ch10-2离散数学第十章基本图类及算法习题答案

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离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)

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离散数学(第⼆版)课后习题答案详解(完整版)习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题?在是命题的句⼦中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四⼤发明.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(2)5 是⽆理数.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(3)3 是素数或 4 是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.(4)2x+ <3 5 答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2 与3 是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(11)只有6 是偶数,3 才能是2 的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008 年元旦下⼤雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四⼤发明.(2)p: 是⽆理数.(7)p:刘红与魏新是同学.(10)p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.(13)p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1)5 是有理数.答:否定式:5 是⽆理数. p:5 是有理数.q:5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.(2)25 不是⽆理数.答:否定式:25 是有理数. p:25 不是⽆理数. q:25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.(3)2.5 是⾃然数.答:否定式:2.5 不是⾃然数. p:2.5 是⾃然数. q:2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.(4)ln1 是整数.答:否定式:ln1 不是整数. p:ln1 是整数. q:ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 与5 都是素数答:p:2 是素数,q:5 是素数,符号化为p q∧,其真值为 1.(2)不但π是⽆理数,⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答:p:π是⽆理数,q:⾃然对数的底e 是⽆理数,符号化为p q∧,其真值为1.(3)虽然2 是最⼩的素数,但2 不是最⼩的⾃然数.答:p:2 是最⼩的素数,q:2 是最⼩的⾃然数,符号化为p q∧? ,其真值为1.(4)3 是偶素数.答:p:3 是素数,q:3 是偶数,符号化为p q∧,其真值为0.(5)4 既不是素数,也不是偶数.答:p:4 是素数,q:4 是偶数,符号化为? ∧?p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 或3 是偶数.(2)2 或4 是偶数.(3)3 或5 是偶数.(4)3 不是偶数或4 不是偶数.(5)3 不是素数或4 不是偶数.答: p:2 是偶数,q:3 是偶数,r:3 是素数,s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨,其真值为1.(2)符号化:p r∨,其真值为1.(3)符号化:r t∨,其真值为0.(4)符号化:? ∨?q s,其真值为1.(5)符号化:? ∨?r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答:p:⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果,q:⼩丽从筐⾥拿⼀个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答:p:刘晓⽉选学英语,q:刘晓⽉选学⽇语,符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p:王冬⽣于1971 年,q:王冬⽣于1972 年,说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表:合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有;(1)只要, 则;, 才有;(3)只有, 才有;(4)除⾮, 否则;(5)除⾮(6)仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .(1);(2);;(3);(4);(5);(6);(7).答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.(1);(2);(3);(4).答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.(1)若2+2=4,则地球是静⽌不动的;(2)若2+2=4,则地球是运动不⽌的;(3)若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存;(4)若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)2+2=4 当且仅当3+3=6;(2)2+2=4 的充要条件是3+3 6;(3)2+2 4 与3+3=6 互为充要条件;(4)若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.(1)若今天是星期⼀,则明天是星期⼆;(2)只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆;(3)今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆;(4)若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.(1)刘晓⽉跑得快,跳得⾼;(2)⽼王是⼭东⼈或者河北⼈;(3)因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服;(4)王欢与李乐组成⼀个⼩组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐;(8)如果天下⼤⾬,他就乘班车上班;(9)只有天下⼤⾬,他才乘班车上班;(10)除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2 与4 都是素数,这是不对的;(13)“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q:⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q 真值为1,r 真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下⾯⼀段论述是否为真:“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解:p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t:6 能被 4 整除符号化为: ,该式为重⾔式,所以论述为真。

离散数学课后习题及答案

离散数学课后习题及答案

离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一,它涵盖了很多重要的概念和理论。

为了更好地掌握离散数学的知识,课后习题是必不可少的一部分。

本文将介绍一些常见的离散数学课后习题,并提供相应的答案,希望对读者有所帮助。

一、集合论1. 设A={1,2,3},B={2,3,4},求A∪B和A∩B的结果。

答案:A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5},求(A∪B)∩C的结果。

答案:(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假:a) 若2+2=5,则地球是平的。

b) 若今天下雨,则我会带伞。

c) 若x>0,则x^2>0。

答案:a)假,b)真,c)真。

2. 用真值表验证下列命题的等价性:a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案:a)等价,b)等价。

三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)},求R的逆关系R^-1。

答案:R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2,g(x)=2x+1,求复合函数f(g(x))的表达式。

答案:f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G,其邻接矩阵为:0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。

答案:度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图:a) G1的邻接矩阵为:0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为:0 1 01 0 10 1 0答案:a)不是连通图,b)是连通图。

五、组合数学1. 从10个不同的球中,任选3个,求共有多少种选法。

答案:C(10,3)=120种选法。

2. 求下列排列的循环节:a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案:a)循环节为(123)(45)(67),b)循环节为(12)(34)(56)(78)。

