高中数学教案三角函数的图象与性质

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高中数学高一必修第一章《三角函数的图象与性质》教育教学课件

点是 (0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) ；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键
点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1) .
学习目标要点疑点深入探究课堂检测
填要点·记疑点
3.正弦、余弦曲线的联系
根据引诱公式cos x＝sin x＋π2 ，要得到y＝cos x的
第一章三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
MORESHI POWERPOINT 主讲老师：
CONTENTS
学习目标要点疑点深入探究课堂检测
明目标、知重点
• 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. • 掌控“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能
用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. • 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
学习目标要点疑点深入探究课堂检测
明目标、知重点
摸索2 如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x， x∈R的图象？答由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝ sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
摸索2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
答在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法简称“五点法”.

高中数学学案43第五章三角函数的图象与性质

5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【自主学习】一．正弦函数的图象正弦函数的图象叫做，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．五点法：在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点：，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．二．余弦函数图象1.变换法将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．2.五点法：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的五个关键点为：，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，，用光滑曲线连接这五个点可得到x ∈[－π，π]的简图．注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( ) (2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )(3)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(4)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(5)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( ) 2.用五点法作函数y ＝sin 2x ，x ∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π3【经典例题】题型一用“五点法”作三角函数图象点拨：用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1.列表2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)．3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．例1 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6的图象．题型二利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；3.根据公式一写出定义域内的解集．例2 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )； (2)y ＝2sin x － 2.题型三利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题点拨：方程根(或个数)的两种判断方法1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．例3 方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【跟踪训练】3 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________．【当堂达标】1.对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )3.使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．5.若方程sin x ＝4m ＋1在[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．6.求下列函数的定义域．(1)y ＝ sin x －12＋cos x ；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.7.在[0，2π]内用“五点法”作出y ＝－2cos x ＋3的简图．。

高中数学三角函数教案

高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。

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高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。

连云港市灌云县四队中学高中数学教案：三角函数的图象与性质1 (苏教版必修4)

四队中学教案纸（学科：高一数学）备课时间教学课题教时计划3教学课时 1教学目标 1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象； 2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。

重点难点正弦函数、余弦函数的图象借助于正弦线画正弦函数图象教学过程一、自学质疑1，弧长公式为2，单位圆中，圆心角为3π所对的弧长是，2π所对的弧长是二、互动探究1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象一、作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起，把⊙1O 分成12等份，过⊙1O 上各点作x 轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632ππππ 等角的正弦线；（2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

二、利用周期性，你能画出整个函数图象吗？试一试。

2．余弦函数的图象由于cos sin()2y x x π==+，所以余弦函数cos y x =，x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2π个单位得到，即：三、精讲点拨利用五点法画sin y x =-，[0,2]x π∈的图象x 02ππ 32π 2π sinx -sinx利用五点法画cos 2y x =，[0,2]x π∈的图象．x2ππ32π 2π 2xCos2x课外作业利用五点法画 y=cos 2x －1 [0,2]x π∈ 的图象教学反思y x=x R∈πcos y x=x R ∈2π-32π-2π。

高中数学第三章三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质

3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝cos x 的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质(下表中k ∈Z )：函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域 [－1,1][－1,1]对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 奇偶性奇函数偶函数单调递增⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π[]－π＋2k π，2k π 单调递减⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π []2k π，π＋2k π最值在x ＝π2＋2k π时，y max ＝1；在x ＝－π2在x ＝2k π时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π要点一求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵0＜12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°， cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°；从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<co s π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos870°与sin980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°. 要点三求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )．解设cos x ＝t ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝0；当0≤a ≤12时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝－a 2；当12<a <1时，M (a )＝0，m (a )＝－a 2；当a ≥1时，M (a )＝0，m (a )＝1－2a . 综上，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ， a ≤12，0，a >12，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， a <0，－a 2，0≤a <1，1－2a ，a ≥1.要点四三角函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系．跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2·sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin3>sin2 C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin2>cos1 答案 D解析 ∵sin2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin2>cos1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B. 4．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1，∴c >b >a .1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1B ．1 C ．－12D ．－5答案 C解析由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4； ③sin138°<sin143°；④tan40°＞sin40°. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③B．①④ C ．②③D ．②④答案 B5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________．答案 12－22解析由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升 8．函数y ＝2sin x的单调增区间是( )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )答案 A解析函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间9．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．πB.2πC.3πD ．2π 答案 C解析在同一坐标系中画出函数y ＝πsin x 与y ＝πcos x 的图象，如图所示，则|MN |的最小值为|PQ |.又P (π4，2π2)，Q (5π4，－2π2)，故|PQ |＝π4－5π42＋2π2＋2π22＝3π.10．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．答案 sin3<sin1<sin2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －2π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π；(2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解 (1)函数定义域为R ，且f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，显然有f (－x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π为偶函数． (2)由2sin x －1＞0，即sin x ＞12，得函数定义域为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋56π(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．(3)函数定义域为R . f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg ()sin x ＋1＋sin 2x ＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数．三、探究与创新 13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评

