第七章 刚体的简单运动
理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件
26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7－3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
1
4
公式，有：
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘，得：
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ，所以有：
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)
③
ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13
第7章刚体的简单运动
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
(7)刚体的简单运动
ϕ
ϕ = ϕ(t )
转动.exe
A B
dϕ & 角速度 ω = =ϕ dt
dω d 2 ϕ && 角加速度 α = = 2 =ϕ dt dt
注意它们都是代数量. 同号, 注意它们都是代数量 如果 ω 与 α 同号 转动是加速 异号, 则转动是减速的. 的; 如果 ω 与 α 异号 则转动是减速的
§7 – 3 转动刚体内各点的速度和加速度分布
Q 磁带不可伸长 ∴ ω 1 r1 = ω 2 r2
r1 ω 2 = ω1 r2
& & r1 r2 − r2 r1 α2 = ⋅ ω1 2 r2
O1 A
r1
O2 B
r2
ω1
ω2
又 ,由题意可得 θ θ r1 = r10 + 1 b r2 = r20 − 2 b 2π 2π b b br & & r1 = ω1 r2 = − ω 2 = − 1 ω1 2π 2π 2πr2 ∴ 最后可得
B
r A = r B + r BA (1)
为运动的参考点, 取O为运动的参考点 有: 为运动的参考点
∴ r A (t ) , r B (t ) 属于同一函数族 , 表示同一族曲线 .
故 A 点和 B 点描绘的曲线的形状相 同.
式两边同时对t 将 ( 1 ) 式两边同时对 求导 :
dr A drB , = dt dt
第七章
刚体的简单运动
平动和转动. 本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动 注 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性 以及实现这两种 的约束条件. 运动 的约束条件
理论力学第七章刚体的简单运动
解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
第七章 刚体的简单运动
=200mm,R=450mm,α＝60o，A , ＝
aAτ
aA
解：由于A,B两点到固定点 的 由于 两点到固定点O的 两点到固定点 距离保持不变，因此，AB杆的 距离保持不变，因此，AB杆的 运动为绕O轴的定轴转动 轴的定轴转动。 运动为绕 轴的定轴转动。 将A点的加速度在切向和法向投影
2 aAn = ( r + R) ωAB = aA cos60o 1
已知：OA= 已知：OA=O1B=l=2r, AB=OO1 ,A点 ,A点 的加速度水平且为a 齿轮B AB焊接在一起 焊接在一起。 的加速度水平且为aA，齿轮B与AB焊接在一起。 求：此时轮O1角速度和角加速度 此时轮O aA
例 题6
aτ A
A
n aA
B C O1
解：将A点的加速度分解
n aτ = aA sin ϕ, aA = aA cosϕ A
点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 化率区分开来， 更加清晰。 更加清晰。
结论与讨论
点的运动学应用的两类问题
第一类问题： 第一类问题：
已知运动轨迹，确定速度与加速度； 已知运动轨迹，确定速度与加速度； 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。
dvτ v & + τ& a = vτ vτ= + n τ τ dt dt ρ a = aτ + an
速度大小的变化率 速度方向的变化率
2 τ
hv0 dϕ ω= = 2 22 dt h + v0t 2hv t dω =− 2 α= dt (h + v t )
3 0 2 2 2 0
例题 4
第7章 刚体的简单运动
自然法
2．点的速度
s R
v ds R d R
dt dt
v 指向为刚体转动的方向或与 ω 的转动方向一致。
刚体绕定轴转动 （逆时针为正）
刚体绕定轴转动
2．点的加速度
s R （逆时针为正）
切向加速度
a
dv dt
R d
dt
R
aτ 指向沿轨迹的切线与α 的转
动方向一致。
点M的全加速度大小。
解： M点的速度为
vM
vM
vA
dx dt
10t
m/s
M点的加速度为
aMt aMt
aMn
vM2 R
aA 200t 2
d2x dt 2 m/s2
10
m/s2