离散数学第十章基本图类及算法习题答案

离散数学第十章基本图类及算法习题答案

习题十三 5
v1
求图中,中国邮递员问题的解。 2
3
3
v6
v5
4
1
v2
v10 2 v11
v7
65 3
11 1
5 1 v9
v8 4
v4
2
v3
解:图中有4个奇数度结点v1,v6,v9,v3, 求两两之间最短长度:
Pv1v6=3 (v1v6), Pv1v9=7 (v1v2v3v4v9), Pv1v3=4 (v1v2v3), Pv6v9=7 (v6v7v8v9), Pv3v6=6 (v3v8v7v6), Pv3v9=3 (v3v4v9), Pv1v6和Pv3v9满足最小性要求, 复制v1v6和v3v4v9的边,图中欧拉回路即为所求解。
证明: ()如果割边e不在G的某个生成树中,则G- e仍有生成树, 即仍连通,与割边的定义相矛盾.
()如果e是每个生成树的公共边,则去掉e后G- e不再连通,即e 为G 的割边.
习题十一 2
树T中最长道路的起点和终点必都是T的叶. 证明: 设u到v的道路是树中最长道路,如果u或v不是叶,由道
路唯一性,必有u或v的邻接结点不在该道路上,因此这条 道路可延长至w,与最长条件矛盾。
习题十三 2
设G=(V,E)是一个具有2k(k>0)个奇数度结点的连通图。证 明:G中必存在k条边不相重的简单道路P1,P2,…,Pk, 使得 E=E(P1) E(P2) … E(Pk).
证明:把2k个奇数度结点分成两两一组的k组,然后每组结点新 加一条边,所得图为欧拉图,故存在欧拉回路。
再去掉欧拉回路中的k条新加入的边,得到k条互无重复边的道 路P1,P2,…,Pk, 即为所求。
证明:连通图G是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二 部图。

离散数学课后习题答案第四章

离散数学课后习题答案第四章

第十章部分课后习题参考答案4.判断以下集合对所给的二元运算是否封闭: (1) 整数集合Z 和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元 (2) 非零整数集合普通的除法运算。

不封闭(3) 全体n n ⨯实矩阵集合(R )和矩阵加法与乘法运算,其中n2。

封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律; 加法单位元是零矩阵,无零元;乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;(4)全体n n ⨯实可逆矩阵集合关于矩阵加法与乘法运算,其中n 2。

不封闭(5)正实数集合和运算,其中运算定义为:不封闭 因为 +∉-=--⨯=R 1111111 (6)n关于普通的加法和乘法运算。

封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 加法单位元是0,无零元;乘法无单位元(1>n ),零元是0;1=n 单位元是1 (7)A = {},,,21n a a a n运算定义如下:封闭 不满足交换律,满足结合律, (8)S =关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 (9)S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律 (10)S =,S 关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。

见上题7.设 * 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,,X * Y = min ( x ,y ),即x 和y 之中较小的数.(1)求4 * 6,7 * 3。

4, 3(2)* 在+Z 上是否适合交换律,结合律,和幂等律? 满足交换律,结合律,和幂等律(3)求*运算的单位元,零元与+Z 中所有可逆元素的逆元。

单位元无,零元1, 所有元素无逆元8.Q Q S ⨯=Q 为有理数集,*为S 上的二元运算,<a,b>,<x,y >S 有< a ,b >*<x ,y> = <ax ,ay + b>(1)*运算在S 上是否可交换,可结合?是否为幂等的? 不可交换:<x,y>*<a,b >= <xa ,xb +y>≠< a ,b >*<x ,y>可结合:(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax ,ay + b>*<c,d>=<axc ,axd +(ay+b) > <a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc ,a(xd +y)+b > (<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>) 不是幂等的(2)*运算是否有单位元,零元? 如果有请指出,并求S 中所有可逆元素的逆元。

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

-
(10)
p:天下大雨
q:他乘车上班
-
(11)
p:下雪
q:路滑
r:他迟到了
(12)
p:2 是素数
q:4 是素数
-
(13)
p:2 是素数
q:4 是素数
-
15.设 p:2+3=5. q:大熊猫产在中国. r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值:
(1)
(2)
(3) (4) 解:p 真值为 1,q 真值为 1,r 真值为 0. (1)0,(2)0,(3)0,(4)1 16.当 p,q 的真值为 0,r,s 的真值为 1 时,求下列各命题公式的真值: (1) (2) (3) (4)
24.已知 的类型.
解:∵
是重言式,试判断公式

是重言式,而要使该式为重言式,其成真赋值只有
11,∴ 25.已知
解:∵
的类型.
都是重言式。
Hale Waihona Puke 是矛盾式,试判断公式及
是矛盾式,而要使该式为矛盾式,其成假赋值
只有 00,∴
都是重言式。
26. 已 知 解:
是重言式, 及
是矛盾式,试判断 的类型.
是矛盾式。
是重言式。
q:老王是河北人
-
(3)
p:天气冷
p:王欢与李乐组成
(4)
一个小组
p:李辛与李末是兄
(5)

q:我穿羽绒服 -
-
p:王欢与李乐组成一个
-
小组
-
p:李辛与李末是兄弟
(6) p:王强学过法语
q:刘威学过法语
-
(7)
p:他吃饭
q:他听音乐
-

