期权期货及其他衍生品第八版 章奇异期权
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上升敲入看跌期权：是一个常规看 跌期权，当资产价格达到一个特定 障碍水平H（当H大于标的资产的 初始价格）时，该期权有效。
当H≥K时，
p u iS 0 e q ( H T S 0 ) 2 N ( y ) K r( H T S e 0 ) 2 2 N ( y T )
并且
puoppui
25.5棘轮期权
一系列由某种方式确定执行价格 的看涨或看跌期权。
简单结构：普通期权加上n-1个远 期开始期权。
复杂的棘轮期权没有精确解析解， 可以通过蒙特卡罗模拟法对其定 价。
25.6复合期权
定义：基于期权的期权。 类型：
看涨-看涨期权； 看涨-看跌期权； 看跌-看涨期权； 看跌-看跌期权。
下降敲入看涨期权：是一个常规 的看涨期权，但如果的资产价格 达到一个特定的障碍价格H（H< 资产的初始价格）时，那么该期 权有效。
当H≤K时，在零时刻下降敲入看
源自文库
涨期权的价值：
c d S i 0 e q ( H T S 0 ) 2 N ( y ) K r ( H T e S 0 ) 2 2 N ( y T )
OTC市场交易的非标准美式期权：
有一种非标准美式期权称为 Bermuda期权，这种期权提前行使 只限于期权有效期内特定日期。
提前行使只限于期权有效期内的某 个待定区间。
期权执行价格在期权有效期内可以 改变。
25.2非标准美式期权
通常可以利用二叉树估值非标准 美式期权。在每个节点上，根据 期权的特殊条款检验提前执行的 情况。
和
cdiccdo
其中，
x1
ln(S0
/ K) T
T
y2
ln( H
/ S0 ) T
T
上升敲出看涨期权：是一个常规 看涨期权，当标的资产价格达到 某个障碍水平H（H大于标的资产 的初始价格）时，该期权作废。
上升敲入看涨期权：是一个常规 看涨期权，当标的资产价格达到 特定障碍水平H（当H大于标的资 产的初始价格）时，该期权有效。
25.8障碍期权
收益依赖于标的资产的价格在一 段特定时期内是否达到了一个特 定水平的期权。其通常在场外市 场进行交易。并且比常规的期权 便宜。
分类：敲出期权 和 敲入期权
敲出期权：当标的资产价格达到一 个特定障碍H时，该期权作废；
敲入期权：当标的资产价格达到一 个特定障碍H时，该期权有效
公式（14.4）（14.5）说明，零 时刻常规看涨期权和看跌期权的 价值为：
但是，合约中经常声明对标的资产S 进行定期观测。比如说每天中午的12 点观测一次。
Broadie，Glasserman和Kou给出了 当标的资产价格是周期性观测时的计 算公式，对于上升敲入期权，上升敲 出期权只要把障碍H 改为 ， He0.5826T/m 对于下降敲入期权，下降敲出期权只 要把障碍H改成 He0.5826T/m ，m是资 产价格观察的次数，T/m是观察间隔 时间。
假 价定 格S，1T为2为T1期时权刻到的期股日票，价r格为，无K风为险执利行 率。则看跌期权一看涨期权之间的平价 关系式意味着：
mc ,ap )x m ( c ,a c x K (r(T e 2 T 1) S 1 e q (T 2 T ))
c e q (T 2 T )m0 ,a K x (r e q ( )T ( 2 T 1) S 1 )
25.7选择人期权
定义：又称任选期权。 特征：经过一段时间后，持有人能选择
期权，或者是看涨期权或是看跌期权。 假设做出选择的时刻为t1，此时任选期
权的价值为：
maxc(, p)
其中： c为任选期权的标的看涨期权价值， p 为任选期权的标的看跌期权价值。
如果后定选择期权的两个标的期权都是 欧式的且具有相同执行价格，则可运用 看跌期权一看涨期权之间的平价关系来 获得估值公式。
其中，
r q2 2 2
y ln H2 (S0K) T T
常规看涨期权＝ 下跌敲入看涨期 权＋下跌敲出看涨期权
因此，下跌敲出看涨期权＝常规 看涨期权－下跌敲入看涨期权， 即： cdoccdi