aM
aMt
2
aMn
2
10
1 400t 4
m/s2
三、轮系的传动比
刚体绕定轴转动
齿轮系
带轮系
刚体绕定轴转动
同一瞬时荡木上各点的速度、加速 度相等 vM vA aM aA
点A绕圆心O1，作半径为 l 的圆弧 运动
自然法： 假设弧坐标s向右为正，
s
l
l0
sin
4
t
刚体的平行移动
运动方程：
s
l
l0
sin
4
t
任一瞬时t， v ds l0 cos t
dt 4 4
， 0 sin t 4aΒιβλιοθήκη dv dt2l0 16
解： d 1681t 2 rad/s dt 162t rad/s2 4 0 时，即 16 81t2 0 时，解得 t 9 s 此时刚体改变转向。容易算得：在此之前，ω>0，刚体 逆时针转动；在此之后，ω<0，刚体顺时针转动。
07 刚体的简单运动
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv at = = a. dt
2 2as + v0 an = = ρ R
v2
M点的总加速度 s
A
2 a = at2 + an =178 m/ s2
23
例题
刚体的基本运动
例 题 5
如图a 如图a，b分别表示一对外
O1 Ⅰ （a） O2 Ⅱ
啮合和内啮合的圆柱齿轮。 啮合和内啮合的圆柱齿轮。已 知齿轮Ⅰ 的角速度是ω 知齿轮 Ⅰ 的角速度是 ω1 ， 角 加速度是α 试求齿轮Ⅱ 加速度是 α1， 试求齿轮 Ⅱ的角 速度ω 和角加速度α 速度ω2和角加速度α2 ，齿轮Ⅰ 齿轮Ⅰ 和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2， 的节圆半径分别是R 齿数分别是z 齿数分别是z1和z2。
π sA = lϕ = lϕ0 sin t 4
dv π2 π = − lϕ0 sin t at = dt 16 4
ds π π vA = = lϕ0 cos t dt 4 4
v2 π2 2 2 π an = = lϕ0 cos t l 16 4
6
例题
刚体的基本运动
例 题 1
O1 φ l A O
（+）
9
4.角加速度 4.角加速度
定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 转角对时间的二次导数
dω d 2ϕ = 2 α= dt dt
物理意义： 物理意义：说明了角速度变化的快慢 如ω 、α 同号 如ω 、α 异号 刚体作加速转动 刚体作减速转动
11
例题
刚体的基本运动
例 题 2
导杆机构如图所示。 已知曲柄OA 导杆机构如图所示 。 已知曲柄 OA 以匀角速度ω 以匀角速度 ω 绕 O轴转动 ， 其转动方程 轴转动， φ=ωt，通过滑块带动摇杆O1B绕O1轴摆 ωt，通过滑块带动摇杆O OA= 求摇杆O 动 。 设 OA=r ， OO1=l=2r ， 求摇杆 O1B 的转动方程。 的转动方程。 假设任意时刻， 解：假设任意时刻，机构处于图示 位置，由几何关系可知： 位置，由几何关系可知： AD O E OO1 −OE tanθ = = 1 = O D AE AE 1
刚体的简单运动
rA = rA( t), rB = rB (t)
而
r B = r A + r AB
d rB d drA d rAB ∴v B = = ( rA + rAB ) = = v A (Q = 0) dt dt dt dt
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B = 2 = 2 ( rA + rAB ) = 2 = a A dt dt dt
2πn πn n ω= = ≈ (rad/s) 60 30 10
2.角加速度 角加速度: 角加速度 设当t 时刻为ω , t +△t 时刻为ω+△ω
∆ω = dω = d 2ϕ =ϕ& = f ′′( t ) & ∴角加速度 :ε = lim 单位:rad/s2 (代数量 代数量) 单位 代数量 dt dt 2 ∆t → 0 ∆ t
§7.1 刚体的平行移动
刚体平移的定义: 一.刚体平移的定义 刚体平移的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 [例]
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
动画
平移实例
二. 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹,速度 加速度都一样 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹 速度,加速度都一样。 速度 加速度都一样。 AB在运动中方向和大小始 在运动中方向和大小始 终不变。 终不变。
aτ εR ε tg α = = 2 = 2 an ω R ω
结论: 结论 ① v方向与ω 相同时为正 , ⊥R ,与 R 成正比。 方向与 与 成正比。 都一致,且 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角α 都一致 且 小于90 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: 小于 o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为
