z变换、拉普拉斯变换、多项式方程和锻炼基本物质时空分布结构
傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧Heinrich，生娃学工打折腿这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
重庆邮电大学801信号与系统2020年考研专业课初试大纲
（2）LTI 连续系统的频域系统函数，LTI 真传输 的条件，无失真传输系统和理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应，抽样定理。 4 拉普拉斯变换分析法
重庆邮电大学 2020 年硕士研究生入学
命题方式
满分 考试性质 初试
《《信号与系统》（801）》考试大纲
招生单位自命题
科目类别
初试
150
考试方式和考试时间 闭卷，180 分钟
试卷结构 简答题、画图或证明题、分析计算题、综合题
考试内容和要求 （一）考试基本要求
考试范围限于确定性信号（非随机性信号）经线性非时变系统传输与处理的基本理论及基本分析方 法。测试主要分两个方面：一是基本理论和方法，考察考生对信号与系统的表示、分析、处理等基本理论 和基本方法的掌握程度；二是应用信号与系统的基本理论和基本方法分析和解决问题的能力，要求熟练掌 握连续时间系统、离散时间系统的时域分析法；信号与系统的变换域分析法，包括傅里叶变换、拉普拉斯 变换、 z 变换以及动态方程的建立等相关知识。 （二）主要考试内容 1 信号与系统的基本概念，
参考书目 1.杨晓非、何丰主编，信号与系统（第二版），科学出版社 2014 2.(美)奥本海姆（著）,刘树棠（译），信号与系统 (第二版)，电子工业出版社，2013 3.郑君里编，信号与系统（第 3 版），高等教育出版社 ，2011 备注
信号的基本概念及其分类，包括信号的表示方法、典型连续信号及其性质、典型离散信号及性质、信 号的基本运算、信号的分解；系统的基本概念及其分类，包括线性系统、非线性系统、时变系统、非时变 系统、因果系统、非因果系统、稳定系统和非稳定系统的判定以及对应的性质，连续系统与离散系统的时 域模拟。 2 连续系统的时域卷积分析法
拉普拉斯变换傅里叶变换和Z变换的意义
拉普拉斯变换傅里叶变换和Z变换的意义L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，L表示拉普拉斯变换算子，f(t)是定义在[0,∞]上的函数，s是复变量。
拉普拉斯变换的意义在于，它可以将时间域中的函数转换为复平面上的函数，从而方便地进行频域分析和求解微分方程。
通过拉普拉斯变换，我们可以得到函数的频谱特性、系统的稳定性和传递函数等重要信息。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于信号的滤波、系统的响应和控制系统的设计等。
傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的方法，它将一个连续函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
在实际应用中，傅里叶变换通常分为离散傅里叶变换（DFT）和连续傅里叶变换（FFT）两种形式。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[-∞,+∞] e^(-jωt) f(t) dt其中，F表示傅里叶变换算子，f(t)是定义在整个实数轴上的函数，ω是频率变量。
傅里叶变换的意义在于，它可以将时域中的函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱分布、信号的周期性和对信号进行滤波等。
在图像处理、语音处理和通信系统中，傅里叶变换广泛应用于信号分析、滤波和信息传输等方面。
Z变换是一种将离散函数转换为复变函数的方法，它将离散序列表示为复平面上的复数函数。
Z变换在数字信号处理和控制系统中广泛使用。
Z变换的定义如下：Z{f[n]}=F(z)=∑[-∞,+∞]f[n]z^(-n)其中，Z表示Z变换算子，f[n]是一个定义在整个整数轴上的离散序列，z是复变量。
Z变换的意义在于，它可以将离散序列转换为复平面上的函数，从而方便地进行频域分析和系统建模。
通过Z变换，我们可以得到离散序列的频谱特性、系统的稳定性和传递函数等信息。
在数字滤波器设计、控制系统分析和离散信号处理中，Z变换是一种重要的工具。
综上所述，拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换是信号处理和系统分析中常用的工具。
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。
高中教材中傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换
