平方、平方数；integer 整数）23.国家规定的个人稿酬纳税办法是：①不超过800元的不纳税；②超过800元而不超过4000元的，超过800元的部分按14%纳税；③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人编写了两本书，其中一本书的稿酬不超过4000元，第二本书的稿酬比第一本书多700元，两本书共纳税915元，则两本书的稿酬分别是____________元和_____________元.24.直线l 交反比例函数y =的图像于点A ，交x 轴于点B ，点A B 、与坐标原点O 构成等边三角形，则直线l 的函数解析式为________________或_________________.25.若n 是质数，且分数417n n -+不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n =__________或_______________.答·提示一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCABCCAACC提 示1.只有推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行是平移运动，故选B.2.将1x =代入到题设的等式，得 20m m -=， 解得 0m =或1m =. 故选C.3.由题意知，'PBP △是等腰直角三角形.因为 '2'90BP BP PBP ==∠=︒，，所以 'PP = 故选A.4.由题设的方程组，得 (6)4a x -=，解得 46x a=-， 由0x >，得 6a <. 将46x a=-代入第一个方程， 得2ay b a+=-， 解得 3(4)6a y a-=-， 由0y <，得 4a >. 由46a <<，得 正整数a 只能取5， 5.可逐个试验.当1k =时，②<③<④<①； 当2k =时，①=②=③=④； 当3k =时，①<③<④<②； 当4k =时，①<③<②=④； 当5k ≥时，①<③<②<④.故选C.6.如图7，设四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且10AC =，8BD E F G H =，、、、分别为AB BC CD DA 、、、的中点，则1122EF AC GH AC ，∥∥，所以 EF GH ∥，同理 12EH GF BD ∥∥，又 AC BD ⊥，则EH EF ⊥，所以 四边形EFGH 为矩形，且54EF FG ==，，所以 四边形EFGH 的面积是20，故选C. 7.译文：一个正方形的对角线长为a ，一个菱形的两条对角线的长分别为b 和c ，若::b a a c =，则正方形与菱形的面积之比是（ ） A.1：1B.2C.D.1：2解 正方形的对角线长为a ，则正方形的面积为212a ；菱形的两条对角线的长分别为b 和c ，则菱形的面积为12bc .又 ::b a a c =， 所以正方形与菱形的面积相等， 故选A.9.由()()291836x x x x -+=--知，使代数式2918x x -+的值为零的x 的值是3或6，于是三角形三边的长有四种可能情况：①三边长分别是6、6、6，则三角形的周长为18； ②三边长分别是6、6、3，则三角形的周长为15； ③三边长分别是3、3、3，则三角形的周长为9； ④若三边长分别是6、3、3，则不能构成三角形. 综上，知三角形的周长是9或15或18. 故选C.10.镜面A 与镜面C 互相平行，纸片上的字母“G ”在这两个镜面中的影像都是“G ”，而在镜面B 中的影响是“G ”， 故选C.二、A 组填空题题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 129132741806-2或14500︒图 7提 示11.在ABCD 中，DC AB ∥，所以NDC M ∠=∠， 同理 MDA N ∠=∠，由NDC MDA ∠=∠，得 N D C M D A M N ∠=∠=∠=∠，所以 6MA AD DC CN MB BN ====，，， 故ABCD 的周长=12MB BN +=. 12.由题意，得101101a b a b a b ++=++， 即 ()()()()110110b a b a b a ++=++， 也即 2210101010ab a b b ab b a a +++=+++，整理，得 ()()()()22101a b a b a b a b a b -=-+-=-++， 因为 a b ≠，所以只能是101a b =++， 即 9a b +=.13.由题意，得3a b x y x +==-=， 所以 3376a b a b +=⎧⎨-=-⎩解得 52a b =⎧⎨=-⎩所以2x =，x的平方根是.14.如图8所示，AC 为吸管在饮料瓶内的最长部分，显然有12AB =厘米，325BC =+=（厘米），ABC △是直角三角形， 所以13AC =（厘米）.15.因为题设a b ，都是正整数，且719213a b +=，所以当1a =时，b 最大，此时20616101919b ==+，由此可知，b 只能取10，9，8，7，6，…，2，1中的数.经验算知，仅9b =或2，此时625a =，，符合要求. 故 当225b a ==，时，所以a b +的最大值是27.另解 因为题设a b ，都是正整数，且719213a b +=，因此，要使a b +的值最大，则应使b 的值最小，当1b =时，2131952777a -==，不是整数； 当2b =时，213192257a -⨯==，符合题意， 所以 a b +的最大值是27.16.如图9，已知12DP AD ==，，且DP AP ⊥，则30DAP ∠=︒. 所以点D 在BC 边上的中线AN 上. 又 D E 、关于边AB 对称，所以 30PAE DAP ∠=∠=︒，90EAC ∠=︒， 因为 E F 、关于AC 对称， 所以 点F 在EA 的延长线上，C图 8图 9PN AFE D CB且2FA EA AD ===.于是 430FC ACF =∠=︒，， 则 904FCB FC ∠=︒=，即为所求.17.将整个图形画完，是一个正多边形，边长为10，且每个外角的大小都是20︒，由多边形外角和等于360︒，知这是一个正18边形，所以 小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.18.根据定义去绝对值号，并针对()1x -与()2x -的正负分段求解. 当2x >时，原不等式可化为123x x -+-≤，解得23x <≤； 当12x ≤≤时，原不等式可化为123x x -+-≤，解得12x ≤≤ 当1x <时，原不等式可化为123x x -+-≤，解得01x <≤； 综上得，原不等式的解集为 03x ≤≤， 整数解是 12340123x x x x ====，，，， 故所有整数解的和是6.另解 用绝对值的几何意义.1x -与2x -分别表示数轴上x 的对应点到1与2的距离，在数轴上到1与2两点距离之和小于等于3的点所对应的实数[]03x ∈，，故原不等式解集为03x ≤≤，整数解是12340123x x x x ====，，，，故所有整数解的和是6.19.因为点()12，在反比例函数a y x =所确定的曲线上，将12x y ==，代入ay x=，得 2a =. 又当x b =时，21x x =+，即 21b b=+， 所以 220b b +-=，解得 2b =-或了=1.20.图形的中央是5个白色的四边形，它们的内角和是53601800⨯︒=︒； 5个灰色四边形的内角和也是5180900⨯︒=︒；最外边是5个三角形，它们的内角和是5180900⨯︒=︒；所以图中所有多边形（不包括大五边形）的内角和等于4500︒.二、B 组填空题题号2122232425答案-10；-44001；80043800；4500y =+y =-11；31提 示21.将225111mx x x +=+--通分，得 ()()22215111x x mx x --+=--，所以37x m --=， 若解得1x =或1x =-，即产生增根，所以当1x =时，10m =-；当1x =-时，4m =-， 故应填-4或-10. 