垂直平分线与角平分线讲义
垂直平分线与角平分线--讲义
第三讲：垂直平分线与角平分线主讲教师：刘老师我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP第1题第2题金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．垂直平分线与角平分线课后练习题一：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．题二：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①题三：如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF题三题四题五题六题四：如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（）题六：如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求：（1）∠ABD的度数；（2）若△BCD的周长是m，求BC的长．题五：已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE=CE．题六：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE．求证：FK∥AB．题七：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E题八：求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．题九：如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．题十：如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD=AC-AB．题十一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为．题十二：一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？垂直平分线与角平分线---课后练习参考答案详解：∵AB 是∠DAC 的平分线，∴∠DAB =∠CAB ，在△ABD 和△ABC 中，AD ACDAB CABAB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ABC （SAS ）．∴BD =BC题二： D ．详解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①； 第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②； 第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①． 所以填①②①，故选D ．题三： D ．详解：∵D 是∠AOB 平分线上的一点，DE ⊥OA ，DF ⊥OB ，∴DE =DF ，故A 选项成立，在Rt △ODE 和Rt △ODF 中，OD OD DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ODE ≌Rt △ODF （HL ），∴OE =OF ，∠ODE =∠ODF ，故B 、C 选项成立， OD =DE +DF 无法证明，不一定成立．故选D．题四： A ．详解：如图，过点P 作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ， 则PE 、PF 分别为点P 到∠AOB 两边的距离，∵PE ＜PC ，PF ＜PD ，∴PE +PF ＜PC +PD ，∴PE +PF ＜CD ， 即点P 到∠AOB 两边距离之和小于CD ．故选A ．题五： 40°．详解：∵MN 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∴∠ACD =∠A ， ∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，∴∠A +∠ACB =90°，∵∠BCD =10°，∴∠A +∠ACD +∠BCD =90°，即2∠A +10°=90°， 解得：∠A =40°．故答案为：40°．题六： （1）40°；（2）m -10．详解：（1）∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴AD =BD ， ∵∠A =40°，∴∠ABD =∠A =40°；（2）∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∵△BCD 的周长为m ， ∴BD +DC +BC =m ，即AD +DC +BC =m ，AC +BC =m ， ∵AC =10，BC =m ，∴BC =m -10．详解：∵∠A =90°，DE ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD =DE ，∵BD = 2AD ，∴BD =2DE ．在Rt △BDE 中，∵BD =2DE ，∴∠B =30°． 在Rt △ABC 中，∵∠A =90°，∠B =30°，∴∠ACB =60°．∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD =30°．∴∠BCD =∠B ，∴BD =CD ．∵DE ⊥BC ，∴BE =CE ．题八： 见详解．详解：证明：过点K 作MK ∥BC ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，又∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BAE +∠DKA =∠CAE +∠CEA =90°，∴∠DKA =∠CEA ， 又∵∠DKA =∠CKE ，∴∠CEA =∠CKE ，∴CE =CK ，又CE =BF ，∴CK =BF ，而MK ∥BC ， ∴∠B =∠AMK ，∴∠BCD +∠B=∠DCA +∠BCD =90°，∴∠AMK =∠DCA ， 在△AMK 和△ACK 中，∴∠AMK =∠ACK ，AK =AK ，∠MAK =∠CAK ， ∴△AMK ≌△ACK ，∴CK =MK ，∴MK =BF ，MK ∥BF ， 四边形BFKM 是平行四边形，∴FK ∥AB ．题九： 见详解详解：（1）∵EF 是AD 的中垂线，∴DE =AE ．∴∠EAD =∠EDA ．（2）∵EF 为中垂线，∴FD =F A ．∴∠FDA =∠F AD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠F AD =∠DAC ， 所以∠FDA =∠DAC ．∴DF ∥AC ．（3）∵∠EAD =∠EDA ，∠EAD =∠DAC +∠CAE ，∠EDA =∠B +∠BAD ， ∴∠DAC +∠CAE =∠B +∠BAD ，∵∠F AD =∠DAC ，∴∠EAC =∠B ．题十： 见详解详解：作DG ⊥AC ，连接BD 、CD ，∵AD 是外角∠BAG 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠DAE =∠DAG ，则在△ADE 与△ADG 中，DEA DGAEAD GADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADG （AAS ），∴AE =AG ，∵DF 是BC 的中垂线，∴BD =CD ， ∴在Rt △BED 和Rt △CGD 中，DE DGBD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CGD （HL ），∴BE =CG =AC +AG ，AG =AE ，∴BE -AC =AE ．题十一： 见详解详解：在AC 上截取AE =AB ，连DE ，如图， 设∠C =x ， ∵∠BAC：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，∴∠BAC =4x ，∠B =2x ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠3=∠4=2x ，∵在△ABD 和△AED 中，34A B A E A D A D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x -x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ， ∴AC =AE +EC =AB +AD ，即AD =AC -AB ．题十二： 50．详解：如图，作DE ⊥AB ，∴∠BED =90°，∴∠BED =∠C =90°，∵∠EBD =∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ，∴AC DEBC BE=，设BD =x ，BE =y ，则301515x y=+，30y =152+15x ，x =2y -15，在Rt △DBE 中，BD 2=DE 2+BE 2，即（2y -15）2=y 2+152，y （y -20）=0，∴y =20，AB =AE +BE =30+20=50．故答案为：50．题十三： 能平分∠BAC ．详解：中骨AD 能平分∠BAC ．理由如下：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵AB =AC ，∠BAF =∠CAE ，∴△BAF ≌△CAE ，∴AF =AE ．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD =AD ，AE =AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD =∠F AD ，答：中骨AD 能平分∠BAC ．题十四： D ．详解：①在AE 取点F ，使EF =BE ．∵AB =AD +2BE =AF +EF +BE ，EF =BE ，∴AB =AD +2BE =AF +2BE ，∴AD =AF ， ∴AB +AD =AF +EF +BE +AD =2AF +2EF =2（AF +EF ）=2AE ，∴1()2A E AB A D=+，故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．。