高中教材中傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它被广泛应用于信号处理和通信领域。
在高中教材中，傅里叶变换通常作为一个拓展内容出现，并不要求学生深入理解其数学推导。
傅里叶变换可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和，通过分析原始信号中的各个频率成分，我们可以获得有关信号频谱的信息。
这对于理解信号的频率特性和滤波器设计非常重要。
在高中教材中，傅里叶变换通常涉及以下几个方面的内容：1.傅里叶级数：介绍周期函数的傅里叶级数展开，以及如何计算级数中的各个系数。
2.傅里叶变换与频谱：讨论连续时间信号的傅里叶变换，以及如何从傅里叶变换的结果中获取频谱信息。
3.傅里叶变换的性质：介绍傅里叶变换的线性性、平移性、尺度性等基本性质，并给出相应的证明。
4.傅里叶变换的逆变换：讲解如何从频域信号反推回时域信号，即傅里叶逆变换的计算方法。
高中阶段的学生可以通过简单的例子和图形来理解傅里叶变换的基本概念和应用。
此外，教材还可能提及一些傅里叶变换在实际应用中的例子，例如音频信号的压缩和图像处理等领域。
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将复杂的微分方程转化为代数方程的数学工具，广泛应用于电路分析和控制系统设计等领域。
在高中教材中，拉普拉斯变换通常不作为必修内容，而是出现在物理或工程类选修课程中。
拉普拉斯变换可以将一个时域函数转换为复平面上的频域函数。
通过对原始信号进行变换，我们可以获得有关信号的频率特性、稳定性以及对外界扰动的响应等信息。
在高中教材中，拉普拉斯变换通常涉及以下几个方面的内容：1.拉普拉斯变换的定义：介绍拉普拉斯变换的定义和计算方法，包括常见函数的拉普拉斯变换表格。
2.拉普拉斯变换的性质：讲解拉普拉斯变换的线性性、平移性、尺度性等基本性质，并给出相应的证明。
3.拉普拉斯变换的逆变换：讲解如何从频域信号反推回时域信号，即拉普拉斯逆变换的计算方法。
4.拉普拉斯变换与微分方程：介绍如何利用拉普拉斯变换解决一些复杂的微分方程问题。
z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中，z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。
它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。
虽然它们看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。
一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法，它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。
z变换定义如下：$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中，$x(n)$是一个离散时间信号，$z$是一个复变量。
$X(z)$是一个复变量函数，称为$x(n)$的z变换。
可以看出，z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。
它的收敛域是一圆形或一个环形区域。
z变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法，它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。
拉普拉斯变换定义如下：$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中，$x(t)$是一个连续时间信号，$s$是一个复变量。
$X(s)$是一个复变量函数，称为$x(t)$的拉普拉斯变换。
可以看出，拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。
它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。
与z变换类似，拉普拉斯变换也具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。
三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
实际上，z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体来说，我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换：$$s=frac{1}{T}ln z$$其中，$T$是采样周期。