一、内容和内容解析1.内容（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数图象的画法.（2）正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、奇偶性、单调性和最大（小）值.2.内容解析内容的本质：三角函数的图象与性质的本质是周期现象的直观表示与代数表示，也是函数图象与性质研究的延续.蕴涵的思想和方法：三角函数是刻画周期现象的重要模型，函数的图象是周期现象的直观体现，函数的性质是周期变化规律的代数表现，所以模型思想、数形结合思想是学习三角函数的图象与性质中的重要思想方法.同时，由局部的正弦曲线得到完整的正弦曲线、由正弦曲线得到余弦曲线的过程中也蕴涵了换元转换的思想方法.知识的上、下位关系：三角函数是特殊的函数，是研究度量几何的基础，作为函数的下位知识，基本遵从函数的图象与性质的研究路径：现实背景—函数概念—图象—性质—应用.由于三角函数自身的特殊性，要充分借助单位圆及圆周运动的特性去研究三角函数的图象与性质.因此，研究正弦函数的图象与性质是根据定义借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质；而研究正切函数的图象与性质是以定义为岀发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助观察图象进一步获得函数的其他性质.育人价值：用三角函数来刻画圆周运动时角度与点的“位置”间的对应关系，这种思想方法帮助人们在观察客观事物的运动变化时，能建立起不同要素之间的联系，并用这种联系去研究、发现事物的运动变化规律，对提升人们的认识水平有重要意义和价值.因此，学习三角函数的图象与性质很有必要.一方面，帮助学生进一步熟悉函数的图象与性质的研究路径；另一方面，引导学生感受周而复始运动现象的变化规律及相应性质，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.教学重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及主要性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值；研究函数图象与性质的一般思路和方法.“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评陈智猛摘要：本节课教学的核心是画出正弦函数图象上的任意点T()x0，sin x0，经历观察角α与sinα的变化、教师示范、计算机演示、学生用“手工细线缠绕”法实践操作四个步骤．诱导公式是反映圆周运动中运动变化规律的代数式，它在简化函数图象的研究过程、由正弦曲线得到余弦曲线等方面都发挥着作用，使得数与形的联系得到充分体现．关键词：正弦函数；图象与性质；诱导公式；教学设计收稿日期：2020-12-29作者简介：陈智猛（1963—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.··11二、目标和目标解析1.目标（1）能画出三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值.（2）建立三角函数定义（单位圆）与三角函数图象的联系，明确三角函数图象与性质的研究方法. 2.单元目标解析（1）研究正弦函数、余弦函数的图象与性质是先画函数图象后研究函数的性质.画正弦函数的图象有别于以往研究的函数图象，关键是画出图象上任意一点T()x0，sin x0；画余弦函数的图象主要是根据正弦函数、余弦函数的密切联系，利用图象变换得到余弦函数的图象.“五点（作图）法”是在精度要求不高、需反映曲线“波浪起伏”特点时画简图使用.（2）画正切函数的图象前要先研究正切函数的部分性质.根据函数性质知道，只需画出函数y=tan x，x∈éëöø0，π2的图象.画函数图象的关键是画出图象上的任意一点T()x0，tan x0.（3）函数的性质与图象相辅相成，不是一成不变的.本节课的学习既经历由函数图象到函数性质的研究过程，也经历由函数性质到函数图象再到函数性质的研究过程，全方位理解三角函数的图象与性质.（4）画余弦函数的图象也可以用描点的方法.本节课利用图象变换由正弦曲线得到余弦曲线，其目的是要体现正弦函数与余弦函数的密切关联，也给出得到函数图象的新方法.三、教学问题诊断分析学生之前有绘制函数图象的经验，但是利用定义、几何意义绘制函数图象是第一次，在思维习惯上存在障碍.对准确绘制岀函数的图象和正弦函数的图象及正切函数图象上任意一点的理解存在困难；在选定一个点的横坐标x0，如何从几何角度找到sin x0和tan x0的操作上难度较大.要在圆周运动中体会随着角x0的变化sin x0和tan x0的变化及意义.由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标的比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作图，在理解正切函数图象与函数定义的内在联系上有一定的难度.要注意从几何角度进行变形，化“动”为“定”.教学难点：画出正弦函数、正切函数的图象.四、教学支持条件分析（1）学生初步掌握了研究函数的路径，已利用三角函数定义和单位圆模型得到同角三角函数基本关系式与诱导公式.教学中要回顾函数的图象与性质的研究路径，并在圆周运动和三角函数定义的基础上发现三角函数的独特性，为准确绘制函数图象提供依据.（2）本节课需要投影仪、多媒体、几何画板软件、自制教具等支持条件.在图象平移、画出正弦函数图象上任意一点T()x0，tan x0时用计算机操作演示，准确、直观，让学生有更多的时间去观察、思考，体会画图方法的本质与思想内涵.同时，让学生使用自制教具经历用“手工细线缠绕”法准确绘制图象上任意一点T()x0，tan x0的过程.学生动手操作，亲身体验，提升认识，积累活动经验.五、课时教学设计1.课时教学内容第1课时：正弦函数、余弦函数的图象.（1）通过正弦函数定义得到正弦函数的图象，会用五点（作图）法作出简图.（2）通过图象变换得到余弦函数的图象.2.课时教学目标（1）了解三角函数周而复始的特性，简化函数图象与性质的研究过程.