7、第七章刚体的基本运动
vM a O α an
at M
因为物体 A 与轮缘上 M 点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体 A 与 M 点的速度大小相等， A 的加速度与 M 点切向加速度的 大小也相等，于是有
v A vM 0.36 m s－1
A
vM r 0.36 m s－1
加速度的两个分量
vM at
at r 0.36 m s
φ
M
－2
aM
O α
an r 0.648 m s
2
－2
an ω
总加速度 aM 的大小和方向
aM at an 0.741 m s－2
2 2
A
tan 2 0.556,
两式相除：
O
φ
a
tg 60 2 3 2 d 3 2 dt
d d dt d
d 3 2 d d 3d d 3d
0
0
3 2
0e
3
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
v r11 r22
传动比： ω1 r1
r1
v
r2 ω2
1 r2 i12 2 r1
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
d dt
t 0, 0 0 t
匀变速运动，ε=常数 d t 0, 0 0
第七章：刚体的简单运动
dt
M0
rr
ϕ
O
M
角速度表示刚体转动的快慢和方向，单位为弧度/ 秒（rad/s），是代数量。
角加速度
α
=
dω
dt
=
d 2ϕ
dt 2
角加速度表示角速度变化的快慢，单位为弧度/秒2
（rad/s2），是代数量。
§7-2 刚体绕定轴的转动
ω与α同号，转动加速
α ω
vr A = vr B
rrA
vrB
O
rrB B B1 B2
y
x
vr A = vr B
继续求导，则
dvrA = dvrB dt dt ar A = ar B
§７-１刚体的平行移动
z
A rrA
vrA A1 arvrAB
A2
O
rrB B arBB1 B2
y
x
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同、在 每一瞬时，各点的速度和加速度相同。
角速度矢量
ωr
⎧⎪大 ⎪⎪⎨作
小 用
ωr
线
= 沿
ω
轴
= 线
dϕ
dt 滑动
矢
量
⎪
⎪
⎪⎩指 向 右 手 螺 旋 规 则
ωr = ωkr
角加速度矢量
αr
=
dωr
=
dω
r k
=
α
r k
dt dt
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
vv = ωv × rv 速度
⎪⎧大小： ωv ⋅ rv sinθ = ωv R = vv
ω2 α2 +ω4
av
理论力学 刚体的简单运动
如图，在轴线上任选一点O为原点， 动点的矢径用 r 表示，则点M的速度可 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 即
v wr
w r w r sin q w R v
将上式对时间求一阶导数，有
dv d a (w r ) dt dt dw dr r w dt dt
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
运动方程、速度和加速度公式 rA rB BA
v A vB
aA aB
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形 状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速 度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。
k
作业：习题 7-4、7-5、7-6、 7-9。
v 2 r2w 2
t a 2 r2a 2
于是可得
r1 w2 w1 , r2
即
r1 a 2 a1 r2
w1 a 1 r2 w 2 a 2 r1
例7-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M t v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 R
za
R
M
a r aw v a w v O a r
an
w r
例7-1 刚体绕定轴转动,已知转轴通过坐标原点O, t t 角速度矢为 w 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及
理论力学第7章
R1 ω2 = R ω1 2
或者
α1
α2
aAτ aBτ
aAτ= aBτ τ τ
由aBτ 方向可确定α2转向，如图所示。 τ 方向可确定α 转向，如图所示。
τ R1 α1 = aAτ = aBτ = R2 α2 τ
R1 α2 = R α1 2
或者
α1 R2 α2 = R1
综上所述得 ω1 α1 R2 ω2 = α2 = R1 工程上把主动轮与从动轮角速 度之比称为传动比，记为i 度之比称为传动比，记为 12 传动比的 ω