这个公式告诉我们，如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$，并且采样周期为$T$，那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$，然后将$s$替换成上面的公式，得到$x(n)$的z变换$X(z)$。
拉普拉斯变换与Z变换
拉普拉斯变换与Z变换拉普拉斯变换与Z变换从傅⾥叶变换到拉普拉斯变换1. Fourier 变换：x(t)F⟶X(jω)X(jω)F−1⟶x(t)X(jω)=|X(jω)|幅度谱e j相位谱θ(jω)F变换把时域分析的卷积运算转化为频率域的乘积运算2. 连续时间Fourier 变换收敛条件：狄⾥赫利条件1.∫+∞−∞|x(t|dt<∞，x(t)绝对可积2.在任何有限区间内，x(t)只有有限个最⼤值和最⼩值3.在任何有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，且不连续点上信号有有限值⼀些常见信号如阶跃、斜坡、周期都不满⾜绝对可积的条件，不能直接求F变换eg: 周期信号x(t)F⟷2πX1(jω)=∑∞k=−∞2πa kδ(ω−kω0)，当t→∞，x(t) 不趋于03. 解决⽅法：在⾃然界，指数信号exp(−x) 是衰减最快的信号之⼀，对信号乘上指数信号之后，很容易满⾜绝对可积的条件。
引⼊衰减因⼦e−σt，乘以x(t)，使t→∞,x(t)e−σt→0。
F{x(t)e−σt}=∫+∞−∞x(t)e−σt e−jωt dt=∫+∞−∞x(t)e−tS(σ+jω)dt⇔X(σ+jω)=∫+∞−∞x(t)e−tS(σ+jω)dt⇔L{x(t)}=X(s)=∫+∞−∞x(t)e−st dt双边Laplace变换正变换X(s) 称为X(t) 的象函数x(t)e−σt=F−1{X(σ+jω)}=12π∫+∞−∞X(σ+jω)e jωt dωx(t)=12π∫+∞−∞X(σ+jω)e(σ+jω)t dωx(t)=L−1{X(s)}=12πj∫σ+j∞σ−j∞X(s)e st ds Laplace反变换4. 衰减因⼦e−σt：e st=e(σ+jω)t=eσt e jωt数学含义：原函数乘以衰减因⼦以满⾜绝对可积条件物理含义：频率ω变换为复频率sω只能描述振荡的重复频率s不仅描述重复频率，还描述振荡幅度的增长速率或衰减速率5. 关系：傅⾥叶变换可以看做是拉普拉斯的⼀种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)，拉普拉斯变换是傅⾥叶变换的推⼴，是⼀种更普遍的{表达形式。
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常用的信号处理方法，它们有着密切的联系和相互转换的关系。
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的方法，可以将微分方程转化为代数方程。
它的定义是对于一个函数f(t)，如果它在区间[0,∞)上是绝对可积的，那么它的拉普拉斯变换F(s)为：F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是一个复数变量，e^(-st)是指数函数。
与拉普拉斯变换相对应的是z变换，它可以将离散时间域信号转化为复频域信号。
z变换的定义是对于一个离散时间信号x[n]，如果它在n的整个范围上是绝对可和的，那么它的z变换X(z)为：X(z) = ∑[n=-∞,∞] z^(-n) x[n]其中，z是一个复数变量，n是整数。
尽管拉普拉斯变换和z变换的定义看起来非常不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，z变换是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体地说，如果我们将拉普拉斯变换中的变量s替换为z^(-1)，那么我们就得到了z变换的公式。
这意味着，通过对拉普拉斯变换的理解，我们可以更好地理解z变换，并在它们之间进行转换。
拉普拉斯变换和z变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，它们都可以用于滤波、系统建模、控制系统设计等方面。
在实践中，我们通常会根据具体应用场景和需求来选择使用哪种变换方法。
如果我们处理的是连续时间信号，那么我们会使用拉普拉斯变换；如果我们处理的是离散时间信号，那么我们会使用z变换。
当需要将一个连续时间信号转化为离散时间信号时，我们也可以使用z变换，它提供了一种将连续时间信号离散化的方法。
拉普拉斯变换和z变换是信号处理中常用的两种方法，它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。
通过深入理解它们的定义和应用，我们可以更好地处理和分析信号，实现更好的信号处理效果。
