初中数学竞赛专题：不等式

初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组）

5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1π

y 与

10

31

y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π

31

<,所以110π

31

y y >

5.1.2★解关于x 的不等式

233122x x

a a

+-->

. 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得

(23)(23)(1)a x a a +>+-.

当230a +>,即3

(0)2

a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32

a =-时,无解； 当230a +<,即32

a <-时,1x a <-.

评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.

5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49

x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知

20,

434.29a b b a a b -

-?=?-?

所以 2,

7.8a b b a

=??

由728a a <,可得0a <,从而0a <,78

b a =. 于是不等式(4)230a b x a b -+->等价于

721

()2028

a a x a a -+->,

即5528ax a ->,解得14

x >-. 所求的不等式解为14

x >-.

5.1.4★★如果关于x 的不等式

(2)50a b x a b -+->

的解集为10

7

x <

,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得

(2)5a b x b a ->-,①

710x ->-.②

由已知①和②的解集相同,所以

27,

510,

a b b a -=-??

-=-? 解得

5,

3.

a b =-??

=-? 从而ax b >的解集是3

5

x <. 5.1.5★求不等式

111

(1)(1)(2)326

x x x +---≥ 的正整数解.

解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72

x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90,

80x a x b -??

-

≥的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的

有序数对（a ,b ）共有多少对？ 解析 由原不等式组可解得98

a

b x <≤.

如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得

01,9

3 4.8a b ?

?

≤≤

即

09,

2432.a b

≤≤ 所以,a =1,2,…,9共9个,25b =,26,…,32共8个,于是有序数对（a ,b ）共有9872?=个. 5.1.7★★★设a 、b 是正整数,求满足8

99

10a b

<<

,且b 最小的分数a b

. 解析 欲求b 的最小值,只需将b 放入一个不等式,然后估计出b 的下界,这里要用到整数的离散性,即若整数x 、y 满足x y >,则1x y +≥. 原不等式等价于

8,99,10

a

b

a b ?

?

89,

109.b a a b

所以 819,

1019.

b a a b +??+?≤≤

故 91

81910

b b -+?

≤, 解得

19b ≥.

又分数

1719满足817991910<<,故b 最小且满足题意的分数是1719

. 5.1.8★已知520m ≤≤,2530n ≤≤,求

m

n

的最大值和最小值. 解析 因为520m ≤≤,2530n ≤≤,所以m 的最大值为20,最小值为5；

n 的最大值为30,最小值为25.

故

m n 的最大值为204255m n ==；m n 的最小值为51

306

m n ==. 5.1.9★★求同时满足6a b c ++=,23a b c -+=和0b c ≥≥的a 的最大值及最小值. 解析 由6a b c ++=和23a b c -+=,得

32a b +=

,932

a

c -=. 再由0b c ≥≥得,

393022a a +-≥≥,解此不等式,得3

32

a ≤≤. 所以a 的最大值为3,最小值为3

2

.

5.1.10★求适合2x y x y ->+,且y 满足方程3523y y x -=+的x 取值范围. 解析 3523y y x -=+,所以35y x =+.于是

2(35)35x x x x -+>++,2x <-.

故x 的取值范围是2x <-.

5.1.11★★当x 、y 、z 为非负数时,323y z x +=+,343y z x +=-,求334w x y z =-+的最大值和最小值.

解析 由323,

343,y z x y z x +=+??+=-?解得14,

57.3z x x y =-+??-?

=??

因为x 、y 、z 均为非负数.所以,从上面可得1

547

x ≤≤.

334357416w x y z x x x =-+=-+-+

269x =-.

56727

w -≤≤. 所以w 的最大值是

677,w 的最小值是5

2

-. §5.2 含绝对值的不等式（组）

5.2.1★（1）解不等式1

|32|2

x -<-； （2）解不等式|32|3x ->-.

解析 根据绝对值的非负性,易知（1）无解,（2）的解集为全体实数. 5.2.2★★解不等式|5||23|1x x ---<.

解析 原不等式的零点为5、32

.根据零点的情况分类讨论. （1）当5x >时,原不等式化为

(5)(23)1x x ---<,

解之,得3x >-.

所以,此时不等式的解为5x >. （2）当32

x <时,原不等式化为

(5)(23)1x x --+-<,

解之,得1x <-.

（3）当352

x ≤≤时,原不等式化为

(5)(23)1x x ----<,

解之,得73

x >.

