弹塑性力学11塑性极限分析

1 2

s
ij
ui x j
s
ji
u j x x

体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
13
虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
塑性铰是单向铰，梁截面的转动 方向与塑性极限弯矩的方向一致。 否则将使塑性铰消失。
P
x

l 6
o
x
l/2 l/2 z
P x
l/2 l/2 z
7
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑
性极限载荷、弹塑性分界线。
P
解： Mmax Pl
b
o
xh
y
P Mmax l
l z
M max
z

h 2
P x
o
x
l/2 l/2 z
x0
he

h 2
3 Pl 2Me
Me Pl/4
5
四．全塑性阶段
P
x0
he 0
Ms

bs s
12
3h2 4he2
o
x
l/2 l/2
MP

bh2 4
ss
M
p

3Me 2
塑性极限弯矩
z ss
x

l 6
h/ 2
PP

4MP l

bh2 l
s
（3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载 能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时 的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重 合－几何方程，且被外界约束的物体表面上满足 位移和速度边界条件。）
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件．极限条件．破坏机构条件的解。
11
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，
若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的
虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变
能）。
fi ui*dV
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
12
证明： fiui*dV
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/ 2
z ss
9
§11－2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性 状态。
（2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即 使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构 不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。

1 2
ui x j

u j x x

s ij s ji
V
ST

V
fiuidV
V
(s ij ui ) dV
x j

V

s
x
ij j


f
i

ui
dV

s ij
V
ui x j
dV s ij ijdV
V
s ij ij


Mz I
I bh3 12
s x max

6M bh2
l/2
Mises：屈服条件：s xmax s s b
Me

bh2 6
s
s
弹性极限弯矩
h
y
ke

1
e

Me EI

2s s
Eh

2 s
h
sz
Pe

4Me l

2bh2 3l
s
s
ss
弹性极限载荷
s
P x
l/2 ss
ss

3
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
Ms Me
塑性区扩展
he
h/2
Ms 2b s xzdz 2b s szdz
0
he
Ms

he
2b
0
zs s
he
zdz

h/2
2b s szdz
he
Ms
wenku.baidu.com

bs s
12
3h2 4he2
Me

bh2 6
ss
Ms

Me 2
3

4
he2 h2

Mx

P 2
Fiui*dS
s
ij

* ij
dV
平衡方程： 边界条件：
V
ST
s ij
x j

fi
0
s ij l j Fi
V
Green 公式：
f V x j dV S fl jdS
fiuidV FiuidS fiuidV s ijl juidS
V
ST
ij
s
塑性极限载荷
M

PP 2
l 2




Me

Pe l 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
6
塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
特点：
塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
sx
sx
横截面上只有正应力。
s x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
Pl/4 1 d2w dx2
2
二．弹性阶段
sx

E x

Ez
l 2

x
ss
he h/ 2
z ss P
o
x
l/2 l/2 z
弹塑性区交界线： he 1 3 P(l 2x)
h2
2Me
4
弹塑性区交界线： he 1 3 P(l 2x)
h2
2Me
x x
Me

P 2
l 2



h he 2
he
Me

bh2 6
ss
Pe

bh2 6l
ss
Mp

bh2 4
ss
Pp

bh2 4l
ss
8
Pe P PP
Ms

Me 2
3

4
he2 h2

he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
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塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。
（2）变形是微小的。
（3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。
（2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背 的条件（屈服条件。）
第11章 结构的塑性极限分析
梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析
1
§11－1 梁的弹塑性弯曲 一．基本假定
平截面假设：在变形过程中，
变形前为平面的横截面，变形
后仍保持为平面，且与变形后
梁的轴线垂直。 x

z

b
h
y
Pz
x l/2 l/2
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，