22.译文：设A abcd =是一个四位数，400abcd 是一个完全平方数，那么A =__________或____________.解 设240040000000x abcd abcd x ==+>，，则 ()()2400000020002000abcd x x x =-=+-， 因为 abcd 是四位数，所以 ()()20002000x x +-是四位数，且2000x >， 所以 ()()2000200010000x x +-<，即10002000 2.52000x x -<<+，故2000x -的值只可能取1或2. 当20001x -=时，4001abcd =； 当20002x -=时，8004abcd =.23.若两本书的稿酬都不超过4000元，则最多纳税()2400080014%896⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦（元）， 所以第二本书的稿酬超过4000元.设第一本书的稿酬为x 元，则第二本书的稿酬为()700x +元，()()80014%70011%915x x -⨯++⨯=，解得 3800x =（元），7004500x +=（元） 24.如图10，点A在反比例函数y =的图像上. 因为 三角形AOB 是等边三角形，60AOB ∠=︒，所以 点A 与原点O即点A在直线y =上，联立方程组.y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得图 101x y =⎧⎪⎨⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩当1x y =⎧⎪⎨⎪⎩时，点A的坐标为(1，2OA =，所以 2OB =，B 点坐标为()20，，直线AB的函数解析式为y =+当1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，时，点A的坐标是(1--，，2OA =，所以 2OB B =，点坐标为()20-，，直线AB的函数解析式为y =- 25.由题意可设22417n ka n kb -=+，其中k a b ，，均为正整数，则 22417n ka n kb -=+=，，两式相减，得 ()2221k b a -=， 所以 ()()1121137k b a b a +-=⨯⨯=⨯⨯，①若1121k b a b a =-=+=，，，则2111017104b a n kb ===-=，，，不是质数；②若137k b a b a =-=+=，，，则242178b a n kb ===-=，，，不是质数； ③若317k b a b a =-=+=，，，则2431731b a n kb ===-=，，；④若713k b a b a =-=+=，，，则2211711b a n kb ===-=，，，所以n 的值是11或31.。
第希望杯初二第2试试题及答案
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人， 而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（ ）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ， 则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有 种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】 令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。
第二十九届2018“希望杯”全国数学邀请赛初中二年级培训题80题
第二十九届（2018）“希望杯”全国数学邀请赛初中二年级培训题80题一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内).1、已知m=∣x -1∣+∣x+2∣,n= -y ²-2y -2,则m -n 的最小值为( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.2、若2x ²+2y ²+z ²-2xy -2yz -2x+1=0,则x+y+z=( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.3、已知x,y,z 均为正实数，且,zy x ＞y z x ＞+++x z y 则x,y,z 三个数的大小关系是( ) (A) z ＜x ＜y. (B) y ＜z ＜x. (C) x ＜y ＜z. (D) z ＜y ＜x.4、当a=1.66,b=1.62,c=1.16时，() 11bc ab -ac -1222=+---+---+abbc ac c ac ab bc b a (A) 100, (B) 200, (C) 150, (D) 300.5、若x+2y -3z=0,4x+3y -5z=0,则()=-+-+222222327534z y x z y x （A ）1. (B) 0. (C) 31. (D) 1513. 6、若m 2=m+3,n 2=n+3,且m ≠n,则m 5+n 5=( )(A) 59. (B) 60. (C) 61. (D) 62.7、已知(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=8,则x 3+5x 的值为( )(A) -8. (B) -2. (C) 0. (D) -2或-8.8、Known real number a, b, c satisfy 6a+13b+6c=75,9a+9b+2c=60. Then ba cb 2323++=( ) (A) -1. (B) 0. (C) 1. (D) 2.9、三个互不相等的实数，小林将其表示为0，yx ，y 的形式，小李将其表示为1，x+y,x 的形式，则x 2017-y 2017=( )(A) -2 (B) 0. (C) 1. (D) 2.10、已知｛,2x 1==y 是方程组｛,51=+=-by ax by ax 的解，那么a-b 的值是( )(A) 1. (B) 21. (C) -21. (D) 0. 11、在△ABC 中，∠ACB=90°,∠ABC=22.5°.BC=1,则AC 的长为( )(A) 2. (B) 1. (C)2-1. (D)2+1.12、已知△ABC 三边长为a,b,c.且满足a 4+2a 3b+2a 2b 2+2ab 3+b 4-c 4=0.则△ABC 是( ) (A) 钝角三角形. (B) 直角三角形. (C) 锐角三角形. (D) 不能确定. 13、凸四边形ABCD 中，已知AB=AC=AD,∠BCD=110°,则∠A 等于( ) (A) 55°. (B) 70°. (C )110°. (D) 140°. 14、如图1，已知AB=6,在线段AB 上取一点C ，在直线AB 同侧作等边△ACP 和等边△CBQ.当点C 在线段AB 上运动时(不包括端点)PQ 的最小值为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 如图2，已知△ABC ≌△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE 交于点F,连接CD,BE,则图中还有几对全等三角形( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.16、如图3，平行四边形的顶点与两条对边的中点连接，这些线段围成的阴影部分的面积为3，则平行四边形的面积为( )(A) 12. (B) 18. (C) 24. (D)30.17、以下图形中对称轴的数量最多的是( )(A)三条高分别为3，3，2的三角形. (B) 四条边依次长为2，3，2，3且有一条对角线为7的四边形.(C) 四条边依次长为2,2，3，3的四边形.