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
答:否定式:ln1 不是整数. p:ln1 是整数. q:ln1 不是整数. 其否定式 q 的真值为 1.
4.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2 与 5 都是素数
答:p:2 是素数,q:5 是素数,符号化为 p q∧ ,其真值为 1.
(2)不但 π 是无理数,而且自然对数的底 e 也是无理数. 答:p:π 是无理数,q:自然对数的底 e 是无理数,符号化为 p q∧ ,其真值为 1.
若 p 为真,则真值为 0;若 p 为假,则真值为 1
14.将下列命题符号化:
(1) 刘晓月跑得快,跳得高;
(2) 老王是山东人或者河北人;
(3) 因为天气冷,所以我穿了羽绒服;
(4) 王欢与李乐组成一个小组;
(5) 李欣与李末是兄弟;
(6) 王强与刘威都学过法语;
(7) 他一面吃饭,一面听音乐;
(8) 如果天下大雨,他就乘班车上班;
1
0
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0
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1
此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值: (1)
(2)
(3)
(4)
p
q
解:
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
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0
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0
1
由真值表得:(1)的成真赋值是 01,10,11(2)的成真赋值是 00,10,11

离散数学答案版(全)

离散数学答案版(全)

1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质: (1) P↑P ﹁(P∧P) ﹁P; (2) (P↑Q)↑(P↑Q) ﹁(P↑Q) P∧Q; (3) (P↑P)↑(Q↑Q) ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质: (1)P↓P ﹁(P∨Q) ﹁P; (2) (P↓Q)↓(P↓Q) ﹁(P↓Q) P∨Q; (3) (P↓P)↓(Q↓Q) ﹁P↓﹁Q ﹁(﹁P∨﹁Q) P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中,将联结词∧换成∨,将 ∨换成∧,如果 A 中含有特殊变元 0 或 1,就将 0 换成 1,1 换成 0,所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例:公式( P∨Q)∧(P∨ Q) 的对偶式为: ( P∧Q)∨(P∧ Q) 定理 设 A 和 A*互为对偶式,P1,P2,…,Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1

离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案 第十章

离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案 第十章

离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案
第十章
图的矩阵表示
10.1 (a) (b) 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 10.2 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 −1 1 0 0 0
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离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案

1 1 (8) P (D) = 1 1 1 1 10.5
1 1
1 1 1 1 1

1 1 1
1 −1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0 0
e6 为桥, 易知 G 的生成树必含 e6 。因此只需求出 G − e6 的生成树。 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 G − e6 的关联矩阵为 M = 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 以 v4 为参考点, 得基本关联矩阵为 Mf = 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1
A1 = 1 0 A4 = 0 2 2
0
1 0 1 0 4 0
0
1 0 2
A2 = 0 2 1 0 A5 = 4 0 0 4 0 4
1 0
1
0 1 0
A3 = 2 0 0 2 A6 = 0 8 4 0 4 0

离散数学第10章习题答案

离散数学第10章习题答案

第10章习题答案1.解 (1)设G 有m 条边,由握手定理得2m =∑∈Vv v d )(=2+2+3+3+4=14,所以G 的边数7条。

(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数,由握手定理的推论知,它们都不能成为图的度数列。

(3) 由握手定理得∑∈Vv v d )(=2m =24,度数为3的结点有6个占去18度,还有6度由其它结点占有,其余结点的度数可为0、1、2,当均为2时所用结点数最少,所以应由3个结点占有这6度,即图G 中至多有9个结点。

2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人,以1v 、2v 、…、n v 为结点,当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边,这样得到一个简单图G 。

由握手定理知∑=nk kv d 1)(=3n 必为偶数,从而n 必为偶数。

3. 解 由于非负整数列d =(d 1,d 2,…,d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2),所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成无向图的度数列。

(1)、(2)、(3)是可简单图化的。

其对应的无向简单图如图所示。

(5)是不可简单图化的。

若不然,存在无向图G 以为1,3,3,3度数列,不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ,且d(1v )=1,d(2v )=d(3v )=d(4v )=3。

而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻,设1v 与2v 相邻,于是d(3v )=d(4v )=3不成立,矛盾。

4.证明 因为两图中都有4个3度结点,左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接,而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接,所以这两个无向图是不同构的。

5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个,如图所示,其中(8)~(16)为其生成子图。

6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。

(1)(3)(5)(6)(9)(10)(13)(14)(2)图(8)~(18)是G 的所有生成子图。

离散数学10图的基本概念分解

离散数学10图的基本概念分解

10.2 图与图模型 例10.2 某学校共有10名教师,他们分别参加7个班级的讨论 课,每个班级可能同时需要多位教师参加,有的教师可能需 要参加多个班级的讨论,每个班级必须单独开展讨论课,则 如何安排才使得所有班级在最短时间段内完成讨论课?讨论 课的情况如下(Vi为班级编号,数字1-10为教师编号): V1={1,2,3}, V2={1,3,4,5},
图是人们日常生活中常见的一种信息载
体,其突出的特点是直观、形象。图论,顾
名思义是运用数学手段研究图的性质的理论,
但这里的图不是平面坐标系中的函数,而是 由一些点和连接这些点的线组成的结构。图 论是有许多应用的古老学科,也一直以来都 是一个热门学科,它已经被广泛应用于计算
机科学、化学、运筹学、心理学等很多领域。
V1
V7
V2
V3={2,5,6,7},
V4={2,6,7}, V5={4,7,8,9}, V6={8,9,10}, V7={1,3,9,10}。
V6 V3 V4
V5
10.2 图与图模型
V2
V1 V7
V6 V3 V4
V5
顶点集V={V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 } 边集E={ <V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V1,V7>,<V2,V3>,<V2,V4>,<V2,V7>,
研究主题