垂直平分线与角平分线--讲义
垂直平分线与角平分线主讲教师：傲德我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线[:题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？[:（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．学习提醒重点：垂直平分线性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上角平分线性质——角平分线上一点到角两边距离相等判定——到角两边距离相等的点在角平分线上垂直平分线与角平分线讲义参考答案重难点易错点解析[:题一：A[:点拨：垂直平分线性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上题二：D点拨：角平分线性质——角平分线上一点到角两边距离相等判定——到角两边距离相等的点在角平分线上金题精讲题一：（1）30°（2）27 题二：1题三：证明略题四：证明略思维拓展[:ab题一：(1) 同意；(2)2。
第二节 线段的垂直平分线与角平分线讲义
第二节线段的垂直平分线与角平分线知识点1 线段的垂直平分线的判定与性质1.垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
这就是垂直平分线的定义（多媒体展示定义）。
几何语言：∵MN是AA′的垂直平分线∴AP=PA′(即点P是AA'的中点)∠MPA= ∠MPA′=90°2.线段的垂直平分线的性质a)线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
b)数学语言：∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上∴PA=PB3.尺规法画垂直平分线。
分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD即为所求。
4.三角形的外心（1）对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。
外心到三角形各个顶点的距离相等。
（2）三角形的外心任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。
外心到三角形各个顶点的距离相等。
例1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16例2.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．例3.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若∠A ＝50°，∠DCB ＝2∠ACD ，则∠B 的度数为（ ）A ．26°B ．36°C ．52°D ．45°知识点2 角的平分线的判定与性质1.作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．3. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．例1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于21MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 例2.如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．2+2B ．2+3C ．2+3D ．3。
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
垂直平分线与角平分线精讲教案
垂直平分线与角平分线精讲教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直平分线和角平分线的定义。
2. 让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质。
3. 培养学生运用垂直平分线和角平分线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 垂直平分线的定义：垂直平分线是指一个线段的两端点关于某条直线对称，且这条直线垂直于线段所在的平面。
2. 角平分线的定义：角平分线是指一个角的内部的一条直线，它将这个角分成两个相等的角。
3. 垂直平分线的性质：a. 垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
b. 垂直平分线垂直于线段所在的平面。
c. 垂直平分线上的任意一点到线段所在直线的距离等于线段一半。
4. 角平分线的性质：a. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
b. 角平分线将角分成两个相等的角。
c. 角平分线上的任意一点到角的两边的夹角等于该点到角的两边的距离的比值。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直平分线和角平分线的定义及其性质。
2. 教学难点：垂直平分线和角平分线的性质的应用。
四、教学方法：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示垂直平分线和角平分线的定义和性质。
2. 利用实物模型，让学生直观地感受垂直平分线和角平分线的性质。
3. 运用例题讲解，让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质及应用。
4. 开展小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过展示实际生活中的垂直平分线和角平分线的例子，引导学生思考并引入本节课的主题。
2. 讲解垂直平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解垂直平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。
3. 讲解角平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解角平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。
4. 应用练习：出示一些有关垂直平分线和角平分线的练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、练习解答和小组讨论，评价学生对垂直平分线和角平分线的理解掌握程度。
初二数学-第24讲 垂直平分线与角平分线
PM NCBAD21P CABEO第二十四讲 垂直平分线与角平分线【知识要点】1.线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2.角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边 距离相等的点，在这个角的平分线上. 3.三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
4.三角形三角的角平分线的交点到三边的距离相等。
【经典例题】【例1】已知点O 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点，且OD ∥AB ，OE ∥AC 。
①图形中共有哪几个等腰三角形？选一者证明之； ②试说明△ODE 的周长与BC 的关系； ③若BC=12cm ，则△ODE 的周长 .B 【例2】四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ACB ADB ，E ，F 分别是DC 、AB 的中点，连接DF 、CF ，观察图形：①.DF 和CF 相等吗？为什么？②.EF 是否垂直平分DC ，请说明理由。
【例3】在ABC ∆中，OE 、OF 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,OBC OCB ∠∠的平分线相交于点I ，判断OI 与BC 的位置关系，并证明你的判断。
【例4】△ABC 中AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD=CE ，DE 交BC 于P ， 求证：DP=EP 。
