正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。
具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。
例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。
第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。
在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。
例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。
除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。
需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。
例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
空间几何的体积与表面积 高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)
7.2 空间几何的体积与表面积（提升版）思维导图考点一柱锥台表面积【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积为（）A．32πB．16πC．32D．16【答案】A【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径4r=，高4h=，故其侧面积224432S r hπππ=⋅=⨯⨯=．故选：A【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥PO的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为()A．3π2B．3πC．()633π-D．3【答案】A【解析】如图，1AB=，2BE=，3AE=，则30AEB∠=，设DC r=，01r<<，则2EC r=，3DE r=，则33AD AE DE r=-=-，考点呈现例题剖析∴圆柱侧面积为：)()221132π2π3323π23π22S r AD r r r r ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅=-+≤-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当12r =时取等号．故选：A ． 【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ） A ．24B 22C 2D ．24π【答案】A【解析】设直角圆锥底面半径为r 2r ， ()222rr r -=，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为r ， 所以22224S rl r S r πππ==圆锥侧球故选：A. 2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m ，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m ，高为77的圆锥的侧面积的23，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）A ．16mB ．17mC ．18mD ．19m【答案】A【解析】底面直径为40m ，高为77m ()2210772090m +=，所以该圆锥的侧面积为220901800cm ππ⋅⋅=，设二宜楼外层圆柱墙面的高度为h ，则由36.72h π⨯1200π=，解得16.3h ≈因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m ，高为77的圆锥的侧面积的23， 所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为16m ， 故选：A3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径16cm AB =，圆柱体部分的高8cm BC =，圆锥体部分的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192m c πB ．2252m c πC ．2272m c πD ．2336m c π【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为226810l =+=， 所以圆锥体的侧面积为10880ππ⨯=，圆柱体的侧面积为168128ππ⨯=，圆柱的底面面积为2864ππ⨯=， 所以此陀螺的表面积为8012864272ππππ++=（2cm ），故选：C考点二 柱锥台的体积【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为2的正三角形，SC 为球O 的直径，且4SC =，则此棱锥的体积为（ ）A 42B 43C 82D ．42【答案】A【解析】解：因为ABC 是边长为2的正三角形，所以ABC 外接圆的半径12232sin 60r =⋅=︒所以点O 到平面ABC 的距离2226d R r -SC 为球O 的直径，点S 到平面ABC 的距离为462d =此棱锥的体积为2111464222sin 60332ABCV S d =⨯=⨯⨯，故选：A ．【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．24C ．26D ．27【答案】D【解析】该几何体由直三棱柱AFD BHC -及直三棱柱DGC AEB -组成，作HM CB ⊥于M ，如图， 因为3,120CH BH CHB ==∠=，所以3332CM BM HM ==， 因为重叠后的底面为正方形，所以33AB BC ==, 在直棱柱AFD BHC -中，AB ⊥平面BHC ，则AB HM ⊥, 由AB BC B ⋂=可得HM ⊥平面ADCB ， 设重叠后的EG 与FH 交点为,I则132713813333,=3333=322224I BCDA AFD BHC V V --=⨯=⨯⨯则该几何体的体积为8127222742AFD BHC I BCDA V V V --=-=⨯-=.故选：D. 【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体D ABC -中，1AC BC AD BD ====，则D ABC -体积的最大值为（ ） A 42B 32C 23D 3【答案】C【解析】设M 为CD 的中点，连接AM,BM , 设四面体A -BCD 的高为h ，则h AM ≤,由于1AC BC AD BD ====，故ACD BCD ≌ , 则ACD BCD ∠=∠,设π,(0,)2BCD ACD αα∈∠=∠=，则sin sin ,22cos 2cos AM BM BC CD CM BC αααα======, 所以1136D ABC A DBC BCDV V Sh CD BM AM --==⋅≤⋅⋅222222231112cos sin sin cos sin 2cos sin sin ()333232αααααααα++==⋅⋅23， 当且仅当平面ACD 与平面BCD 垂直且sin 2αα=即arctan 2α=时取等号，故选：C 【一隅三反】1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=VV 甲乙（ ） A 5B ．