旅行商问题:TSP问题 中国邮路问题


地图着色问题:四色定理
最短路径问题 网络流 匹配 组合计数
主要内容
1) 图的基本术语;
2) 结点的度,子图,完全图;

离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)

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习题一1.下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四大发明.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(2)5 是无理数.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(3)3 是素数或 4 是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.(4)2x+ <3 5 答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2 与3 是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的面积等于半径的平方乘以π.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(11)只有6 是偶数,3 才能是2 的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008 年元旦下大雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四大发明.(2)p: 是无理数.(7)p:刘红与魏新是同学.(10)p:圆的面积等于半径的平方乘以π.(13)p:2008 年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1)5 是有理数.答:否定式:5 是无理数. p:5 是有理数.q:5 是无理数.其否定式q 的真值为1.(2)25 不是无理数.答:否定式:25 是有理数. p:25 不是无理数. q:25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.(3)2.5 是自然数.答:否定式:2.5 不是自然数. p:2.5 是自然数. q:2.5 不是自然数. 其否定式q 的真值为1.(4)ln1 是整数.答:否定式:ln1 不是整数. p:ln1 是整数. q:ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 与5 都是素数答:p:2 是素数,q:5 是素数,符号化为p q∧ ,其真值为 1.(2)不但π是无理数,而且自然对数的底e 也是无理数.答:p:π 是无理数,q:自然对数的底e 是无理数,符号化为p q∧ ,其真值为1.(3)虽然2 是最小的素数,但2 不是最小的自然数.答:p:2 是最小的素数,q:2 是最小的自然数,符号化为p q∧¬ ,其真值为1.(4)3 是偶素数.答:p:3 是素数,q:3 是偶数,符号化为p q∧ ,其真值为0.(5)4 既不是素数,也不是偶数.答:p:4 是素数,q:4 是偶数,符号化为¬ ∧¬p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 或3 是偶数.(2)2 或4 是偶数.(3)3 或5 是偶数.(4)3 不是偶数或4 不是偶数.(5)3 不是素数或4 不是偶数.答: p:2 是偶数,q:3 是偶数,r:3 是素数,s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨ ,其真值为1.(2)符号化:p r∨ ,其真值为1.(3)符号化:r t∨ ,其真值为0.(4)符号化:¬ ∨¬q s,其真值为1.(5)符号化:¬ ∨¬r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答:p:小丽从筐里拿一个苹果,q:小丽从筐里拿一个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答:p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语,符号化为: (¬ ∧ ∨ ∧¬p q)(p q) .7.设p:王冬生于1971 年,q:王冬生于1972 年,说明命题“王冬生于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表:p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p 与q 同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有;(1)只要, 则;(2)如果, 才有;(3)只有, 才有;(4)除非, 否则;(5)除非(6)仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .符号化真值(1) 1(2) 1(3)0(4)0(5)0(6) 1 :俄罗斯位于南半球,q:亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述(1);(2);;(3);(4);(5);(6);(7).答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.自然语言真值(1)只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1 (2)只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0 (3)只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1 (4)只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就不是最多 1 (5)只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就位于南半球 1 (6)只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就不是最多0 (7)只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就不位于南半球 1(1);(2);(3);(4).答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.自然语言真值(1)9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0 (2)9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1 (3)9 不是3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1(4) 9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻11. 将下列命题符号化,并给出各命题的真值: (1) 若 2+2=4,则地球是静止不动的; (2) 若 2+2=4,则地球是运动不止的; (3) 若地球上没有树木,则人类不能生存;(4) 若地球上没有水,则 是无理数.12. (1)2+2=4 当且仅当 3+3=6;(2)2+2=4 的充要条件是 3+3 6;(3)2+2 4 与 3+3=6 互为充要条件;(4)若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然.答:设 p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值 (1)1(2)(3)(4)113. 将下列命题符号化,并讨论各命题的真值: (1) 若今天是星期一,则明天是星期二; (2) 只有今天是星期一,明天才是星期二;命题 1命题 2 符号化 真值 (1) p:2+2=4 q:地球是静止不动的(2) p:2+2=4 q:地球是静止不动的1 (3) p:地球上有树木 q:人类能生存1(4)p:地球上有树木q:人类能生存1(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二;(4)若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.将下列命题符号化:(1)刘晓月跑得快,跳得高;(2)老王是山东人或者河北人;(3)因为天气冷,所以我穿了羽绒服;(4)王欢与李乐组成一个小组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他一面吃饭,一面听音乐;(8)如果天下大雨,他就乘班车上班;(9)只有天下大雨,他才乘班车上班;(10)除非天下大雨,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2 与4 都是素数,这是不对的;(13)“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:(6) p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7) p:他吃饭q:他听音乐-(8) p:天下大雨q:他乘车上班-(9) p:天下大雨q:他乘车上班-(10) p:天下大雨q:他乘车上班-(11) p:下雪q:路滑r:他迟到了(12) p:2 是素数q:4 是素数-(13) p:2 是素数q:4 是素数-15.设p:2+3=5.q:大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q 真值为1,r 真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下面一段论述是否为真:“ 是无理数.并且,如果3 是无理数,则也是无理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解:p: 是无理数q: 3 是无理数r:是无理数s: 6 能被2 整除t:6 能被 4 整除符号化为: ,该式为重言式,所以论述为真。

