2 光学谐振腔理论

N
2.3 谐振腔的衍射理论
• 本节首先给出理想开腔的模型——孔阑传输线， 在此基础上引入稳态场分布——自再现模的概念。
一、孔阑传输线
•用孔阑传输线模拟谐振腔。
• 光场在谐振腔内形成稳定分布主要是光的衍射作 用所致，谐振腔的其它损耗，如光的吸收、散射
等只是使得横截面上各点的场按同样比例衰减，
对场的空间分布不发生什么影响。如果需要考虑 这些损耗时，可在孔阑传输线的每一个孔面上加 一个衰减滤光片即可。 • 若谐振腔的反射镜不是平面镜，而是球面镜的话，
• 由于稳定腔的几何损耗小，所以对增益不高的工作
物质容易起振。 • 而非稳腔的几何损耗大，在中、小功率的激光器中 很少采用。但是，对于增益较高的工作物质，它仍 然可以起振，并且同样可以稳定地工作。
• 一些典型腔
2.2.3光学谐振腔的损耗
• 平均单程功率损耗δ,光子寿命τR, 品质因数Q
1.平均单程损耗指数因子δ 光从谐振腔一端传输到另一端的平均单程损耗指数 因子δ 定义为： I0 I1
式中 Rl、R2分 别为M1与M2的 曲率半径。
2L A 1 R2 L B 2 L1 R 2 1 4L 1 C 2 R R R1 R2 2 1 2 L 2 L 2 L D 1 1 R R R1 2 1
（2.1.5)
• 与正整数q有关的模式称为谐振腔的纵模。 • 与正整数m、l有关的模式称为谐振腔的横模。
• 相邻纵模的频率间隔为：
c q 2L
（2.1.6)
相邻横模的频率 c arctan z2 arctan z1 ml 间隔为： 2L z0 z0
D sin n sinn 1
B sin n
n次往返后的光 线坐标有
1 arccos A D 2
(2.2.4)
rn1 An r1 Bn1
n1 Cn r1 Dn1
(2.2.2)
2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而
• 光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应 是 0 0 1 1
T T4T3T2T1 2 R1 A C B D 1 1 0 L 2 1 R 2 1 1 0
L 1
稳定腔
1 1 A D 1 2
(2.2.5)
非稳定腔
临界腔
1 1 A D 1或 A D 1 2 2 1 1 A D 1或 A D 1 2 2
为了得到稳定性条件 的更为简明的形式， 引入谐振腔的下述几 何参数
L g1 1 凹面R取正， R1 凸面R取负 L g2 1 R2 (2.2.8)
t dN(t )
0

R
(2.2.18)
• 若腔内各种损耗所引起的腔寿命分别为τRi ，则腔 的总寿命为： 1 1
R

i
Ri
• 3. 谐振腔品质因素Q
定义
Q P d dt
t

(2.2.19)
ε为腔内储存的总能量，P为单位时间损耗的能量
(t ) N (t )hV (0)e
不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定
谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。
• 只要n次往返矩阵Tn的元素An、Bn、Cn、Dn对于 任意大的n值均保持为有限大小．就可以认为这样 的谐振腔就是稳定腔。
一、稳定性条件
• φ值为实数。cosφ的值随n的增大只能在+1与-1之间变 化，从而使An、Bn、Cn、Dn的数值以及rn+1与θn+1的 数值随n的增大也只能发生振荡式的变化. • 只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、
Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时，
谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
E(t ) E0e
I ( ) F [ E (t )]
2