【初试锋芒】1.在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于( ) A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ∶CD=9∶7，则D 到AB 的距离为（ ） A.18B.16C.14D.123.△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等（ ）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定 4.设a .b 都是正整数，且)2(,3,b a b a b b a >+-构成一直角三角形三边的长，则这个三角形的任一边的长不可能是（ ） A ．12B.13C.14D.155.如图，直线321l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A ．一处B.两处C.三处D.四处6.如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的点.若AB=AC ，AD=AE ，则（ ） A.当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B.当∠α为定值时，∠CED 为定值 C.当∠β为定值时，∠CDE 为定值 D.当∠γ为定值时，∠CDE 为定值7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，若BD=10，则CD= .8.在△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线， AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC= ，△BDC 的周长C △BDC = 。
线段的垂直平分线和角平分线讲义
线段的垂直平分线和角平分线讲义如何作角的平分线？1.动手用尺规画出一个角的平分线；2.说明为什么是角平分线的理由。
用尺规作角的平分线.已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.【知识梳理】1、线段的垂直平分线我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线．例如：如图所示，点O是线段AB的中点，且AB⊥CD，垂足为点O，则CD是线段AB的垂直平分线.2、线段的垂直平分线的定理线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等．如图，若MN为线段AB的垂直平分线，P点在MN上，则PA=PB．3、线段的垂直平分线定理的逆定理与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上．4、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系——平分．5、三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了6、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.7、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.8、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.9、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.【典型例题】知识点一：线段的垂直平分线考点一：利用线段垂直平分线求角的度数例1、在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小.分析：AB的中垂线与AC所在直线的交点可能在AC上，也可能在CA的延长线上，故应分类讨论.解：若∠A为锐角，如图∵∠AED＝50°，∴∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°．若∠A为钝角，如图：∵∠AED＝50°，∴∠EAD＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝20°．例2、如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E两点，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．解：此题考查“线段垂直平分线的性质”．因为DE垂直平分AB，所以BE=AE．所以∠1=∠B=30°．又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=30°．所以∠C=180°－∠BAC－∠B=90°．考点二：利用线段垂直平分线求长度例3、如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E．若△ABC的周长为28，BC=8，求△BCE的周长．解：∵等腰△ABC的周长为28，BC=8，∴2AC＋BC=28．∴AC=10．∵DE垂直平分AB，∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．∴△BCE周长=BE＋EC＋BC=AE＋EC＋BC=AC＋BC=10＋8=18．点拨：这里是将△BCE的周长转化为等腰△ABC的腰和底，再由已知条件求得．例4、如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，且△BAD的周长为16cm，AE=7cm，求△ABC的周长．因为DE是AC的垂直平分线，所以EA=EC，DA=DC．又因为AE=7cm，所以AC＝2AE＝2×7=14(cm)．因为△BAD的周长为16cm，即AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝16cm，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC=16＋14=30(cm)．例5、直角ΔABC中,∠ACB=90°,∠A=15°，将顶点A翻折使它与顶点B重合，折痕为MH，已知AH=2，求BC的长．分析：折叠问题可以看成轴对称问题．由外角定理得到直角三角形中有30°角，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得．解：由于轴对称，得∠MA′H=∠A=15°，所以∠BHC=30°，BH=AH，又△BHC为直角三角形，因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以 BC=BH=×2=1．变式训练1.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．2.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长．答案：1.（1）30°（2）27 2.1考点三：线段垂直平分线与证明题例6、如图，点D、E在△ABC的边BC上，BD=CE，AB=AC，求证：AD=AE．证明：过点A作AF⊥BC于F．∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF．∵BD=CE，∴BF-BD=CF-CE．∴DF=EF．∴AF是DE的垂直平分线．AD=AE．例7、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.分析：由线段的垂直平分线性质知联结AF，证线段二倍关系，通常考虑是否有直角三角形，且直角三角形中是否有30°角.证明：如图所示，联结AF，∵AB=AC，∠BAC=120°（已知），∴∠B=∠C==30°（等腰三角形性质）.又∵EF是AC的垂直平分线（已知），∴FA=FC（线段垂直平分线性质）.∴∠C=∠FAC=30°（等边对等角），∴∠BAF=∠BAC－∠FAC=120°－30°=90°（等式性质）.在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°(已证)，∴AF=BF（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.∴CF=BF（等量代换）.∴BF=2CF（等式性质）.例8、如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于P点，PE ⊥AC于E点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．连接PA，则PA=PB，可求∠APD=45°，从而可得出AD=PD，再证△PDF ≌△ADC（ASA），即可得证.考点四：线段垂直平分线的实际应用例9、如图所示，牧童在A处放牛，他的家在B处，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路最短？分析：本题A，B两点在河的同侧，直接确定牛饮水的位置并不容易，但若A，B在河的两侧就容易了．将A点转化到河流的另一侧，设为A′，直线是AA′的垂直平分线，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点到饮水处的距离都相等．当A′B最小时，饮水处到A，B的距离和最小．解：如图所示，点C即为所求．例10、在沪宁高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院址应同时满足两个条件：（1）在公路L上；（2）到A、B两厂的距离相等。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
垂直平分线与角平分线(讲义及答案).