(D) 四条边依次长2，3，4，3的梯形.18、在平面直角坐标系中，已知点A(-7,4),B(-3,6),点C 在y 轴上，点D 在x 轴上，当四边形ABCD 的周长最短时，△OCD 的面积为( )(A) 4. (B) 4.5. (C) 102. (D) 21.19、平面直角坐标系内的一点P(-m ²-1,n ²+2n+2)一定位于( )(A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限.20、如图4，将△ABC 绕点C(0,c)逆时针旋转90°，得到△A ′B ′C. 设点A 的坐标为(a,b).则点A ′的坐标为( )(A) (c-b,c-a). (B) (-b,-a). (C) (c-b,c+a). (D) (b+c,a+c).21、点A(-1,a)和点B(-2,b)都在直线y=-m ²x+1上，则a 和b 的大小关系为( )(A) a ＞b. (B) a ＜b. (C) a ≥b. (D) a ≤b.22、点P(2,a)在反比例函数y=x k 的图像上，它关于原点中心对称的点在一次函数y=2x+3的图像上，则K 的值为( ) (A) -1. (B) 1. (C) 21. (D)2. 23、如图5，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB,CD:AB=1:2,O 为对角线的交点，∠ACD=60°.若点S,P,Q 分别为DO,AO,BC 的中点，则△PQS 与△AOD 的面积之比为( ) (A) 87. (B) 1. (C) 23. (D) 2. 24、同时掷两个骰子，它们朝上一面的数字之和小于6的概率是( ) (A)114. (B) 185. (C) 41. (D) 61. 25、王老师根据本班学生国庆期间外出旅游的情况绘制了两张不完整的统计图。
希望杯初中数学竞赛培训试题(含答案)
希望杯初中数学竞赛培训试题(含答案)一、选择题:（以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的.）（5分每题） 1．已知x 1,x 2, x 3的平均数为5,y l ,y 2,y 3的平均数为7,则2x l +3y l ,2x z +3y 2,2x 3+3y 3的平均数为 ( ) (A) 31 (B) 331 (C) 593(D) 172．如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置 ( )(A) 3个球 (B) 4个球 (C) 5个球 (D) 6个球3．当x 分别取值20071,20061,20051,…,21,1,2,…,2005,2006,2007时,计算代数式2211xx +-的值,将所得的结果相加,其和等于（ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.4、当5个整数从小到大排列后,其中位数为4,如果这组数据的惟一众数是6,那么这5个数最大的和可能是（ ）A 、21B 、22C 、23D 、245．已知一列数a l ,a 2,a 3,…,a n ,…中,a 1=0,a 2=2a l +1,a 3=2a 2+1,···,a n+l =2a n +l,···． 则a 2004－a 2003的个位数字是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 86．如图是正方形方格,将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD 中心旋转能重合的图案都视为同一种图案,例如左图中就视为同一种图案,则不同的涂法有 ( ) (A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种 二、填空题:（5分每题）7．一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍, 则这个多边形是___________边形.8．a,b,c 为△ABC 的三边3a 3+6a 2b-3a 2c-6abc=O, 则△ABC 的形状为_____________________. 9．如图,四边形ABCD 为正方形,AB 为边向正方形外 作等边三角形ABE ．CE 与DB 相交于点F, 则∠AFD=____________度.10．若有理数x 、y(y≠0)的积、商、差相等, 即xy=yx=x-y,则x=_________,y=____________. 11.有3堆硬币,每枚硬币的面值相同.小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放人第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放人第1堆,这样每堆有16枚硬币,则原来第1堆有硬币________枚,第2堆有硬币__________枚,第3堆有硬币___________枚.12．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动,规定:第一个问题由乙提出,由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题,就可提6个问题,乙答对1题就可提5个问题,丙答对1题就可提4个问题,供另两人抢答．抢答结束后,总共有16个问题没有任何人答对,则甲、乙、丙答对的题数分别是___________________.三、解答题:13．已知a,b,c为实数,且a+b+│c-1 -1│=4a-2 +2b+1 -4,求:a+2b-3c的值.……………10分题14．如图,横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1.若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上,且面积为6,画出三个形状不同的这样的六边形. …………10分题15．如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.求证:DC=BD+AB ……10分题A16．如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,AB=AD,BC+CD=10, （1）求四边形ABCD的面积；（2）若∠ADC=60°,求四边形ABCD的周长. (10)分题CABD参考答案一、选择题: 1、A 2、C 3、C 4、A 5、B 6、C 二、填空题:7.十三 8．等腰三角形 9．60 10．一21,一l 11．22,14,12 12．(1,1,2)或(0,3,1) 注:填对1个只给2分． 三、解答题:13．把a+b+│c-1 －1│=4a-2 +2b+1 －4变形得: [（a-2）-4a-2 +4]+[(b+1)-2b+1 +1]+ │c-1 －1│=0 即（a-2 －2）2＋（b+1 －1）2＋│c-1 －1│=0∴a-2 －2＝0,b+1 －1＝0,c-1 －1＝0 ∴a=6,b=0,c=2 ∴a+2b-3c ＝014．注:符合条件的六边形有许多． 15．连BD(1)四边形ABCD 的面积＝S △ABD +S △BCD =12 AB ·AD+12 BC ·CD=12 AB 2+12 BC ·CD=14 BD 2+12 BC ·CD=14 ( BD 2+2BC ·CD) =14 ( BC 2+CD 2+2BC ·CD)= 14 (BC+CD)2=14 ×102=25(2)延长AB 和DC 交于点E. 设AB=AD=x,∵∠ADC=60°,∴DE=2x,AE= 3 x C BE∴BE=( 3 -1)x 在Rt △BCE 中,∵∠E=30° ∴BC=3-12x, EC= 3 BC=3－32 x ∴CD=DE-EC=2x-3－32 x=3+12 x∵BC+CD=10, ∴3-12 x+3+12 x=10,即 3 x=10 ∴x=1033 ∴四边形ABCD 的周长=2x+10=203 3 +1016、(1)证明:在BC 上取点E,使BD=DE,∵AD ⊥BC,∴AB=AE,∴∠AEB=∠ABC=2∠C ∴∠C=∠∴EC=EA=AB, ∴CD=DE+EC=BD+AB（2）由（1）得:∵a 2-4bc=(b+c)2-4bc=（b-c ）2又c>b,即c ≠b,∴（b-c ）2>0,∴方程x 2-ax+bc=0有两个不相等的实数根 (3)设方程的两根为k,2k,代入得k 2-ak+bc=0①及4k 2-2ak+bc=0②,由②－4×①得k=3bc 2a ,代入①得（3bc 2a ）2－a ·3bc 2a +bc=0,化简得9bc=2a 2,又∵a 2=(b+c)2代入得2b 2-5bc+2c 2=0,(2b-c)(b-2c)=0∵b<c ∴c=2b∵AD ⊥BC ∴∠B=60°∴∠C=30°,∴∠BAC=90°∴△ABC 为直角三角形.。