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》试题及答案一、选择或填空(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式?( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答:(1),(4)2、下列公式中哪些是永真式?( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答:(2),(3),(4)3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答:(2),(3),(4),(5),(6)4、公式?x((A(x)?B(y,x))??z C(y,z))?D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。

答:x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是,给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。

(5) 前进! (6) 给我一杯水吧!答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答:所有人都不是大学生,有些人不会死7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校(3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1)P↔(4)QP→⌝P⌝Q→⌝(2)QP⌝→(3)Q8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答:(1)对任一整数x存在整数 y满足x+y=0(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答:(1) F (2) F (3)F (4)T10、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答:(1)11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()。

离散数学课后答案

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离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题:证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。

答案:设集合A的基数为|A|,集合B的基数为|B|。

我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积,即|(A x B)| = |A| * |B|。

首先,我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。

由于A和B是两个集合,集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。

因此,集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数,即|(A x B)| = |A| * |B|。

题目2问题:对任意两个集合A和B,证明A∩(A∪B) = A。

答案:要证明A∩(A∪B) = A,首先我们需要理解集合的交和并的定义。

- 集合的交:集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。

- 集合的并:集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。

现在,我们开始证明。

首先,根据集合的并的定义,A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。

因此,任意属于集合A的元素也一定属于A∪B,即A⊆A∪B。

其次,根据集合的交的定义,A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。

由于A⊆A∪B,所以A中的元素一定属于A∪B,因此A∩(A∪B) = A。

综上所述,对任意两个集合A和B,A∩(A∪B) = A成立。

第二章命题逻辑题目1问题:证明合取命题的真值表达式。

答案:合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真,否则为假。

假设命题P和命题Q的真值分别为真(T)或假(F),那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出:P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出,只有P和Q都为真时,合取命题才为真。

如果其中一个或两个命题为假,则合取命题为假。

题目2问题:证明命题的等价关系。

离散数学习题答案chch

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离散数学习题答案chch————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:习题十1、设G是一个(n,m)简单图;证明:m≤C(n,2)等号成立,当且仅当G是完全图证明:此题有两个内容,第一方面证明简单图满足 m≤C(n,2),第二证明,m=C(n,2)当且仅当G是完全图(1): 因为在简单无向图中,每个结点的最大度数为n-1,所以图的总度数的上限为n(n-1),所以边的上限为n(n-1)/2,因此任意一个简单无像图G,其边数满足:m≤n(n-1)/2= C(n,2) (2):m=C(n,2) ⇒ G是完全图因为,当m=C(n,2)时,全图的总度数为n(n-1),因此其平均点度为(n-1),因为n阶简单无向图中点度的最大值为(n-1),所以此时每个点的度数都相同并为(n-1),根据完全图的定义,此图为完全图G是完全图⇒ m=C(n,2)当G为完全图时,既每个结点都和其他结点相邻,所以全图的总边数 m = n(n-1)/2 = C(n,2)4、证明:在(n,m)图中δ≤2m/n≤Δ证明:因为2m/n 代表简单无向图的平均点度值,所以平均值大于等于最小值,小于等于最大值,结论成立6、设G是(n,m)简单二部图,证明:m≤n2/4证明:设G的两个顶点集合中顶点个数分别为n1,n2,并有 n = n1 + n2 (1式);同时,在简单二部图中,当其为完全二部图是,其边数最大,及max(m) = n1 ×n2 (2式);联立(1)(2)式,通过高等数学的知识,当n1=n2=1/2n时,max(m)取得最大值 n2/4 ,所以一般(n,m)简单二部图,其边数小于等于此最大值既 m≤n2/49、如果G ≌ G’,称G是自补图;确定一个图为自补图的最低条件:画出一个自补图解:因为G和自己的补图同构,那么G和G’应该有相等条数的边,所以 m = m’,又因为m + m’= n(n-1)/2,所以G的边的条数必须满足m = n(n-1)/4.因此图G的阶数或阶数减一必需是4的倍数,这就是最低条件。

离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案

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第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0;r、s 的真值为1,求下列各命题公式的真值。

( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117.判断下面一段论述是否为真:“ 是无理数。

并且,如果 3 是无理数,则 2 也是无理数。

另外6 能被2 整除,6 才能被4 整除。

答:p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为:p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1,所以这一段的论述为真19.用真值表判断下列公式的类型:4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答: ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答:(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式:⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解:( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式:( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为:(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为:(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:(2)前提:p q, (q r),r结论:p(4)前提:q p,q s,s t,t r结论:p q证明: ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦¬p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) :①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理:(1) 前提:p(q r),s p,q结论:s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理:(1) 前提: p q, r q,r s 结论: p证明:① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④¬r q 前提引入 ⑤¬r ④化简律 ⑥ r ¬s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x),在( a)中为假命题,在(b) 中为真命题。

离散数学(第二版)课后习题答案详解(完整版)