22C 10D 510【答案】C【解析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则11222S rl rS r l r ππ===甲乙，所以122r r =，又12222r r l l πππ+=，则121r r l +=，所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高221459h l l =-=，乙圆锥的高2221229h l l =-=，所以221122221453931011223r h l V V r h l l ππ==⨯甲乙故选：C. 2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S -ABC 的侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，且SD ：DA =SE ：EB =CF ：FS =3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（ ） A ．89B ．49C ．5564D ．23【答案】C【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为DEF ABC S ABC S DEFS ABC S ABC V V V V V ------=，设C 到平面SAB 的距离为h ，则13S ABC C ABS SAB V V Sh --==.又91991646464S DEF F SDE SABSAB C ABS V V S h S h V ---==⨯=⨯=，故915564164DEF ABC S ABC S DEFS ABC S ABCV V V V V -------=== 故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）A ．256π B ．9πC ．92πD ．98π【答案】C【解析】取AB 中点为D ,过D 作//OD PA ,且11==22OD PA ,因为PA ⊥平面ABC,所以OD ⊥平面ABC .由于AC BC ⊥,故DA DB DC ==,进而可知OA OB OC OP ===,所以O 是球心,OA 为球的半径.由112==4323P ABC V AC CB PA AC CB -=⨯⋅⋅⇒⋅,又2222=8AB AC BC AC BC =+≥⋅,当且仅当2AC BC ==,等号成立,故此时22AB =所以球半径()2222113+2222R OA OD AB ⎛⎫⎛⎫==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故min 3=2R ,体积最小值为334439πππ3322R ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且333l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C【解析】∴ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当326l ≤≤0V '>，当2633l ≤0V '<， 所以当26l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643， 又3l =时，274V =，33l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.考点三 球的体积与表面积【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π【答案】D 【解析】如图.设圆柱底面半径为r ，球的半径与圆柱底面夹角为OMN α∠=，则cos 4cos MN r R αα==⋅=，sin 4sin ON R αα=⋅=，∴圆柱的高8sin h α=，∴圆柱的侧面积为232sin2S r h ππα=⋅⋅=⋅，当且仅当4πα=时，sin21α=，圆柱的侧面积最大，为32π， 球的表面积与圆柱的表面积之差为22422(22)64321616R rh πππππππ--⨯=--=.故选：D ． 【一隅三反】1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥S ABC -的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为1，其外接球的体积为36π，那么这个三棱锥的表面积为（ ） A ．24 B ．243C ．48D ．483【答案】B【解析】由题意可知，点S 在底面ABC 内的射影点D 为等边ABC 的中心，取线段BC 的中点E ，连接AE ，则2AD DE =，易知三棱锥S ABC -的外接球球心O 在线段SD 上，设正三棱锥S ABC -的外接球半径为R ，则34363R ππ=，解得3R =，设正三棱锥S ABC -的内切球的半径为r ，则1r =，故314SD R r =+=+=，SD ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，SD AD ∴⊥，易知3OA R ==，则222222AD OA OD R r --=所以，122DE AD ==32AE =26sin 3AEAB π== 由勾股定理可得2226SA SD AD =+=所以，正三棱锥S ABC -是边长为6 因此，正三棱锥S ABC -的表面积为(23426=243故选：B.2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ） A ．2:3 B ．3:2 C ．1:2 D ．3:4【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，圆锥的高为h ，内切球的半径为R ，其轴截面如图所示，设O 为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以2l r ππ=，得2l r =，即2PA PB r ==， 所以222243PD PB BD r r r =--， 所以3PO PD OD r R =-=-， 因为POE △∴PBD △，所以PO OEPB BD=, 3r R Rr -=，得3R =， 所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为 22214:4:22:33R rl r r ππππ=⋅=，故选：A3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF ∥平面ABCD ，2EF =，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A 2B ．4π3C 82D ．4π【答案】B【解析】连接AC ,BD 交于点M ,取EF 的中点O ，则OM ⊥平面ABCD ,,取BC 的中点G ,连接FG ,作GH EF ⊥,垂足为H ，如图所示由题意可知，13,2HF FG ==222HG FG HF =- 所以2OM HG ==2AM =所以221OA OM AM +=,又1OE =, 所以1OA OB OC OD OE OF ======，即这个几何体的外接球的球心为O ，半径为1， 所以这个几何体的外接球的体积为33444ππ1π333V R ==⨯⨯=.故选：B.考点四 空间几何的截面【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为23π，则过顶点的截面面积的最大值等于（ ） A 3B 2C ．