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常见的信号处理技术，它们在信号噪声分析、信号滤波、信号压缩等领域得到广泛应用。
虽然这两种技术有一些相似之处，但它们在数学理论和应用领域上也存在明显的差异。
拉普拉斯变换是一种连续时间信号处理技术，它将信号从时域转换到频域。
使用拉普拉斯变换，可以将一个连续时间信号$f(t)$转换为在复平面上的一组函数$F(s)$，其中$s$是一个复变量。
拉普拉斯变换广泛应用于控制工程、噪声分析和其他应用领域。
相比之下，z变换是一种离散时间信号处理技术，它将信号从时域转换到$z$域。
使用z变换，可以将一个离散时间信号$f[n]$转换为在复平面上的一组函数$F(z)$，其中$z$是一个复变量。
z变换也广泛应用于数字滤波、视觉跟踪、自适应信号处理等应用领域。
尽管拉普拉斯变换和z变换来源于不同的数学理论，但它们之间存在相似之处，即它们都可以将时域信号转换为频域信号，以改善信息处理的效率和准确性。
而且，当某些条件得到满足时，z变换可以视为拉普拉斯变换的离散时间特例：z变换是当拉普拉斯变换中复变量$s$沿虚轴移动到单位圆时的结果。
这使得z变换和拉普拉斯变换之间建立了一种有用的数学关系。
在信号处理中，拉普拉斯变换和z变换之间的关系可以通过算法和数学等方式进行描述。
首先，在算法方面，可以使用拉普拉斯变换和z变换的特性，将信号从一种频域转换为另一种频域。
其次，在数学方面，可以使用变换的性质来描述它们之间的关系。
这包括卷积性质、反演性质、初始值定理和终值定理等。
需要注意的是，尽管两种变换之间存在类似之处和相关性，但它们并不是等同的技术。
拉普拉斯变换通常用于连续时间信号，而z变换主要用于离散时间信号。
因此，在信号处理中，我们需要根据信号时间域和信号类型的不同，选择适当的变换方法。
例如，对于离散时间信号，可能更适合使用z变换来准确分析其频域特性，而拉普拉斯变换可能不太适用。
总之，拉普拉斯变换和z变换是两种用于信号处理和频率分析的常见数学工具。
第五章 拉普拉斯变换和Z变换_第二讲
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
由线性常系数微分方程描述的LTI系统 拉普拉斯变换的性质可以用来求得一个由线性常 系数微分方程表征的系统的系统函数、频率响应、时 域响应。例如：考虑如下方程描述的系统，
dy (t ) Y (s) 1 + 3 y (t ) = x(t )， H ( s ) = ∴ = ∵ dt X (s) s + 3 ∵ sY ( s ) + 3Y ( s ) = X ( s )； 因为没有收敛域信息，所以需要讨论：
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
本章要点：
变换的定义和相关概念 变换的性质 LTI系统的表征和分析 系统函数的属性与方框图表示 单边变换
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.32 拉氏变换对LTI系统的表征和分析 稳定性
一个连续时间LTI系统的稳定性就等效于它的单位 脉冲响应是绝对可积的，即 h(t ) 的傅里叶变换收敛。 因此 一个LTI系统当且仅当它的系统函数 H (s) 的ROC 包括 jω 轴，即 Re{s} = 0 时，该系统就是稳定的。 一个具有有理系统函数 H ( s ) 的因果LTI系统，当且 仅当全部极点都位于 s 平面的左半平面时，也即全部 极点都有负的实部时，系统才是稳定的。
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
通俗解释拉普拉斯变换和z变换
通俗解释拉普拉斯变换和z变换【知识文章】通俗解释拉普拉斯变换和z变换引子：当我们在学习信号与系统、控制系统等相关学科的时候，经常会遇到一些数学工具的使用，比如拉普拉斯变换和z变换。
这两个变换在分析和处理信号时具有重要的作用，但对于初学者来说，它们可能会显得比较抽象和难以理解。
那么，下面我将以通俗易懂的方式，给大家解释一下拉普拉斯变换和z变换的含义和应用。
一、拉普拉斯变换1. 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学工具，它将一个在时间域上的函数转换为另一个在频域上的函数。
通俗来说，就是将一个信号在时间轴上的变化转换为在频率轴上的变化。
拉普拉斯变换可以用来解决微分方程，尤其是线性常系数微分方程。
通过将微分方程转化为代数方程，我们可以求解出系统的稳定性、频率响应等重要参数。
2. 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在信号处理和控制系统中有广泛的应用。
它可以用来分析连续时间信号的频谱特性、系统的稳定性和响应等。
在音频处理中，拉普拉斯变换可以用来分析声音信号的频谱，并进行音频增强或降噪等处理。
