三要素法

(3)根据换路后的等效电路，用基氏定律求
未知的 u(0 ) 或 i (0 ) 。
5
“三要素”的计算
二、稳态值
f () 的计算:
步骤: (1) 画出换路后的等效电路 （注意:在直流激励
的情况下,令C开路, L短路）； (2) 根据电路的解题规律， 求换路后所求未知
数的稳态值。
注: 在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
8
“三要素”的计算
三、时间常数 原则:
的计算:
要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 是一样的)
RC ； 步骤: (1) 对于只含一个R和C的简单电路， 对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其除源网 络的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内 阻的方法相同)。则:
RC
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
t

2
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
t

f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流响应。 初始值 ---- f (0 ) 其中三要素为:
5t
+ 20V –
i2
i1 () 10 / 5 2A
i2 () 20 / 5 4A
5t
0＋等效电路
iL (t ) 6 (2 6)e 6 4e t 0 5t 5t i1 (t ) 2 (0 2)e 2 2e A
5t
i2 (t ) 4 (2 4)e
t t
例4 已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)
解 三要素为： + 1H
。
uC (0 ) uC (0 ) 10V
uC () 0
1 ReqC 2 0.25 0.5s
10V –
5 2 0.25F
i S
返 回
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iL (0 ) iL (0 ) 0 iL () 10 / 5 2A
稳态值 ----
f ( )
时间常数 ----
利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要 素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。 3
三要素法求解过渡过程要点：
. 分别求初始值、稳态值、时间常数；
初始值 ---稳态值 ---时间常数----
f (0 ) f ( )

t
.将以上结果代入过渡过程通用表达式；
u L (0 )
1
uL (0 ) 0
？
2
1
R3
L 1H
3A
K R2 t=0 2
uL
3A
2
L
iL
t =0¯时等效电路
2 iL (0 ) i L (0 ) 3 2 A 1 2
15
2 R1 K IS 3A t=0 R2 2
1 R3 L 1H
iL
R1 R2
0V
2t 2t
t

uL
起始值
t
稳态值
-4V
20
例2
已知：开关 K 原处于闭合状态，t=0时打开。 求：
uC t
2k 3k
1
E +
_
R1 10V
R2
C
uC
K
t =0
R2 uC (0 ) E 6V R1 R2
21
解：三要素法
起始值:
2k E +
_
3k
1
R1 10V
R2


t

5 t
返 回
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例5
解
已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t
=0.2s时合S2 ，求两次换路后的电感电流i(t)。
0 < t < 0.2s
S1(t=0) 2 i + 10V 3 -
i (0 ) i (0 ) 0 1 L / R 1 / 5 0.2 s i () 10 / 5 2A
t=0 R1
的计算举例
R' R2
+
Ed R L
R
IS R2 L
L R R
13
“三要素”的计算举例
例1
已知：K 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。 求: 电感电压
u L (t )
2 R1 K 1 R3 iL
IS
3A
t=0
R2 2
L 1H
uL
14
第一步:求初始值
2 R1 IS
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e

4
“三要素”的计算
一、初始值 f
(0 )
的计算:
步骤: (1)求换路前的
uC (0 )、iL (0 )
uC ( 0 ) u C ( 0 ) iL (0 ) i L (0 )
(2)根据换路定理得出：
一阶电路过渡过程的求解方法: (一). 经典法: 用数学方法求解微分方程；

(二). 三要素法: 求
初始值 稳态值 时间常数
……………...

本节重点： 三要素法
1
7.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
K 根据经典法推导的结果： + _U
R
C
t
i
uC (t ) u'C u"C
uC
uC () [uC (0 ) uC ()] e
R3
uL
2A
uL
u L (0 ) iL (0 )[R1 // R2 R3 ] 4V
t=0+时等 效电路
16
第二步:求稳态值
2 R1 IS K R2 t=0 2
u L ()
iL
R1 R2 R3 L 1H
1
R3
uL
3A
uL
uL () 0 V
t=时等 效电路
17
第三步:求时间常数 2 R1 IS K R2 3A t=0 2