所以,此时不等式的解为753

x <≤. 综上,原不等式的解为1x <-或73

x >.

评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法. 5.2.3★解不等式|7||2|3x x +--<.

解析1 如图,分别用A 、B 两点代表7-和2.

|7||2|x x +--表示某点C （x 所对应的点）到A 点和B 点的距离差.又当1x =-时,C 点到A 、B 两

点的距离差恰好为3.

A B x

当点C 靠近点A 时,C 到A 、B 两点的距离差变小,所以原不等式的解为

1x <-.

解析2 因为7-、2分别是|7|x +和|2|x -的零点,于是分三种情况讨论： （1）当7x <-时,原不等式变为

(7)(2)3x x -++-<,

此式恒成立,故7x <-是原不等式的解. （2）当72x -<≤时,原不等式变为

(7)(2)3x x ++-<,

解得 1x <-.

所以,71x -<-≤是原不等式的解. （3）若2x ≥,原不等式变为

(7)(2)3x x +--<,

即53<,此不等式无解.

5.2.4★★解不等式||3||3||3x x +-->. 解析 原不等式等价于

|3||3|3x x +-->,①

或 |3||3|3x x +--<-. ②

①的解为32x >；②的解为32

x <-. 所以,原不等式的解为32x <-或32

x >. 5.2.5★解不等式：

25||60x x -+>.

解析 注意22(||)x x =,整体分解. 由题意得

(||2)(||3)0x x -->,

即 ||3x >或||2x <, 而由||3x >得

3x >或3x <-,

由||2x <得

22x -<<.

所以,原不等式的解为

3x <-或22x -<<或3x >.

5.2.6★★解不等式组：

22350,

|2|10.x x x ?+->?

-

解析 由22350x x +->得7x <-或5x >. 由|2|10x -<得812x -<<. 于是原不等式组的解就是

75,

812,

x x x <->??

-<

87x -<<-或512x <<.

5.2.7★★a 取何值时,不等式

|25||42|x x a ++-<

无实数解？

解法1 欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,关键是求出|25||42|x x ++-的最小值. 因|25|x +、|42|x -的零点分别是52

-、2.

当52x -≤时,|25||42|(25)4214x x x x x ++-=-++-=--.当52

x =-时,|25||42|x x ++-有最小值9； 当522

x -<≤时,|25||42|25429x x x x ++-=++-=,最小值及最大值都是9； 当2x >时,|25||42|252441x x x x x ++-=++-=+,无最小值. 故|25||42|x x ++-的最小值为9.

欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,则9a ≤. 解法2 由||||||a b a b ++≥,得

|25||42||2542|9x x x x ++-++-=≥,

故欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,只需9a ≤即可. 5.2.8★★若不等式|1||3|x x a ++-≤有解,求a 的取值范围. 解析1 利用不等式性质：

|1||3||1(3)|4x x x x ++-+--=≥,

又|1||3|x x a ++-≤, 可得4a ≥.

解析2 根据绝对值的几何意义,因为|1|x +、|3|x -分别表示数轴上点x 到点1-和3的距离,所以

|1||3|x x ++-表示数轴上某点到A ：1-和B ：3的距离和.从图可见,不论x 在A 点左边或者B 点

右边时,x 到A 、B 点距离和至少为4；当x 在AB 两点之间时,x 到A 、B 点距离和为4.所以4a ≥.

x

评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法 （1）当1x -≤时,原不等式化为224a x -≥≥； （2）当13x -<<时,原不等式化为4a ≥； （3）当3x ≥时,原不等式化为224a x -≥≥. 综上所述,4a ≥.

本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义. 5.2.9★已知0n <且||m n

m m n

-=+,求m 的取值范围. 解析 整理可得(1||)

1||

m m n m -=+.

因为0n <,所以

(1||)

01||

m m m -<+,

即 (1||)0m m -<.

（1）当0m <时,1||0m ->,解之得10m -<<. （2）当0m >时,1||0m -<,解之得1m >. 综上,m 的取值范围为10m -<<或者1m >. 5.2.10★解不等式24||30x x -+>. 解析1 因为

24||3(||1)(||3)0x x x x -+=-->,

所以

||1x <或||3x >,

即11x -<<或者3x >或者3x <-.