3 D ．2【答案】D【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为3π，假设底面圆周长为l ，因此12232l π⨯⨯=，故底面圆周长为23π3由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径32π3.故当截面为顶角是π2的等腰三角形时面积最大，此时1π22sin 222S =⋅⋅⋅=.故选：D【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（ ）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为22543⎡+⎣，【答案】BCD【解析】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积 为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=， 所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得125225OG ==设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=， 所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确； 由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈， 又114482DCO S=⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确；由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，222216PE PF t t +++-所以()222222216241680PE PF t tt t +=++-=+-++()224281442485,48t ⎡⎤=+--++⎣⎦，所以225,43PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.【一隅三反】1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为563，侧面面积为1123，其体积的近似公式为23112V L h ≈，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ） A ．15 B ．37C ．8821D ．8【答案】D【解析】若圆锥母线长为l ，底面半径为r ，则156112233l ⨯=，故4l，又5623r π=，故283r π=， 而22133112V r h L h π=≈，则2228356()()31123ππ⨯≈⨯，可得289π=， 所以3r =，若截面顶角θ，当截面为轴截面时2221cos 108r l θ=-=-<，此时2πθπ<<，又截面面积为21sin 8sin 2l θθ=，故当2πθ=时截面面积的最大值为8.故选：D2．（2022·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.3则切割面的面积为______3______. 【答案】 2 33【解析】解法一：如图，将圆台1O O 补成圆锥PO ，设圆台1O O 的上、下底面半径分别为r ，R ，高和母线长分别为h ，l ，则()222l h R r =+-.因为等腰梯形ABCD 为过两条母线的截面，设PC x =.APB θ∠=，则r x R x l=+，得rl x R r=-，则()()2221sin sin 22PAB PCD ABCD R r S S S x l x l R r θθ+⎡⎤=-=+-=⎣⎦-△△梯形.∴若33h ，则23l =，0120θ︒<≤︒，当90θ=︒时，切割面的面积最大，最大面积2S =；∴若3h =2l =，060θ︒<︒≤，当60θ=︒时，切割面的面积最大，最大面积33S =解法二：如图，设圆台上底面圆心为1O ，下底面圆心为O ，过两条母线的截面为四边形11ABB A ，可得四边形11ABB A 为等腰梯形.设111AO B AOB θ∠=∠=，圆台的高1O O h =，取11A B ，AB 的中点分别为1C ，D ，连接11O C ，1C D ，OD ，则四边形11O C DO 为直角梯形，过1C 作11C C O O ∥交OD 于点C.因为111O B =，2OB =，所以11cos2O C θ=，111122sin2A B B C θ==，2cos2OD θ=，24sin 2AB BD θ==，所以11cos 2CD OD O C θ=-=，所以221cos 2DC h θ=+则()11221111cos 222ABB A S S AB A B DC h θθ==+⋅=+梯形令sin 2t θ=，因为(]0,θπ∈，所以(]0,1t ∈，则2231S t h =-+(]0,1t ∈.∴当3h 时，2222244333232t t S t t ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当2243t t =-，即6t =max 2S =.∴当3h =()22423434S t t t t =--+令2t x =，则(]0,1x ∈，()24224424t t x x x -+=-+=--+，当1x =时，取最大值3.此时max 33S =故答案为：2；333．（2022·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为2323则该圆锥的体积为________． 5π【解析】由题意知：圆锥的底面半径3r =设圆锥的母线长为l ，则2213sin 2323l π⋅==22l =∴圆锥的高22835h l r =--=∴圆锥的体积2153V r h ππ=⋅=.5π.。
球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系讲解
b 2 R 6a 3
P
O
C
D
B
M
由
V锥
1 3
Sh
1 3
3 a2 4
3 a 1 a3 3 12
3
得： a3 12 3
R3 3 a3 3 12 3 4
9
9
如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
AB AC 6, AD 2 ，则AD两点间的球面距离
斜高 h 2 a , 高 h a2 ( 3 b)2 a2 6 a2 3 a
2
3
9
3
代入正三棱锥内切球半径公式：
得：
r a 3
3 36
3a
r 3 bh 6h 3 b
OK C HD
B
P
K O
又 正三棱锥外接球半径
R 3a 2
H
D
r 3 3 3 3 3 2 3 1
真题赏析
（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球 面上，若 AB AC AA1 2 , BAC 120 ，则此球的表面积
等于 20。
解:在 ABC 中, AB AC 2 , BAC 120 可得 BC 2 3
由正弦定理,可得 ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 O ，
:4
R2
6(2 3)2 3
于A，B，C三点，若球的体积为 4 ， 则OP的距离为（ B ）
3
A. 2 B. 3 C. 1 D. 2
P
2
P
解析：先想象一下图形，画出示意图
因PA与球O相切于点A， ∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.
