电流密度、电荷密度

电荷守恒定律、电荷和电场公式小结

1. 电荷密度

V q

V ∆∆=→∆0lim

ρ ∑-=i

i i x x q )(δρ

s q S ∆∆=→∆0lim

σ l

q

l ∆∆=→∆0lim λ

2 电流密度

电荷的运动形成电流，通常用j

来描述，其定义为

v j

ρ=

v

代表电荷密度ρ的运动速度。

3.电流强度

单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强度，用I 表示，显然I 与j

的关系为

⎰⎰⋅=S

s d j I

4.电荷守恒定律

对于封闭系统，总电荷保持不变。实验表明电荷是守恒的。即一处电荷增加了，另一处的电荷必然减少，而且增加和减少的量值相等。

若在通有电流的导体内部，任意找出一个小体积V ，包围这个体积的闭合曲面为S ，并且假定电流的体积V 的一面流入，从另一面流出。

⎰⎰⎰-=⋅V

S d dt d s d j τρ 0=∂∂+⋅∇t

j ρ

5.库仑定律(Coulomb ’s Law)：

库仑定律是描写真空中两个静止的点电荷q’和q 之间相互作用力的定律。其数学表达式为

r r q q F 3

041'=πε

⎰⎰

=

12213

21041

V V d d r r

F ττρρπε

6、叠加原理

若空间存在n 个电荷q 1, q 2···q n ，这时任意一个电荷q j ，受到其它所有电荷对它的作用力为

∑==n i ji ji

i j j r r q q F 13

041 πε 称为线性叠加原理。

实际上电荷分布是不连续的，因为电荷是量子化的，任何物体所带的电荷总是电子电荷的整数倍。但在考查物体的宏观性质时能观察到的总是大量微观粒子的平均效应，因此常

用到电荷连续分布的概念来代替电荷的分立性。 ⎰⎰

=

12213

21041

V V d d r r

F ττρρπε

其中定义体电荷密度为

τ

τρτd dQ

Q =∆∆=→∆0lim

7、电场（electric field ）

作用在电荷q 上的力仅与该电荷的电量q 及其位置有关，即

)(x E q F =

式中x

是点电荷q 所在的位置矢量，)(x F

是点x

的某一矢量函数，

∑='-'-=

n

i i i i x x x x q x E 1

30

||)(41)( πε 或者

⎰⎰''=''-'-'=V V d r r

x d x x x x x x E τρπετρπεˆ)(41|

|)

)((41)(3030

式中x 是场点位置，x ' 为源点位置，x x r '-=

。要讨论点电荷q 的运动就要知道它受到的

作用力。求作用力现在不归结为求函数)(x E

，而它决定于空间除q 外其余电荷的分布，这

个函数就称为电场强度。 8、高斯定理

高斯定理主要是讨论电场强度)(x E

的面积分，在点电荷场中，设s 表示包围着点电

荷q 的一个闭合面，s d

为s 上的定向面元，以外法线方向为正。

θ

S

q r

E

s

d Ω

d s d '

0 0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⎰⎰面外在面内在S q S q q S d E S ε 根据叠加原理，在点电荷系场中，则存在如下形式：

⎰⎰⎰⎰⋅+++++=⋅S

n k S

s d E E E E S d E

)(2

1 设q 1,q 2,···q k 在S 内，q k +1,q k +2,···q n 在S 外，则有

1

1

εεq

q S d E k

i i S

∑⎰⎰==

=

⋅

这里q 仅仅是封闭曲面S 内的总电荷。

需要说明的是，当封闭曲面S 内的总电荷q=0时，0=⋅⎰⎰S

S d E

，这并不能解释成S

面上各点的场强为零，所以说，E

是由封闭曲面S 内、外所有电荷产生的场强的矢量和。

对于连续分布的电荷体系来说，则有

⎰⎰⎰=

⋅V

S

d s d E τρε01

9、静电场的散度

⎰⎰⎰⋅∇=⋅V

S

d E s d E τ

⎰⎰

=⋅∇V

V

d d E τρετ01

)(1

)(0

x x E ρε=⋅∇

10、静电场的旋度

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⨯∇=⋅∇0)()(1)(0x E x x E

ρε 总结讨论：

a. 静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正电荷出发到负电荷终止，有头有尾；

b. 静电场的场强表示为标量函数的负梯度，即ϕ-∇=)(x E

。因此，它是保守场，电荷在

场中沿闭合曲线运动一周电场力做功为零； c. 因为ϕ-∇=)(x E

，ρε01

=

⋅∇E

，故有ρεϕ0

21

-

=∇，这是静电场中电势满足的

Poisson 方程，而⎰

''=

V

d r

x τρπεϕ)

(41

是Poisson 方程的特解。