洛伦兹速度变换
洛伦兹变换速度公式
洛伦兹变换速度公式
洛伦兹变换速度公式是v'x = (vx-vt)/(1-v^2/c^2)^(1/2)，v'y = vy，v'z = (vz-vt)/(1-v^2/c^2)^(1/2)。
其中，v是观察者的速度，c是光速，t是时间，x、y、z是观察者在静止坐标系中的坐标，x'、y'、z'是观察者在移动坐标系中的坐标。
这个公式可以用来计算在相对运动中两个坐标系之间的坐标变换。
例如，如果你在高速火车上向北方移动，那么从地面上的观察者看来，你的位置将会发生偏移。
同样地，如果你在高速移动的飞机上向地面上的某一点投掷一个物体，那么从地面上的观察者看来，物体的轨迹将会发生弯曲。
这些都是洛伦兹变换所描述的现象。
洛伦兹变换公式不仅在狭义相对论中有着重要的应用，在广义相对论中也有着重要的应用。
在广义相对论中，时空被认为是一种弯曲的几何结构，而洛伦兹变换则可以用来描述在不同的弯曲时空之间的坐标变换。
此外，洛伦兹变换也是现代物理学中许多重要概念的基础，如量子力学的波函数、粒子自旋、量子纠缠等，都与洛伦兹变换有关。
因此，洛伦兹变换是现代物理学中非常重要的一个概念。
广义相对论 任意速度洛伦兹变换公式
广义相对论任意速度洛伦兹变换公式洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。
设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标轴彼此平行，S′系相对于S系沿x方向运动，速度为v，且当t＝t′＝0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／
c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c为真空中的光速。
不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。
发现历史：
19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。
然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。
由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。
按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。
其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。
然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。
1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。
根据他的设想，观察者相对于以太以一定速
度运动时，以太（即空间）长度在运动方向上发生收缩，抵消了不同方向上的光速差异，这样就解释了迈克耳孙-莫雷实验的零结果。
洛仑兹变化推导
洛仑兹变化推导洛仑兹变换是描述物体在相对论运动中空间和时间的变换关系的理论，由德国物理学家洛仑兹提出。
洛仑兹变换是狭义相对论的核心内容之一，具有广泛的应用价值，例如在高能物理、粒子物理、天体物理等领域中的研究。
本文将从推导洛仑兹变换的基本原理、洛仑兹变换的定义和性质等三个方面进行说明。
一、推导洛仑兹变换基本原理在狭义相对论中，时间和空间是相对的，即不同惯性系之间的时间和空间是互相关联的。
为了描述不同惯性系之间的联系，洛仑兹提出了洛仑兹变换。
其基本原理可以从一个简单的假设开始：在任何惯性系中，光速都是不变的。
我们知道，根据相对论原理，不存在绝对地球参照系。
因此，在任何一台移动的汽车或飞机上，我们看到的物理现象都与地球上的参考系有所不同。
为了测量物体的速度，我们需要以某个参考物（如地球）作为基准。
然而，我们不能简单地通过测量物体在地球上的速度就来计算物体在汽车或飞机上的速度，因为这两个惯性系之间的速度是互相独立的。
假设我们在车上，想要测量路边的电缆杆的长度。
我们发现，当车辆在高速运动时，电缆杆的长度似乎变短了，这意味着它受到了空间的压缩。
此外，如果我们同时测量车内的钟和地面上的钟，我们会发现车内的钟似乎比地面上的钟走得快。