立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究(完美版)
立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究一、由球心的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。
二、由上述性质可以得出以下多面体外接球的结论：结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
结论4：正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算得到。
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
一、定义法例1、 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.二、求正方体、长方体的外接球的有关问题结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。
①出现“墙角”结构利用构造法(补形法)，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=例1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。
球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系
Rt PHD ∽ Rt PKO
PD HD PO KO
6 b h 3 hr r
OK HD 或 sin P OP PD
3 b r 6 hr h
3 bh r 6h 3 b
把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。
题目：
正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它 的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）
3 3 2R ， R 3 2
4 4 3 3 3 V球 R 3 （ ） 3 3 2 2
法二 由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
( 6 2 3 3 ) (R )2 R 2 , R 3 3 2
题目：
正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三 棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( D )
3
BOC
2
O C B A
②∵OA=OB=OC=1
AOB、AOC都是边长为1的正三角形
而BOC是等腰直角三角形, AB AC 1 , BC 2
ABC是等腰直角三角形， BAC
O A O B A
O C C
2
, ABC的 BC 2 2 2
外接圆圆心是 BC 中点，外接圆半径 r
A. 1: 3 B. 1: (3 3) C. ( 3 1) : 3 D. ( 3 1) : 3
P
解析： 设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，∵三侧棱两 两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。
b 2 a
斜高 h
A
O
K D
立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究(完美版)
立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究(完美版)探究立体几何中“内切”与“外接”问题在立体几何中，我们经常遇到“内切”和“外接”的问题。
在研究这些问题之前，我们需要先明确球心的定义。
如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。
根据上述性质，我们可以得出以下多面体外接球的结论：1.正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。
2.正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
3.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
4.正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算得到。
5.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
接下来我们来探究一下正方体和长方体的外接球的问题。
根据结论1，正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。
我们可以利用构造法（补形法）来解决这类问题。
例如，对于一个长方体，如果从一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则体对角线长为√(a^2+b^2+c^2)，几何体的外接球直径2R为体对角线长l，因此R=√(a^2+b^2+c^2)/2.举个例子，如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可以将这个三棱锥补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球。
设其外接球的半径为R，则有(2R)^2=3^2+3^2+3^2=27.因此，其外接球的表面积为S=4πR^2=36π。
另外，对于一个矩形ABCD，如果AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为(125π)/(1296)。
最后，如果出现正四面体外接球的问题，我们可以利用构造法（补形法），联系正方体。
一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为多少？解析：由于所有棱长都相等，所以可以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体。
如图2所示，四面体ABDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE=BE=2.由此可求得正方体的棱长为1，对角线为$\sqrt{3}$，从而外接球的直径也为$\sqrt{3}$，所以此球的表面积为$4\pi$，故选B。
棱柱和棱椎的外接球和内切球
简单几何体得外切球与内接球得计算一、棱柱与球1、正棱柱具备内切球得条件：侧棱长与底面边长有一定得运算关系。
分析正三、四、六棱柱具备内切球时，基侧棱长与底面边长得比例。
其中正三棱柱得侧棱与底面连长比值为：1，正四棱柱得侧棱与底面连长得比值为1：1；正六棱柱得侧棱与底面连长得比值为、2、直棱柱得外接球球心位置：上下两底中心连线得中点。
[分析原因]注：长方体与正方体得外接球直径为体对角线，外接球球心为体对角线得中点。
例：直三棱柱中，底面边长分别为4，4，4；侧棱长为3，计算外接球得表面积。
二、棱锥与球1、棱锥得内切球半径=[分析过程：等体积法]例：正三棱锥P－ABC中，侧棱长为8，底面边长6，计算内切球半径。
例：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，侧棱PA垂直面ABCD，长度为4，计算内切球半径。
2、棱锥得外接球半径得计算。
1、利用外接球球心得意义求普通棱锥得外接球半径注：棱锥得外接球球心就就是确定一点，到棱锥所有顶点得距离都相等，并且该距离就就是半径。
[主要体现在折叠过程中找线段相等得条件]例：已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC进行折叠，形成三棱锥D-ABC,计算外接球得表面积。
分析：对角线AC得中点就就是外接球得球心。
2、正棱锥得外接球球心一定顶点与底面中心连线上（或延长线上），分析原因。
例：已知正三棱锥得侧棱长与底面连长相等，计算外接球与内切球得表面积之比。
[9：1]注：外接球与内切球半径为3：1，且两球球心重合，长度分别为高得。