（2）能利用正弦函数定义确定正弦函数值sin x0，能画出正弦函数图象上任意一点T()x0，sin x0，能画出正弦函数的图象.（3）能利用图象变换画出余弦函数的图象.（4）了解运用五点（作图）法绘制函数y=sin x，x∈[]0，2π和y=cos x，x∈[]-π，π的简图.3.教学重点与难点教学重点：画出正弦函数、余弦函数的图象.教学难点：画出正弦函数的图象上的任意一点T()x0，sin x0，利用图象变换画出余弦函数的图象.··124.教学过程设计（1）回顾单元，凸显主题.引导语：我们学习了三角函数的定义，类比已经学过的基本初等函数，接下来我们要学习什么内容？师生活动：教师引导学生回忆幂函数、指数函数和对数函数的学习过程，明确研究函数图象与性质的路径：现实背景—函数概念—图象—性质—运用.学生类比并结合已经学过的三角函数的定义，明确本节课的学习主线：从定义出发，得到函数图象.【设计意图】作为函数的下位概念，通过类比已经学过的函数回忆研究函数的一般路径，明确本节课的重点内容是研究正弦函数y =sin x ，x ∈R 的图象，也为后续由图象研究函数的性质做准备.（2）周而复始，简化过程.问题1：从图象直观上看，点B 每旋转一周就回到原来的位置，体现了三角函数周而复始的特性.从函数角度来看，自变量每增加或减少2π个单位长度，函数值将重复出现.你能用公式表示这一特性吗？这个特性对我们研究正弦函数的图象有什么帮助？师生活动：学生观察点B 在单位圆上的旋转变化，体会三角函数值周而复始的变化情况；并运用诱导公式sin ()α±2π=sin α表示这一特性；简化函数y =sin x ，x ∈R 的图象的研究过程，从研究函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象开始.【设计意图】让学生回忆三角函数的定义，既体现三角函数定义的重要性，又为画点原理的认知提供铺垫.突出三角函数周而复始的特性，目的是让学生明确对于具有周而复始特性（周期性）的函数的研究，可以从研究函数在一个周期内的图象与性质开始，简化研究过程.（3）利用定义，画任意点.问题2：我们知道，图象的基本要素是点，利用正弦函数的定义，在[]0，2π上任取一值x 0，能否确定函数值sin x 0，画出点T ()x 0，sin x 0？师生活动：学生回忆正弦函数的定义，在单位圆中，观察随着角α的变化函数值sin α的变化情况，教师提醒学生函数值sin α就是角α的终边与单位圆的交点B 的纵坐标.在x 轴上任取一值x 0，使x 0∈[]0，2π，在单位圆中，作出大小为x 0的角（始边在x 轴的正半轴）的终边，其终边与单位圆交点的纵坐标就是sin x 0.教师示范：在x 轴上任取一值x 0，使x 0∈[]0，2π，用“手工细线缠绕”的方法找到弧长为x 0的弧所对的圆心角x 0，确定函数值sin x 0，画出T ()x 0，sin x 0.学生动手操作：在[]0，2π上任取一值x 0，用“手工细线缠绕”的方法找到弧长为x 0的弧所对的圆心角x 0，确定函数值sin x 0，画出T ()x 0，sin x 0，通过实践体会画任意点T ()x 0，sin x 0的原理.【设计意图】从图象到点、从点到点坐标的确定，利用定义实现画出正弦函数图象上任意一点，从而得到函数的图象，体现点与图象的辩证统一.也说明了正弦函数的定义在函数图象的构造和认识过程中不可替代的作用.合作交流、实践操作是画点原理物化的重要方法，通过亲手操作、具身体验，熟悉并理解画点方法，为接下来的取特殊值、画特殊点提供支持.画出任意点T ()x 0，sin x 0，经历教师示范、学生实践操作，让学生在体验的过程中思考和理解，从而突破教学难点.（4）定若干点，描点作图.问题3：我们已掌握了画点原理，现在在[]0，2π上取若干值进行描点，画出函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象，你打算描出哪些点？师生活动：取值0，π2，π，32π，2π，描出五个点.追问：仅描出五个点，能体现函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象的形状吗？要让正弦函数的图象更精确，我们该如何做？师生活动：取更多的点，显然在éëùû0，π2上还要取其他值，不妨取特殊的π6和π3，其他区间也类似取特殊值，相当于把区间[]0，2π十二等分，对应的角所在的终边与单位圆的交点也把整个圆周十二等分，描画出13个点.学生实践活动：根据画点T ()x 0，sin x 0的方法，得到自变量取这些值时对应的函数图象上的13个点.利用信息技术取足够多的值，画出足够多的点，形成函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象.【设计意图】取图象上足够多的特殊点有助于直观把握正弦函数图象的形状，并为利用五点法作简图提供基础.同时，让学生形成两点意识：确定函数图象的形状时往往要抓住图象上的关键点；足够多的特殊点能更好地反映函数图象的形状，体现十二等分[]0，2π画图象的必要性.明确信息技术代替人进行重··13复工作是在掌握画点原理的基础上进行辅助操作；让学生明白所画的点越多图象越精确.（5）补全整图，五点简图.问题4：可以得到完整的正弦函数y=sin x，x∈R 的图象吗？师生活动：引导学生通过直观想象得到函数y= sin x，x∈R的图象，再从逻辑推理的角度说明其正确性.通过PPT动画实现y=sin x，x∈R的图象上任意一点的平移，启发学生通过所有点的平移思考整个图象的平移，说明函数y=sin x，x∈[]2π，4π的图象与函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象的形状完全一致，用公式sin()2kπ+x=sin x可以说明.将函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象不断平移（每次移动2π个单位长度），得到函数y=sin x，x∈R的图象.追问1：正弦函数y=sin x，x∈R的图象是一条曲线，我们称为正弦曲线，该曲线有何特点？师生活动：观察图象，发现图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线，有波峰和波谷.