这也表明时间受到了影响。
这些现象都表明了空间和时间的相对性。
根据光速不变原理，我们可以首先假设在一个固定惯性系中，某个光源发出一束光线，随后在两段时间内，该光线在恒定速度的情况下通过了同一距离的空间。
假设一个物体A与该光源静止在该固定惯性系中，不难发现，光线传输的速度在A的观察中也是不变的，可以用光速C表示。
此后，如果我们假设一个物体B相对物体A在同一惯性系中做匀速直线运动，我们可以通过比较两个观察者的观点，来描述空间和时间的相对性。
二、洛仑兹变换的定义和性质根据洛仑兹变换的定义，如果在x 和t 的坐标系中，物体B与A关于x'轴做速率为v 的匀速运动，那么B在A所定义的坐标系中的4个坐标应该从$(ct',x')$ 转换到$(ct,x)$ 。
5-3洛伦兹速度变换公式
u v c v c
B
已知
由洛伦兹速度变换公式
u v c v c
B A
v c cc v c vu c ( c ) 1 1 c c
A A A 2 2
vA u v A u 1 2 vA c洛仑兹变换来自解：（2） A与B相向而行
y
S A S’
y
B
x （x ）
§5-3
相对论速度变换式
考虑一质点 P 在空间的运动，从 S 和 S′系来 看，速度分别是：
v v , v , v
x y z
v v , v , v
x y z
根据速度的定义：
dx dy dz ,v ,v v dt dt dt dx dy dz , v , v v dt dt dt
x y z x y z
洛仑兹变换
dx vx dt
v
x
dx dt
由洛仑兹坐标变换
v u dx dt u 1 c
x 2
2
u 1 v dt c dt u 1 c
2
x
2
2
上面两式之比
v u v u 1 v c
x x 2
x
洛仑兹变换
由洛仑兹变换知
dt dt
洛仑兹变换
已知
vA u v A u 由洛伦兹速度变换公式 1 2 vA c
A
u v c v c
B
v c c ( c ) v c vu ( c )c 1 1 c c
A A A 2 2
洛仑兹变换
解：（3） A与B同向而行
y
S A S’
大学物理下相对论-洛伦兹变换
100%
长度收缩
在相对论中，当物体以接近光速 运动时，其长度相对于静止观察 者会缩短，这种现象被称为长度 收缩。
80%
相对论的多普勒效应
当光源或观察者以接近光速运动 时，光波的频率或波长会发生改 变，这种现象被称为相对论的多 普勒效应。
相对论的速度合成法则
相对论的速度合成法则
当两个物体以接近光速相对运动时，它们的相对速度不能简单地通过矢量相加得到，而是需要使用洛伦兹变换进 行计算。
速度合成法则的应用
在高速运动和强引力场中，相对论的速度合成法则对于精确描述物体的运动状态非常重要。
相对论的质量-能量关系（E=mc^2）
质量-能量等效原理
在相对论中，物体的质量与能量是等效的，即存在一个固定的转换关系 E=mc^2。
质能方程的应用
质能方程在核能、粒子物理和宇宙学等领域有广泛的应用，如核反应释放能量、黑洞的形成和演化等 。
洛伦兹变换公式描述了不同参 考系之间的长度和时间的关系 ，是相对论中的基本公式之一 。
通过洛伦兹变换公式，可以推 导出相对论中的其他重要结论 ，如时间膨胀和长度收缩。
04
洛伦兹变换的应用
时间和空间的测量
80%
时间膨胀
在相对论中，当物体以接近光速 运动时，其内部的时间相对于静 止观察者会变慢，这种现象被称 为时间膨胀。
洛伦兹变换的性质
线性性质
洛伦兹变换是线性变换，即变换前后线性组合的结 果与单个变换的结果相同。
逆变换
如果知道从一个参考系到另一个参考系的洛伦兹变 换，则可以推导出从另一个参考系回到原参考系的 逆变换。
相对性
对于任意两个惯性参考系之间的变换，其逆变换与 原变换是等价的。
03
洛伦兹速度变换式
洛伦兹速度变换式
洛伦兹速度变换式是指在相对论中，两个参考系之间的速度变换关系。
它由荷兰物理学家洛伦兹于1904年提出，是狭义相对论的基本公式之一。
该公式描述了当两个参考系相对运动时，其中一个参考系中的物
体的速度在另一个参考系中的表现形式。
洛伦兹速度变换式的表达式为：
v' = (v - u) / (1 - v*u/c^2)
其中，v'表示在另一个参考系中观察到的物体速度；v表示在原来的参考系中观察到的物体速度；u表示两个参考系之间相对运动的速度；c
表示真空中光速。