初中二年级历届“希望杯”二试解答题
初中二年1-17届“希望杯”二试解答题1.1、从自然数354 , , 3 , 2 , 1 中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。
1.2、平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和D C B A ''''，且正方形D C B A ''''的顶点A '在正方形ABCD 的中心。
当正方形D C B A ''''绕A '转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。
这个结论对吗？证明你的判断。
1.3、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列 <<<<4321n n n n ，试求：21n n ⋅之值。
2.1、已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2。
2.2、一块四边形的地（如图2.2所示）（KG OH FK EO //,//）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的（即两边都是直线）。
但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明。
A B 图2.23.1、若0 , , , >d c b a ，证明：在方程02212=+++cd x b a x ， 02212=+++da x c b x ，02212=+++ab x d c x ，02212=+++bc x a d x 中，至少有两个方程有不相等的实数根。
3.2、（1）能否把1992 , , 3 , 2 , 1 这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明。
初中二年级“希望杯”数学邀请赛培训题
初初中中二二年年级级““希希望望杯杯””数数学学邀邀请请赛赛培培训训题题班级_______________学号_____________姓名____________________一、选择题（以下每个题的四个选择支中，仅有一个是正确的） 1．已知b －a ＞0且a ≥0，那么||222b a b ab a ＋－＋－（ ）（A ）化简为0 （B ）化简为－2b （C ）化简为－2a （D ）不能再化简2．已知a 是任意实数，有4个不等式：①2a ＞a ；②a 2＞a ；③a 2＋a ＞2；④a 2＋1＞a ，那么不等式关系一定成立的有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个3．已知关于x 的方程(m 2＋2m ＋3)x ＝3(x ＋2)＋m －2有唯一解，那么m 的值的情况是（ ） （A ）m ＝－2 （B ）m ＝0 （C ）m ≠－2或m ≠0 （D ）m ≠－2且m ≠04．已知关于x 的方程(a ＋1)x ＝2ax －a 2的解是负数，那么a 的值的情况是 （ ） （A ）a ≠－1 （B ）a ＜1 （C ）a ＜1且a ≠0 （D ）a ＞15．已知寻于任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b )都有一组公共解，则公共解为 （ ）（A ）⎩⎨⎧00＝＝y x （B ）⎩⎨⎧10＝－＝y x （C ）⎩⎨⎧01＝＝－y x （D ）⎩⎨⎧11＝＝y x6．设M ＝2001200020002001，N ＝2002200120012002则M 与N 的关系是 （ ）（A ）M ＝N （B ）M ＞N （C ）M ＜N （D ）MN ＝17．若a ，b 为有理数且满足22ba ＜3，那么22)()3(b a b a ＋＋与3的大小关系是 （ ） （A ）3)()3(22＜＋＋b a b a （B ）3)()3(22＞＋＋b a b a （C ）3)()3(22＝＋＋b a b a （D ）无法确定的8．已知a 为正数，且a [a (a ＋b )＋b ]＋b ＝1，则a ＋b 的值是 （ ）（A ）43 （B ）2 （C ）1 （D ）219．5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中 （ ） （A ）最多有4个是0 （B ）最多有2个是0 （C ）最多有3个是0 （D ）最多有1个是010．把自然数n 的各位数字之和记为S (n )，如n ＝38，S (n )＝3＋8＝11；n ＝247，S (n )＝2＋4＋7＝13，若对于某些自然数满足n －S (n )＝2007，则n 的最大值是 （ ） （A ）2025 （B ）2023 （C ）2021 （D ）201911．已知四个方程①0232＝＋＋x ；②0234＝－x ；③03514＝－＋－x x ；④24＝＋－x x ，其中有实数解的方程的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个12．解分式方程0111＝＋－－＋－x xx k x x 有增根x ＝1则k 的值等于（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）－2 13．下列计算中，正确的是 （ ）（A ）32211211－＝－－－－＝－＋x x x x x - （B ）7543)(m m m ＝÷（C ）b a b a b a －＝－－＋)2(2)(3（D ）32)23(6－＝－÷14．计算ba ab b b a a ＋－＋－1)(的结果是 （ ） （A ）a －b （B ）ab （C ）a 2－b 2 （D ）a ＋b 15．如图，已知点M 是AB 的中点，点P 在AM 上，AP＝a ，BP ＝b 则MP 的长为 （ ）（A ）a －b （B ）b a －21 （C ）2b a － （D ）2ba －16．已知平面中有n 个点A ，B ，C 三个点在一条直线上，A ，D ，F ，E 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于 （ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）1217．已知一个直角∠AOB ，以O 为端点在∠AOB 的内部画10条射线，以OA ，OB 以及这些射线为边构成的锐角的个数是 （ ） （A ）110个 （B ）132个 （C ）66个 （D ）65个18．一张长方形的纸ABCD 如图，将C 角折起到E 处，作∠EFB 的平分线HF ，则∠HFG 的大小是 （ ） （A ）锐角 （B ）直角 （C ）钝角 （D ）无法确定19．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90º，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于E ，若∠BDE ＝α，∠ADB 的大小是 （ ）（A ）α （B ）90º－α （C ））90º－2a （D ）45º＋2a20．已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是 （ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）1021．