在与转轴垂直的平面上画图时，可用带箭头的圆弧 在与转轴垂直的平面上画图时， 代表角速度和角加速度， 代表角速度和角加速度，标上角速度与角加速度的 数值（写正值）。 数值（写正值）。
同号，刚体作加速转动。 （1）α与ω同号，刚体作加速转动。 （2）α与ω异号，刚体作减速转动。 异号，刚体作减速转动。 （3）α≡0，ω=常数，刚体作匀速转动。 常数，刚体作匀速转动。
速度分布图
3
加速度 d v = ɺɺ = α aτ = s R dt v 2 = 1 ( ω )2 = ω2 an = ρ R R R
an
aτ
切向加速度沿轨迹切线，指向与角加速度α转 切向加速度沿轨迹切线，指向与角加速度α 沿轨迹切线 向一致。 向一致。 法向加速度沿轨迹法线，指向由M→转轴Ο。 法向加速度沿轨迹法线，指向由 →转轴Ο 沿轨迹法线
一个自由度。 一个自由度。
3.角速度和角加速度 3.角速度和角加速度
角速度
dϕ ω= dt 逆时针为正，顺时针为负 逆时针为正，
dω d ϕ = 2 角加速度 α = dt dt
2
在与转轴垂直的平面上画图时，轴的画法；角速度、 在与转轴垂直的平面上画图时，轴的画法；角速度、 角加速度的表示。 角加速度的表示。
07 刚体的简单运动Hxj
角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R
0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2
t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负
刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动
在工程实际和日常生活中，我们所遇到的一般都是物体的运动，如汽车、轮 船、电机转子、齿轮等，在考虑这些物体的运动时可把他们作为刚体，为研究比 较复杂的刚体运动，我们先研究两种比较简单的刚体运动：平行移动和定轴转动。
§7-1 刚体的平行移动
平行移动也称平动。就是在运动过程中，刚体内任一直线始终与它的最初位 置平行。如：
周交点为 M，动平面与圆周交点为 M’，以 M 点作弧坐原点，并规定 s,ϕ 正向一
致, 于是有：
o1
ϕ
a aτ
an α
v
R
M’
M (+)
S
s = Rϕ,
将此式对时间求导，得 M 点速度 v = ds = R dϕ = Rω dt dt
即：转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线距离的乘 积，方向沿圆轴的切线指向转动方向，垂直轴线的截面上速度分布如下
把上式对时间求一阶及二阶导数，并注意 BA 是恒矢量，得：
drA = drB dt dt
即： vA = vB
d 2rA = d 2 rB dt 2 dt 2
即： a A = aB
可见，在每一瞬间，平动刚体内各点的速度和加速度均相同。 由以上可见，若刚体上某一点的运动已知，则其他点的运动也就知道了。也 就是说确定了刚体的运动。故研究刚体的平动归结为研究点的运动。
1. 在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小分别与这些点到轴 线的垂直距离成正比。
2. 在每一瞬时，刚体内各点的加速度 a 于半径间夹角α 都相等，刚体内
垂直于轴线的截面上加速度的分布如下：
α α
ω
ω
O
α
α
第七章 刚体的简单运动
答案： ① (b) ； ② (a)
§7-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
M点切向加速度 M点法向加速度
r r r at = α × r
r r r r r r an = ω×v = ω×(ω× r )
减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的 转轴在同一水平线上。各齿轮的齿数分别 为z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。 主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动 轮Ⅳ的转速 n4 。 Ⅱ
例7-1 图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB =
2R，半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点 的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。 M ① (a) Rω (b) a ω R A B (c) a ω sin 60° O ω
60 °
O1
O2
②
(a) a
(b) R
(c) a+R
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
刚体平移→点的运动 →
§7-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
= f (t )
3、角速度和角加速度