这个公式可以解释为：当两个参考系相对运动时，一个在第一个参考
系中以速度v运动的物体，在第二个参考系中以速度v'运动。
这个公
式告诉我们，在相对论中，物体的速度不是简单地加起来，而是通过
这个公式进行计算。
需要注意的是，在经典力学中，两个参考系之间进行速度变换时使用
的是加法规则。
但在相对论中，使用加法规则会导致矛盾和错误。
因
此需要使用洛伦兹变换公式进行速度变换。
除了速度变换外，洛伦兹变换还包括时间变换和长度变换。
这些变换都是相对论中的基本公式，它们描述了物理量在不同参考系之间的表现形式。
总之，洛伦兹速度变换式是狭义相对论中的重要公式之一。
它描述了两个参考系之间的速度变换关系，并告诉我们在相对论中物体速度的计算方法。
理解和应用这个公式对于研究相对论和解决相关问题具有重要意义。
新的变换关系-洛伦兹变换
第十四章相对论基础
§14.4 新的变换关系—洛伦兹变换
《大学物理》校级精品课程教学团队
x
•一、洛伦兹坐标变换式
•爱因斯坦认识到时间和长度的概念没有绝对意义，他相对性原理和光速不变原理出发
v
-可得
ï
ïì--=21'vt x x u
ï
ï
ïì
-=1'u u x
洛伦兹速度变换公式如果
或
('u
)
u和
三、洛伦兹速度变换的意义
• 1 解决了电磁学与相对性原理的矛盾：爱因斯坦证明了在各个惯性系中，麦克斯韦方程组的形式相同。
• 2 解决了光速不变与相对性原理的矛盾：
• 3 相对性原理及其时空观是狭义相对论的思想实质，洛伦兹变换是其表现形式，通过光速不变原理将二者联系起来。
尽管在爱因斯坦之前一年，洛伦兹和庞加莱已经推出了洛伦兹变换，和长度收缩等假说，但是他们是从以太存在的电子论的角度得出的，所以没有得出狭义相对论。
四、洛伦兹变换和伽利略变换间的关系
•从洛伦兹变换可以看到，当两个惯性系之
间的相对速度
例两个婴儿A
同时出生。
若一宇宙飞船沿两医院的连线方向由飞行时，测得
员认为A、B
教材P161: 14-11。
电动力学中的洛伦兹力和洛伦兹变换
电动力学中的洛伦兹力和洛伦兹变换洛伦兹力和洛伦兹变换是电动力学中非常重要的概念。
在电学中，我们通过研究电荷的运动和电场、磁场的相互作用来探究电学现象。
然而，当电荷运动速度接近光速时，电场和磁场就会发生明显的变化，这时我们就需要引入洛伦兹力和洛伦兹变换来描述这些现象。
一、洛伦兹力洛伦兹力是指电荷受到电场和磁场的相互作用力，这种力可以用洛伦兹力公式来表示。
在公式中，F表示洛伦兹力，q表示电荷量，E表示电场强度，B表示磁场强度，v表示电荷的速度。
F=q(E+v×B)其中叉乘表示矢量叉积，它的结果是一个垂直于两个向量组成的平面的向量，它的大小等于两个向量的长度之积和这两个向量之间的夹角的正弦值的乘积。
洛伦兹力的存在使得电荷在电场和磁场中运动不再按照经典物理学中的“自由落体定律”运动，而是遵循洛伦兹运动方程。
这个方程是洛伦兹力、牛顿第二定律和爱因斯坦的狭义相对论联合起来的结果。
二、洛伦兹变换洛伦兹变换是狭义相对论中的一个基本理论，它描述了时间和空间的变换规律。
在狭义相对论中，时间和空间不再是绝对的概念，而是相对的。
因此，我们需要引入新的坐标系变换方式，以便描述物体在不同参照系中的运动状态。
洛伦兹变换的基本形式包括四个坐标变量：时间、x、y、z。
其中，时间和三维空间是相互关联的，所以我们需要将它们视为一个整体，称为四维时空。
洛伦兹变换是四维时空中坐标和速度的变换。
洛伦兹变换的公式包括两个方程式，一个是时间的变换，一个是空间的变换。
其中，时间的变换是特别重要的，在相对论中，时间的变化是绕着观察者运动方向的轴旋转的，而不是像经典物理学中的直线运动那样。
洛伦兹变换的公式如下：t' = γ(t - vx/c²)x' = γ(x - vt)y' = yz' = z其中，γ表示洛伦兹因子，它的值由速度v和光速c的比值确定：γ = 1 / √(1 - v²/c²)。
相对论洛伦兹变换公式
相对论洛伦兹变换公式相对论洛伦兹变换公式是描述相对论中物体间相对运动的公式，它的历史可以追溯到1905年爱因斯坦提出狭义相对论的时候。
该公式的推导基于爱因斯坦的两个假设：光速不变原理和相对性原理。
以下是相对论洛伦兹变换公式的详细介绍。
1. 事件的坐标系在相对论中，我们需要定义一个事件的坐标系，用来描述事件在空间和时间上的位置。