当H>K时：
c d oS 0 N (x 1 )e q TK rN T e(x 1T ) S 0 e q(T H S 0 )2 N (y 1 ) K r( T e H S 0 )2 2N (yT )
25.3缺口期权
缺口看涨期权收益：当ST > K2 ， ST − K1
缺口看跌期权收益：当 ST < K2 K1 − ST
适当修改BSM公式即可对欧式缺 口期权定价
Gap call S0eqT N (d1) K1erT N (d2 )
Gap put K1erT N (d2 ) S0eqT N (d1)
25 奇异期权
引言
标准型产品： 欧式或美式看涨期权和看跌期权 这样的衍生品被称为标准型产品。
特点：标准化、交易活跃、经纪人 或交易所报价及其波动率
奇异期权：非标准化 OTC市场、小部分、高收益
开发奇异期权的原因
满足真实市场中对冲策略的要求 由于税收、会计、法律或监管等
相关原因 设计相应的衍生品的衍生品来预
其中，
a 1ln S 0/(S * ) (rT 1 q22 )T 1,
b 1 ln S 0/( K 2 ) (rT 2 q 22 )T 2,
a 2 a 1 T 1
b 2 b 1 T 2
M(a,b;)——累计二维正态分布，
当两个变量的相关系数为ρ时， 第一个变量小于a，第二个变量 小于b。
障碍期权与常规期权相比有不同 的特点，比如说有时vega就是负 值，考虑上升敲出看涨期权。
如果波动率上升，则达到障碍水 平的概率也上升。
因此，在这种情况下，波动率上 升，则障碍期权价格下降。
QerTN(d2)
25.9二元式期权
定义：具有不连续收益的期权。
例：现金或空手看涨期权。
当ST＜K时，该期权一文不值； 当ST＞K时，该期权支付一个固定数额Q。 风险中性世界中，期权到期时标的资产超过
c是0时刻的期限为T2-T1的平值期权 的价格。
使用风险中性评估法，在零时刻的远 期生效期权价值为：
e rT1
Eˆ
c
S1 S0
其中， Eˆ代表风险中性世界 望中 值期 。 又因为c： 和S0已知，E且 ˆ(S1) S0e(rq)T1, 则远期生效期权价 ce值 qT1。 为
当q=0，远期开始期权的价格与具有 相同期限的平值期权价格相等。
cS0eq T N(d1)KreTN(d2)
pKreTN(d2)S0eq T N(d1)
其中，
d1
lnS(0/K)(rq2 T
2)T
d2
l
nS(0
/K)(rq2 T
2)Td1
T
下降敲出看涨期权：是一个常规 的看涨期权，但如果的资产价格 达到障碍价格H（H<资产的初始 价格）时，那么该期权作废。
当H>K时，下降敲出看跌期权的 价值为 pdo 0 ，下降敲入看跌 期权的价值为p，pdi p。
当H<K时
pdiS0N(x1)eqTKreTN(x1T)
S0eqT(HS0)2[N(y)N(y1)]
KreT(HS0)22[N(yT)N(y1T)]
并且
pdoppdi
上述所有计算公式都是假定标的资产 价格服从对数正态分布。对于障碍期 权来说，另一个重要的问题是在检验 资产价格是否达到障碍水平时，观测 标的资产价格S的频率是多少。在上 述的公式中，假设标的资产的价格是 被连续观察到得。
当H≤K时，
puoS0N(x1)eqTKerTN(x1 T)
S0eqT(HS0)2N(y1)
KerT(HS0)22N(y1 T)
并且
puippuo
下跌敲出看跌期权：是一个看跌 期权，当达到某个低于当前资产 价格的障碍水平H时，该期权作 废。
下跌敲入看跌期权：是一个看跌 期权当标的资产的价格达到一个 特定的障碍水平H时，该期权有 效。
欧式看涨-看跌期权价格：
K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ;T 1 T 2 ) S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ;T 1 T 2 ) e r 1 K 1 T N ( a 2 )
欧式看跌-看跌期权价格：