例：正四棱锥P－ABCD得五个顶点在同一个球面上，若底面边长为4，侧棱长为23、共顶点得三条棱两两垂直时，把三棱锥放入所对应得长方体中，它们所对应得外接球为同一个球，[棱锥得外接球]例：三棱锥P－ABC得三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，且这个三棱锥得顶点都在同一个球面上，则这个球面得表面积为（14）例：已知P、A、B、C、D就是球O得球面上得五点，正方形ABCD得连长为2，PA垂直面ABCD，PA＝2，则此球得体积为（32）三、圆锥得内切球以及内接圆柱得相关计算思路：画轴截面后，找到相似三角形，研究母线，圆锥半径、球半径之间得运算关系例：若圆锥得高等于其内切球半径长得3倍，则圆锥侧面积与球面积之比为（3：2）例：圆锥得高与底面半径相等，它得一个内接圆柱得高与圆柱底面半径也相等，求圆柱得表面积与圆锥得表面积得比值为（）四、若球与几何体得棱相切时，则对棱之间得距离就就是球得直径。
高中数学丨外接球与内切球解题方法，8大模型
高中数学I夕卜接球与内切球解题方法，8大模型空间几何体的外接球与内切球-、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球Last revision on 21 December 2020正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
球与各种几何体切、接问题专题)资料讲解
球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•1、球与正方体（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r a.（2）正方体的棱切球，如图2.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r,这时有2r /2a.(3)正方体的外接球，如图与球心重合;棱长为1的正方体ABCD数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r 3a.A|B1C1D1的8个顶点都在球0的表面上, E, F分别是棱3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心AA，DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为( )思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AADD1截面所得圆面的半径R 一- ——,得知直线EF被球0截得的线段就是球的截面圆的直径.2 2【解析】由题意可知］球为正方体的外接琲尸面曲载面所得圆面的半径卫二警二f. •••ETu面九如D巩-直线廿杆止得的线段黄］球的截面厨的直径2—上点评*本题着査球与正方体唏”的间题「闻球的截面性囱转化虛为求球的截面13直径. _____________ 2、球与长方体例2自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值.4,体积为16，A. 16B.20 C.24 D.32思路分析：正四棱柱也是长方体 可得长方体的长、宽、高分别为【解析】以谢A/B . MC 为从一个顶点出发的三衆協 将三棱锥3/ -曲C 补应一个长方也 则另外四个 顶点逊在疎面上，故长方体是球的内接民右郎，围按方陳的对星线農是璘的貢径...3A? -M3'十」/C Z = (2A): =点评=此题突出构造法的使用，以反淆觀炜令割补形的方法解诀立体几何中体积计算…结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线.例3 (全国卷I 高考题)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为球的表面积为()..由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为 2,2, 2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径【解析】正四粧柱也是长再体.由廉方体的休积応斥高4可刃「出长為悴的底面边扶为2,因此，长肓体的长、宽、鬲分别为囚2, 4,因为长方体內捋于險 所以立药陳对角线正好为瑾能直径.松方体你对角钱故球的表面积沏24 故选G点评*年题考查球与扶帛体^接”的问题，巧勺伕市体■的性质，转化咸対求具体对角餵3、球与正棱柱(1)结论1 :正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. (2)结论2 :直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.例1、个兀棱柱的底而足止木边形，面,已知该；；检柱的顶点都&间•个昧而上._!!浚7＜检牡的体积为一 •底血周长为3,则这个球的体枳为3已知各厦点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4. 休积沟1筋 则这牛嫌的k\ft!袒屋 _______ . 24用例3、 在M 三检柱」EU -蚣EC «P, AB 二 4.AC = 6,ri= !60?rU!H 也-;蛙柱ABC -舛坊G 的外接蟀的表血切二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题. 1、正四面体与球的切接问题(1) 正四面体的内切球，如图 4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体 的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为h ;球的半径为 R ，这时有4R h —6 a ；3【解析】 如图正四面体 A — BCD 的中心为0,即内切球球心，内切球半径 R 即为0到1正四面体各面的距离AB = a,—正四面体的咼h= 丁a,又V A-BCD = 4V o-BCD, ()「. R=[h=12a.(2)正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ；球的半径为R，这时有4R 3h .6a ;(可用正四面体高h 减去内切球的半径得到) 例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。
几何体的外接球与内切球的有关问题
几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键．（一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即.）结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R .在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.①②③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥.（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心．记球的半径为R，截面圆的半径为r，球心O与截面圆圆心O’的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四）圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.（1）（2）（3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面△ABC外接圆的半径则是公式中的r.变形二：如果把三棱柱上面的C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面△ABC的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长AA1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r为底面△ABC外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱AA1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法.（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得.（2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得.