第七章刚体的简单运动
轨迹形状相同。
•
表明平动刚体上任一点的运动可以代表整个平动
刚体的运动，因此刚体的平动可以简化为刚体上一 点的运动 。(通常以刚体的质心代表) 。
5பைடு நூலகம்
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度ω 和角加速度α 。 例7-1：
运动学
例7-2
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索 长为l ，长度单位为m。当荡
O1 O2
φ l
A O M
l B
木摆动时钢索的摆动规律 π 为 ϕ = ϕ 0 sin t ，其中 t 为 4 时间，单位为s；转角ϕ 0 的单 位为rad。 试求：当t = 0 和t =2s时，荡木中 点M 的速度和加速度。
通过两固定点的直线，称为刚体的转轴或轴线。
8
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
刚体定轴转动例
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
视频
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第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies 视频
s = Rϕ
ϕ
速度： ds dϕ v= =R = Rω dt dt
s
R
12
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
速度：
v = Rω
转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线 垂直距离的乘积，方向沿圆周的切线，指向与转动方向一致。
第7章 刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。
运动学刚体的简单运动
第二部分 运动学第七章刚体的简单运动一、基本要求1．掌握刚体平动和定轴转动的概念及其特征。
2．能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有关的问题。
3．熟悉角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度的矢量表示法。
二、理论要点1．刚体的平动z定义刚体在运动过程中，其上任一直线始终平行于它的初始位置，称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。
若平动刚体内各点的轨迹为直线，则称这种平动为直线平动；若平动刚体内各点的轨迹为曲线，则称这种平动为曲线平动。
z特征刚体平动时，其上内各点轨迹的形状相同；在每一瞬时，刚体内各点的速度、加速度也相同。
因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动来研究，或刚体内任一点的运动皆可代表平动刚体的运动。
2．刚体的定轴转动z定义刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，称这种运动为刚体的定轴转动，称通过这两个固定点的直线为刚体的转轴或轴线，简称轴。
z特征刚体绕定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
z刚体的转动规律（1） 转动方程——表示刚体的位置随时间的变化规律。
)(t f =ϕ（2） 角速度——表示刚体转动的快慢程度和转向，是代数量。
ϕϕω ==dtd （3） 角加速度——表示角速度对时间的变化率，也是代数量。
ϕωϕωα ====22dtd dt d 当ω与α同号时，刚体作加速转动；当ω与α异号时，刚体作减速转动。
z 刚体内各点的速度和加速度（1） 速度ωR v =（2） 加速度,αR a τ= 2ωR a n =4222ωα+=+=R a a a n τ2),(ωα=n a tg 由此可见，在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离（即半径R ）成正比；在每一瞬时，转动刚体内各点的加速度a 与半径R 间的夹角都有相同的值。
说明：刚体绕定轴转动时，转动方程、角速度和角加速度是刚体绕定轴转动的整体性质的度量，而刚体内各点的速度和加速度是刚体绕定轴转动的局部性质的度量。
理论力学课件第七章 刚体的简单运动
§ 7-2 刚体绕定轴的转动
二、定轴转动的特点
1.转动方程
S (t)
单位:弧度
转角的符号规定：从z轴的正向看，
逆时针转动为正。
2.角速度—转动快慢的度量
(t)
转角对时间的一阶导数，称为刚体的角速度。单位： rad/s。工程上常给出转速n（r/min）
第七章 刚体的简单运动
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刚体的简单运动内容概要
§ 7-1 刚体的平行移动 § 7-2 刚体绕定轴转动
引言
前面介绍了点的运动，但工程中遇到的往往都是刚体的运动。