如图，□ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠EAF ＝45º，且AE ＋AF ＝22，则平行四边形ABCD 的周长是 （ ） （A ）42 （B ）2(2＋2) （C ）2(2＋1) （D ）822．如图，平形四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，DE ⊥AB ，M 是BC 的中点，∠BEM ＝50°，则∠B 的大小是 （ ） （A ）100° （B ）110° （C ）120° （D ）135°（第19题图） （第21题图） （第22题图）（第23题图） （第24题图） 23．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 恰好是平分∠BCD ，若AD ＝3，BC＝4，则CD 的长是 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 24．如图△ABC 中，D 点在AC 上，AD ∶DC ＝1∶2，连BD ，E 是BD 的中点，延长AE 交BD 于F 则BF ∶FC 的比是 （ ）（A ）41 （B ）31 （C ）52 （D ）8325．如图△ABC 中，∠C 为钝角，CF 为AB 上的中线，BE 为AC 上的高，若CF ＝BE ，则∠ACF的大小是 （ ） （A ）45° （B ）60° （C ）30° （D ）不确定二、填空题26．已知：,10001＝m 那么1－m－－1111的值是________． 27．已知：1001＝a ，1011＝b ，则ab b a ab －－＋－1的值是________．28．计算：10001)1000(1)310001()100031(322－＋－＋的结果是________．29．计算：61999111999619996199951999232＋＋＋＋＋⋅⋅⋅的结果是__________．30．若｜a ＋b ｜＜｜a ｜＋｜b ｜，则bb a a||||－的值等于________或________． 31．设1199911999222111＋＋＝A ，1199911999333222＋＋＝B ，则A 与B 的大小关系是__________． 32．分解因式(x 2－1)(x 4＋x 2＋1)－(x 3＋1)2的结果是__________________________．33．设|7|)5(|3|2x x x S －＋－＋－＝，则S 的最小值是__________． 34．已知实数x 满足｜｜x ｜－4｜＞1，则x 的取值范围是__________． 35．若实数x 使代数式4|2|1－＋－x x 有意义，则x 的取值范围是__________．36．若实数x 使分式2559222－－－x x x 的值为零，则x 的值等于__________．37．方程0100032|2000|＝－＋＋－－y x y x 的一组解为⎩⎨⎧by ax ＝＝，则a ＋b 的值是__________．38．若代数式x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＋p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p 的最大值是__________．39．已知：a ＜b ，且||b a a x ＋＝，||b a b y ＋＝，则||22223232y x xy a yx b y b x a p －－＋－＝的值等于__________． 40．已知：a ＝7＋5，b ＝22＋2，c ＝3＋3，则a ，b ，c 的大小关系是__________． 41．要使代数式1)2()1(112123322＋－－＋－＋－＋＋a a a a a a a a ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡的值是正整数，那么整数a 的值应是__________． 42．已知多项式2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6的值恒等于两个因式(x ＋2y ＋A )(2x －y ＋B )乘积的值，那么A ＋B 等于__________．43．已知m ，n 是实数，且满足4m 2＋9m 2－4m ＋6n ＋2＝0，那么分式1444241822－＋＋＋m m n n 的值是__________．44．设p (x )是一个关于x 的二次多项式，且7x 3－5x 2＋6x －m －1＝(x －1)p (x )＋a ，其中m ，a是与x 无关的常数，则p (x )的表达式是__________．45．若a 为自然数，b 为整数，且满足(a ＋b 3)2＝7－43，则a ＝_______，b ＝________．46．若二元一次方程组⎩⎨⎧3)1(132＝－＋＝＋y n mx y x 的解中，x 与y 的值相等，那么m ＋n 的值等于_______．47．若a 是510510的一个质因数，且a －2仍为质数，那么满足上述条件的数共有_______个． 48．一个质数a 小于13，且它分别加上4或10之后仍然是质数，则质数a 等于_________． 49．已知实数x ，y 使得代数式22(x＋y )＋32(x－y )－2·2(x＋y ＋1)－54·3(x－y －1)＋7取得最小值，则x ＋y的值等于__________．50．如果最简二次根式b a b a 4114＋＋和b a b a 6214＋＋＋是同类二次根式，则a ＝_____，b ＝______． 51．已知3535＋－＝a ，3535－＋＝b ，则二次根式36733－＋b a 的值是__________．52．设23和4是两个五进制度，则这两个数的乘积的五进制表示法是__________．53．如图，AOE 是一条直线，∠AOC ＞∠COE ，则图中的钝角共有________个．54．不相等的两角α和β的两边分别平行，其中α角比β角的3倍少20°，则α的大小是__________．55．如图，四边形ABCD 中，O 点在AD 上，且OB 平分∠BCD ，若∠BCD ＝120°，则∠A ＋∠D 的大小是__________． 56．两个角α，β的补角互余，则这两个角的和α＋β的大小是_________．57．一个等腰三角形的周长是12，且三条边长都是整数，则三角形的腰长是__________． 58．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 为AC 边的三等分点，则BD ＋BE 与3AB 的大小关系是__________．59．已知a ，b ，c 为三角形的三条边长，满足条件ac 2＋b 2c －b 3＝abc ，若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角的大小分别是__________．60．若三角形的周长为18cm ，且三条边中有两条边的长为两个连续奇数，则三角形的三条边长分别是__________．61．已知三角形的两条边长分别是a ＝5，b ＝4，它们的高分别为h a ，h b ，若a ＋h a ＝b ＋h b ，那么该三角形的面积是__________．62．如图，△ABC 中，∠B ＝45º，∠C ＝α（α＞45º），AD 是BC 边上的高，E 是AD 上一点且DE ＝DC ，延长BE 交AC 于F ，∠ABF 的大小是__________．（第62题） （第63题） （第64题） （第65题） （第66题）63．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，∠A ＝30º，D 是斜边AB 上一点，DE 垂直于AB 交AC 于E ，且△ADE 与△ABC 的面积之比为1：3，则AE ∶EC 等于__________．64．