（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V V PAB O PBC O PAC O ABC O ABC P -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++=所以一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为.（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r .（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AOB AOC BOC ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++=所以三角形内切圆的半径为，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长.2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理，.①正三角形：，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”.设正四面体A -BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=在BEO Rt ∆中，，即，得∴，即球心O 为正四面体高h 的四等分点.5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以，从而正三棱柱的高为.在O D A Rt 11∆中，得， 因此1:5:21=R R .。
外接球与内切八大模型—老师专用
外接球与内切八大模型—老师专用外接球与内切八大模型—老师专用墙角模型墙角模型是一种求解球半径的方法。
只需找到三条两两垂直的线段，就可以使用公式(2R) = a + b + c 或 2R = a^2 + b^2 + c^2 来求出球半径R。
例如，已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是多少？解：V = ah = 16，a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π。
在另一个例子中，若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9π。
解：4R = 3 + 3 + 3 = 9，S = 4πR = 9π。
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，因此SH垂直于平面ABC，又SH垂直于AB，因此SH垂直于平面SCD，即AB垂直于SC，同理可证BC垂直于SA，AC垂直于SB，即正三棱锥的对棱互垂直。
在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直于MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36π。
解：由前面的证明可知，正三棱锥S-ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，因此可以使用公式4R^2 = a^2 +b^2 + c^2 来求解。
由于SA=23，因此可以得到4R^2 = 36，即R^2 = 9，因此R = 3，外接球的表面积为36π。
如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是多少？球的表面积为（D）11π。
这个问题有误，因为三个侧面两两垂直的三棱锥不存在，因此无法回答这个问题。
已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为多少？这个问题可以使用解析几何的方法来求解。
根据三视图可以得到该几何体的顶点坐标为(0,0,0)，(0,0,1)，(1,0,0)，(0,1,0)和(1,1,1)。
高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)
外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。
公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。
补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。
球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系 ppt课件
斜高 h 2 a , 高 h a2 ( 3 b)2 a2 6 a2 3 a
2
3
9
3
代入正三棱锥内切球半径公式：
得：
r a 3
3 36
3a
r 3 bh 6h 3 b
OK C HD
B
P
K O
又 正三棱锥外接球半径
R 3a 2
H
D
r 3 3 3 3 3 2 3 1
PA2 PH PO , 即 a2 6 a PA2 AO2 PO2 ,即 a2 1 x2
a2 1 6 a2 3 a2 , a2 2 , a 2 , x 3
42
7
§4 球与棱柱切接问题举例
PA 2 PH PM , 即 a2 h 2R
或在RtΔAHO中， AH 2 HO2 AO2
,
即 （ 3 b)2 (h R)2 R2 3
1
正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）
P
P
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，
高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，
又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴Δ PAB、Δ PBC、Δ PCA、Δ ABC为全等的
等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥。
由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面 ABC上的射影），则AH⊥PH.在RtΔ PAO中，有：
于A，B，C三点，若球的体积为 4 ， 则OP的距离为（ B ）
3
A. 2 B. 3 C. 1 D. 2
P
2
P
解析：先想象一下图形，画出示意图
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
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正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.
请看正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念----正四面体混淆.
正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.
在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.
这是处理问题的方法之一.
适合这种方法的情况可小结如下：
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.
基本的规律可小结如下：
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.
举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.
再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.
下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗
显然，多数情况下是不重合的.
有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢
为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.
画出图来是这样滴.
此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。