贝塞尔函数解读

（2） Jn ( x) 的零点与 Jn1( x) 的零点彼此相间分布 。
贝塞尔函数的零点
（3）以
(n) m
表示
Jn ( x) 的非负零点（正的零点）（m = 1，2，…) ,
则
(n) m1
(n) m
当
m
时, 其值将无限地接近于π, 即
Jn(x)
几乎是以 2π 为周期的周期函数。
贝塞尔函数的正交性
贝塞尔方程
贝塞尔方程式指在柱坐标系下分离变量得到的一种特殊类型的常微分方程。 Bessel方程：
上式称x为2以ddxx为2 y2宗量的x ndd阶yxBess(exl方2 程n。2 ) y 0
贝塞尔方程
当n为整数时，上式的通解为
y AJ n (x) BYn (x)
其中，A、B为任意实数； J n (x) 为n阶第一类Bessel函数； Yn (x) 为n阶第二类Bessel函数（或称为“诺依曼(Neumann)
J 1 2 (x)
J 1 2 (x)
2 cosx
x
Y1 2 (x)
lim 1 2
J 1 2 (x) cos( sin(
2) 2)
J1 2 (x)
J1 2 (x)
2 sin x
x
Yn1 2 (x) (1)n1
2
xn1 2 1
d
n cosx
x dx x
J n1 2 ( x)
（与
1.先求的
数值解，再用（1）式求
(v k 1)
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
Jv (x)
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数 的
(n k 1) (n k)!
Jn (x)
（2）
J
n
(x)
k 0
(1)k k!(n k
)!
x 2
n2k
第一类贝塞尔函数
本征函数系
J
n
(
(n) m R
)r
(m 1, 2,) 的正交性。
R
0
r
J
n
(
(n m
R
)
r
)
J
n
(
(n) k
R
r
)d
r
0 R
,
2
2
J
2 n1
(
m
(
n
)
)
R2 2
J
2 n1
(
m
(
n)
)
,
mk mk.
J
n
(
(n m
R
)
r
)
m1 在【0，R】上，带权重r正交。
贝塞尔函数的正交性
若λ和μ是两个不同的常数 , 可以证明
在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解 贝塞尔方程的本征值问题:
Jn( R) 0
上述本征方程的解为:
R
(n) m
即
(n) m
( m(n)
R
)2
(m 1, 2, )
与这些本征值相对应的本征函数为:
Pm (r)
J
n
(
(n m R
)
r
)
(m 1, 2,)
贝塞尔函数的正交性
贝塞尔函数
贝塞尔函数
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊 函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般 称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成 柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函 数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝 塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。
求 J n (的x)方法：
1.直接用（2）式求
2.整数阶Bessel函数也可以通过J递n (推x关) 系得出
奇数阶Bessel函数为奇函数；偶数（包括零）阶Bessel函数为偶函数；
第二类贝塞尔函数
非整数阶第二类Bessel函数的定义式为
Yv (x)
Jv (x) cos(v ) sin(v )
Jv (x)
当为整数时，例如，v n ，
Yn
(x)
lim
n
J
(x)
cos( ) sin(
)
J
(x)
此时，可以按下述公式计算整数阶第二类Bessel函数
第二类贝塞尔函数
Yn
(x)
2
J n (x)( ln
x 2
0.5772
)
1
n1 m0
(n
m 1)! ( x )n2m m! 2
1
1
0
x
J n (
x)J n (
x)d
x
Jn( )Jn () Jn()Jn ( ) 2 2
而
1
0
x
J n 2 (
x)d
x
1 2
J
由（3）式和（6）式还可得
Yv(x)
Yv1 ( x)
v x
Yv
(x)
（3）——（6）式的递推关系中，为任意实数。
（1）利用和的值可以递推出任意正整数阶第二类Bessel 函数的值。
（2）利用和的值可以递推出任意半奇数阶第二类Bessel 函数的值。
第二类贝塞尔函数
Y1 2 (x)
J1 2 (x) cos( 2) sin( 2)
不一样！）
Y(n1 2) (x)
2 xn1 2 1 d n sin x
x dx x
J (n1 2) ( x)
（与
不一样！）
贝塞尔函数的零点
（1） Jn ( x) 有无穷多个单重实零点 ， 且这无穷多个零点在 x 轴上关于原 点对称分布 。自然 Jn ( x) 必有无穷多个正的零点。
第二类贝塞尔函数
Yv (x) 的递推公式：（注：与J v (x)
样！）
2v x Yv (x) Yv1(x) Yv1(x)
xvYvБайду номын сангаас(x) xvYv1(x)
xvYv (x)
x
Y v v1
(
x)
的递推公式完全一
（3） （4） （5）
2Yv(x) Yv1(x) Yv1(x)
（6）
第二类贝塞尔函数
v
第一类贝塞尔函数
整阶第一类Bessel函数
的定义式为
J n ( x)
当n不为J整n (数x时) ，例k如0
(1) k
x n2
k!(非n整数k阶B1es)sel2函数
k
nv
Jv (x)
（1）
J
v
(
x)
k 0
(1)k k!(v k
1)
x 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数
求 J v (x的)方法：
函数”）。
贝塞尔方程
当n不为整数时，例如
n v ，上式的通解可表示为如下两种形式：
y AJ v (x) BJ v (x)
其中和，A、yB为分任别A意称J实为v数(；阶x)和 B阶Y第v一(类x)Bessel函数；
称为 阶第二类Bessel函数。
Jv (x) J v (x)
v v
Yv (x)
(1) m
( x )n2m nm1
1
m1
1
m0 m!(n m)! 2
k0 k 1 k0 k 1
(n 1, 2, 3, )
其中：
Y0 (x)
2
J0
(x)(ln
x 2
0.5772)
2
m0
(1) m (m!) 2
(
x ) 2m 2
m1 k 0
k
1 1
lim
x0
Yn
(x)
Yn (x) (1)n Yn (x)