在控制系统中，拉普拉斯变换可以用来分析系统的稳定性和动态响应。
通过将系统的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的频率响应和步响应等重要指标。
二、z变换1. z变换的定义z变换是一种离散时间信号的频域分析工具，它将一个离散时间信号转换为另一个在z域上的函数。
与拉普拉斯变换类似，z变换也是将信号在时间轴上的变化转换为在频率轴上的变化。
与拉普拉斯变换不同的是，z变换是针对离散时间信号而言的，它可以用来分析和处理数字信号、离散时间系统等。
2. z变换的应用z变换在数字信号处理和控制系统中有广泛的应用。
它可以用来分析离散时间信号的频谱特性、系统的稳定性和响应等。
在数字滤波器设计中，z变换可以用来分析滤波器的频率响应，并进行滤波器参数的优化。
在数字控制系统中，z变换可以用来分析系统的稳定性和动态响应。
通过将系统的差分方程进行z变换，我们可以得到系统的频率响应和步响应等重要指标。
广西大学2020年《数字电路及信号与系统(816)》考试大纲与参考书目
广西大学2020年《数字电路及信号与系统(816)》考试大纲与参考书目考试性质初试考试方式和考试时间闭卷考试试卷结构一、试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容结构信号与系统90分数字电子技术基础60分四、试卷题型结构单项选择题（30分）填空（20分）画图（20分）简答（30分）综合应用题（50分）考试内容信号与系统【考查目标】1.掌握信号与系统的基本概念、理解信号的描述、分类及特性，掌握确定信号及线性时不变系统的特性。
2. 掌握线性时不变时间系统与离散时间系统的数学模型，了解连续时间系统与离散时间系统响应时域分析的概念和方法，深刻理解卷积计算LTI系统的零状态响应的过程，以及与信号时域分解的关系。
3. 掌握信号的频域分析方法，掌握周期信号和非周期信号的频谱及其特点，重点掌握连续时间信号傅里叶变换及其主要性质。
4. 掌握单边的拉氏变换及其主要性质，熟悉连续时间系统的复频域分析方法，重点理解系统函数的概念和由系统函数分析系统的特性。
5.熟悉掌握典型离散信号及其表示；熟悉建立差分方程的过程；z变换的概念和典型信号的Z变换，利用z变换求解离散系统的差分方程的方法，利用卷积求系统零状态响应的方法。
一、绪论(一)了解信号与系统的概念、信号的描述、分类和典型信号。
(二)掌握信号的运算、阶跃信号与冲击信号、信号的分解。
(三)掌握系统的模型及其分类、线性时不变系统，系统的分析方法。
二、连续时间系统的时域分析(一)掌握微分方程的建立、求解，起始点的0-到0+跳变。
(二)熟悉掌握零输入响应和零状态响应(三)掌握系统冲击响应求法和阶跃响应，利用卷积求系统的零状态响应，卷积的性质和图解法。
三、傅里叶变换(一)熟悉周期信号的傅里叶级数，频谱结构和频带宽度(二)掌握冲击函数和阶跃函数的傅里叶变换，卷积特性。
(三)掌握傅里叶变换的性质，周期信号的傅里叶变换，抽样信号的傅里叶变换，抽样定理。
拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换
傅立叶变换，拉普拉斯变换，Z变换的意义在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
z变换和拉普拉斯变换的关系
z变换和拉普拉斯变换的关系在信号分析中，Z变换和拉普拉斯变换都是用来分析信号的工具。
它们在时间和频率域之间建立了一种关系，这使得我们能够更好地了解信号的频域性质。
虽然它们之间有许多相似之处，但它们之间还存在一些不同之处。
本文将探讨Z变换和拉普拉斯变换之间的关系。
Z变换是一种傅立叶变换的离散形式，用来分析离散时间系统。
Z变换可以将一个离散时间序列转换为一个复平面上的复函数，它是用于离散时间系统分析的强有力工具。
因为几乎所有现代数字信号处理（DSP）算法都使用Z 变换进行设计，因此掌握Z变换是非常重要的。
拉普拉斯变换则是一种傅立叶变换的连续形式，它用来解决传统时间域的微积分方程，是一种非常有用的工具。
拉普拉斯变换能够将一个信号转换为一个复数域，在这个复数域内，信号的频率和幅度可以很方便的进行分析。
虽然它们之间的定义看起来不同，但实际上，它们之间有着很强的联系。
这种联系主要体现在它们可以相互转换。
我们都知道，时域上的导数在频域上相当于乘以$ω$；而对于Z变换，$z$的值对应的是离散点（复杂频率）。
实际上，如果在Z平面上用$z=e^{jω}$，那么Z变换就相当于DTFT（离散时间傅里叶变换）。
因此Z变换和DTFT是密切相关的。
拉普拉斯变换和Z变换的转换是通过时间离散化实现的。
实际上，使用拉普拉斯变换可以在连续时间领域中分析信号，但这并不总是非常方便，因为在实际应用中，我们通常需要分析数字信号或控制系统。
因此，为了在数字信号处理（DSP）中利用某些设计工具，我们必须将信号从连续时间域中转换为离散时间域。