如图Rt △ABC 中，∠BAC ＝90º，AB ＝4，AC ＝3，AH ⊥BC ，H 为垂足，以AC 为对称轴，作H 对称点D ，连接CD ，过A 作AM ∥CD ，交BC 于M ，则BM 的长等于__________． 65．如图，已知等边△ABC 内有一点N ，ND ⊥BC ，NE ⊥AB ，NF ⊥AC ，D ，E ，F 都是垂足，M是△ABC 中异于N 的另一点，若p 1＝ND ＋NE ＋NF ，p 2＝MD ＋ME ＋MF ，那么p 1与p 2的大小关系是__________．66．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90º，∠B ＝30º，AB ＝33，E 、F 为AB 上两点，AE ＝BF ，EG∥FH ∥AC ，则EG ＋FH 的值等于__________．67．四边形的四条边长分别为，a ，b ，c ，d 满足条件a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则此四边形一定是__________．68．如图，平行四边形ABCD 中，∠A 是它的外角的51，延长CB 到E ，使CE ＝CD ，过E 作EF ⊥CD 于F ，若EF ＝1，则DF 的长等于__________．69．如图平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝30º，AB ＝4，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，且，E ，F 恰好是BD 的三等分点，又M 、N 分别是AB ，CD 的中点，那么四边形MENF 的面积是__________． 70．平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝60º，AE ⊥AD 交BD 于E ，若DE ＝2DC ，则∠DBC 的大小是__________．71．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC ，的中点，若∠B ＋∠C ＝90º，AD＝7，BC ＝15，则EF 的长是__________．72．如图，P 为经段AB 上一点，以AP 为边作一正方形APMN ，以BP 为底在另一侧作等腰△BPQ ，连接MQ ，若AB 的长为4，则△MPQ 的面积的最大值等于__________．（第69题） （第71题） （第72题） （第73题）73．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于O ，△DOC 的面积S 1＝4，△AOB 的面积S 2＝64，则四边形ABCD 的面积的最小值是__________．74．如图，设正方形ABCD 的边长为1，在各边上依次取A 1，B 1，C 1，D 1，使AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝31AB ，顺次连接得正方形A 1B 1C 1D 1，用同样方法作得正方形A 2B 2C 2D 2，并重复作下去，使新的正方形的顶点在上一个正方形的边上，且使A 1A 2＝31A 1B 1，A 2A 3＝31A 2B 2，…，这样正方形A 5B 5C 5D 5的边长等于__________．75．已知a ，b 是互质的正整数，且a ＋b ，3a ，a ＋4b 恰为一直角三角形的三条边长，则a ＋b的值等于__________．三、解答题 76．计算：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z y x ＋－－＋－－＋－＋－＋－－－＋＋－－－ ．77．设1212－－＋－＋＝a a a a m （1≤a ≤2），求m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47的值．78．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1.4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远．79．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，D ，E 是AB ，AC 上两点，DM ⊥BC ，EN ⊥BC ，且DM＝EN ＝2，若△BMD ，△CNE 的面积分别是△ABC 面积的41和51，求△ABC 的面积．80．如图，正方形ABCD 中，E 、F 为BC ，CD 的上点M 且∠EAF ＝45º，求证：EF ＝BE ＋DF ．答案与提示1．由.0〉-a b 且.0≥a 则,0≥〉a b 得0〉+b a ， 又∵0〉-a b ，∴ 0〈-b a ∴ 原式＝||||b a b a +--＝.2)()(a b a b a -=+--- ∴ 选C2．①②③显然不成立，对于④， ∵.043)21(122〉+-=-+a a a∴对于一切实数④式成立，故选 A3．原方程整理成2)2(+=+m x m m 该方程有唯一解的条件是,0)2(≠+m m ∴0≠m 且,2-≠m 选D4．原方程整理成2)1(a x a -=-，∵方程的解是负数，∴ 01〉-a 且,02≠a 即1〈a 且0≠a，∴选C5．原方程整理成0)1()1(=---+--y x b y x a ，对于b a ,的每一组值，上述方程都有公共解，∴ ⎩⎨⎧=---=--0101y x y x 解得⎩⎨⎧-==10y x ∴选B6．设,20012000,20002001==b a 则,1000110001,++==b a N b a M 1000110001++-=-b a b a N M .)10001()(10001)10001()10001()10001(+-=++-+=b b b a b b a b b a∵ ,b a 〈 ∴ ,,0N M N M 〈〈- 故选C7．由,322〈ba 得 ,322b a 〈 2222222)(363963)()3(b a b ab a b ab a b a b a +---++=-++＝,0)()3(2222〉+-b a a b ∴,3)()3(22〉++b a b a 选B8．∵ [],1)(=+++b b b a a a ∴ ,0123=-+++b ab b a a ∴ 0)()1(23=+++-b ab b a a ∴ 0)1)(1(2=+-++b a a a ∵a 为正数， ∴,012〉++a a ∴,1,01=+=-+b a b a 故选 C9．若5个数中有4个为0，设它们是a ，0，0，0，0，其中0≠a ，则当0〈a 时，,00.00〈+++a 不合题意． 当0〉a 时，0＋0＋0＋0a 〈，也不合题意． ∴ 不可能有4个数为0．若5个数中有3个数为0，设它们分别是,0,0,0,,b a 其中,0,0≠≠b a 则 当b a 〉时，,000a b 〈+++不合题意，当b a=时，,000a b =+++不合题意．当b a 〈时，,0.00b a 〈+++不合题意， ∴不可能有3个数为0．若5个数中有2个数为0，设这5个数为3，4，5，0，0，则符合要求．故选C ． 10．由题意知，n 是四位数，,369999)(=+++≤n S ∴n 的千位数字为2． 设,1010020002c b a abc n +++=+ .2)(c b a n S +++=∵ ,2007)(=-n S n ∴ ,200729992000=-++b a ∴ ,9999=+b a 其中b a ,为0∽9的整数， ∴ ,1,0==b a ∴n 的百位数字为0，十位数字为1，个位数字为取0∽9中任一个数． ∴ 最大的,2019=n 选D11．方程①中得,232-=+x 无实数解，方程②中分子不为0，也没有实根，方程③中若两个根式的和为0，则应同时满足014=-x 和035=-x ，相互矛盾，所以也没有实根，只有方程④，有实根,5,021==x x 故选A12．解这个分式方程，把方程两边同乘以)1)(1(+-x x 得,0)1()1()1(=--+++x x x k x x 化简整理得.)2(k x k -=+当1=x 时代入得,1-=k 选C13．