3 垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛垂直平分线相关定理：① 线段垂直平分线上的点到这条线段 ____________________ ; ② 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.角平分线相关定理：① 角平分线上的点到这个角的 _____________________ ; ② 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上•精讲精练如图，在△ABC 中，AB=AC, DE 垂直平分AB,交AC 于点 E,垂足为点D.若BE+CE=n. BC=8,则△ABC 的周氏为第2题图 ZC=90% ZA=30。
，DE 是线段 AB 的垂直平分线，交AB 于点、D,交AC 于点£.若DE" 则线段AC 的长为 _________ ・ 如图，在HABC 中，DE, GF 分别是AG BC 的垂直平分线,AD=8, BG=IO ・若AD 丄CD,则DG 的长为____________ •2. 第I 题图 如图，在RtAABC3如图，AD U BC 相交于点 0, OA=OC. ZA=ZC,BE=DE ・求证；OE 垂直平分BD ・如图，BD 平分ZABC. DE 丄4B 于点E, AB=8, BC=6・S AABC - 14,则 DE= ___________ .第6题图 如图，PC 丄04于点C, PD 丄OB 于点、D,且PC 二PD, 在射线OA 上，若ZAOB=60。
，ZOP 民80。
，则ZAEP 的度数 为 •如图，在△ABC 中，ZABC 的平分线与ZACB 的平分线相交 于点O, OD 丄AB, OE 丄AC.垂足分别为点D, E.求证：OD=OE ・点£C第5题图8 已知―如图，AABC的外角ZCBD和ZBCE的平分线相交于点F,求证：点F在ZDAE的平分线上-9 如图，直线y=x+4 -tj X轴、y轴分别交于点A, B,点C在x 轴正半轴上，且OC=OB,点D位于牙轴上点C的右侧，连接BC,ZBAO和ZBCD的平分线AP, CP相交于点P,连接肿, 则ZPBC的度数为__________________ -如图，在RtAABC 中，ZC=90%在AC 和上分别截取AE. AD.使AE=AD.再分别以点D, E 为圆心，大记 DE2的长为半径作弧，两弧在ZBAC 内交于点F,作射线AF 交边 BC 于点 G 若 CG=4. AB=IQ.如图，在△A3C 中，ZB=35。
垂直平分线与角平分线精讲教案
第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入垂直平分线的概念通过实际例子，让学生感受垂直平分线的作用和意义。
引导学生思考：如何找到一个线段的垂直平分线？1.2 垂直平分线的性质讲解线段的垂直平分线的性质，如垂直、平分等。
通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线的性质。
1.3 垂直平分线的作图教授如何作一条线段的垂直平分线的方法。
让学生动手实践，尝试作图并验证结果。
第二章：角平分线的定义与性质2.1 引入角平分线的概念通过实际例子，让学生感受角平分线的作用和意义。
引导学生思考：如何找到一个角的角平分线？2.2 角平分线的性质讲解角的角平分线的性质，如将角平分、垂直等。
通过几何图形，让学生理解并证明角平分线的性质。
2.3 角平分线的作图教授如何作一个角的角平分线的方法。
让学生动手实践，尝试作图并验证结果。
第三章：垂直平分线与角平分线的联系讲解垂直平分线与角平分线的交点的性质和特点。
通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线与角平分线的交点的性质。
3.2 垂直平分线与角平分线在解题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在解题中的应用。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决问题？第四章：垂直平分线与角平分线的综合应用4.1 垂直平分线与角平分线的几何证明通过几何图形，让学生理解和证明垂直平分线与角平分线之间的关系。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线进行几何证明？4.2 垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决实际问题？第五章：巩固与拓展5.1 垂直平分线与角平分线的练习题提供一些有关垂直平分线与角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决练习题？5.2 垂直平分线与角平分线的拓展知识讲解与垂直平分线与角平分线相关的拓展知识，如线段垂直平分线的性质等。
垂直平分线与角平分线精讲教案
垂直平分线与角平分线精讲教案第一章：垂直平分线的概念与性质1.1 垂直平分线的定义解释线段垂直平分线的概念强调线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质1.2 垂直平分线的性质展示线段垂直平分线的基本性质引导学生通过几何证明来理解垂直平分线的性质1.3 垂直平分线的作图教授如何作出线段的垂直平分线的方法让学生通过实际操作来加深对垂直平分线作图方法的理解第二章：角平分线的概念与性质2.1 角平分线的定义解释角平分线的概念强调角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质2.2 角平分线的性质展示角平分线的基本性质引导学生通过几何证明来理解角平分线的性质2.3 角平分线的作图教授如何作出角的平分线的方法让学生通过实际操作来加深对角平分线作图方法的理解第三章：垂直平分线与角平分线的交点3.1 垂直平分线与角平分线的交点性质解释垂直平分线与角平分线的交点（即内心）的性质强调内心到角的两边的距离相等的性质3.2 垂直平分线与角平分线的交点的应用展示如何利用内心解决几何问题引导学生通过实际问题来应用内心性质解决问题第四章：垂直平分线与角平分线在几何中的应用4.1 利用垂直平分线与角平分线证明线段相等教授如何利用垂直平分线与角平分线证明线段相等让学生通过实际操作来加深对证明方法的理解4.2 利用垂直平分线与角平分线证明角度相等教授如何利用垂直平分线与角平分线证明角度相等让学生通过实际操作来加深对证明方法的理解4.3 利用垂直平分线与角平分线解决实际问题展示如何利用垂直平分线与角平分线解决实际问题引导学生通过实际问题来应用垂直平分线与角平分线性质解决问题第五章：线段垂直平分线的几何作图与应用5.1 线段垂直平分线的作图方法复习线段垂直平分线的作图技巧通过实际操作演示和练习，让学生熟练掌握作图方法5.2 