假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴正方向运动。
对于一个在S中发生的事件，我们可以用坐标(x,y,z,t)来描述它在S中的位置，用坐标(x',y',z',t')来描述它在S'中的位置。
2. 相对论洛伦兹变换公式相对论洛伦兹变换公式描述了一个事件在不同惯性参考系中的坐标之间的关系。
假设一个事件在S中的坐标为(x,y,z,t)，那么它在S'中的坐标可以用以下公式计算：x' = γ(x - vt)y' = yz' = zt' = γ(t - vx/c^2)其中，γ是洛伦兹因子，定义为γ=1/√(1-v^2/c^2)，c是光速，v是S'相对于S 的速度。
这个公式描述了空间和时间的相对性，即在不同的惯性参考系中，同一个事件的坐标会发生变化。
3. 洛伦兹变换的特殊情况当v=0时，相对论洛伦兹变换公式退化为经典的伽利略变换公式。
当v接近光速时，γ趋近于无穷大，时间t'会变得非常缓慢，这就是著名的时间膨胀效应。
同时，空间也会发生收缩，即一个在S中看来很长的物体，在S'中看来会变得更短。
4. 洛伦兹变换的应用相对论洛伦兹变换公式在物理学中有广泛的应用，例如在粒子物理学中，它被用来描述高速粒子的运动；在天文学中，它被用来解释星系的相对运动；在GPS 导航系统中，它被用来校正卫星和地面接收器之间的时间差等等。
总之，相对论洛伦兹变换公式是相对论中最基本的公式之一，它描述了物体在不同惯性参考系中的坐标之间的关系，是理解相对论的关键。
狭义相对论洛仑兹速度变换资料
由此可得洛仑兹速 度x分量的变换公式
dx
dx udt 1 u2 / c2
(ux u)dt , 1u2 / c2
dt
dt udx / c2 1u2 / c2
(1 uvx / c2 )dt , 1u2 / c2
vx
vx u . 1 vxu / c2
{范例13.3} 洛仑兹速度变换
[讨论]
{范例13.3} 洛仑兹速度变换
(1)根据洛仑兹坐标变换，推导x方向上速度变换公式。A飞船 在地面上以0.5c的速度运动，B飞船在地面上以0.8c的速度同 向运动，那么B飞船相对于A飞船的速度是多少？如果B飞船 在地面上以0.8c的速度相向运动，结果又如何？ (2)根据洛仑 兹坐标变换，推导y方向或z方向上速度变换公式以及合速度
vx
0.8c 0.5c 1 0.8 0.5
0.5c
可见：在同向运动时，B飞船相对A飞船的速度大于0.3c。
如果B飞船与A飞船相向运动，则vx = -0.8c，可得B飞船在S'系中的速度
vx
0.8c 0.5c 1 (0.8) 0.5
0.9286c
在相向运动时，B飞船相对A飞船的速度仍然小于光速。
当u = -c时，有 vx' = c，也说明 相同的问题。
{范例13.3} 洛仑兹速度变换
(2)根据洛仑兹坐标变换，推导y方向或z方向上速度变换公式
以及总速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂
直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动。求 在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？
vx
1
vx vxu
u /c
2
,
vy
vy 1 u2 1 vxu /
洛伦兹变换的速度公式
洛伦兹变换的速度公式洛伦兹变换是描述相对论情况下空间时间坐标之间的关系的数学方法。
在狭义相对论中，当观察者的参考系以速度v相对于光速运动时，由于光速不变原理，时间和空间会发生相对论效应的变换。
速度变换公式推导假设存在两个参考系，分别为S系和S’系，S’系以速度v相对于S系运动。
考虑一个运动速度为u相对于S系的物体，我们要求其在S’系中的速度u’。
根据洛伦兹变换，时间的变换公式为：$$ \\Delta t' = \\gamma (\\Delta t - \\frac{v}{c^2} \\Delta x) $$空间的变换公式为：$$ \\Delta x' = \\gamma (\\Delta x - v \\Delta t) $$其中，$\\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 - \\frac{v^2}{c^2}}}$。