只有,)(7512543m m mm m =÷=÷其余3个运算都是错的，故选B ．14．,11)(b a ba b a b a b a a b b b a a +=+÷--=+÷-+- ∴ 选D15．∵M 是AB 的中点， ∴ ,MB AM = ∴BM AP AM AP MP -=-=,MP BP AP --= ∴,2)(21ba BP AP MP -=-= ∴选C ． 16．由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出2)1(-n n 条直线，若C B A ,,三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若F E D A ,,,四点不在一条直线上，可以画出6条直线，∴ .382632)1(=+---n n 整理得 2n .0)90)(10(,090=+-=--n n n∵ ,09〉+n ∴,10=n ∴选B ．17．在直角AOB ∠中，10条射线连同OB OA ,共有12条射线，每两条射线组成一个角，共形成,66)1112(21=⋅这66个角中，只有AOB ∠＝090，其余65个均为锐角，∴选D ． 18．将△CFG 折起到△,EFG ∴△CFG ≌△,EFG ∴.EFG CFG ∠=∠又∵FH 平分,EFB ∠ ∴,900=∠HFG ∴选B 19．如图，作，于交，于G BD AM M BC AM ⊥在△AGB 和△CEA 中，，＝＝045ECA GAB ∠∠，＝AC AB 。
历届希望杯全国中学生数学竞赛试题
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试。
2018数学希望杯31-100题目,可下载。
31．若质数m ，n 满足m< n < 5m 且m + 3n 是质数，求符合条件的数组（m ，n ）32.一项工程，甲、乙合作要12天完成,若甲先做3天后，再由乙接着做8天，可完成这项工程的512如果这项工程由甲单独做需多少天？33.有5个连续自然数之和恰好等于两个连续自然数之和，这可能吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请举出一个实例。
34.甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米，甲在公路上的A 处，乙、丙在同一条公路的B 处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行，甲和乙相遇后，经过3分钟又和丙相遇，求 A 、B 之间的路程。
35.自然数a 和b 的最小公倍数为165，最大公约数为5，求a + b 的最大值·36.将小数0 · 123456789改为循环小数，如果小数点后第25位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上？37.求2017201720172017201712345++++除以5的余数。
（其中2017a 表小2017个a 相乘）38.有一杯盐水，如果加50克盐，浓度变为原来的2倍，求原来杯中的盐水含盐多少克？39.有一个分数M，若分子不变，分母加上6，约分后是16；若分母不变，分子加上4，约分后是14求M。
40.要砌一段墙，第一天砌了总长的13多2米，第二天砌了剩下的12少1米，第三天砌了剩下的34多1米，还剩下3米没砌，这段围墙长多少米？41 .甲、乙两人拥有邮票张数的比是5：3，如果甲给乙10张邮票，则甲、乙两人邮票张数的比变成7：5 。
问：两人共有邮票多少张？42．某次摄影比赛，原定取一等奖5名，二等奖8名，后来决定将一等奖中得分最低的1名调为二等奖，这样，一，二等奖的平均分都提高了1分，那么，原来一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？43.如图1，两颗卫星A，B都在绕地球中心0沿逆时针方向做圆周运动，速度大小不变。
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第二十九届（2018）“希望杯”全国数学邀请赛初中二年级培训题80题一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内).1、已知m=∣x -1∣+∣x+2∣,n= -y ²-2y -2,则m -n 的最小值为( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.2、若2x ²+2y ²+z ²-2xy -2yz -2x+1=0,则x+y+z=( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.3、已知x,y,z 均为正实数，且,zy x ＞y z x ＞+++x z y 则x,y,z 三个数的大小关系是( ) (A) z ＜x ＜y. (B) y ＜z ＜x. (C) x ＜y ＜z. (D) z ＜y ＜x.4、当a=1.66,b=1.62,c=1.16时，() 11bc ab -ac -1222=+---+---+abbc ac c ac ab bc b a (A) 100, (B) 200, (C) 150, (D) 300.5、若x+2y -3z=0,4x+3y -5z=0,则()=-+-+222222327534z y x z y x （A ）1. (B) 0. (C) 31. (D) 1513. 6、若m 2=m+3,n 2=n+3,且m ≠n,则m 5+n 5=( )(A) 59. (B) 60. (C) 61. (D) 62.7、已知(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=8,则x 3+5x 的值为( )(A) -8. (B) -2. (C) 0. (D) -2或-8.8、Known real number a, b, c satisfy 6a+13b+6c=75,9a+9b+2c=60. Then ba cb 2323++=( ) (A) -1. (B) 0. (C) 1. (D) 2.9、三个互不相等的实数，小林将其表示为0，yx ，y 的形式，小李将其表示为1，x+y,x 的形式，则x 2017-y 2017=( )(A) -2 (B) 0. (C) 1. (D) 2.10、已知｛,2x 1==y 是方程组｛,51=+=-by ax by ax 的解，那么a-b 的值是( )(A) 1. (B) 21. (C) -21. (D) 0. 11、在△ABC 中，∠ACB=90°,∠ABC=22.5°.BC=1,则AC 的长为( )(A) 2. (B) 1. (C)2-1. (D)2+1.12、已知△ABC 三边长为a,b,c.且满足a 4+2a 3b+2a 2b 2+2ab 3+b 4-c 4=0.则△ABC 是( ) (A) 钝角三角形. (B) 直角三角形. (C) 锐角三角形. (D) 不能确定. 13、凸四边形ABCD 中，已知AB=AC=AD,∠BCD=110°,则∠A 等于( ) (A) 55°. (B) 70°. (C )110°. (D) 140°. 14、如图1，已知AB=6,在线段AB 上取一点C ，在直线AB 同侧作等边△ACP 和等边△CBQ.当点C 在线段AB 上运动时(不包括端点)PQ 的最小值为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 如图2，已知△ABC ≌△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE 交于点F,连接CD,BE,则图中还有几对全等三角形( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.16、如图3，平行四边形的顶点与两条对边的中点连接，这些线段围成的阴影部分的面积为3，则平行四边形的面积为( )(A) 12. (B) 18. (C) 24. (D)30.17、以下图形中对称轴的数量最多的是( )(A)三条高分别为3，3，2的三角形. (B) 四条边依次长为2，3，2，3且有一条对角线为7的四边形.