S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ; T 1 T 2 ) K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ; T 1 T 2 ) e r 1 K 1 T N ( a 2 )
测某个特定市场变量未来的潜在 移动 投资银行偶尔设计出比其他财务 主管或基金经理没有注意到的更 具有吸引力的奇异期权
本章结构
25.1组合期权 25.2非标准美式期权 25.3缺口期权 25.4远期开始期权 25.5棘轮期权 25.6复合期权 25.7选择人期权 25.8障碍期权 25.9二元式期权 25.10回望期权 25.11喊价式期权 25.12亚式期权 25.13资产交换期权 25.14涉及多种资产的期权
是 AcerT。
损益状态为：
maSTx K (,0)A mS aT x K (A , A ) 当执行价格K等于远期价格时，延迟
支付期权又称作中止式期权、波士顿 期权、可选退出的远期和可撤销远期。
25.2非标准美式期权
标准美式期权的特点：在有效期 内任何时间均可行使期权且执行 价格总是相同的。
S*——T1时刻的股票价格，应用 该价格，T1时刻的期权价格等于 K1。
说明：如果T1时刻的实际股价大 于S*，则第一个期权将被执行； 若它不大于S*，则期权到期无价 值。
运用类似的符号，欧式看跌-看涨 期权价格：
K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ; T 1 T 2 ) S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ; T 1 T 2 ) e r 1 K 1 T N ( a 2 )
特点： 两个执行价格和两个到期日
例如：考虑看涨-看涨期权情形， 在第一个执行日T1，复合期权的 持有人付清第一笔执行价K1，并 获得一个看涨期权。该看涨期权 给予持有人以第2笔执行价格K2 在第二个执行日T2购买标的资产 的权利。只有在当第2个到期日
的期权价值大于第一个执行日的
期权价格时，复合期权才会被行 使。
25.1组合期权
定义：是由标准欧式看涨期权、 标准欧式看跌期权、远期合约、 现金、以及标的资产本身构成的 组合。
特点：零初始成本。 例如：范围远期合约。
如果不需要任何成本，就能把支付延 迟到合约到期时刻，那么任何衍生品 都能转换成零成本产品。
欧式看涨期权
当支付发生在零时刻时，期权的成本是c。 当支付发生在T时刻时，期权的成本
当H≤K，上升敲出看涨期权的价 值为 cuo 0 ，上升敲入看涨期
权的价值为cui c。
当H≥K时：
cuiS0N(x1)eqTKreT N(x1 T)
S0eqT (HS0)2[N(y)N(y1)]
KreT (HS0)22[N(yT)N(y1T)]
和 cuoccui
上升敲出看跌期权：是一个常规看 跌期权，当资产价格达到某个障碍 水平H（H大于标的资产的初始价 格）时，该期权作废。
d1 ln(S0
K2) (r q 2 T
2)T
d2 d1 T
25.4远期开始期权
定义：未来某时刻开始的期权。 例：雇员股票期权 远期开始平值欧式看涨期权：
期权开始时刻T1，到期日T2。 零时刻的标的资产价格为S0，
T1时刻的标的资产价格为S1 T1时刻的远期生效期权价值为cS1/S0，
这表明后定选择期权是一种打包期权， 它由以下两部分构成：
一份执行价格为K，到期日为T2的看涨期权；
份执行价格为
，到期
Ke 日e为q(TT21T的) 看跌期权。
(rq)(T2T1)
更复杂的后定选择期权可以允许看 涨期权和看跌期权的执行价格与到 期日不同。如果这样的话，它们就 不再是打包期权了，但是具有复合 期权类似的特征。
价值的计算：
当通常的几何布朗运动成立时， 欧式复合期权可以用二维正态分 布的积分解析形式来估值。0时 刻，欧式看涨-看涨期权价值为：