考虑速度是空间坐标对时间的导数，即$u = \\frac{dx}{dt}$，$u' =\\frac{dx'}{dt'}$，代入变换公式，得到速度变换的公式为：$$ u' = \\frac{dx'}{dt'} = \\frac{\\gamma(dx - vdt)}{\\gamma(dt -\\frac{v}{c^2}dx)} $$将dx=udt代入，整理得到：$$ u' = \\frac{U - v}{1 - \\frac{vU}{c^2}} $$其中，U为速度u的分量，即U = u/c。
结论洛伦兹变换的速度变换公式表达了相对论情况下，观察者在不同参考系中测得的物体速度之间的关系。
这个公式揭示了在相对论情况下速度的变换会受到光速不变原理的影响，导致速度的合成与经典物理中不同。
通过相对论性的速度变换公式，我们可以更好地理解相对论情况下的运动问题。
洛伦兹速度变换公式
洛伦兹速度变换公式洛伦兹速度变换公式是相对论中的一项重要公式，描述了在相对论框架下两个参考系之间速度的转换关系。
这个公式的提出，使得我们能够更好地理解和描述高速物体的运动，为相对论提供了坚实的数学基础。
在相对论中，由于光速是一个不变量，不同参考系下的时间和空间的测量结果会发生变化。
而洛伦兹速度变换公式就是用来描述这种变换关系的数学表达式。
洛伦兹速度变换公式的表达形式如下：v' = (v - u) / (1 - uv/c^2)其中，v'是相对于参考系S'的物体的速度，v是相对于参考系S的物体的速度，u是两个参考系之间的相对速度，c是光速。
这个公式告诉我们，当一个物体以速度v在参考系S中运动，而参考系S'以速度u相对于S运动时，物体在参考系S'中的速度v'可以通过洛伦兹速度变换公式来计算。
需要注意的是，洛伦兹速度变换公式只适用于相对论范畴内的速度转换，即当物体的速度接近光速时才需要使用这个公式。
对于低速情况下的速度转换，可以使用经典的加法和减法来计算。
洛伦兹速度变换公式的提出，不仅为我们理解相对论提供了数学工具，也为实际应用提供了指导。
例如，在高速相对论实验中，我们需要考虑光速不变的特性，使用洛伦兹速度变换公式来计算实验结果。
除了洛伦兹速度变换公式，洛伦兹变换还包括时间变换公式和空间变换公式。
这些公式一起构成了洛伦兹变换的完整描述，帮助我们更好地理解相对论中的时空结构和运动规律。
总结起来，洛伦兹速度变换公式是相对论中的一项重要公式，用于描述不同参考系之间速度的转换关系。
它的提出为我们理解相对论提供了数学工具，也为实际应用提供了指导。
通过深入研究和理解洛伦兹速度变换公式，我们可以更好地理解高速物体的运动规律，推动科学的发展和进步。
4.2相对论动力学基础
m
v
C
v0
o
t
vt v0 at
根据相对论的速度变换公式可知任何物体的运动
速度均不可能超过光的速度, 此矛盾如何解决 ?
§4.5 相对论动力学基础 在经典力学中质量是不变的,和 物体的运动无关,在相对论中质量 是否是不变的呢？ 4.5.1 相对论质量和动量 1.质速关系
M分裂成两块
K：分裂前 M：v 0
当 v按1）照相狭对c义论相时动对量论原pp理和m洛1vm伦0兹v m变2 0换v的m要0求v mv
2）相对论质量 m m0
m
1 2 m0
m(v) 在不同惯性系中大小不同 . o
Cv
静质量 m0 ：物体相对于惯性系静止时的质量 .
静质量 m0 ：物体相对于惯性系静止时的质量 .
m 1 m0 1 ( v )2
远方观察者
的光线所组成,而这些光线并不
看到物体相对于它静止
是同时自物体发出的.
的形状略有转动.
相对论的动量和能量
一、动量与速度的关系 二、狭义相对论力学的基本方程 三、质量与能量的关系
牛顿定律与光速极限的矛盾
物体在恒力作用下的运动
F
dp
d(mv)
dt dt
经典力学中物体的质量
与运动无关
a
F
3 8
v4 c4
相对论总能量：
E mc2
质能关系(mass-energy relation)： 反映质量与能量的不可分割性,
Ek
1 2
m0 v 2
3 8
m0
v4 c4
任何物体系统,可以由质量或 者能量来表征其数量.
v c时
Ek
1 2
m0 v 2
13. 2 洛伦兹变换
推导过程略 y
S
2
y
u
P x x
O
S
O
x ( x ut ) (13-23) y=y z=z ux t (t 2 ) (13-25)
c
z
z O、O重合时， t=t=0
z1 z1
z 2 z2
“2”“1” ?