解析 2 考虑函数2()4||3f x x x =-+.注意到对任意实数x ,有()()f x f x -=.从函数图象来看,这个函数的图象关于y 轴对称,即只需作出0x >时的图象,再把函数图象关于y 轴作对称即可. 如图,可知,原不等式的解为使得图象在x 轴上方的x 的取值集合：

11x -<<或者3x >或者3x <-

.

评注当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意：(||)

f x表示的函数图象是()

f x在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折；|()|

f x的图象是把()

f x在x轴下方的图象关于x轴翻折后的图象.由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的.

5.2.11★★解不等式2|41|3

x x x

-+>.

解析（1）当2410

x x

-+≥,

即2

x≥

2

x≤,原不等式变形为

2413

x x x

-+>. 解不等式组,得

x>

或x.

（2）当2410

x x

-+<,

即22

x<,原不等式变形为

2

(41)3

x x x

--+>.

此时,不等式组无解. 综上,原不等式的解为

x>

或x.

（本题从几何解释为使2

|41|

y x x

=-+的图象在3

y x

=图象上方的x的取值范围.如图.）

5.2.12★★已知||1

x≤,||1

y≤,且

|||1||24|

k x y y y x

=++++--,

求k的最小值和最大值.

解析解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论.

因为||1

x≤,||1

y≤,所以

11

x

-≤≤,11

y

-≤≤.

所以10

y+≥.

又222y -≤≤,故3233y x --≤≤,从而240y x --<. 当0x y +<时,有()(1)(24)25k x y y y x y =-+++---=-+. 因为11y -≤≤,所以3257y -+≤≤,此时37k ≤≤. 当0x y +≥时,有()(1)(24)25k x y y y x x =+++---=+. 同样,当11x -≤≤时,3257x +≤≤,即37k ≤≤. 综上所述,37k ≤≤.

又当1x =时,7k =,当1x =-时,3k =,所以,k 的最值是3,最大值是7.

5.2.13★★实数a 、b 、c 满足不等式||||a b c +≥,||||b c a +≥,||||c a b +≥.求证：

0a b c ++=.

解析1 若a 、b 、

c 中有一个为零时,设0a =,则||0b c +=,所以,0b c +=,故0a b c ++=.下面可设a 、b 、c 均不等于零.

（1）当a 、b 、c 全为正数时,则

b c a +≤,c a b +≤,a b c +≤,

这不可能.

（2）当a 、b 、c 为二正一负时,不妨设0a >,0b >,0c <.则由||b c a +≤,得a b c a -+≤≤,所以

0a b c ++≥.

又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而

0a b c ++=.

（3）当a 、b 、c 为一正二负时,不妨设0a >,0b <,0c <,于是由||b c a +≤,得a b c -+≤,所以

0a b c ++≥.

又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而

0a b c ++=.

（4）当a 、b 、c 全为负数时,于是由条件得

a b c a +-≤≤,b c a b +-≤≤,c a b c +-≤≤,所以2()a b c a b c ++++≤,所以0a b c ++≥,矛盾.

综上所述,得0a b c ++=.

解析2 把题设的3个不等式两边平方后相加,得

2222222()222a b c a b c ab bc ca +++++++≥,

故 2()0a b c ++≤,

从而

0a b c ++=.

5.2.14★★★★实数a 、b 、c 满足a b c ≤≤,0ab bc ca ++=,1abc =.求最大的实数k ,使得不等式

||||a b k c +≥恒成立.

解析 当a b ==2

c =

时,则实数a 、b 、c 满足题设条件,此时4k ≤. 下面证明：不等式||4||a b c +≥对满足题设条件的实数a 、b 、c 恒成立.由已知条件知,a 、b 、c 都不等于0,且0c >.因为

10ab c =

>,21

0a b c

+=-<, 所以0a b <≤.

由根与系数的关系知,a 、b 是一元二次方程

22110x x c c

+

+= 的两个实数根,于是

414

0c c

?=

-≥, 故

314

c ≤.

所以

2

1

||()4||a b a b c c c +=-+=

=≥4. 5.2.15★★★已知 （1）0a >；

（2）当11x -≤≤时,满足2||1ax bc c ++≤； （3）当11x -≤≤时,ax b +有最大值2. 求常数a 、b 、c .

解析 由（1）知2y ax bx c =++为开口向上的抛物线,由（1）、（3）知

2a b +=.①

由（2）知

||1a b c ++≤, ②

||1c ≤.

③

由①、②知

|2|1c +≤.④

由③、④得1c =-.