这种转换通常通过取样或通过离散化来实现。
在进行时间离散化后，我们可以使用Z变换来分析离散时间系统，在这种情况下，拉普拉斯变换的Z域等效变量是很有用的。
换句话说，我们可以使用Z变换将离散时间系统映射到与拉普拉斯变换的复平面中的区域相关的点。
虽然Z变换和拉普拉斯变换之间存在这些联系和相似之处，但它们在一些方面仍然有所不同。
拉普拉斯变换与Z变换
tia
e − at
l
f (t ) = L−1 [ F ( s )] 。
例 1 求单位阶跃函数 u (t ) = 解 由拉氏变换的定义有：
C
0, t < 0 的拉氏变换。 1, t > 0
+∞
on
0 0
F(s)称为 f(t)的拉氏变换（或称为象函数） 。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换，则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换（或称为象原函数） ，记为：
定义：设函数 f(t)当 t≥0 时有定义，而且积分 某一域内收敛，则由此积分所描述的函数可写为
∫
+∞
0
f (t )e − st dt （s 是一个复参量）在 s 的
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt
en
Z 变换 F(z) 1
其中 s = σ + jω 为复变量，σ为实部，ω为虚部。
2
ny
11 12
sinωt
cosωt
pa
13
e − at sin ωt
ω (s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
om
14
e − at cos ωt
C
fid
2
ze −T sin ωT z 2 − 2 ze −T cos ωT + e −2 aT z 2 − ze − aT cos ωT ) z 2 − 2 ze −aT cos ωT + e − 2 aT
1 1 − e −Ts 1 s 1 s+a 1 s − (1 / T ) ln a 1 s2
z变换、拉普拉斯变换、多项式方程和锻炼基本物质时空分布结构
(1)Z变换、拉普拉斯变换、多项式方程和锻炼基本物质时空分布结构附设六脉乃是外设先天，先天脉和实位脉处对应为极点，而其零点处于虚幻脉上，其单位圆在内太极边界，若以外为内，则其零极点恰好在单位圆内，为虚位太极相关最小相位系统，给定频谱分布的最小相位系统是唯一的，因人本属阴实，故初始立位因地，其锻炼首在虚位太极相关最小相位系统的锤炼。
而初始在相当长一段时间内物质时空分布结构满足中心之丹区乃真空零位所属，内12正经营气关乎正物质骨骼血肉结构，藏精而起亟，外卫气为弥散负物质场，卫外而为固。
乃是零藏于中，阴凝于内，阳散于外的基本格局，因万物负阴而抱阳，照理说其丹区所抱之物乃使得丹区阴阳所属为阳，但由于此区本存为阴，阴阳叠加而实为零，附设六脉之时，外为先天为阳，中为实位为阴，内辅虚幻为零乃是此基本时空分布结构的深化。
丹区中零结构乃阴阳配比两均，恰好对应拉普拉斯变换所对应s域，为果地,法无为——其全通结构的零极点分布乃关于直角坐标轴对称而互为镜像共轭——三轴结构作为基本坐标轴只有果地才存在，而其外阳内阴分布格局恰好对应Z变换所对应Z域，为因地，乃有作——在因地果地任意直线映射为等角螺旋线或同心圆——均匀场强可以看成等距平行线，所谓“始于有作人未识，及至无为众方知”。
之所以如此，乃是因地乃经典物理作用层次，其粒子粒度较大，整体规律遵循差分方程之离散可数形式，故与Z变换关系密切；而果地乃精微物理场层次，其作用精微，整体规律遵循微分方程之连续无间形式，故与拉普拉斯变换关系密切。
由于正负物质的交互作用所导致的波动性，其整体作用场至少在二阶以上，交互作用使得它们本质上都与傅立叶变换关系密切，存在Z变换和拉普拉斯变换的自然物理过程，可将差分和微分规律直接转化为有理多项式形式表达的系统函数而与多项式求根过程也建立密切联系。
在非线性系统稳定性研究理论中，平衡点的稳定性都转化为零点稳定性来讨论，则与拉格朗日点关系密切的脉轮分布于人体中轴中枢，乃对应人体之零点所在。
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(1)Z变换、拉普拉斯变换、多项式方程和锻炼基本物质时空分布结构附设六脉乃是外设先天，先天脉和实位脉处对应为极点，而其零点处于虚幻脉上，其单位圆在内太极边界，若以外为内，则其零极点恰好在单位圆内，为虚位太极相关最小相位系统，给定频谱分布的最小相位系统是唯一的，因人本属阴实，故初始立位因地，其锻炼首在虚位太极相关最小相位系统的锤炼。
而初始在相当长一段时间内物质时空分布结构满足中心之丹区乃真空零位所属，内12正经营气关乎正物质骨骼血肉结构，藏精而起亟，外卫气为弥散负物质场，卫外而为固。
乃是零藏于中，阴凝于内，阳散于外的基本格局，因万物负阴而抱阳，照理说其丹区所抱之物乃使得丹区阴阳所属为阳，但由于此区本存为阴，阴阳叠加而实为零，附设六脉之时，外为先天为阳，中为实位为阴，内辅虚幻为零乃是此基本时空分布结构的深化。