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离散数学(第⼆版)课后习题答案详解(完整版)习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题?在是命题的句⼦中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1)中国有四⼤发明.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(2)5 是⽆理数.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(3)3 是素数或 4 是素数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.(4)2x+ <3 5 答:不是命题.(5)你去图书馆吗?答:不是命题.(6)2 与3 是偶数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(7)刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.(8)这朵玫瑰花多美丽呀!答:不是命题.(9)吸烟请到吸烟室去!答:不是命题.(10)圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答:此命题是简单命题,其真值为 1.(11)只有6 是偶数,3 才能是2 的倍数.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(12)8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.(13)2008 年元旦下⼤雪.答:此命题是简单命题,其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:(1)p:中国有四⼤发明.(2)p: 是⽆理数.(7)p:刘红与魏新是同学.(10)p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.(13)p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.(1)5 是有理数.答:否定式:5 是⽆理数. p:5 是有理数.q:5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.(2)25 不是⽆理数.答:否定式:25 是有理数. p:25 不是⽆理数. q:25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.(3)2.5 是⾃然数.答:否定式:2.5 不是⾃然数. p:2.5 是⾃然数. q:2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.(4)ln1 是整数.答:否定式:ln1 不是整数. p:ln1 是整数. q:ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 与5 都是素数答:p:2 是素数,q:5 是素数,符号化为p q∧,其真值为 1.(2)不但π是⽆理数,⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答:p:π是⽆理数,q:⾃然对数的底e 是⽆理数,符号化为p q∧,其真值为1.(3)虽然2 是最⼩的素数,但2 不是最⼩的⾃然数.答:p:2 是最⼩的素数,q:2 是最⼩的⾃然数,符号化为p q∧? ,其真值为1.(4)3 是偶素数.答:p:3 是素数,q:3 是偶数,符号化为p q∧,其真值为0.(5)4 既不是素数,也不是偶数.答:p:4 是素数,q:4 是偶数,符号化为? ∧?p q,其真值为0.5.将下列命题符号化,并指出真值.(1)2 或3 是偶数.(2)2 或4 是偶数.(3)3 或5 是偶数.(4)3 不是偶数或4 不是偶数.(5)3 不是素数或4 不是偶数.答: p:2 是偶数,q:3 是偶数,r:3 是素数,s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨,其真值为1.(2)符号化:p r∨,其真值为1.(3)符号化:r t∨,其真值为0.(4)符号化:? ∨?q s,其真值为1.(5)符号化:? ∨?r s,其真值为0.6.将下列命题符号化.(1)⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答:p:⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果,q:⼩丽从筐⾥拿⼀个梨,符号化为: p q∨ .(2)这学期,刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答:p:刘晓⽉选学英语,q:刘晓⽉选学⽇语,符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p:王冬⽣于1971 年,q:王冬⽣于1972 年,说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表:合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有;(1)只要, 则;, 才有;(3)只有, 才有;(4)除⾮, 否则;(5)除⾮(6)仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .(1);(2);;(3);(4);(5);(6);(7).答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.(1);(2);(3);(4).答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.(1)若2+2=4,则地球是静⽌不动的;(2)若2+2=4,则地球是运动不⽌的;(3)若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存;(4)若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)2+2=4 当且仅当3+3=6;(2)2+2=4 的充要条件是3+3 6;(3)2+2 4 与3+3=6 互为充要条件;(4)若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.(1)若今天是星期⼀,则明天是星期⼆;(2)只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆;(3)今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆;(4)若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.(1)刘晓⽉跑得快,跳得⾼;(2)⽼王是⼭东⼈或者河北⼈;(3)因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服;(4)王欢与李乐组成⼀个⼩组;(5)李欣与李末是兄弟;(6)王强与刘威都学过法语;(7)他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐;(8)如果天下⼤⾬,他就乘班车上班;(9)只有天下⼤⾬,他才乘班车上班;(10)除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班;(11)下雪路滑,他迟到了;(12)2 与4 都是素数,这是不对的;(13)“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q:⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值:(1)(2)(3)(4)解:p真值为1,q 真值为1,r 真值为0.(1)0,(2)0,(3)0,(4)116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值:(1)(2)(3)(4)解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)117.判断下⾯⼀段论述是否为真:“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解:p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t:6 能被 4 整除符号化为: ,该式为重⾔式,所以论述为真。

离散数学及算法课后习题作业答案

离散数学及算法课后习题作业答案

离散数学及算法(曹晓东,原旭版) 课后作业题答案第一章 命题逻辑1.第7页第3题(1)解:逆命题:如果我去公园,则天不下雨;反命题:如果天下雨,则我不去公园;逆反命题:如果我不去公园,则天下雨了。

