ch10-2离散数学第十章基本图类及算法习题答案

2013-1-20
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而删去这两个点后, 至多删去图 G 中的 5 条边。 由于图G是具有6个顶点, 12条边的无 向简单图, 删去顶点v1,v2后, 得到的子图为: 具有4个结点, 至少7条边的无向简单图, 但 这样的无向简单图不存在(4阶无向简单图最 多有6条边), 由此证明图 G中任意不同两点的 度数之和大于等于6, 图G是哈密顿图。
该图的邻接和可达性矩阵为
0 0 P 0 0 0
v3
v4
v5
采用Warshall 算法来求可达性 矩阵P
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v2
0 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
二、基本要求
1、熟练掌握树的六个等价命题 2、熟练掌握利用Kruskal算法求最小生成树 3、熟练掌握判定平面图的三个必要条件 4、熟练掌握判定欧拉图和欧拉道路的充分必要 条件 5、熟练掌握判定哈密顿图和哈密顿道路的几个 充分和必要条件
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设G是一个（n，n+1）的无向图，证明G中存在 顶点u，d（u）≥3。 证明：反正法，假设,则G的总点度上限为 max(Σ(d(u)) ≤2 n，根据握手定理，图边的上 限为max(m) ≤ 2n/2=n。与题设m = n+1，矛盾。 因此，G中存在顶点u，d（u）≥3。
0 0 PT = 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
v1
v3
v4
v5
1 0 P⊙PT 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
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费用=18
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设图G是具有6个顶结点、12条边的无向 简单图, 证明图 G 是哈密顿图。
证明：已知一个图是哈密顿图的充分条件是： 图中任意不同两点的度数之和大于等于n。 （反证法）假设图G中存在两个结点v1,v2, 其度数之和不大于等于6, 即 d(v1)+ d(v2) ≤5。
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利用可达性矩阵求右图的 所有强分图。 解
0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0
v2
v1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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证明：具有6个结点、12条边的简单连通平 面图，它的面的度数都是3。 证： 由欧拉公式， n-m+f=2 ∴ 6-12+f=2 f=8 即面数为 8， ∵对每个面，其度数≥ 3 ∴总面度≥ 3×8=24 ∵总面度=2×m=24 ∴每个面的度数为 3
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G2中一共有多少条长度为2的道路？ 0 1 1 0 v1 v4 v2
i=1 j=1 (2) aij = 11 4 4
G2
v3
i=1 (2) aii = 5 4
(3) aij i=1 j=1
4
4
பைடு நூலகம்
= 16
i=1
(3) aii = 3
4
G2中长度为2的通路（含回路）总数为11，其中5条为回路。 G2中长度为3的通路（含回路）总数为16，其中3条为回路。
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道路、道路的长度、零道路、简单道路、回 路、基本道路、圈、距离、连通图、非连通 图、图的支、点割集、基本割集 、割点、边 割集、基本边割集、割边、连通度、边连通 度、可达的、单向连通图、强连通图、弱连 通图、强分图、单向分图、弱分图、邻接矩 阵、单位矩阵、可达性矩阵
这说明，v1在一个强分图中，v2在 一个强分图中，v3,v4和v5在一个强分图 中，因此该图的所有强分图分别为结点 子集{v1},{v2}，{v3,v4,v5}导出的子图。
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证明当每个结点的度数大于等于 3 时，不存 在有 7 条边的连通简单平面图。 证明:(反证法) 设图的边数m=7 由题意，d(Vi) ≥3，Vi为结点 则由握手定理， 2m d (Vi ) i 则 14 2 7 d (Vi ) 3n n i 3 ∴结点的个数不超过4个，而结点个数为4的完全 图的边数为 6, 故应有环或平行边，不是简单连通平面图。
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1 0 1 1 A(G 2 ) = 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 (A(G 2 ))2 = 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 (A(G 2 ))3 = 2 0 2 0 0 0 2 1 1 0 1 2 1 1
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二、基本要求
1、熟练掌握图论基本（握手）定理及推论 2、熟练掌握邻接矩阵、可达性矩阵的计算方法 3、熟练掌握强分图的计算方法 4、熟练掌握利用邻接矩阵计算图中道路和回路 数目的方法
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第十一、十二、十三章
一、基本概念
树、树叶、枝点、生成树、树枝、树补 边、最小生成树、有向树、根树、（有序树、 子树、二叉树、完全二叉树、最优二叉树）、 平面图、面、对偶图、欧拉道路、欧拉图、 哈密顿道路、哈密顿圈、哈密顿图
有 6 个村庄 Vi ， i=l，2，…，6 欲修 建道路使村村可通。现已有修建方案如下带权 无向图所示，其中边表示道路，边上的数字表 示修建该道路所需费用，问应选择修建哪些道 路可使得任二个村庄之间是可通的且总修建费 用最低?要求写出求解过程，画出符合要求的 最低费用的道路网络图并计算其费用。
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第十章
一、基本概念
无序对、结点、边、阶、无向图、有向图、 邻接点、邻接边、环、孤立结点、零图、平 凡图、(n，m)图、简单图、广义图（伪图）、 多重图、平行边、赋权图、无权图、结点的 度数、出度、入度、正则图、k度正则图、子 图、真子图、生成子图、平凡子图、删点子 图、删边子图、点诱导子图、边诱导子图、 完全图、补图、二部图、完全二部图、图的 同构