1
R3
L 1H
ຫໍສະໝຸດ Baidu
uL
R1
R2
R3
L
R R1 || R2 R3
L 1 0.5(s) R' 2
R'
18
L
第四步: 将三要素代入通用表达式得暂态过程方程：
2 R1 IS K R2 t=0 2 1 R3 L 1H
iL
uL
uL (0 ) 4V u L () 0
iL
L
uR uL
di L L iL R E dt
11
齐次微分方程：
di L L iL R 0 dt
设其通解为: 特征方程：
di L L iL R E dt
pt
i"L Ae
代入上式得
LP R 0
R P L
12
则：
1 L P R
R、L 电路
uC 0 uC 0 6V
C
uC
K
t =0
稳态值: 时间常数:
uC 10V
R1C 2ms
t
uC (t ) uC () uC (0 ) uC () e 10 4e
t 0.002

V
22
f (t ) f (t ) [ f (0 ) f (0 )]e 直流激励时： f (t ) f (0 ) f ()

uC () 4i1 2i1 6i1 12V
u 10i1 Req u / i1 10
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ReqC 10 0.1 1s t uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
uC (t ) 12 [8 12]e 12 20e V

0.5t
0.667 1.33e
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t0
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例2 t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL、i1、i2
解 三要素为： i1 5
5
+ iL (0 ) iL (0 ) 10 / 5 2A iL iL () 10 / 5 20 / 5 6A 10V 0.5H 20V – – L / R 0.6 /(5 // 5) 1/ 5s t i ( t ) i ( ) [ i ( 0 ) i ( )] e 三要素公式 L L L L
i(t ) 5 3.74e
2 ( t 0.2 )
A
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i 2 2e
5t
2 ( t 0.2 )
(0 < t 0.2s)
i 5 3.74e
i (A)
5 2 0
( t 0.2s)
1.26
0.2
t(s)
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i2 +
diL 5 t 5 t uL (t ) L 0.5 (4e ) (5) 10e V dt 5t i1 (t ) (10 uL ) / 5 2 2e A 5t i2 (t ) (20 uL ) / 5 4 2e A
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iL (t ) 6 (2 6)e
5t
6 4e
5t
t0
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三要素为：
iL (0 ) iL (0 ) 10 / 5 2A

i1 5 + 10V – 2A
5
iL () 10 / 5 20 / 5 6A
L / R 0.6 /(5 // 5) 1/ 5s
(10 20) i1 (0 ) 1 0A 10 (20 10) i2 (0 ) 1 2A 10
3A
0.5s
uL (t ) uL () [u L (0 ) u L ()] e 0 (4 0) e 4 e V
2t 2t
t

19
第五步: 画暂态过程曲线（由初始值稳态值）
u L (t ) u L () [u L (0 ) u L ()]e 0 (4 0)e 4e V
i(t ) 2 2e
5t
A
S2(t=0.2s)
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t > 0.2s
i(0.2 ) 2 2e
50.2
1.26
S1(t=0) 2 i + 10V 3 S2(t=0.2s)
i (0.2 ) 1.26 A 2 L / R 1 / 2 0.5 i () 10 / 2 5A
6
求稳态值举例
t =0 2 3
iL
3 L
t =∞
2 3
iL
3
L
4mA
4mA
3 iL ( ) 4 2 mA 33
7
求稳态值举例
t=0 + 10V 3k 4k 4k t=∞
+
-
4k 10V 3k
C
4k
C
uc
uc
3 uC ( ) 10 6V 3 4 // 4
4 2e A
5t
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例3 已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)
2A 2 1 0.1F 1 + － uC 4 8V － 2 i1 + － + i1 4 三要素为： i1 + 4 4 2 i1 + u
－
－
解
uC (0 ) uC (0 ) 8V
uc (V)
1A 2 + 3F 1 uC
2
0.667 0
解
uC (0 ) uC (0 ) 2V
t

uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
uC 0.667 (2 0.667)e
0.5t
2 uC () (2 // 1) 1 0.667 V ReqC 3 2 s 3 t
+
1H
2 L / Req 1/ 5 0.2s

10V –
5 2 0.25F
t
i S
2t
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e 10e V

iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e 2(1 e )A uC (t ) 5 t 2t i(t ) iL (t ) (2(1 e ) 5e )A 2
R'C
9
RC 电路
t=0
+
的计算举例
R' R1 // R2
+
R1 R2
-
E
C
-
Ed
C
R'C
10
（2） 对于只含一个 L 的电路，将 L 以外的电 路,视 为有源二端网络,然后求其等效内阻 R'。则:
L R
R、L 电路 的求解
K + _E t =0 R
uL uR E
A

t

f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e

t

用t→的稳态电路求解 f ( ) 稳态解 三要素 f (0 ) 初始值 用0+等效电路求解 时间常数 注意 分析一阶电路问题转为求解电路的三 个要素的问题。
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例1 已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t)