t 2 R
e
i0t
(2.2.23)
经付里叶变换 ，得无源腔本征纵模的频谱为：
1 1 4 2 ( 0 ) 2 2 4 R
求出从最大值I(ν0 )下降一半所对应的两个频率之间的 间隔，就是本征纵模的线宽
c C ' 2 R 2L Q 1
第2章谐振腔理论
2.1 光学谐振腔本征模式的概念
2.1.1 本征模式与自再现变换
•本征模式是所研究谐振腔中能够存在的、不随时间改 变的、具有特定的场振幅分布的电磁场。 •不同的谐振腔有不同的本征模式。 •相位条件：驻波条件（往返一周其相位的增加为2π的 整数倍）
•振幅条件：本征模式的场振幅分布不变（往返渡越后 仍能再现的稳态光场分布为自再现模）。
z2 z1 2kL 2m l 1 arctan arctan 2q z0 z0
2 k c 2
（2.1.3)
mlq
c c z2 z1 m l 1 arctan arctan q 2L 2L z0 z0
的稳态光场分布为自再现模。
• 由于自再现模的形成是多次衍射的结果，故初始
场分布u1的形状在一定意义上是无关紧要的。
• 不同的初始场分布u1可得到不同的稳态场分布，
这说明开腔的横模模式是多种的。 • 自再现模形成的物理过程。 开腔中的任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始 的，而自发辐射遵从统计规律，故而可以提供各
（2.1.8)
2.2 谐振腔的特点
2.2.1 谐振腔往返一周的变换矩阵
• 球面反射镜的光学变换矩阵为：
1 2 R 0 1
对凸面镜．只要R取负即可。对平面反射 镜，R取∞。
r1 L r2 • 设光线从M1反射镜出发，坐标为 1 T1 2 r2 r2 r1 M2反射 r3 r1 T2 T2T1 T1 3 2 2 1 T2 1
1 I0 i r d t ln 2 I1
(2.2.10)
吸收和散射 反射 衍射 透射的单程损耗
I1 I 0e2
(2.2.11)
I1 I0e
2
I0 1 2 1
r1 L
r2
假设腔内其他的所有损耗用平均单程损耗指数因子a 表示，初始强度为I0的光，在腔内往返一周经两个 镜面反射后，其强度I1为：
• (2.2.1)式给出的A、B、C、D表达式是光线由M1从
出发往返一周而计算出来的。如果令光线由M2出
发往返一周，则T矩阵的各元素具体表达形式将有
所不同。 • 但可以证明，对于一定几何结构的共轴球面腔来说， (A十D)则是一个不变量，与光线的往返行进次序无 关。因此，上述讨论的共轴球面腔各稳定性条件都
(2.2.15)
•物理意义：光强从初始值I0衰减到I0的1/e所用时间。 光在腔内往返m次后的光强为：
I (t )
I m I 0e
c L
'
2 m
tc mBiblioteka Baidu ' 2L
(2.2.14)
L' I (t ) I 0e R (2.2.16) c 当谐振腔腔长与激光工作物质长度不相等时，L’ 的计算方法为 '
可以在每个孔阑处装上相应焦距的透镜，这样孔
阑传输线实际上变成透镜波导。
二、自再现模
• 经过足够多次的往返渡越后，场分布不再受衍射作 用的影响，形成一种稳定的场分布。 • 这种稳态场经一次往返后，唯一可能的变化只是镜
面上各点的场振幅按同样比例衰减，各点的相位发
生同样大小的滞后。
• 我们称这种存在于镜面处，且往返渡越后仍能再现
共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当 稳定腔
0 g1 g 2 1
g1 g 2 1或g1 g 2 0 g1 g 2 1或g1 g 2 0
(2.2.7)
非稳定腔
临界腔
• 从上边的稳定性条件推导过程可以看出，往返矩阵 T和n次往返矩阵Tn均与光线的初始坐标参数无关， 但可能与光线的往返行进次序有关。
(2.2.1)
• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论 • n次往返矩阵
An Tn Cn
Bn Dn
(2.2.3)
1 A sin n sinn 1 C sin n sin
光子数密度，所以
L' Q R 2 c
R
(2.2.20)
d (t ) dt (t ) R
(2.2.22)
L' R c
如果腔内同时存在几种损耗，每种损耗对应的腔 Q值分别为Qi，则总Q值为： 1 1 Q i Qi
4、无源腔本征模带宽 c
腔内光强随时间变化，其对应的光场可表示为
t
L L ( 1 )l
• 光强可表示为
V为传播速度,所以
I (t ) I 0et R N (t )h v
N (t ) N0e

t
R
(2.2.17)
• 上式表明:由于损耗的存在,腔内光子数密度将随时间 按指数函数衰减，腔内N0个光子的平均寿命就等于 τR，即
1 t N0
• 本征模式在腔内往返一周所受到的作用，是自再
现变换
• 讨论的谐振腔是开腔。
• 几何理论：是以光学变换矩阵为基础，讨论谐振
腔的稳定性条件；
• 衍射理论的主要内容则是从菲涅耳—基尔霍夫衍
射积分公式出发，建立起谐振腔自再现模所满足 的积分方程、通过求解积分方程讨论各类谐振腔 的模式特点。
2.1.2 稳定谐振腔本征模式的 横模与纵模
I1 I 0r1r2e
因此：
2a
I 0e
2
(2.2.12)
(2.2.13)
1 当r11,r2 1时有： a 2 1 r1 1 r2
1 a ln r1r2 2
2. 腔内光子平均寿命 R
I (t ) I 0e
t R
N (t )hv
(2.2.24)
5、菲涅耳数
a2 • 定义：N L
衍射角 θ 2a
x
L (1) 衍射光在腔内的最大往返次数。 L x L 2a 往返偏移量为2x，设从镜面中心开始传播的光线，往 返m次后逸出腔外，则有：
mN
2x m a
(2) 从一面镜子的中心看另一面镜子的菲涅耳半 波带数 1 (3)单程衍射损耗率的倒数 衍
是普遍适用的。
稳区图
• 1—平行平面腔； • 2—半共焦腔； • 3—半共心腔
• 4—对称共焦腔
• 5—对称共心腔
稳定区(阴影区)，其它区域则 为非稳区(无阴影区)，两区域 的边界线为临界线。
• 最后需要说明的是，我们这里所谓的腔的稳定
性．只是指傍轴光线能否在腔内往返无限多次而不 横向逸出，也就是指无源腔内傍轴光束的几何损耗 的高低，并不是指有源腔在满足起振的阈值条件下， 谐振腔的工作状态是否稳定。
2x 2 y 0 Hl e E E0 Hm z z z
kr 2 z i [ kz m l 1arctan ] 2qz z0
（2.1.1)
• 为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到 加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2的 整数倍