丹区中零结构乃阴阳配比两均，恰好对应拉普拉斯变换所对应s域，为果地,法无为——其全通结构的零极点分布乃关于直角坐标轴对称而互为镜像共轭——三轴结构作为基本坐标轴只有果地才存在，而其外阳内阴分布格局恰好对应Z变换所对应Z域，为因地，乃有作——在因地果地任意直线映射为等角螺旋线或同心圆——均匀场强可以看成等距平行线，所谓“始于有作人未识，及至无为众方知”。
之所以如此，乃是因地乃经典物理作用层次，其粒子粒度较大，整体规律遵循差分方程之离散可数形式，故与Z变换关系密切；而果地乃精微物理场层次，其作用精微，整体规律遵循微分方程之连续无间形式，故与拉普拉斯变换关系密切。
由于正负物质的交互作用所导致的波动性，其整体作用场至少在二阶以上，交互作用使得它们本质上都与傅立叶变换关系密切，存在Z变换和拉普拉斯变换的自然物理过程，可将差分和微分规律直接转化为有理多项式形式表达的系统函数而与多项式求根过程也建立密切联系。
在非线性系统稳定性研究理论中，平衡点的稳定性都转化为零点稳定性来讨论，则与拉格朗日点关系密切的脉轮分布于人体中轴中枢，乃对应人体之零点所在。
而穴位由于都分布于体表，且其深度都差不多，类似于奇异眼点，则对应人体的各个极点。
零极点的调整可以关涉人体系统的整体功能，所以可以调百病、决生死。
就果地来看，人体皮肤为内外分野的关键所在，不论是穴位对应的对称极点分布，还是脉轮对应的零点都在皮肤包络区域之内，恰对应零极点都在单位圆内的最小相位系统。
进一步推广到太极中，太极两眼对应两极点，类似洛仑兹吸引子那样，而中宫乃对应零点，外圆对应单位圆为电磁波的通道，因此也是最小相位系统。
在高级阶段的大练形中，应该首注重果地实位太极的最小相位系统综整。
近似对称性这一概念可以适用于视网膜，在视网膜上，靠近视野中心的细胞排列得和紧密，体型也较小，而远离中心的细胞则较大。
这种结构在旋转和缩放变换中是近似对称的。
就离散系统而言，这是接近绝对对称的结构，这种结构便于大脑对来自眼睛的信息进行加工。
无论物体的方向怎样改变，或者在近处看上去大一些，在远处看上去小一些，大脑都能把它识别出来。
大脑对外界形态的平移对称性进行加工的方式则有所不同：大脑要求眼睛对准观察的物体，让其影像落在视野中心，以便非常清楚地看到它。
当眼睛盯着运动的物体时，整个视野也跟着物体发生平移。
因此，视网膜上的细胞的排列方式没有必要去考虑平移对称的特性。
这是一件十分幸运的事，因为离散细胞无论怎样排列，都不可能同时对三类对称性（不包括映射）做到良好的近似。
20世纪90年代中期，计算机科学家西蒙.克里平格戴尔（Simon Clippingdale）、罗兰.威尔逊(Roland Wilson）以及数学家彼得.梅森(PeterMason）经过研究后表明，虚拟的神经网络经过训练后，能够掌握生成近似对称结构的方法。
视觉皮层（大脑中接收和加工来自于眼的信息的部位）也具有对称性，但这种对称性与视网膜的对称性很不相同。
在视觉皮层中，占据压倒地位的是平移对称。
因此，我们的感觉系统必须将视网膜上的影像投射到视觉皮层上。
这一过程需要借助一种名为“复对数”的数学变换才能完成（图68）。
这种变换将视网膜上的圆形和螺旋形转化为皮层上向不同方向伸展的直线。
螺旋线是一种常见的幻觉，经过对数映射后，它变成了一组平行线（图69）（注：这种变换实际上类似拉普拉斯变换和Z变换的关系，Z变换对应同心圆，则在拉普拉斯变换中对应一系列直线,若L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数e^z 会将这些直线映像到以0为中心的对数螺线,平行于实轴的直线映射为过原点的一条射线，平行于虚轴的直线映射为一个圆，这恰恰是s平面和Z平面的变换.虚轴映射为单位圆，与虚轴呈一定夹角的过原点射线映射为一对数螺线，所有过原点的射线映射为过实轴上1和0点的一族对数螺线，其螺旋趋向于无穷远，可能与太极s线的形成有关——不过原点的射线也对应对数螺线，其螺旋中心也不在原点。
参考/s/blog_53d3accd0100ra0b.html）。
最早注意到这一现象的是杰克.考恩(JackCowan)。
于是，我们立即明白了幻觉的形成过程；平行电波穿过大脑皮层时，就像海浪翻滚着冲上海滩一样。
我们的视觉将这种电波误认为是撞击在视网膜上的螺旋形信号。
因此，大脑在制造平行波，我们却以为看到了螺旋形图案。
现实世界对我们大脑的影响是直接的，并不需要通过感觉系统，因而我们看到的景象与实际存在的景象有所不同。
ln(1+Z)这一个表达式在Z的模趋近于零时其等价于Z，其在Z的模远远大于1时相当于lnZ,而lnZ恰好是Z变换和拉普拉斯变换即s变换的映射关系式（该变换可以把同心圆或螺旋型结构映射为平行直线，在锻炼过程中多种直线结构的形成可能与此有关）。