例1．在S 惯性系中观测到相距x=9108m的两地点相隔t=5s 发 生两事件，而在相对S系沿x方向匀速运动的S系中发现此两事件 恰好发生在同一地点。试求在S系中此两事件的时间间隔。
x = 9108m t =5 解： S：
S： x=0，
2
4) 物体运动速度的极限为 c 。 u<c ux u t (t 2 0 =1 5) 当u<<c时， c c x=xut y =y z =z t =t 洛伦兹变换 伽利略变换 经典力学是相对论力学的极限情况，仅在u<<c时成立。 uc时，用相对论； u<<c时，可以用经典理论。
带撇与不带撇互换、负号与正号互换
即：同一个研究“对象”被两个参 考系的观察者研究。 “二看一”！ 若不是同一事件，则无此关系。
1 说明： 1) 洛伦兹变换是同一事件在两个惯性 u c 1 系中的两组时空坐标间的变换方程。
“二看一”！ x ( x ut ) 2) 各惯性系的时间、空间度量基准必须一致。 y=y 各惯性系中的观察者、钟、尺必须相 对各自惯性系保持静止。 3) 时间、空间和物质运动密不可分！
A
x
A
B A
S：x=0 t=t=? 1 v x ( t ) t = t 2 c 1 2
洛伦兹速度变换
解得A相对于K'的速度，即相对于B的速度
u u'v 0.994c 1 vu' / c2
2016 4-2、相对论速度变换
一、前节回顾
㈠洛伦兹变换公式
正变换 x' x vt 1 (v / c)2
y' y
z' z
t'
t
v c
x
2
1 (v / c)2
反变换 x x'vt' 1 (v / c)2
y y'
或
z z'
t
t
'
v x' c2
1 (v / c)2
1
v ux c2
'
从相对论速度变换公式，可以得出下列结论：
⑴当速度u,v远小于光速c时，相对论速度变换公式就转化为伽利略 速度变换公式u'=u-v。说明在一般低速情况下，伽利略速度变换是 适用的，只有当u,v接近光速时，才需要相对论速度变换。
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
cv 1 cv / c2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
㈡伽利略变换
伽利略变换公式
x' x vt y' y z' z t' t
6-4 洛伦兹速度变换
6-4 洛伦兹速度变换
由洛伦兹变换知
dy dy dt dt dt dt dt
由两式得
dy
又
u 1 2 vx dt c dt u2 1 2 c
vy u2 vy 1 2 u c 1 2 vx c vz u2 v 1 2 z u c 1 2 vx c
第6章 狭义相对论基础
同理
6-4 洛伦兹速度变换
洛伦兹速度变换式
正变换 逆变换
vx u v u 1 2 vx c
' x
vy u v 1 2 y u c 1 2 vx c
2
2 v u z vz 1 2 u c 1 2 v x c
2 v u y vy 1 2 u c 1 2 v x c 2 v u z vz 1 2 u c 1 2 v x c
6-4 洛伦兹速度变换
定义
dx vx dt
dx v x dt
由洛伦兹 坐标变换
vx u dx 2 dt u 1 2 c
u 1 v x 2 dt c 2 dt u 1 2 c
上面两式之比
vx u v x u 1 2 vx c
第6章 狭义相对论基础
第6章 狭义相对论基础
v u vx u ' 1 2 vx c
' x
6-4 洛伦兹速度变换
例
设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行， 如
果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体相对飞 船速度为0.90c 。问：从地面上看，物体速度多大？
S S
u
第6章 狭义相对论基础
v x
x x
6-4 洛伦兹速度变换
1.6.1洛伦兹速度变换
1.6.1洛伦兹速度变换写在前⾯的⼀些废话看到这个题⽬，你可能会问：啥是洛伦兹速度变换？某百科上对变换的解释是⽤同类之物交换或代替，在这⾥我们是指位置与时间的关系与因为⾼速⽽发⽣的变划，所以我们只在相对论中讨论时间的变化。
⽽速度变换则是在⾼速中，某速度相对另⼀参照系速度的变换（这⾥全是我写的，所以很不严谨，如有建议请提出，谢谢！）洛伦兹速度变换假设有两个参照系，其中S系静⽌，S′系以相对S系u的速度运动。