追问2：我们要画正弦曲线，在精度要求不高时，有什么简便画法？师生活动：以画函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象为例，找到波峰和波谷及图象与x轴的交点等五个关键点()0，0，æèöøπ2，1，()π，0，æèöø3π2，-1，()2π，0，基本上可以呈现出“波浪起伏”的特点，这种作图法称为“五点（作图）法”.【设计意图】利用三角函数周而复始的特性和诱导公式，分别从几何与代数两个角度理解函数y=sin x，x∈R 的图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线.从图象上的点的平移到图象的平移，借助诱导公式说明函数y=sin x，x∈[]2π，4π的图象与函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象形状完全一致.同时，表明函数图象可以通过平移变换得到，为后面画出余弦函数的图象提供铺垫.从精确图象到五点简图，体现认识事物的过程与特点——全局与局部、抓主要矛盾.正弦函数图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线，抓住五个关键点足以体现.这也是在精确度要求不高时，可以用五点（作图）法画出正弦函数简图的依据.（6）图象变换，余弦曲线.问题5：下面我们要研究余弦函数y=cos x，x∈R 的图象.由三角函数的定义知，正弦函数与余弦函数是一对密切关联的函数，我们可以借助这种关联画出余弦函数的图象吗？师生活动：教师引导学生从定义出发理解，用诱导公式体现出正弦函数与余弦函数的密切关联；引导学生思考这种关联从几何角度理解呈现出什么现象.从图形变换（几何角度）角度，通过平移得到余弦函数的图象.根据诱导公式cos x=sinæèöøπ2+x，知函数y= cos x，x∈R的图象即为函数y=sinæèöøπ2+x，x∈R的图象，只需将函数y=sin x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度，即可以得到函数y=sinæèöøπ2+x，x∈R的图象，即函数y=cos x，x∈R的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线，余弦曲线通过平移可以与正弦曲线完全重合，其曲线的形状也是“波浪起伏”的连续光滑曲线.可以用五点（作图）法画出余弦函数的简图.例如，画函数y=cos x，x∈[]-π，π的简图时，找到的五个关键点是()-π，-1，æèöø-π2，0，()0，1，æèöøπ2，0，()π，-1.【设计意图】让学生体会诱导公式是图象变换的代数依据.通过图象变换得到余弦曲线，更好地体现余弦函数与正弦函数的密切关联.（7）巧借诱导，简化作图.问题6：如何画出函数y=cos x，x∈[]0，2π的简图？师生活动：回顾图象构造和认识过程，发现函数y= -cos x，x∈[]0，2π的图象与函数y=cos x，x∈[]0，2π的图象关于x轴对称，曲线形状也是“波浪起伏”的连续光滑曲线，同样可以找到五个关键点用“五点（作图）法”画简图.先用“五点（作图）法”画出函数y=cos x，x∈[]0，2π的简图，再作其关于x轴对称的图象.引导学生关注诱导公式，由-cos x=cos()π+x知，画出函数y=-cos x，x∈R的图象即画出函数y= cos()π+x，x∈R的图象，只需将函数y=cos x，x∈R 的图象向左平移π个单位长度即可.追问1：利用诱导公式-cos x=cos()π-x，是否可以由函数y=cos x，x∈R的图象画出函数y=-cos x，x∈R 的图象？追问2：利用诱导公式实现图象变换来作图，类比上述问题，你能提出新的问题吗？【设计意图】诱导公式是三角函数的图象和性质的代数表现，诱导公式cos x=sinæèöøπ2-x，sin x=sin()π-x，··14sin x=-sin()2π-x，sin x=-sin()π+x等都能在正弦曲线和余弦曲线的作图过程中发挥作用.例如，sin x= -sin()2π-x，若画函数y=sin x，x∈[]π，2π的图象，即画函数y=-sin()2π-x，x∈[]π，2π的图象，只需作出函数y=sin x，x∈[]0，π的图象关于点()π，0中心对称后的图象即可.学生不一定能建立所有诱导公式与图象变换之间的联系，更不易准确通过诱导公式描述图象变换.教师引导学生多从诱导公式的角度出发认识正弦函数和余弦函数的图象，并形成意识，有助于培养学生的数学抽象和直观想象素养.（8）回顾所学，小结提升.问题7：我们怎样得到正弦函数的图象？经历怎样的过程？怎样得到余弦函数的图象？利用了什么公式？下节课，我们将学习三角函数的什么内容？师生活动：引导学生从基本技能和基本活动经验角度总结本节课的学习收获，引导学生将本节课的内容嵌入整个三角函数的知识体系中.【设计意图】通过课堂小结让学生明确本节课内容的重点与难点，明确本节课在知识、方法、能力等方面的目标，体现合作交流、主动学习.回到主题单元教学，让学生明确下节课内容的重点——函数的性质，确定研究性质的两条路径，即通过图象直观得到性质和将定义结合单位圆来推导性质.六、教学反思教材是最重要、最准确的教学资源，理解教材的意图，根据学生的情况恰当设计是教学成功的基础.新教材中正弦函数和余弦函数的图象内容不同以往，没有采用三角函数线，而是紧扣函数研究路径和单位圆，利用正弦函数的定义认识正弦函数的图象. 1.思效本节课以学生为中心，明确教材意图，把握教学重点，通过有效活动突破教学难点，培养学生的数学思想和数学能力.（1）从学生认知出发，巩固基础知识.学习效果是教学最关注的问题，从学生认知出发，准确把握本节课的重点，分解教学难点，通过高效教学活动巩固基础知识.知识回顾时，将正弦函数的定义放在突出位置，特别是对自变量α和函数值sinα（终边与单位圆交点的纵坐标）的意义理解，突出教学重点.明确自变量x既是图象上一点的横坐标，也是单位圆中弧长为x的弧所对的圆心角，关键是如何通过x，利用正弦函数的定义确定函数值sin x，突破教学难点.