第八讲动态几何与函数问题(含答案)

中考数学重难点专题讲座

第八讲 动态几何与函数问题

【前言】

在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】

如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.

（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.

（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.

【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图

二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。

【解】

（1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==，

； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()11

2441222

AB OC OA +⋅=+⨯=..... (3分) （2）当24t <<时，

阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ∆的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)

∴1

122

S OD OE =-⋅

∵

1

42

OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- .

∴()()()2

1122441242

S t t t =-⨯-⋅-=--

284S t t =-+-.

【例2】

已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k

y k x

=

>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE 和△FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K 。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF 的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT △面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT △面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.

【解析】

（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ， 由题意得11

k y x =

，22k

y x =．

1111122S x y k ∴=

=，22211

22

S x y k ==． 12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．

（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k

E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，

，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，， (想不到这样设点也可以直接用X 去代入,麻烦一点而已)

1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴=

=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

△， 11

121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形

11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫

∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

△△△

2

112

S k k ∴=-+． 当

16

1212k =-

=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭

时，S 有最大值．

1

31412S -=

=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭

最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．

由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134

MF CF k ==-

， 90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．

又

90ENM MBF ∠=∠=，

ENM MBF ∴△∽△．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)

EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，

9

4

MB ∴=

． 222MB BF MF +=，2

2

2

913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =． 21

432

k BF ∴=

=． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

【例3】