S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ;T 1 T 2 ) K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ;T 1 T 2 ) e r 1 K T 1 N ( a 2 )
当H≥K时，
p u iS 0 e q ( H T S 0 ) 2 N ( y ) K r( H T S e 0 ) 2 2 N ( y T )
并且
puoppui
25.5棘轮期权
一系列由某种方式确定执行价格 的看涨或看跌期权。
简单结构：普通期权加上n-1个远 期开始期权。
复杂的棘轮期权没有精确解析解， 可以通过蒙特卡罗模拟法对其定 价。
25.6复合期权
定义：基于期权的期权。 类型：
看涨-看涨期权； 看涨-看跌期权； 看跌-看涨期权； 看跌-看跌期权。
下降敲入看涨期权：是一个常规 的看涨期权，但如果的资产价格 达到一个特定的障碍价格H（H< 资产的初始价格）时，那么该期 权有效。
当H≤K时，在零时刻下降敲入看
源自文库
涨期权的价值：
c d S i 0 e q ( H T S 0 ) 2 N ( y ) K r ( H T e S 0 ) 2 2 N ( y T )
OTC市场交易的非标准美式期权：
有一种非标准美式期权称为 Bermuda期权，这种期权提前行使 只限于期权有效期内特定日期。
提前行使只限于期权有效期内的某 个待定区间。
期权执行价格在期权有效期内可以 改变。
25.2非标准美式期权
通常可以利用二叉树估值非标准 美式期权。在每个节点上，根据 期权的特殊条款检验提前执行的 情况。
和
cdiccdo
其中，
x1
ln(S0
/ K) T
T
y2
ln( H
/ S0 ) T
T
上升敲出看涨期权：是一个常规 看涨期权，当标的资产价格达到 某个障碍水平H（H大于标的资产 的初始价格）时，该期权作废。
上升敲入看涨期权：是一个常规 看涨期权，当标的资产价格达到 特定障碍水平H（当H大于标的资 产的初始价格）时，该期权有效。
25.8障碍期权
收益依赖于标的资产的价格在一 段特定时期内是否达到了一个特 定水平的期权。其通常在场外市 场进行交易。并且比常规的期权 便宜。
分类：敲出期权 和 敲入期权
敲出期权：当标的资产价格达到一 个特定障碍H时，该期权作废；
敲入期权：当标的资产价格达到一 个特定障碍H时，该期权有效
公式（14.4）（14.5）说明，零 时刻常规看涨期权和看跌期权的 价值为：
但是，合约中经常声明对标的资产S 进行定期观测。比如说每天中午的12 点观测一次。
Broadie，Glasserman和Kou给出了 当标的资产价格是周期性观测时的计 算公式，对于上升敲入期权，上升敲 出期权只要把障碍H 改为 ， He0.5826T/m 对于下降敲入期权，下降敲出期权只 要把障碍H改成 He0.5826T/m ，m是资 产价格观察的次数，T/m是观察间隔 时间。
假 价定 格S，1T为2为T1期时权刻到的期股日票，价r格为，无K风为险执利行 率。则看跌期权一看涨期权之间的平价 关系式意味着：
mc ,ap )x m ( c ,a c x K (r(T e 2 T 1) S 1 e q (T 2 T ))
c e q (T 2 T )m0 ,a K x (r e q ( )T ( 2 T 1) S 1 )
25.7选择人期权
定义：又称任选期权。 特征：经过一段时间后，持有人能选择
期权，或者是看涨期权或是看跌期权。 假设做出选择的时刻为t1，此时任选期
权的价值为：
maxc(, p)
其中： c为任选期权的标的看涨期权价值， p 为任选期权的标的看跌期权价值。
如果后定选择期权的两个标的期权都是 欧式的且具有相同执行价格，则可运用 看跌期权一看涨期权之间的平价关系来 获得估值公式。
其中，
r q2 2 2
y ln H2 (S0K) T T
常规看涨期权＝ 下跌敲入看涨期 权＋下跌敲出看涨期权
因此，下跌敲出看涨期权＝常规 看涨期权－下跌敲入看涨期权， 即： cdoccdi
当H>K时：