同样，通过定义明确正弦函数和余弦函数是一对密切关联的函数，可以利用诱导公式和图象平移得到余弦函数的图象，这样就将本节课的教学重点和教学难点牢牢集中在利用定义得到函数图象这条教学主线上.（2）把握教材逻辑，培养基本思想.认识数学问题，我们较熟悉的路径是从几何直观到逻辑推理.这在教材中有多处体现：①类比已有研究方法，得到先画出图象后研究性质；②体现周而复始的特性，对单位圆上点的运动变化进行几何观察，再用sin()x±2π=sin x进行代数表示；③由函数y= sin x，x∈[]0，2π的图象到函数y=sin x，x∈R的图象，先让学生直观想象，再利用诱导公式说明. 2.思得本节课采用多种教学方法，重视问题链的设置，通过具体实践活动，提升学生的画图技能，形成研究函数图象的活动经验.（1）重视实践活动，提升基本技能.活动即学习，合作交流、实践操作能够有效提升学生的基本技能.画点技能的形成一般要经历了解、体会、理解、掌握等过程.教学过程中需要设置不同的实践活动：PPT动画了解、教师实践展示、合作动手操作、多次综合运用.这四个环节让原理清晰化，让技能熟练化，让学生大胆尝试，并有时间去具体实践.（2）设置问题情境，形成基本活动经验.问题是数学的心脏，也是教学最基本的起点.问题明确化、思维清晰化.针对学生思维发生点和思维障碍点设问，让学生懂得思考什么.例如，在x轴上任取值x0∈[]0，2π，能否从几何角度表示出函数值sin x0学生聚焦如何从几何角度表示sin x0，自然联想到定义和单位圆.问题层次化、思维深度化.有层次的问题链，帮助学生从几何直观、代数推理等多个方面认识数学问题.例如，描点画出函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象，你打算描出哪些点？这些点有何特殊性？这些点够吗？为了图象形状的准确，还需要增加点吗？增加哪些点？为什么？学生通过问题链，构建了点与函数图象之间的联系，为五点（作图）法打下了基础.··153.思改以“思”促“改”，教学改进、提升自我永远在路上.（1）信息技术与手持技术融入教学，生动形象，交互反馈，结构紧凑，高容、高效，带动教学方式的改变.本节课的教学离不开信息技术的支持，画点原理的形成、正弦函数图象的构造与认识、图象的平移变换等都离不开PPT动画、视频动画的直观呈现.数学实验和动手实践相结合，学生借助相应工具参与作图原理的发现与探究，有助于提升学生几何作图的认知深度，培养他们的创新能力.（2）“诱导公式能简化作图过程”这一内容的教学，虽然经历了简化研究区间、平移得到余弦函数的图象，以及函数y=-cos x，x∈[]0，2π的图象的研究等过程，但是还应该设计出有层次、有目标、有深度的问题，引导学生去分析和思考诱导公式这个代数关系式与几何图形的联系.总之，以学生为本，重视教材，挖掘教材意图，教学精准、高效.数学知识通过教材设计呈现，数学思维通过教材逻辑体现，数学活动通过教材意图设置.七、点评数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.具体到一节课的教学，我们要怎么做呢？《标准》的基本理念中强调要凸显数学的内在逻辑和思想方法；要创设教学情境，启发思考，把握本质；要培育学生的科学精神和创新意识，关注核心素养的形成和发展.因此，理解数学、教学、学生，再加上技术，就是我们思考“三角函数的图象与性质”这节课的基点.本节课是“三角函数的图象与性质”这个单元的第一课时，在单元教学的视角下，本节课承上启下，既延续以往研究函数的图象与性质的方法路径，又有新的创新，丰富了函数的图象与性质的研究方法，沟通了函数的图象与性质的内在关联，使“数”与“形”的融合再次得到体现.1.理解数学，尊重教材正弦函数和余弦函数的图象这节课，初看很不起眼，因为我们已经经历了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象研究，无非描出几个特殊点（描点法作图），然后用光滑的曲线连接即可.本节课还是这样吗？这就需要我们去理解三角函数的独特性.首先，根据单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，公式sin()x±2π=sin x，cos()x±2π= cos x表示自变量每增加（减少）2π，正弦函数值和余弦函数值将重复出现（从几何特点到代数关系），利用这个特性，将正弦函数的图象研究范围由R简化到[]0，2π.这是在前面的学习中没有经历过的.其次，利用单位圆定义三角函数赋予三角函数几何属性.因此，三角函数的图象的研究有别于以往的函数图象的研究，指数函数、对数函数和幂函数的图象的描点都是代数运算的结果，而三角函数的图象的描点是几何描点，即利用三角函数的定义借助单位圆作出函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象上的任意一点T()x0，sin x0.准确描绘出图象上的“任意一点”，这还是前面的学习所没有经历的.再次，观察发现，正弦函数和余弦函数的图象是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，通过抓住关键点把握图象的形状，这也是前面的学习中所没有经历的.最后，函数y=cos x，x∈R的图象是根据诱导公式cos x=sinæèöøx+π2，通过将正弦函数y=sin x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度得到的.这在前面的学习中较少经历.历数种种，在理解数学和教材编写意图的基础上，我们才有可能恰当地设计问题，启发、引导学生思考并解决问题.2.理解教学，突破难点对于画出函数的图象，学生的学习基础（画指数函数、对数函数和幂函数的图象）是描点法.那么，画正弦函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象的教学起点在哪里？借助单位圆，直接要求利用三角函数的定义作出正弦函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象上的任意一点T()x0，sin x0是否比较突兀？学生是否会全无头绪？该难点如何突破？这些问题都是展开教学时需要思考的.首先，在单位圆上的任意一点在圆周上旋转一周回到原来的位置的运动变化过程中，要有意识地引导··16。