故0x =时,2y ax bx c =++达到最小值.因此,

02b

a

-

=,0b =. 由①得2a =. 故

2a =,0b =,1c =-.

5.2.16★★★证明

|||2|||24max{,,}A x y x y z x y x y z x y z =-++-+-+++=,

其中max {x ,y ,z }表示x 、y 、z 这三个数中的最大者.

解析 欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x 为x 、y 、z 中的最大者,即证4A x =,依次再考虑y 、z 是它们中的最大值便可证得. （1）当x y ≥,x z ≥时,

|2|222224A x y x y z x y x y z x z x z x =-++-+-+++=-++=.

（2）当y z ≥,y x ≥时,

|2|222224A y x x y z y x x y z y z y z y =-++-+-+++=-++=.

（3）当z x ≥,z y ≥时,因为

||2max x y x y -++={x ,y }2z ≤,

所以

2||||24A z x y x y x y x y z z =----+-+++=.

从而 4max A ={x ,y ,z }.

§5.3 一元二次不等式

5.3.1★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式

2(3)30x a x a -++<.

解析 分解因式

(3)()0x x a --<.

（1）若3a >,解为3x a <<； （2）若3a <,解为3a x <<；

（3）若3a =,原不等式变成2(3)0x -<,无解. 5.3.2★★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式

2(1)10ax a x -++<.

解析 （1）0a =时,原不等式为10x -+<,解为1x >.

（2）0a ≠时,分解因式得

1(1)0a x x a ?

?--< ??

?.

①若0a >,则

1(1)0x x a ?

?--< ??

?. （i ）11a >,即01a <<时,解为11x a

<<

. （ii ）1

1a

<,即1a >时,解为11x a

<<. （iii ）1

1a

=,即1a =时,不等式无解. ②若0a <,则

1(1)0x x a ?

?--> ??

?, 解为1x >及1x a

<.

5.3.3★★若一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,求不等式20cx bx a ++<的解.

解析 1 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以,不等式20ax bx c ++>与

(1)(2)0x x --<等价.即20b c

x x a a

++<（0a <）与2320x x -+<等价.所以 3,

2,0,

b

a c

a

a ?=-??

?=???

即3,2,0.b a c a a =-??=??

故不等式20cx bx a ++<,即2230ax ax a -+<,且0a <. 化为22310x x -+>,解得1x >,或1

2

x <.

解析2 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以20ax bx c ++=的根是1,2,且0a <.

由韦达定理,得3,2.b

a

c a

?-=????=??

故不等式20cx bx a ++<的解是1x >,或12

x <.

5.3.4★★★欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,求m 的取值范围.

解析 不等式2320x x -+<的解是12x <<. 不等式

2(1)(3)20m x m x -+--<,

即 [(1)2](1)0m x x -+-<. ①

（1）当1m =时,不等式为220x -<,即1x <,符合题意； （2）当10m ->,即1m >时,不等式①之解为

2

11x m

<<-,符合题意； （3）当10m -<,即1m <时,我们分两种情况讨论： 若211m <-,即1m <-时,不等式①之解为1x >,或2

1x m

<

-,不合题意； 若

211m >-,即11m -<<时,不等式①之解为2

1x m

>

-,或1x <,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,则须

2

21m

-≥,从而01m <≤. 综上所述,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,m 的取值范围是

0m ≥

5.3.5★★对一切实数x ,不等式

2(6)20ax a x +-+>

恒成立,求a 的值.

解析 由于不等式对一切x 恒成立,故a 应该满足

2

0,

6420,

a a a >???=(-)-?

2

0,

20360,a a a >??-+

所以 218a <<.

5.3.6★★设有不等式

2221

(2)3238

t t x x t --+-≤≤, 试求对于满足02x ≤≤的一切x 成立的t 的取值范围.

解析 令232y x x =-+,02x ≤≤,则在02x ≤≤上y 能取到的最小值为14

-,最大值为2,从而总有

2

211(2),

8

432,t t t ?--???-?

≤≥ 即

22

220,10,t t t ?--?

?-??

≥≤ 所以

111;t t ?-??-??≤≤≤

或11 1.

t t ???

-??≥≤≤ 于是t

的取值范围为11t --≤≤5.3.7★解不等式

213

11

x x x x -+>

-+. 解析 原不等式可化为

213

011

x x x x -+->-+, 即

22

0(1)(1)

x x x x -+>-+. ①

因为2217

2024

x x x x ??-+=-+> ??