c d oS 0 N (x 1 )e q TK rN T e(x 1T ) S 0 e q(T H S 0 )2 N (y 1 ) K r( T e H S 0 )2 2N (yT )
25.3缺口期权
缺口看涨期权收益：当ST > K2 ， ST − K1
缺口看跌期权收益：当 ST < K2 K1 − ST
适当修改BSM公式即可对欧式缺 口期权定价
Gap call S0eqT N (d1) K1erT N (d2 )
Gap put K1erT N (d2 ) S0eqT N (d1)
25 奇异期权
引言
标准型产品： 欧式或美式看涨期权和看跌期权 这样的衍生品被称为标准型产品。
特点：标准化、交易活跃、经纪人 或交易所报价及其波动率
奇异期权：非标准化 OTC市场、小部分、高收益
开发奇异期权的原因
满足真实市场中对冲策略的要求 由于税收、会计、法律或监管等
相关原因 设计相应的衍生品的衍生品来预
其中，
a 1ln S 0/(S * ) (rT 1 q22 )T 1,
b 1 ln S 0/( K 2 ) (rT 2 q 22 )T 2,
a 2 a 1 T 1
b 2 b 1 T 2
M(a,b;)——累计二维正态分布，
当两个变量的相关系数为ρ时， 第一个变量小于a，第二个变量 小于b。
障碍期权与常规期权相比有不同 的特点，比如说有时vega就是负 值，考虑上升敲出看涨期权。
如果波动率上升，则达到障碍水 平的概率也上升。
因此，在这种情况下，波动率上 升，则障碍期权价格下降。
QerTN(d2)
25.9二元式期权
定义：具有不连续收益的期权。
例：现金或空手看涨期权。
当ST＜K时，该期权一文不值； 当ST＞K时，该期权支付一个固定数额Q。 风险中性世界中，期权到期时标的资产超过
c是0时刻的期限为T2-T1的平值期权 的价格。
使用风险中性评估法，在零时刻的远 期生效期权价值为：
e rT1
Eˆ
c
S1 S0
其中， Eˆ代表风险中性世界 望中 值期 。 又因为c： 和S0已知，E且 ˆ(S1) S0e(rq)T1, 则远期生效期权价 ce值 qT1。 为
当q=0，远期开始期权的价格与具有 相同期限的平值期权价格相等。
cS0eq T N(d1)KreTN(d2)
pKreTN(d2)S0eq T N(d1)
其中，
d1
lnS(0/K)(rq2 T
2)T
d2
l
nS(0
/K)(rq2 T
2)Td1
T
下降敲出看涨期权：是一个常规 的看涨期权，但如果的资产价格 达到障碍价格H（H<资产的初始 价格）时，那么该期权作废。
当H>K时，下降敲出看跌期权的 价值为 pdo 0 ，下降敲入看跌 期权的价值为p，pdi p。
当H<K时
pdiS0N(x1)eqTKreTN(x1T)
S0eqT(HS0)2[N(y)N(y1)]
KreT(HS0)22[N(yT)N(y1T)]
并且
pdoppdi
上述所有计算公式都是假定标的资产 价格服从对数正态分布。对于障碍期 权来说，另一个重要的问题是在检验 资产价格是否达到障碍水平时，观测 标的资产价格S的频率是多少。在上 述的公式中，假设标的资产的价格是 被连续观察到得。
当H≤K时，
puoS0N(x1)eqTKerTN(x1 T)
S0eqT(HS0)2N(y1)
KerT(HS0)22N(y1 T)
并且
puippuo
下跌敲出看跌期权：是一个看跌 期权，当达到某个低于当前资产 价格的障碍水平H时，该期权作 废。
下跌敲入看跌期权：是一个看跌 期权当标的资产的价格达到一个 特定的障碍水平H时，该期权有 效。
欧式看涨-看跌期权价格：
K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ;T 1 T 2 ) S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ;T 1 T 2 ) e r 1 K 1 T N ( a 2 )
欧式看跌-看跌期权价格：