高考数学复习知识点讲解教案第25讲三角函数的图象与性质

π
− 或0
2
<<
π
，
2
∴ 函数 = lg sin 2 + 9 −
π
2 的定义域为[−3, − )
2
∪
π
0,
2
.
探究点二三角函数的值域或最值
例2（1）
[2024·天津和平区期中] 函数 = sin + 3cos
最小值为(
C
π
在区间[0, ]上的
2
)
A. 3
B. 2
C.1
D.2
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）
π
,
1
在函数 = sin ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,0 ，_______,
2
3π
,
−1
π, 0 ,___________，
2π, 0 .
2
（2）
π
,
0
在函数 = cos ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,1 ，_______，
π
2
所以 = − + 2π , ∈ ，
所以cos = cos
π
2
− + 2π = sin =
2 5
，
5
∈ ,故选A.
（2）已知函数
3
+
2
___________.
= sin + cos + 2sin cos + 2，则的最大值为A.π ቚπ−
6
C.
π
ቚ2π−
6
< < π +
5π
,∈

三角函数的图像与性质说课课件

本节课是数形结合思想方法的良好素材,数形结合是数学研究中的重要思想方法和解题方法,因此，本节课在教材中的知识作用和思想地位是相当重要的.
二.学情分析
（1）高一学生有一定的抽象思维能力，而形象思
维在学习中占有不可替代的地位，所以本节要紧紧抓住数形结合方法进行探索.
（2）本班学生对数学科特别是函数内容的学
可知：正弦函数图像每经过 2k (k Z) 单位长度就重复出现，所以
...... 6 ,4 ,2 ,2 ,4 ,6..... 都是函数的周期.
2k(kZ)
最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小整数，那么这个最小整数就叫做f(x)的最小正周期根据上述定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2k (k Z且k 0) 都是它的周期，最小正周期为2
1
6
4
2
0
2
4
x
-1
1、定义域 3、最小正周期 4、单调性 : 增区间 5、最值当x=
余弦曲线
2、值域
减区间
时，ymin
当x= 6、奇偶性
时，ymax
[设计意图]：通过把学习任务转移给学生，激发学生的主体意识和成就动机,通过自主探索，给予学生解决问题的自主权，促进生生交流，最终使学生成为独立的学习者，随着问题的解决，学生的积极性将被调动
单调区间为
2k
2
,2k
2
(k
Z
)
【设计意图】：通过列举正弦函数的几个
单调区间，最后归纳出函数所有的单调区间，体现从特殊到一般的知识认识程，
培养学生观察、归纳的学习能力，有助于以后理解记忆正弦型函数的相关性质.
思考：正弦函数的减区间是？当x取何值时，y取最值？

高中数学主题单元设计(三角函数的图象与性质)

《三角函数的图象与性质》主题单元设计主题单元标题三角函数的图象与性质所需时间 4课时主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)本主题单元是在学习了三角函数的定义、三角函数线，学生已经掌握研究函数的一般方法：从函数的定义，到作函数的图像，再到讨论函数的性质的顺序展开的。

本单元是高中数学教材中有关三角函数的一部分，内容包括“正弦函数、余弦函数的图象”、“正弦函数、余弦函数的性质”、“正切函数的图象和性质”三个方面。

讲述用集合对应的语言给出了正弦函数和余弦函数的定义，利用正弦线画出正弦曲线，让学生体验几何法作图与描点法作图的不同及优点，通过平移变换作余弦弦曲线，让学生初步体验用图像变换的话函数图像，通过画出的图形观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。

对于正切函数的研究，则采用了倒叙的方法，一般说来，对函数性质的研究总是先做图像，通过观察获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述。

但对正切，教科书采取了根据已有的知识（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）研究性质，这样处理，可以让学生体会可以从不同角度讨论函数性质，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图像。

加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现更加全面。

数形结合思想贯穿本单元的始终，利用图像研究性质，反过来再根据性质）进一步认识函数图像，正弦、余正切函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域），深化研究函数性质的思想方法是这部分内容的重点。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学及其它领域中都具有重要的作用。

本主题单元，将分成三个专题来组织学习活动。

专题一：正弦函数、余弦函数的图像。

由简谐振动实验得到正弦数、余弦函数图像的直观印象，再利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx ，x []0,2π∈的图像，再得到x R ∈的图像，再由正弦函数图像得到余弦函数的图像，最后得出“五点法”。

高中数学必修4三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质课题三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。

教学目标与考点分析 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

教学方法导入法、讲授法、归纳总结法1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．函数)3cos(π+=x y ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数)4tan(x y -=π的定义域为( )． A ．},4|{Z k k x x ∈-≠ππ B ．},42|{Z k k x x ∈-≠ππ C ．},4|{Z k k x x ∈+≠ππD ．},42|{Z k k x x ∈+≠ππ3．)4sin(π-=x y 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0)B ．)0,43(π-C ．)0,23(πD ．)0,2(π4．函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一三角函数的周期【例1】►求下列函数的周期：(1))23sin(x y ππ-=；(2))63tan(π-=x y考向二三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例2】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4|(|π≤x 的最大值与最小值．【训练2】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2))1cos 2lg(sin )4tan(--=x xx y π的定义域(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域.考向三三角函数的单调性求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．【例3】►求下列函数的单调递增区间．(1))23cos(x y -=π，(2))324sin(21x y -=π，(3))33tan(π-=x y .【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12(2)若0＜α＜π2，)42sin()(απ++=x x g 是偶函数，则α的值为________．【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2|(|πϕ<的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．【示例】► 已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为]12,125[ππππ+-k k (k ∈Z )，单调递减区间为]127,12[ππππ++k k (k ∈Z )，则ω的值为________．练一练：1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．课后练习：三角函数的图象与性质·练习题一、选择题(1)下列各命题中正确的是 [ ](2)下列四个命题中，正确的是 [ ]A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)(3)下列命题中，不正确的是 [ ]D．函数y=sin|x|是周期函数(4)下列函数中，非奇非偶的函数是 [ ](5)给出下列命题：①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b以上命题中正确命题的个数是 [ ]A．1B．2C．3D．4[ ] A．sinα＜cosα＜tgαB．cosα＞tgα＞sinαC．sinα＞tgα＞cosαD．tgα＞sinα＞cosα(7)设x为第二象限角，则必有 [ ][ ]二、填空题(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．的值是______．(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．(12)给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ其中正确命题的序号是______．三、解答题(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．答案与提示一、(1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D提示(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．(5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时，y max=2②当cosx=-1时，f(x)max=a-b∴cosα＜sinα＜tgα二、(9)[-2，2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④提示(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．综上，③④正确．三、。

第六部分：三角函数(3)——三角函数图像与性质(教案)