线段垂直平分线在几何作图中的应用介绍线段垂直平分线在解决几何作图问题中的应用通过具体例子展示如何利用线段垂直平分线构造特殊图形或证明几何性质第六章：角平分线的几何作图与应用6.1 角平分线的作图方法教授角平分线的作图方法通过练习让学生掌握角平分线的作图技巧6.2 角平分线在几何作图中的应用探讨角平分线在几何作图中的作用举例说明如何利用角平分线构造特殊图形或证明几何性质第七章：垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用7.1 线性规划问题中的应用介绍如何利用垂直平分线与角平分线解决线性规划问题通过实际案例分析，让学生理解几何方法在解决实际问题中的应用7.2 几何证明问题中的应用展示垂直平分线与角平分线在几何证明中的重要性引导学生运用这些线段的性质解决复杂的几何证明问题第八章：垂直平分线与角平分线的综合练习8.1 综合练习题设计设计一系列综合练习题，涵盖垂直平分线与角平分线的知识点确保练习题难度层次分明，适合不同水平的学生8.2 学生练习与反馈监督学生完成练习题，提供必要的帮助和指导收集学生练习结果，分析错误原因，给予针对性的反馈第九章：垂直平分线与角平分线的拓展学习9.1 拓展阅读材料提供关于垂直平分线与角平分线的拓展阅读材料鼓励学生阅读这些材料，以加深对相关概念和应用的理解9.2 研究性学习项目设计一个研究性学习项目，让学生深入研究垂直平分线与角平分线的某个方面指导学生进行研究，帮助他们在探究中学习和思考第十章：总结与评价10.1 知识点回顾与学生一起回顾本教案中的关键概念和定理强调垂直平分线与角平分线在几何学中的重要性10.2 学生评价对学生在整个教案学习过程中的表现进行评价收集学生对教案的反馈，以改进未来的教学设计和内容安排重点和难点解析：一、垂直平分线的作图方法：学生往往对如何准确作出线段的垂直平分线感到困惑，需要通过多次练习和讲解来掌握。
垂直平分线与角平分线讲义
海伊教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：高老师课题垂直平分线与角平分线授课时间：2013 年10月25日备课时间：2013 年10月23日教学目标1．经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想；2．能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；3．通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用4、掌握角平分线的性质定理和判定定理，并能灵活应用它们进行计算和证明。
5、能够证明角平分线的性质定理和判定定理。
6、能够利用尺规作图作已知角的角平分线。
重点、难点重点：1.线段垂直平分线性质定理及其逆定理；2.2角平分线性质定理和判定定理的应用1世纪教育网难点：1.线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用2. 角平分线性质定理和判定定理的证明及应用。
授课方法联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高教学过程一、情景设置（知识导入）二、探索研究【知识点总结与归纳】（一）探究新知1.线段的垂直平分线的性质定理操作：以直线MN为折痕将这个图形翻折，观察点P的位置动不动？点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？21世纪教育网归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两BACDDABCPED ABC ACDB条线段相等.验证：证明这个命题，写出已知和求证.已知：如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点C ，点P 在直线MN 上. 求证： P A ＝PB . [来源:21世纪教育网]分析：如图，当点P 不在线段AB 上时，要证明P A ＝PB ，只需要证△PCA ≌△PCB .由直线MN 是线段AB 的垂直平分线，可知CA =CB ，∠PCA =∠PCB ，再加上PC 为公共边，三角形全等即可得到.21世纪特别地，当点P 在线段AB 上时，P 点与C 点重合，此时PA=PB 当然也成立。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线角平分线和垂直平分线是三角形中的两种特殊线段，它们对于三角形的性质和结构具有重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来探讨三角形的角平分线和垂直平分线。
一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
具体来说，假设ABC是一个三角形，∠BAC是这个三角形的一个内角，如果从∠BAC的顶点A出发，以平分∠BAC的直线切分∠BAC，那么这条直线就是∠BAC的角平分线。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线将对边分成两个相等的线段。
即，如果从∠BAC的顶点A引一条角平分线，与边BC交于点D，那么AD=CD。
2. 角平分线是三角形内一条重要的对称轴线。
即，如果有一条角平分线，它将三角形分成两个具有对称关系的部分。
角平分线的应用：1. 寻找三角形的内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，可以通过角平分线求解三角形的内心坐标。
2. 探索三角形的相似性：角平分线切分三角形的两边，可以得到边长的比例关系，从而推导出三角形的相似性质。
二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，垂直于这条线段的线段。
具体来说，假设AB是一个线段，M是AB的中点，如果从M出发，以垂直于AB的直线切分AB，那么这条直线就是AB的垂直平分线。
垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
即，如果从线段AB的中点M引一条垂直平分线，与AB的交点为N，那么AM=MN=NB。
2. 垂直平分线是线段的中垂线。
即，如果一个点在垂直平分线上，那么它到线段两端点的距离相等。
垂直平分线的应用：1. 构造等腰三角形：垂直平分线可以将一个线段平分成两个相等的线段，从而构造出等腰三角形的两条等腰边。
2. 寻找三角形的外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，可以通过垂直平分线求解三角形的外心坐标。
综上所述，三角形的角平分线和垂直平分线具有重要的性质和应用。
它们能够帮助我们研究三角形的性质，解决一些与三角形相关的问题。