一般来讲，刚体运动时，刚体上各点的运动规律不同，但刚体上 各点的相对位置不变，所以刚体内各点的运动之间存在联系。
引言
平行移动 刚体的运动形式 定轴转动
平面运动
简单运动
定轴转动
平行移动
§ 7-1 刚体的平行移动
一、刚体的平移 （1）工程实例
直线平移
曲线平移
共性：刚体运动过程中，刚体上任意直线段始终与初 位置平行。
平行移动（平移）：刚体运动时，刚体上任意直线段 在运动过程中始终与它的最初位置平行。
§ 7-1 刚体的平行移动
二、运动方程
rA rB BA
2
钢板的加速度为 a R 0
(2) 求滚子上与钢板接触点的加速度：
a a n R2 1005.242 2.74m/s2
§ 7-2 刚体绕定轴的转动
四、例题
2、 汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点距轴
心O的距离为ρ=400mm，在某瞬时的全加速度a 40m / s2，
与转轴半径的夹角 30 ，当t=0时，0 0 。求叶轮的转
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1
在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动
就是平动。
（）
2
刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。
（）3
在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。
（）
4
平动刚体上各点的运动轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间任意曲线。
( ) 5
平动刚体上点的运动轨迹不可能是空间曲线。
( )
6
刚体作平动时，其上任意点的轨迹可以是直线，也可以是曲线。
( )
7
如图所示机构在某瞬时A点和B点的速度完全相同（等值，同向）则AB板的运动是平动。
( )
8
如果刚体上每一点轨迹都是圆曲线，这刚体一定作定轴转动。
( )
9
如图所示定轴轮系，中间齿轮对主、从动轮的传动比和对从动轮的轮向有影响。
( )
1
020601A070101AB##B###2602
下列刚体运动中，作平动的刚体是。
Ａ．沿直线轨道运动的车箱；Ｂ．沿直线滚动的车轮；
Ｃ．在弯道上行驶的车厢；Ｄ．直线行驶自行车脚蹬板始终保持水平的运动；Ｅ．滚木的运动；Ｆ．发动机活塞相对于汽缸外壳的运动；
Ｇ．龙门刨床工作台的运动。
2
图中AB、BC、CD、DA段皮带上各点的速度大小，加速度大小，皮带上和轮接触和A点和轮上与A接触的点的速度，它们的加速度。
（1）相等；（2）不相等。
3
平行四连杆机构如图所示：AB O O =21=2L ，O B O A O 21==DC=L 。
A O 1杆以ω绕1O 轴匀速转动。
在图示位置，C 点的加速度为 。
Ａ．0 Ｂ．2
ωL Ｃ．2
2ωL Ｄ．2
5ωL
4
时钟上分针转动的角速度等于（ ）
Ａ．1/60rad/s Ｂ．π/30rad/s Ｃ．2πrad/s 5
圆盘绕O 轴作定轴转动，其边缘上一点M 的全加速度a 如图(a)、(b)、(c)所示。
在 情况下，圆盘的角加速度为零。
Ａ．(a)种； Ｂ．(b)种； Ｃ．(c)种。
1
齿轮半径为r ，绕定轴O 转动，并带动齿条AB 移动。
已知某瞬时齿轮的角速度为ω，角加速度为ε，齿轮上的C 点与齿条上的C '点相接触，则C 点的加速度大小为 ；C '点的加速度大小为 。
（方向均应表示在图上）。
2
如图所示的搅拌机构中，A O 1= B O 2= R , 21O O = AB . A O 1的转速n 为常量。
则BAM 上的一点M 的轨迹为 , A v = , A a = .
3
如图所示机构中，刚体1作 ，刚体2作 。
4
如图所示机构中，刚体1作 ，刚体2作 。
图中A O 1= B O 2, 21O O = AB 。
5
如图所示机构中A O 1平行等于B O 2，则刚体1作 ， 刚体2作 。
1
图示曲柄滑杆机构中，滑杆上有一圆弧形滑道，其半径100R mm =，圆心1O 在导杆BC 上。
曲柄长100OA mm =，以等角速度4/rad s ω=绕O 轴转动。
求导杆BC
的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角ϕ为30︒时，导杆BC 的速度和加速度。
2
图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆 1.5OA m =在铅垂面内转动，杆0.8AB m =，A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。
在机构运动时。
工件的速度恒为0.05/m s ，杆AB 始终铅垂。
设运动开始对，角0ϕ=。
求运动过程中角ϕ与时间的关系，以及点B 的轨迹方程。
3
机构如图所示，假定杆AB 以匀速v 运动，开始时0ϕ=，求当4
π
ϕ=时，摇杆OC
的角速度和角加速度。
4
如图所示，曲柄CB 以等角速度0ω绕C 轴转动，其转动方程为0t ϕω=。
滑块B 带动摇杆OA 绕轴O 转动，设,OC h CB r ==。
求摇杆的转动方程。