A．1B． C． D．2
8.函数在区间上的最大值是 ( )
A.1B. C. D.1+
二.单调性
1.函数为增函数的区间是（）.
A. B. C. D.
2.函数的一个单调增区间是（）
A． B． C． D．
3.函数的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
4．设函数，则（）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
正切函数的图象和性质定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
5.函数的一个单调增区间是
A． B． C． D．
6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f( )=f( )，则f(x)的解析式可以是（）
A．f(x)=cosxB．f(x)=cos(2x )
C．f(x)=sin(4x )D．f(x) =cos6x
教学设计
教学内容
设计意图
可能出现的问题与对策
教
学
过
程
1、图像
2、三角函数的单调区间：
3、函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

高中数学第7章三角函数7.3.2第2课时正弦、余弦函数的图象与性质第一册数学教学案

第2课时正弦、余弦函数的图象与性质学习目标核心素养1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易错点)通过学习本节内容，提升学生的直观想象、数学运算核心素养．回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．正弦函数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数y ＝sin x ，x ∈R余弦函数y ＝cos x ，x ∈R图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]最值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取得最大值1；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，取得最小值－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1周期性周期函数，T ＝2π周期函数，T ＝2π奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是减函数是减函数对称性关于x ＝k π＋π2(k ∈Z )成轴对称，关于(k π，0)(k ∈Z )成中心对称关于x ＝k π(k ∈Z )成轴对称，关于⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )成中心对称1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是奇函数．( ) (2)函数y ＝3sin 2x 是周期为π的奇函数．( ) (3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递减． ( ) (4)y ＝cos x 的值域为(－1,1)．( )[提示] (1)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴是偶函数．(2)T ＝2π2＝π．f (－x )＝3sin(－2x )＝－3sin 2x ，故为奇函数．(3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增． (4)×．y ＝cos x 的值域为[－1,1]． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝12sin x ＋1的值域是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [由sin x ∈[－1,1]，得12sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以12sin x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32．]3．函数y ＝sin(2x ＋π)的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z [y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，由2x ＝k π得x ＝k π2(k ∈Z )，∴y ＝sin(2x ＋π)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ．]求三角函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6．[思路点拨] (1)先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．(2)先由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6>0，得到相应x 的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．[解] (1)因为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，k π＋π8(k ∈Z )．(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )，即π6＋2k π<x <7π6＋2k π(k ∈Z )．①要求原函数的单调递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )， ② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．求函数y ＝A sin ωx ＋φA >0，ω≠0的单调区间的一般步骤1当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2k ∈Z 解出x 的范围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2k ∈Z 解出x 的范围，即为函数递减区间.2当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin －ωx －φ，则y ＝sin －ωx－φ的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.,余弦函数y ＝A cos ωx＋φA >0，ω≠0的单调性讨论同上.提醒：要注意k ∈Z 这一条件不能省略. [跟进训练]1．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间． [解] 当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2时，函数单调递减，解得：k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∵x ∈[－π，0]，∴取k ＝－1，此时－π＋π6≤x ≤－π＋2π3，即－5π6≤x ≤－π3．故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3．比较三角函数值的大小(1)si n 194°与cos 160°； (2)cos 32，sin 110，－cos 74；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8．[思路点拨] 先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°．∵0°<14°<70°<90°，函数y ＝sin x 在区间(0°，90°)内是增函数， ∴sin 14°<sin 70°，∴－sin 14°>－sin 70°， ∴sin 194°>cos 160°．(2)sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－74，∵0<π－74<π2－110<32<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110>cos 32，即－cos 74>sin 110>cos 32．(3)cos 3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝sin π8． ∵0<π8<3π8<π2，函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数，∴si n π8<sin 3π8，∴cos 3π8<sin 3π8．而0<cos 3π8<sin 3π8<1，函数y ＝sin x 在(0,1)内是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8．比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.[跟进训练]2．比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π．[解] (1)因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1， sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1<sin(π－2)，即cos 1<sin 2．(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π．与三角函数有关的值域问题1．如何求函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的值域？[提示] 借助函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的单调性求解．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，y ＝sin x 是单调递增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤sin x ≤sin π6，即－32≤sin x ≤12， ∴其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12． 2．如何求形如y ＝a sin x ＋b (a ，b ≠0)的值域？[提示] 令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，从而转化为y ＝at ＋b ，t ∈[－1,1]型的值域问题．3．如何求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的值域？[提示] 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，从而y ＝at 2＋bt ＋c ，t ∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．【例3】 (1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值；(2)求函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．[思路点拨] (1)由x 的范围⇒2x ＋π3的范围⇒借助单调性求y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最值；(2)由x 的范围⇒sin x 的范围⇒函数的值域． [解] (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，取得最大值2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，取得最小值0． (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1．当sin x ＝1时，取得最大值5；当sin x ＝12时，取得最小值52．∴函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5．数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．[跟进训练]3．(1)已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π(2)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 [(1)不等式f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 恒成立，不难发现f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为函数f (x )＝2sin x 的半个周期．因为f (x )＝2sin x 的周期为2π，所以|x 1－x 2|的最小值为π，故选C ．(2)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的图象，如图．由图象可知，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝4π3时，y min ＝－32，所以函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．]1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x 轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0．3．要重点掌握函数性质的应用 (1)求正、余弦函数的周期． (2)判断正、余弦函数的奇偶性． (3)求正、余弦函数的单调区间． (4)求正、余弦函数的值域． 4．本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．(2)求形如函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性． 1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶D ．既奇又偶A [∵2sin(－2x )＝－2sin 2x ， ∴函数y ＝2sin 2x 为奇函数．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－π12≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______．cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin470°．]4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． [解] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4．因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．。

三角函数图像与性质信息化教学设计徐丛森

信息化教学设计教师：徐丛森年级：高中章节：高中数学必修四第一章第四课时<<三角函数图像与性质>>信息化教学设计一、教材分析本节课教材是人教版必修四第四课（1.4）<<三角函数图像与性质>>，可将其划分为三小节来设计，即：<<正弦函数、余弦函数图像>>、<<正弦函数、余弦函数性质>>、<<正切函数的性质与图象>>。