人教版初二数学上册 角平分线和垂直平分线的区别 讲义
角平分线、垂直平分线的逆定理角平分线、垂直平分线的区别：1、角平分线逆定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上2、垂直平分线逆定理：到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上例1、有三条公路AB、BC、CA，现要建一座加油站，使它到三条公路的距离都相等，则加油站应该建在（）A、两边AB、AC的垂直平分线的交点B、两边AB、AC的中线的交点C、两边AB、AC的高的交点D、两角∠A、∠B的角平分线的交点例2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A、两边AC、BC的高的交点处B、两角∠A、∠B的角平分线交点处C、两边AC、BC的中线交点处D、两边AC、BC的垂直平分线的交点处1、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形( )A、三条高的交点B、三条中线的交点C、三条角平分线的交点D、三条垂直平分线的交点2、三角形中，到三个顶点距离相等的点是这个三角形（）A、三条高的交点B、三条中线的交点C、三条角平分线的交点D、三条垂直平分线的交点3、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供各位同学休息，要使凉亭到三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC三条中线的交点B、△ABC三条中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高的交点4、如图，在CD上求一点P，使它到OA、OB两边的距离相等，则点P是（）A、线段CD的中点B、OA与OB的中垂线的交点C、OA与CD的中垂线的交点D、CD与∠AOB平分线的交点5、主人派一只可爱的小猫咪去抓老鼠，有一只老鼠溜进了一个内部联通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A、B、C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）A、△ABC三边的高的交点B、△ABC三边的角平分线的交点P处C、△ABC三边的中线的交点P处D、△ABC三边的中垂线的交点P处6、在联欢晚会上，A、B、C三个人玩游戏。
北师大数学八年级下册第一章-线段的垂直平分线与角平分线经典讲义
第02讲_线段的垂直平分线与角平分线知识图谱线段的垂直平分线知识精讲垂直平分线（中垂线）定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴性质（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等l为中垂线AC=BC，AD=BD判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上A BlOA BlOCD尺规作图作法：如图（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；（2）作直线CD ，CD 为所求直线三点剖析重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。
垂直平分线的概念和性质例题1、 如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】 13【解析】 △DE 是AB 的垂直平分线， △EA=EB ，则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例题2、 如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为___．【答案】 6【解析】 ∵DE 是BC 边上的垂直平分线， ∴BE=CE ．∵△EDC 的周长为24， ∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，∴（AB+AC+BC ）﹣（AE+ED+DC+AC ）=（AB+AC+BC ）﹣（AE+DC+AC ）﹣DE=12， ∴BE+BD ﹣DE=12，② ∵BE=CE ，BD=DC ， ∴①﹣②得，DE=6例题3、 已知△ABC ，∠BAC=110°，DE ，FG 分别是AB ，AC 的垂直平分线且DE 交BC 于M 点，FG 交BC 于N 点，求∠MAN 的度数。
专题05 角平分线与垂直平分线(知识点串讲)(解析版)
专题05 角平分线与垂直平分线知识网络重难突破一、角平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等.典例1．（2021·广东八年级期中）如图，点P是ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且PD PE PF==，则点P是（）A．ABC三边垂直平分线的交点B．ABC三条角平分线的交点C．ABC三条高所在直线的交点D．ABC三条中线的交点【答案】B【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．【解析】解：连接PA、PB、PC．∵PD ＝PF ，∴PB 是∠ABC 的角平分线，同理PA 、PC 分别是∠BAC ，∠ACB 的角平分线，故P 是△ABC 角平分线交点，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．典例2．（2021·重庆江北区·巴川中学校七年级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝7，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DE ＝2，则△ABC 的面积为（ ）A ．14B ．12C ．10D ．7【答案】B 【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用角平分线的性质得出2DE DF ==，将ABC 的面积表示为,ABD ADC 面积之和，分别以AB 为底，DF 为高，AC 为底，DE 为高，计算面积即可求得．【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴2DF DE ==,∴ABC ABD ACD S S S =+ 1122AB DF AC DE =+ 11725222=⨯⨯+⨯⨯ 7512=+=,故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键．