S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ; T 1 T 2 ) K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ; T 1 T 2 ) e r 1 K 1 T N ( a 2 )
测某个特定市场变量未来的潜在 移动 投资银行偶尔设计出比其他财务 主管或基金经理没有注意到的更 具有吸引力的奇异期权
本章结构
25.1组合期权 25.2非标准美式期权 25.3缺口期权 25.4远期开始期权 25.5棘轮期权 25.6复合期权 25.7选择人期权 25.8障碍期权 25.9二元式期权 25.10回望期权 25.11喊价式期权 25.12亚式期权 25.13资产交换期权 25.14涉及多种资产的期权
是 AcerT。
损益状态为：
maSTx K (,0)A mS aT x K (A , A ) 当执行价格K等于远期价格时，延迟
支付期权又称作中止式期权、波士顿 期权、可选退出的远期和可撤销远期。
25.2非标准美式期权
标准美式期权的特点：在有效期 内任何时间均可行使期权且执行 价格总是相同的。
S*——T1时刻的股票价格，应用 该价格，T1时刻的期权价格等于 K1。
说明：如果T1时刻的实际股价大 于S*，则第一个期权将被执行； 若它不大于S*，则期权到期无价 值。
运用类似的符号，欧式看跌-看涨 期权价格：
K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ; T 1 T 2 ) S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ; T 1 T 2 ) e r 1 K 1 T N ( a 2 )
特点： 两个执行价格和两个到期日
例如：考虑看涨-看涨期权情形， 在第一个执行日T1，复合期权的 持有人付清第一笔执行价K1，并 获得一个看涨期权。该看涨期权 给予持有人以第2笔执行价格K2 在第二个执行日T2购买标的资产 的权利。只有在当第2个到期日
的期权价值大于第一个执行日的
期权价格时，复合期权才会被行 使。
25.1组合期权
定义：是由标准欧式看涨期权、 标准欧式看跌期权、远期合约、 现金、以及标的资产本身构成的 组合。
特点：零初始成本。 例如：范围远期合约。
如果不需要任何成本，就能把支付延 迟到合约到期时刻，那么任何衍生品 都能转换成零成本产品。
欧式看涨期权
当支付发生在零时刻时，期权的成本是c。 当支付发生在T时刻时，期权的成本
当H≤K，上升敲出看涨期权的价 值为 cuo 0 ，上升敲入看涨期
权的价值为cui c。
当H≥K时：
cuiS0N(x1)eqTKreT N(x1 T)
S0eqT (HS0)2[N(y)N(y1)]
KreT (HS0)22[N(yT)N(y1T)]
和 cuoccui
上升敲出看跌期权：是一个常规看 跌期权，当资产价格达到某个障碍 水平H（H大于标的资产的初始价 格）时，该期权作废。
d1 ln(S0
K2) (r q 2 T
2)T
d2 d1 T
25.4远期开始期权
定义：未来某时刻开始的期权。 例：雇员股票期权 远期开始平值欧式看涨期权：
期权开始时刻T1，到期日T2。 零时刻的标的资产价格为S0，
T1时刻的标的资产价格为S1 T1时刻的远期生效期权价值为cS1/S0，
这表明后定选择期权是一种打包期权， 它由以下两部分构成：
一份执行价格为K，到期日为T2的看涨期权；
份执行价格为
，到期
Ke 日e为q(TT21T的) 看跌期权。
(rq)(T2T1)
更复杂的后定选择期权可以允许看 涨期权和看跌期权的执行价格与到 期日不同。如果这样的话，它们就 不再是打包期权了，但是具有复合 期权类似的特征。
价值的计算：
当通常的几何布朗运动成立时， 欧式复合期权可以用二维正态分 布的积分解析形式来估值。0时 刻，欧式看涨-看涨期权价值为：
S 0 e q 2 M ( T a 1 , b 1 ;T 1 T 2 ) K 2 e r 2 M T ( a 2 , b 2 ;T 1 T 2 ) e r 1 K T 1 N ( a 2 )