本节课是学生学习了函数的定义、图象和性质，掌握了研究函数的一般思路，并对三角函数的基本知识比较熟悉的情况下，进一步利用函数图象来研究三角函数的有关性质，为学生以后利用数形结合的方式来解决有关三角函数方面的知识做铺垫,同时，可以对高中阶段系统研究指数函数、对数函数、导函数等做铺垫，进一步巩固和深化三角函数的概念和性质等知识，融会贯通前面所学的函数的基本性质，使学生得到较系统的掌握函数知识和研究函数的方法，掌握运用三角函数图像来解决有关问题。

二、学习对象特征分析（一）教学对象高中一年级下，该阶段的学生，经过之前的学习他们已经有了一定的数学基础，掌握了一定的数学学习方法。

有一定的分析和总结归纳能力，但对抽象概念的理解可能还有一些困难。

再加上本节内容思维量较大，对思维的严谨性和、图像的分析、归纳推理等能力有较高要求。

另外，学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来仍有一定难度。

（二）教学背景本课是高一年级下的一堂数学基础课程，本节课主要学习通过图像来研究三角函数的有关性质。

结合幻灯片和几何画板的综合使用来设计本节课，首先根据幻灯片展示出地球、太阳和月亮的周而复始的运动现象、潮汐变化的现象、物体做匀速圆周运动的现象，提出变化规律的周期性的概念，在通过简谐运动的现象，得到正弦或余弦函数图像。

在运用几何画板作出它们的图像，让学生分小组讨论，总结和概括它们的性质，用同样方法来研究正切图像和它的相关性质。

7.3三角函数的图像和性质课件高中数学苏教版必修第一册

当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,取当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最
最值
得最大值1;当且仅当x=-+2kπ 大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)
(k∈Z)时,取得最小值-1
时,取得最小值-1
奇偶性奇函数
偶函数
对称轴 x=kπ+,k∈Z
x=kπ,k∈Z
对称
中心
(kπ,0),k∈Z
,k∈Z
3
π
π
kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
6
3
π
π
所以原函数的减区间是[kπ-6,kπ+3](k∈Z).
π
π
(2)y=2sin 4 - =-2sin - 4 .
π
令 z=x- ,则 y=-2sin z,求 y=-2sin z 的减区间,即求 2sin z 的增区间.
4
π
π
所以- +2kπ≤z≤ +2kπ,k∈Z,
(k∈Z)上都是增函数,其值由-1 (k∈Z)上都是增函数,其值由-1
单调性增大到1;在每一个闭区间
增大到1;在每一个闭区间
[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)上都是减函 [2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 上都是减函
数,其值由1减小到-1
数,其值由1减小到-1
函数
正弦函数y=sin x
余弦函数 y=cos x
反思感悟与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路
1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性
(-1≤sin x≤1)求解.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为

高中数学高三三角函数的图象和性质【教案】

高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

【重点难点】1。

教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。

能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】函数的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。

(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。

三角函数的图像和性质(说课案)

三角函数的图像和性质(第一课时说课案) 下面我将从四个方面说明本节课的教学设计。

一、教材分析二、教学方法分析三、教学流程四、教学说明一、教材分析1、地位与作用：本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础。

对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。

2、学情分析：（1）知识与技能：学生已掌握了一些初等基本函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。

（2）心理与生理：高一上学期的学生已经对高中数学体系中函数问题的处理方法和过程有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。

3、教学目标（1）知识与技能目标：通过研究掌握正弦函数图像及其画法；掌握余弦函数图像；深刻理解五点作图法中五点（零点、最高点、最低点）的本质即：图像中走向趋势发生变化的点。

（2）过程与方法：通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使对正弦函数单调、对称、“周而复始”等性质的认知更为深刻。

（3）情感态度与价值观：用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。

4、重、难点分析：（1）重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数在]2,0[π的图象、“五点法”作图；（2）难点：如何由正弦函数在]2,0[π上的图象得到正弦函数在R上的图象；如何在正弦函数的图像上找出“五点”。

二、教学方法教学方法：演示法、示范教学法、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价。

学习方法：观察发现、合作交流、归纳总结、反馈模仿。

教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。

三、教学流程1、复习、引入：复习内容有：描点作函数图像的一般步骤；弧度定义；正、余弦函数定义；正弦线、余弦线；诱导公式。

设置的目的是让学生再次回顾弧度的定义（强调弧度与实数一一对应的关系）与正弦线（实质是函数值），为利用正弦线作出正弦函数的图像做准备。

三角函数的图像与性质集体备课

三角函数的图像与性质集体备课一、教材分析《三角函数的图像与性质》是高中《数学》必修④（人民教育出版社）第一章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质。

过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，为以后要学习的函数yAin(w某)的图象的研究打好基础。

因此，本节的学习有着极其重要的地位。

二、知识网络三、教学目标根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：1、知识与技能目标（1）会用单位圆中的三角函数线画出三角函数图象；（2）掌握正弦函数、余弦函数图象的“五点作图法”；（3）利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质2、过程与方法通过问题探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发展和创造历程。

培养学生观察、分析、表达能力及数形结合思想，提高学生数学素养。

3、情感态度与价值观通过探究体验知识的发生过程，使学生从中体味成功喜悦。

激发学生积极主动的学习精神和探索勇气。

通过画图及多媒体展示，使学生体验数学之美、体会数学学习的兴趣。

四、教学重点、难点重点：1、用单位圆三角函数线做出三角函数图象2、会用“五点法”作图画出三角函数图象3、利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质难点：用单位圆三角函数线画出三角函数的图象五、学情分析高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角的知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。

关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。

基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解三角函数。

2．利用单位圆的三角函数线作出三角函数在0,2上的图像。