二. 角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线.典例1.如图，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，连接AD ．求证：AD 是BAC ∠的外角平分线．【答案】见解析．【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE DG =，DF DG =，继而根据角平分线的判定解题．【解析】证明：作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，DB 平分ABC ∠、DC 平分ACH ∠,DE DG ∴=，DF DG =，DE DF ∴=，又DE BA ⊥，DF AC ⊥，AD ∴是BAC ∠的外角平分线．【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、角平分线的尺规作图角平分线的作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点C, 交OB 于点D ；②分别以C ，D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点E ；③画射线OE ，射线OE 即为∠AOB 的平分线.注意：（2）中画弧时，半径一定要大于的长，否则两弧没有交点.典例1．（2021·宁夏石嘴山市·八年级期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若15AB =，ABD ∆的面积是30，则CD 的长为__________【答案】4【分析】过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，根据角平分线的性质可得CD DH =，再根据三角形的面积即可求出DH ，从而求出结论．【解析】解：如图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，由题意可得：AD 平分BAC ∠，∵DH AB ⊥，90C ∠=︒∴CD DH =，∵15AB =，ABD △的面积为30， ∴1302AB DH ⨯⨯=，即115302DH ⨯⨯=， ∴4DH =，∴4CD =，故答案为：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．典例2．（2021·山东青岛市·八年级期末）已知：如图，∠ABC 及边BC 上一点D ．求作：点P ，使点P 在∠ABC 内部，点P 到∠ABC 两边的距离相等，且P 到D 点的距离最短.【答案】见解析【分析】利用基本作图，先作∠ABC 的平分线，再过D 点作角平分线的垂线得到P 点．【解析】解：如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线；过一点作直线的垂线）是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．四. 垂直平分线的性质1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.3. 三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点到三个定点的距离相等典例1．（2021·四川八年级期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）A．ABC的三条中线的交点处B．ABC三边的垂直平分线的交点处C．ABC三条角平分线的交点处D．ABC三条高所在直线的交点处【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质判断即可．【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．故选：B．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个居民点的距离相等，再满足到另两个居民点的距离相等，交点即可得到．典例2．（2021·浙江八年级期末）如图，在ABC 中，,AB AC m AB ==的垂直平分线交AC 于G ，BC n =，则的BGC 周长是（ ）A ．2mB ．m n +C ．m n -D ．2n【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得AG =BG ，AD =BD ，则利用等线段代换得到△BGC 的周长．【解析】解：∵DG 垂直平分AB ，∴AG =BG ，AD =BD ，∴△BGC 的周长=BG +CG +BC =AG +CG +BC =AC +BC =m +n ，故选B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．五. 垂直平分线的判定垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线。
第二讲 垂直平分线角平分线
第二讲 垂直平分线、角平分线【知识梳理】1、线段垂直平分线性质、判定垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
<直线与射线有垂线，但无垂直平分线> 性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1，AO=BO=CO ）2、角平分线的性质、判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
（如图2，OD=OE=OF)【重点难点】垂直平分线的性质定理和判定定理及角平分线的性质定理和判定定理的应用。
【典例精析】 例1 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，求证：BM=MN=NC ．例2 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 与点E ，CD 交BE 与点F 。
求证：BE 垂直平分CDAC B O 图1 图2 O A C B DE F例3如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB与E,AB=10cm，求△DEB的周长。