?

,所以①式等价于

(1)(1)0x x -+>,

所以 1x <-或1x >.

5.3.8★★解不等式

12

>.

解析 首先,由30,

10x x -??

+?

≥≥

得13x -≤≤.将原不等式变形为

1>.

由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得

78x ->,

所以780x ->,即7

8

x <,并且

2(78)16(1)x x ->+,

所以

264128330x x -+>,

x >

x <.

综上可得,原不等式的解为1x -≤. 5.3.9★求不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个数. 解析 不等式21(1)37x x x -<-<+等价于不等式组

22

(1)1,(1)37,x x x x ?->-?

?-<+??

即

22

320,

560.

x x x x ?-+>??--得2x >或1x <；解2560x x --<得16x -<<.

故原不等式组的解为11x -<<或26x <<.x 的整数解为0x =,3,4,5共四个. 5.3.10★★实数a 、b 、c 满足

()()0a c a b c +++<.

证明：2()4()b c a a b c ->++. 解析 要证2()4()b c a a b c ->++,即证

2()4()0b c a a b c --++>,

联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.

设辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++,令10x =,得函数值1y a b c =++；令21x =-,得函数值

22()y a c =+.

因为()()0a c a b c +++<,所以120y y <.

这说明,辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++上两点11(,)x y 、22(,)x y 分布在x 轴的两侧,由此可见抛物线与x 轴有两个交点,也就是说方程2()()0ax b c x a b c +-+++=有两个不相等的实数根. 因此2()4()0b c a a b c ?=--++>,故

2()4()b c a a b c ->++.

评注 有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究,将一些抽象的数量关系通

过函数图象形象直观地反映出来,这种数形结合的思想非常重要. 5.3.11★★★满足下列两个条件： （1）对所有正整数x ,220010x x n -+≥； （2）存在正整数0x ,使

20020020x x n -+<

的正整数n 的个数有几个？

解析 先求满足条件（1）的正整数n .由

2

2

2

20012001200124n x x x ??-+=--+

???

≥ 对所有正整数x 都成立,则n 不小于2

2

20012001

24x ??--+

???的最大值,故 2

2

2001200110001000100124n ?

?--+

=? ???

≥. 再求满足条件（2）的正整数n .

240n ?=2002->, 21001n <.

由于?是正整数,且大于1,故此时方程220020x x n -+=的两根1x 、2x （均大于0）,满足

22121212()()4x x x x x x -=+-=?>1,

即12||1x x ->,从而,当21001n <时,必存在正整数0x ,使得

2

0020020x x n -+<.

所以,满足条件（1）、（2）的正整数n 有

21001100010011001-?=（个）.

5.3.12★★★设a 为实数,

解不等式x <解析 （1）若0a ≤,由原不等式,得

10,

0.

x x -???

,则有

22

10,

(1).x a x x -???->??

≥①② 由①,得 1x ≥.

由②,得

2220x a x a -+<, 2(2)(2)a a a ?=+-.

此时又分两种情形：

当02a <≤时,0?≤,则不等式①②无解； 当2a >时,?>0,注意到

22

2212a a

=>=. 此时不等式②的解为

x <. 综上所述,当2a >时,原不等式才有解,此时不等式的解集为

x <. 5.3.13★★★设0a >,解不等式

1x +.①

解析 因为0a >,①的左端非负,因此10x +≥. 下面分两种情形讨论.

（1）0x ≥时,①式左右两边平方得

22(1)a x x +≤,

整理得

22(2)10x a x +-+≥.②

因为2222(2)4(4)a a a ?=--=-,所以2a <时,0?<,②对一切0x ≥成立.2a ≥时,0?≥,22(2)1x a x +-+有实根,而且两根的积为1,和为非负数22a -,所以两根均为正.②的解为

x 及

0x ≤. （2）10x -<≤时,①式变为

1x +.

③

③式两边平方整理得

22

+++≥. ④

x a x

(2)10

因为22

+++有两个不相等的实数根,由韦达定理知,两根均为负.

x a x

(2)40

a

?=+->,所以22(2)1

由于两根积为1,较小的根小于1-,较大的根大于1-,所以④的解为

<>.

x a

0(0)

综合（1）、（2）,原不等式的解为：

当2

a≥时,

x

及x

当02

<<时,

a

x