(C) 四条边依次长为2,2，3，3的四边形.(D) 四条边依次长2，3，4，3的梯形.18、在平面直角坐标系中，已知点A(-7,4),B(-3,6),点C 在y 轴上，点D 在x 轴上，当四边形ABCD 的周长最短时，△OCD 的面积为( )(A) 4. (B) 4.5. (C) 102. (D) 21.19、平面直角坐标系内的一点P(-m ²-1,n ²+2n+2)一定位于( )(A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限.20、如图4，将△ABC 绕点C(0,c)逆时针旋转90°，得到△A ′B ′C. 设点A 的坐标为(a,b).则点A ′的坐标为( )(A) (c-b,c-a). (B) (-b,-a). (C) (c-b,c+a). (D) (b+c,a+c).21、点A(-1,a)和点B(-2,b)都在直线y=-m ²x+1上，则a 和b 的大小关系为( )(A) a ＞b. (B) a ＜b. (C) a ≥b. (D) a ≤b.22、点P(2,a)在反比例函数y=x k 的图像上，它关于原点中心对称的点在一次函数y=2x+3的图像上，则K 的值为( ) (A) -1. (B) 1. (C) 21. (D)2. 23、如图5，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB,CD:AB=1:2,O 为对角线的交点，∠ACD=60°.若点S,P,Q 分别为DO,AO,BC 的中点，则△PQS 与△AOD 的面积之比为( ) (A) 87. (B) 1. (C) 23. (D) 2. 24、同时掷两个骰子，它们朝上一面的数字之和小于6的概率是( ) (A)114. (B) 185. (C) 41. (D) 61. 25、王老师根据本班学生国庆期间外出旅游的情况绘制了两张不完整的统计图。
根据以上统计图，下列判断正确的是( )(A) 全班人数是27人. (B) 扇形统计图中，“参观两个景点”对应的圆心角是120°.(C) 参观一个景点的学生人数是9人. (D) 没有旅游的学生占全班学生的35％.26、将一个骰子先后投掷两次，若第一次掷出的点数为a 第二次掷出的点数为b ，则使得关于x,y 的方程组｛,322=+=+by ax y x 只有正数解的概率为( ) (A) 121. (B) 92. (C) 185. (D) 3613. 27、某班进行了数学小竞赛，下表记录了参加竞赛的学生答对题目的情况：已知答对2题以上的人平均每人答对3.5道题；答对5题以下的人平均每人答对2.5道题，则参加这次活动学生人数是( )(A) 21. (B) 22. (C) 23. (D) 24.28、有80人参加了培训班，其中报名参加舞蹈班的有30人，报名参加书法班的有60人，报名参加游泳班的有45人，既参加舞蹈班又参加游泳班的又15人，既参加书法班又参加游泳班的有30人，三个班都参加的有3人，那么只参加舞蹈班的人数是( )(A) 2. (B) 0. (C) 23. (D) 5.29、The number of can make 41262-+x x be a positive integer is ( ) (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) innumerable.30、若三位数abc (a,b,c 互不相等，且a+b+c ≤10)能被a+b+c 整除，则a+b+c 的不同值有( )(A) 1个. (B) 3个. (C) 5个. (D) 9个.二、填空题31、已知5x n 2m +和8x m -n 5是同类项，3x 1-n 2与x 1m +是同类项,那么mnn +2m =▁▁▁▁. 32、计算：199)1)(991)(991)(991)(9911)(99(99643216842-++++++=▁▁▁▁▁▁▁. 33、将多项式x 2(2y-1)+x 2y+xy 2(1-2y)-y 3分解因式，其结果为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁. 34、若▏x-2y ▏+(a-2b)2=0,则xy b y ab x a xy b y ab x 32223322235232a 3++++=▁▁▁▁▁▁. 35、计算：273-737++++24-6=▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.36、已知不论x 取何值，分式53++bx ax 的值都为一个定值，则分式ba b a 7253++的值为▁▁▁▁▁.37、若实数a,b,c 满足a+b+c=1,31+a +51+b +71+c =0,则(a+3)2+(b+5)2+(c+7)2=▁▁. 38、已知关于x 的方程26+-x kx -1=0无解.则在平面直角坐标系中，直线y=(k-1)x+k 2-2k-1与y 轴交点的纵坐标为▁▁▁▁▁.39、已知：)2)(1(43---x x x =1-x A +2-x B .则BA B A -+=▁▁▁▁▁▁▁. 40、已知：y=12)2-a 5-2(a ÷633-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--a a a ,则y 的最小值为▁▁▁▁▁▁. 41、设｛,36523.1943=++=++z y x z y x 则3x-2y+z=▁▁▁▁▁▁.42、某商店有一批月饼，共25箱，中秋节之前按照30元一箱出售，过完中秋节之后降价出售，价格为28元一箱，共收入740元，那么按30出售了▁▁▁▁箱.43、若关于x 的不等式(2a-b)x+3a-5b ＞0的解集为x ＜-54,则关于x 的不等式ax ＞b 的解集为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.44、已知x 6+x 2y 2=46,y 3+x 4y=9,x 4+y 2=▁▁▁▁▁.45、如图7，长方形纸片ABCD 中，CD=5cm,E 是CD 上一点，沿直线AE 把△ADE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，△ABF 的面积为30cm 2,沿折痕剪掉△ADE,则剩余部分的面积是▁▁▁▁▁▁.46、如图8，是由两个正六边形组成的图案，其中小正六边形的边长为23，小正六边形的顶点在大正六边形边的中点上，则阴影部分的面积是▁▁▁▁▁▁.47、两艘船从同一起点开始航行，A 船向正东方向，B 船向正北方向，当航行一段时间后，A 航行了50海里，B 船航行了30海里，这时A 接到任务，将船上的一批货物送到B 船上，此时B 船原地等待，那么A 最少要航行▁▁▁▁▁▁海里才能完成任务.48、如图9，在Rt △ABC 中∠BAC=90°,过顶点A 的直线DE ∥BC,∠ABC,∠ACB 的平分线分别交DE 于点E,D.若BC=26,△ABC 的面积为120.则线段DE 的长为▁▁▁▁▁▁.49、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(8,0)，点C 的坐标为(0,6)，P 为射线OA 上的动点，点O 关于直线PC 的对称点为B ，当△ABP 为直角三角形时，点P 坐标为▁▁▁▁▁▁.50、如图10，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°,AB=2,AD=DC,E,F 分别是AB,AC 上的点，若∠EDF=90°,则ADE S △+CDF S △=▁▁▁▁▁▁▁.51、△ABC 中，AB,AC 的垂直平分线交于点O ，若∠BAC=n °,则∠BOC 的度数为▁▁▁▁▁.52、如图11，在正方形ABCD 中，AB=2,△BEC 的面积为3-1，则∠ABE=▁▁▁▁▁▁.53、如图12，在△ABC 中，AB=AC,CD ⊥AB 于点D ，CE 平分∠ACB,交AB 于点E 。