二次型与对称矩阵习题

1 0 2 E A 0 2 0 ( 2)2 ( 3)
2 0 2
得A的特征值1 2 2, 3 3.
对于1 2 2,解齐次线性方程组(2E A)x 0, 得其基础解系1 (2,0,1) ',2 (0,1,0) '.
对于3 3,解齐次线性方程组(3E A)x 0, 得其基础解系3 (1,0, 2) '.
P
'
AP
0
2
0
,
且二次型的标准形为
0 0 3
f 2 y12 2 y22 3y32 .
解法2
a 0 b
(1)二次型f
(
x1
,
x2
,
x3
)的矩阵为A
0
2
0 .
b 0 2
9
A的特征多项式为
1 0 b
E A 0 2 0
b 0 2
( 2)[2 (a 2) (2a b2 )]
设A的特征值为1, 2 , 3 ,
由则题1 设 得2, 21
3 2
a 2, 23 3 2 (a
(2a 2) 1,
b2
),
123 2(2a b2 ) 12，解得a 1,b 2.
(2)由(1)可得A的特征值为1 2 2, 3 3,
以下解法同解法(1).
10
例4．已知二次型f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 2ax2 x3 (a 0)通过正交变换化为标准型f y12 2 y22 5 y32 , 求参数a及所用的正交变换矩阵．(1993年数学1)
5
解法1
a 0 b
(1)二次型f
(
x1
,
x2
,
x3
)的矩阵为A
0
2
0 .
b 0 2
设A的特征值为i (i 1, 2,3),由题设有
1 2 3 a 2 (2) 1
a0 b
123 0 2 0 4a 2b2 12
b 0 2
解得a 1,b 2. 6
(2)由矩阵A的特征多项式
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特征向量为1 (0,
1 , 2
1 ) 2
(2)当 2时,由方程组(2E A)x 0得对应的 单位特征向量为2 (1,0,0)
(3)当 5时,由方程组(5E A)x 0得对应的
单位特征向量为3 (0,
1, 2
1 ) 2
12
故所用的正交变换矩阵
0
1
0
P
(1 , 2
,3
)
1 2
5 1 3
解：(1)该二次型的矩阵A
1
5
3
3 3 c
由题设知R(A) 2,因此 A 0,解得c 3．
14
易证,此时R(A) 2, A的特征多项式
5 1 3 E A 1 5 3 ( 4)( 9)
3 3 3
故所求特征值为1 0, 2 4, 3 9．
(2)由以上讨论知, f 的一个标准型为f 4 y22 9 y32 , 由此可知f (x1, x2 , x3 ) 1(即4 y22 9 y32 1) 所给出的曲面是椭圆柱面．
第五章 习题课
典型例题
一、二次型及其矩阵表示 二、化二次型为标准 三、正定二次型的判定
1
一、二次型及其矩阵表示
例1. 求实二次型
n
f (x1, x2 ,L , xn ) (ai1x1 ai2 x2 ain xn )2 i 1
的矩阵及秩.
解
a11 a12 L a1n A1
令A
故f (x1, x2 ,L xn )的矩阵为A' A, 其秩 R( A' A) R( A).
4
二、化二次型为标准形
例3.设二次型f (x1, x2 , x3 ) x ' Ax ax12 2x22 3x32 2bx1x3 (b 0), 其中二次型的矩阵A的 特征值之和为1, 特征值之积为 12. (1)求a, b的值; (2)利用正交变换将二次型f 化为标准型, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩 阵.(2003年数学3)
0
1
2
1 2
0
1 2
13
例6．已知二次型f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3的秩为2． (1)求参数c及此二次型的矩阵的特征值．
(2)指出方程f (x1, x2 , x3 ) 1表示何种二次曲面．
(1996年数学1)
n
(x1, x2 ,L
i 1
, xn ) A'i
Ai
x2
M
xn
3
x1
x1
(x1, x2 ,L
n
, xn )(
i 1
A
'i
Ai
)
x2
M
( x1
,
x2
,L
xn
)
A
'
A
x2
M
xn
xn
由于(A' A) ' A'(A') ' A' A, A' A为n阶实对称阵,
k 2 x1Ax1 k 2 f (x1 ) 0,
与题设f (x1 ) 0相矛盾．故x1和x2线性无关．16
a21
a22
L
a2n
A2
M M
M M
an1 an2 L ann An
2
A1
则A' A
( A'1, A'2 ,L
,
A
'n
)
A2
M
An
n i 1
A 'i
Ai
n
于是f (x1, x2 ,L , xn ) ((x1, x2 ,L xn ) A'i )2
i 1
x1
15
三、正定二次型的判定
例7．设f (x) xAx是一实n元二次型,
若有n维向量x1, x2 ,使f (x1) 0, f (x2 ) 0,试证： （1）x1和x2线性无关； （2）存在n维向量x0 0,使f (x0 ) 0．
证：(1)由f (x1) 0知x1 0,从而x1线性无关． 于是, 若x1和x2线性相关, 则x2可由x1线性表示：x2 kx1, k R, 且f (x2 ) f (kx1) (kx1)A(kx1)
2 0 0
解：二次型f
(
x1
,
x2
,
x3
)的矩阵A
0
3
a
0 a 3
又由f 的标准型可知A的特征值为1 1, 2 2, 3 5,
故
A
123
10,即：2(9
a2 )
10
2
0
0
但a
0, 故a
2,
此时A
0
3
2
0 2 3
11
(1)当 1时,由方程组(E A)x 0得对应的单位
7
由于1,2 ,3已是正交向量组,为得到规范正交向量组, 只需将1,2 ,3单位化,
由此得1 (
2 , 0, 5
1 5
)
',2
(0,1, 0) ',3
(
1 , 0, 5
2 )' 5
2
5
0
1
5
令矩阵P 0 1 0 ,
1 5
0
2 5
则P为正交矩阵,在正交变换x Py下,有
8
2 0 0