在t=t′=0时，O与O′重合，在S′系中物体沿x′轴从O′以速度v′正向运动，经过时间t′后，该物体到达x′=v′t′，那么在S系中，该物体的运动速度为什么？这个问题需要讨论两个问题：位置的变换和时间的变换（即我们之前讲过的爱因斯坦延缓）在S系中：x=(v'·t'+u·t')·γ=(v'+u)·t'·γt=(t'+\frac{u}{c^2}x')·γ=(t'+\frac{u}{c^2}v'·t')·γ=(1+\frac{u}{c^2}v')·t'·γ按照正常的速度=路程÷时间我们可以得出：v=\frac{x}{t}=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}这就是洛伦兹速度变换逆变换将这个式⼦翻⼀下即可得出正变换：v'=\frac{x'}{t'}=\frac{v'-u}{1-\frac{u}{c^2}v'}那么如果u<<c（“<<”为远⼩于），\frac{u}{c^2}就会趋近于0则\left\{ \begin{matrix} v=v'+u \\ v'=v-u \end{matrix} \right.就是我们了解的伽利略变换体系了那我们就不啰嗦了，直接给出完整的洛伦兹速度变换公式（S'系相对S系沿x轴⽅向以速度u运动）\begin{aligned} &正变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x} \\ &v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \\&v_z'=\frac{v_z}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ &逆变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x=\frac{v'+u}{1+\frac{u} {c^2}v'} \\ &v_y=v_y'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \\ &v_z=v_z'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \end{aligned} \end{matrix} \right. \end{aligned}既然得到了这惊天地泣⿁神的神奇公式，那我们就做⼏道例题，夯实你的学习成果吧例题⼀（纯套公式）这道题是我很早以前就写好了的，并向我的⼀位同学讲过写相对论随笔的设想，他表⽰如果写到这⾥时知名度较⾼的话可以打⼀点⼴告，以下摘⾃他的⼿稿（很遗憾这位同学已经转到我们学校的其他校区了，可能看不到这篇⽂章了）：XX空运公司飞机以u=0.6c相对地⾯飞⾏，XX快递，使命必达。
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其逆变换式为：
uz
'
uz 1
1
v ux c2
2
u x
ux 'v
1
v ux c2
'
u
y
uy 1
1
v ux c2
'
2
u
z
uz ' 1 2
1
v ux c2
'
5
从相对论速度变换公式，可以得出下列结论：
⑴当速度u,v远小于光速c时，相对论速度变换公式就转化为伽利略 速度变换公式u'=u-v。说明在一般低速情况下，伽利略速度变换是 适用的，只有当u,v接近光速时，才需要相对论速度变换。
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
cv 1 cv / c2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
6
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
x' x vt y' y z' z t' t
推倒得速度变换公式 vpk vpk' vkk'
3
二、相对论速度变换
• 类似于伽利略变换导出速度变换公式，洛伦兹变换也可导出相对论速度变换
公式： 在K坐标系中速度表达式：
ux
dx dt ,uy
dy dt ,uz
dz dt
在K'坐标系中速度表达式：
ux
2016 4-2、相对论速度变换
1
一、前节回顾
㈠洛伦变换公式
正变换 x' x vt 1 (v / c)2
反变换 x x'vt' 1 (v / c)2
y' y
y y'
z' z
或
z z'
t'
t
v c
x
2
1 (v / c)2
t
t
'
v x' c2
1 (v / c)2
2
㈡伽利略变换
伽利略变换公式
7
解得A相对于K'的速度，即相对于B的速度
u u'v 0.994c 1 vu' / c2
8
'
dx' dt'
,uy
'
dy' dt'
,uz
'
dz' dt'
结合洛伦兹变换可得：
dx' dx vdt , dt'
1 2
1
1 2
dt
v dx
c2
因此可推导出：
ux
'
dx' dt'
dx vdt
dt
vdx c2
ux 1
v
v ux c2
4
同理，可推导出：
uy'
uy 1 2
1
v ux c2