(2)解:(此题注意:P 仅当Q 翻译成P Q →)逆命题:如果你去,那么我逗留。

反命题:如果我不逗留,那么你没去。

逆反命题:如果你没去,那么我不逗留。

(3)解:逆命题:如果方程n n n x y z +=无整数解,那么n 是大于2的正整数。

反命题:如果n 不是大于2的正整数,那么方程n n n xy z +=有整数解。

逆反命题:如果方程n n n x y z +=有整数解,那么n 不是大于2的正整数。

(4)解:逆命题:如果我不完成任务,那么我不获得更多的帮助。

反命题:如果我获得了更多的帮助,那么我能完成任务。

逆反命题:如果我能完成任务,那么我获得了更多的帮助。

2.第15页第1题(4)解:(())P Q P T ⌝⌝∨→⌝↔()()P Q P Q ⌝∧↔⌝∨⌝()()P Q P Q ⇔⌝∨⌝↔⌝∨⌝ (重言式)(9)解:P P Q F Q T ∧⌝→⇔→⇔(重言式)(10)解:P Q Q T Q Q ∨⌝→⇔→⇔(可满足式)3.第16页第5题(2)证明:(())P Q P ⌝⌝∨→⌝(())()P Q P P Q PP Q PP P QF QF ⇔⌝∨∨⌝⇔⌝∨∧⇔⌝∧⌝∧⇔⌝∧∧⌝⇔∧⌝⇔因此,(())P Q P F ⌝⌝∨→⌝↔,得证。

(4)证明:()()P P P P →⌝∧⌝→()()P P P P P P F⇔⌝∨⌝∧∨⇔⌝∧⇔因此,()()P P P P F →⌝∧⌝→↔,得证。

4.第16页第6题(1)P Q P Q ∧⇒→证明:设P Q ∧为真,那么P 为真,并且Q 为真,因此P Q →为真。

所以P Q P Q ∧⇒→。

(2)()()()P Q R P Q P R →→⇒→→→证明:设()()P Q P R →→→为假,于是P Q →为真,P R →为假。

离散数学(第二版)第10章几种典型图

离散数学(第二版)第10章几种典型图

第十章 几种典型图
图10.1.1 哥尼斯堡七桥问题
第十章 几种典型图
1. 欧拉无向图 定义10.1.1 设G=〈V,E〉是连通图,经过G中每一条边 一次且仅一次的通路(起点、终点不重合)称为欧拉通路(欧拉 开迹),有欧拉通路的图称半欧拉图; 经过每一条边一 次且仅一次的回路称为欧拉回路(欧拉闭迹),有欧拉回路的 图称欧拉图。 一条欧拉通路即为一条行遍图中每条边的简单通路(迹), 亦即一笔画问题。 定理10.1.1 设G是连通图,G是欧拉图当且仅当G的所 有顶点均是偶度数点。
幅不再介绍。
第十章 几种典型图
2. 欧拉有向图 定义10.1.2 设G是连通有向图,若G中有经过所有边一 次且仅一次的有向通路(起点、 终点不重合),则称为有向欧 拉通路,具有有向欧拉通路的图称为半欧拉有向图;若G中 有经过所有边一次且仅一次的有向回路,则称为有向欧拉回 路,具有有向欧拉回路的图称为欧拉有向图。 显然,如果G是欧拉有向图,则G必是强连通图。
第十章 几种典型图
类似于定理10.1.1、 10.1.2,可得下面定理: 定理10.1.3 设G是连通有向图,则G是欧拉有向图当且 仅当G中的每个顶点v均有d+(v)=d-(v)。 定理10.1.4 设G是连通有向图,则G是半欧拉有向图当 且仅当G中恰有两个奇度数顶点,其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1,而其他顶点的出度等于入度。 例如,图10.1.3中图(a)是欧拉有向图,图(b)是半欧拉有向图, 图(c)既非欧拉有向图也非半欧拉有向图。
证毕
第十章 几种典型图
定理提供了判断欧拉图和半欧拉图的方法,由此易知, 哥尼斯堡七桥问题无解。
例如,图10.1.2中图(a)是欧拉图,图(b)是半欧拉图,图 (c)既非欧拉图也非半欧拉图。