例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.【巩固练习】1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定2、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D 到AB边的距离为（）A．18 B．32 C．28 D．24第2题第3题第4题第5题5、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处D. 在∠A，∠B两内角平分线的交点处6、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D. 仅①和③正确7、△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。
沪教版八年级上册-线段垂直平分线及角平分线讲义
基本内容 线段的垂直平分线及角的平分线知识精要一、线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
二、角的平分线1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、角平分线可以看作是在这个角内部（包括顶点）到角两边的距离相等的点的集合 提问：在使用角平分线的性质定理及其逆定理时，应注意哪些方面？ 回答：必须有两个垂直的条件，若缺少垂直条件时，可考虑添加辅助线；热身练习1、如图，在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D,且DC=AC,求△ABC 各角的大小.解：108,36A B C ∠=︒∠=∠=︒；2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CF证明：因为AB=AC ，AD 是中线 所以BD=DC ，∠B=∠C ，AD 是角平分线， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC 所以DE=DF所以BDE CDF ∆≅∆ 所以BE=FC3、如图△ABC 的外角平分线∠DBC 、∠ECB 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠A 的平分线上ADCAB CDEF证明：过F 作AE 的垂线交于点M ，作AD 的垂 线交于点N ，作BC 的垂线交于点O 因为CF 是∠ECB 平分线，所以MF=FO因为FB 是∠DBC 平分线，所以NF=FO 所以MF=NF ，又因为MF 垂直AE ，NF 垂直AD 所以AF 是∠A 的平分线4、 如图，过△ABC 的边BC 的中点M ，作直线平行于∠A 的平分线AA ′，而交直线AB 于E 、F ，求证：CF=1/2(AB+AC)证明：延长FM 到点G ，使FM=MG ，连接BG ∵M 为BC 的中点 ∴BMG CMF ∆≅∆ ∴BG=CF 又∵AA’平分∠BAC 且EM// AA’∴''E BAA A AF AFE CFG G ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ∴AE=AF ，BE=BG=CF ∵BE=AB+AE,CF=AC-AF ∴AB+AC=BE+CF=2CF ∴CF=1/2(AB+AC)5、如图，求作点P ，使P 到C 、D 的距离相等，同时到角两边的距离也相等 解：先作线段DC 的垂直平分线，再作∠A 的平分线， 两直线所交的点即为点P精解名题ABCDEF例1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的中垂线， 求证：（1）∠EAD=∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC=∠B证明：（1）因为EF 是AD 的中垂线所以AE=DE ，所以∠EAD=∠EDA （2）因为EF 是 AD 的中垂线，所以FA=FD 所以∠FAD=∠FDA 又因为AD 是角平分线，所以∠FAD=∠DAC所以∠FDA=∠DAC ，所以DF ∥AC （3）因为∠EDA=∠B+∠BAD ；∠EAD=∠EAC+∠DAC又因为∠EAD=∠EDA ，∠BAD=∠DAC ；所以∠B=∠EAC ；例2、AP 、BP 分别平分∠DAB 、∠CBA,PM ⊥AD 于点M,PN ⊥BC 于点N, 求证：点P 在线段MN 的垂直平分线上. 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，连接MN∵AP 平分∠DAB ∴PM=PE ∵BP 平分∠CBA ∴PE=PN ∴PM=PN∴点P 在线段MN 的垂直平分线上例3、如图, 在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ，EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC 。
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垂直平分线与角平分线
主讲教师：傲德
我们一起回顾
1、垂直平分线
2、角平分线
重难点易错点解析
垂直平分线
题一：AC=AD，BC=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
角平分线
题二：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
金题精讲
题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长．
题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
思维拓展
题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
学习提醒
重点：
垂直平分线
性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等
判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上
角平分线
性质——角平分线上一点到角两边距离相等
判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
垂直平分线与角平分线
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：A
点拨：垂直平分线
性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等
判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上
题二：D
点拨：角平分线
性质——角平分线上一点到角两边距离相等
判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
金题精讲
题一：（1）30°（2）27 题二：1
题三：证明略题四：证明略
思维拓展
ab
题一：(1) 同意；(2)
2。