前者暗示该表达式在极微观满足量子化和离散特征，在极宏观体现连续性的拉普拉斯变换特征，而在正常功能和状态下则满足人体一般器官的响应特征即无论视觉、听觉还是感觉的取对数的动态范围压缩特征，如对数变换、傅立叶频谱动态范围的压缩，频谱图均值的计算方法。
因此，可以推断，该公式是一个普适性公式，反映了人体乃至宇宙的某种本质性质。
（参考/s/blog_53d3accd0100ra0b.html）视网膜作为一种特殊的外周光刺激感受器，其将旋转和放缩的对称性转化为大脑皮层平移对称性的方式是从Z平面到S平面的取对数变换，而人声感受器耳蜗的排列同样满足类似的结构，由此可以推测，其外周神经系统按照Z变换原理感受并分析刺激，符合旋转和放缩对称，而中枢神经系统而以平移对称为主处理信息，按照拉普拉斯变换原理响应——其左右为金木实轴，上下为水火虚轴。
实际上河图的基本结构乃是圆对称和螺旋型的，而洛书的基本结构则类似电荷经典平衡移动一样的平移对称性，河图过螺旋中心的螺旋线基于取对数变成洛书中的对称性，所有过原点的射线一定过Z 平面原点和实轴上的1点，可将类似闪闪红星一样的光线映射为螺旋线。
或者横平的线族映射为类似闪闪红星的线——其按奇偶对应隶属于同一条直线的两条不同射线，竖直的线族映射为一个个同心圆——其按上下分别对应左右半圆。
当出现如此鉴景鉴象时，实际上当对应外周神经系统和中枢神经系统的勾连，如此恰是内外太极之勾连阶段，若内外太极之心对齐时，螺旋线、闪闪红星线和同心圆、奇偶、左右、阴阳等现象兼备，乃是正景。
旋转和放缩对称乃是周围神经系统的状态，而平移对称性乃是中枢神经系统的状态，如此将平移对称和旋转与放缩对称分离的“设计”是非常合理的，在物质演化中也是先旋转离相，然后才有所谓平移离相的过程。
而在空间6自由度物体运动研究中，三个平动自由度和三个转动自由度也是分离进行研究的，包括四元数的研究也是类似。
传统锻炼体系中，不论万字符号，还是十字形，都可看成两位太极s线的垂直正交，则根据物理原理，凡是界面处都会发生镜面效应，对于直角镜而言，其一个物像可同时对应三个镜像，这三个镜像具有共轭和镜像对称关系，如下图所示，若将其看成人体系统的系统函数的零点和极点，即左半平面对应两共轭极点，右半平面对应两共轭零点——对于人体乃将复平面逆时针旋转90度，上为零点，下为极点，都对应太极之眼——对应Z变换则全在单位圆内，也即内或外太极内,此时以圆周为镜面按照模乘积为1对称分布零点和极点。
如此构成的系统具有全通特性，即对于任意正弦波，其幅度响应维持不变，可以基于该系统无衰减地传递，但其相位响应可能会发生变化。
系统函数和频谱反映了能量场系统对于复指数波动信号的传递性能，属于的数学描述模型。
能实现全通系统，意味着人体生物场对真空零点能白噪声谱中无穷多波动成分都能平等无衰减传输，这是破译宇宙大全信息的前提条件之一。
形成全通系统是一切锻炼方法的前提和基础，其以临界区为界存在互为共轭反演的极点和零点，这自然构成了一“眼（极点）藏于内，象(零点)挂于外”的结构，所谓：象挂於外，收天際無休之垂露；眼藏於內；益蒼穹不止之本源。
实际上，其临界区也存在极为精细的临界相结构，使得整个系统对于任何频率的波动信息都等幅传递，所谓“万物过心而心不为之所动”，但对于相位信息则会发生相移或曰错位，恰好就是“八卦相错”原理的完美科学诠释。
注：如果系统的幅频响应|H(jω)对所有的ω均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
上文锻炼镜像例子实际上对应简单的二阶系统——高阶系统存在多对共轭对称的四元零极点组，如在全通函数研究中有二阶系统，其系统函数在左平面有一对共轭极点：p1,2=－α±jβ，令s1=－p1，s2=－p2，它在右半平面上有一对共轭零点ζ1=α＋jβ= s1，ζ2= α－jβ= s2，那么系统函数的零点和极点对于jω轴是镜像对称的。
(参考/s/blog_53d3accd0102dwav.html)注：因地和果地的这种Z变换和拉普拉斯变换的对应乃是人体信息处理或者说内外太极作用的最基本机制的体现，一切果地的螺旋线或圆都将转化为因地的平行直线进行处理，而大脑信息的处理的机制是由于内太极服从零场连续微分方程所决定的数理规律必须按照拉普拉斯变换进行处理所直接造成的。
也暗示了人体生命之根在于虚空——真空零点能，只有真空零点背景的规律才符合连续微分模型，而人大脑作为人体信号处理中枢按照拉普拉斯变换的规律正是人元神根于真空的直接证据,人的魂魄元神等都属于正反物质虚粒子对的真空凝聚态，对于身体状态起着关键的调控作用，自然属于连续场范畴，其与微分方程基本变化规律和拉普拉斯变换S域描述密切相关，其全通系统符合直角镜原理，故内经言：得神者生，失神者死。
自然界的声强乃至能量变化区间巨大，要进行有效比较，一般需要取对数，这和人生理响应强度对外界刺激强度取对数的原理类似，人体的神系乃是人体场对外来刺激信号响应的系统。
事实上，宇宙真空背景场可以看成宇宙各种生化的激励和控制层面的存在系统，也是按照连续微分和拉普拉斯变换原理的，人体和宇宙的信号控制和响应基本原理是一致的，古人所谓：人法天。