清华离散数学(第2版):10.1

清华离散数学(第2版):10.1

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递推方程的实例——计数编码 计数编码 递推方程的实例
一个编码系统用八进制数字对信息编码, 例1 一个编码系统用八进制数字对信息编码,一个码是 有效的当且仅当含有偶数个7, 有效的当且仅当含有偶数个 求 n 位长的有效码字有多 少个? 少个? 解 设所求有效码字为 an个. 分类处理,分步处理得到递 分类处理, 推方程和初值如下: 推方程和初值如下: an=7an1+ 8n1 an1 a1=7 化简得 an = 6an1 + 8n1, 可以解得 an=(6n+8n)/2
系数行列式
1≤ i < j ≤ k
∏ (q
i
qj )
当 qi ≠ qj 时,方程组有唯一解
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求解实例
数列: 例4 Fibonacci 数列: 1+ 5 1 5 , fn=fn1+fn2 ,特征根为
2 2
n n
通解为
1+ 5 + c2 1 5 f n = c1 2 2
c无解 无解. 无解 问题: 问题:两个解线性相关
16有重根下的通解Fra bibliotek构定理10.4 设 q1, q2, … , qt 是递推方程的不相等的特征根, 是递推方程的不相等的特征根, 定理 且 qi 的重数为 ei,i=1, 2, … , t,令 ,
H i ( n) = (c i1 + c i2 n + ... + c ie n
n+1
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有重根下求解中的问题
例5
H ( n) 4 H ( n 1) + 4 H ( n 2) = 0 H ( 0) = 0, H (1) = 1
解 特征方程 x24x+4 = 0 H(n) = c12n + c22n = c2n 通解 代入初值得: 代入初值得:
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而删去这两个点后, 至多删去图 G 中的 5 条边。 由于图G是具有6个顶点, 12条边的无 向简单图, 删去顶点v1,v2后, 得到的子图为: 具有4个结点, 至少7条边的无向简单图, 但 这样的无向简单图不存在(4阶无向简单图最 多有6条边), 由此证明图 G中任意不同两点的 度数之和大于等于6, 图G是哈密顿图。
该图的邻接和可达性矩阵为
0 0 P 0 0 0
v3
v4
v5
采用Warshall 算法来求可达性 矩阵P
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v2
0 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
二、基本要求
1、熟练掌握树的六个等价命题 2、熟练掌握利用Kruskal算法求最小生成树 3、熟练掌握判定平面图的三个必要条件 4、熟练掌握判定欧拉图和欧拉道路的充分必要 条件 5、熟练掌握判定哈密顿图和哈密顿道路的几个 充分和必要条件
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设G是一个(n,n+1)的无向图,证明G中存在 顶点u,d(u)≥3。 证明:反正法,假设,则G的总点度上限为 max(Σ(d(u)) ≤2 n,根据握手定理,图边的上 限为max(m) ≤ 2n/2=n。与题设m = n+1,矛盾。 因此,G中存在顶点u,d(u)≥3。
0 0 PT = 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
v1
v3
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v5
1 0 P⊙PT 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
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费用=18
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设图G是具有6个顶结点、12条边的无向 简单图, 证明图 G 是哈密顿图。
证明:已知一个图是哈密顿图的充分条件是: 图中任意不同两点的度数之和大于等于n。 (反证法)假设图G中存在两个结点v1,v2, 其度数之和不大于等于6, 即 d(v1)+ d(v2) ≤5。
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利用可达性矩阵求右图的 所有强分图。 解
0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0
v2
v1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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证明:具有6个结点、12条边的简单连通平 面图,它的面的度数都是3。 证: 由欧拉公式, n-m+f=2 ∴ 6-12+f=2 f=8 即面数为 8, ∵对每个面,其度数≥ 3 ∴总面度≥ 3×8=24 ∵总面度=2×m=24 ∴每个面的度数为 3
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G2中一共有多少条长度为2的道路? 0 1 1 0 v1 v4 v2
i=1 j=1 (2) aij = 11 4 4
G2
v3
i=1 (2) aii = 5 4
(3) aij i=1 j=1
4
4
பைடு நூலகம்
= 16
i=1
(3) aii = 3
4
G2中长度为2的通路(含回路)总数为11,其中5条为回路。 G2中长度为3的通路(含回路)总数为16,其中3条为回路。
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道路、道路的长度、零道路、简单道路、回 路、基本道路、圈、距离、连通图、非连通 图、图的支、点割集、基本割集 、割点、边 割集、基本边割集、割边、连通度、边连通 度、可达的、单向连通图、强连通图、弱连 通图、强分图、单向分图、弱分图、邻接矩 阵、单位矩阵、可达性矩阵
这说明,v1在一个强分图中,v2在 一个强分图中,v3,v4和v5在一个强分图 中,因此该图的所有强分图分别为结点 子集{v1},{v2},{v3,v4,v5}导出的子图。
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证明当每个结点的度数大于等于 3 时,不存 在有 7 条边的连通简单平面图。 证明:(反证法) 设图的边数m=7 由题意,d(Vi) ≥3,Vi为结点 则由握手定理, 2m d (Vi ) i 则 14 2 7 d (Vi ) 3n n i 3 ∴结点的个数不超过4个,而结点个数为4的完全 图的边数为 6, 故应有环或平行边,不是简单连通平面图。
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1 0 1 1 A(G 2 ) = 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 (A(G 2 ))2 = 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 (A(G 2 ))3 = 2 0 2 0 0 0 2 1 1 0 1 2 1 1
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二、基本要求
1、熟练掌握图论基本(握手)定理及推论 2、熟练掌握邻接矩阵、可达性矩阵的计算方法 3、熟练掌握强分图的计算方法 4、熟练掌握利用邻接矩阵计算图中道路和回路 数目的方法
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第十一、十二、十三章
一、基本概念
树、树叶、枝点、生成树、树枝、树补 边、最小生成树、有向树、根树、(有序树、 子树、二叉树、完全二叉树、最优二叉树)、 平面图、面、对偶图、欧拉道路、欧拉图、 哈密顿道路、哈密顿圈、哈密顿图
有 6 个村庄 Vi , i=l,2,…,6 欲修 建道路使村村可通。现已有修建方案如下带权 无向图所示,其中边表示道路,边上的数字表 示修建该道路所需费用,问应选择修建哪些道 路可使得任二个村庄之间是可通的且总修建费 用最低?要求写出求解过程,画出符合要求的 最低费用的道路网络图并计算其费用。
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第十章
一、基本概念
无序对、结点、边、阶、无向图、有向图、 邻接点、邻接边、环、孤立结点、零图、平 凡图、(n,m)图、简单图、广义图(伪图)、 多重图、平行边、赋权图、无权图、结点的 度数、出度、入度、正则图、k度正则图、子 图、真子图、生成子图、平凡子图、删点子 图、删边子图、点诱导子图、边诱导子图、 完全图、补图、二部图、完全二部图、图的 同构
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