浙江省名校新高考研究联盟2020届第一次联考答案

=
2(
x03 x02 +
3)
,
y3
=
x0 2
x3
−
x02 4
= − 3x02 4(x02 + 3)
，
KE
的方程为
y
+
3x02 4(x02 + 3)
=
−
2 x0
[x
−
2(
x03 x02 +
3)
],即y=
−
2 x0
x
+
x02 4(x02 + 3)
，
........2 分
令
y
= 0 得 xK
=
x03 8(x02 + 3)
故有 e2x
−
ex
3x
xe 2
3x2
成立，知当
x
0
时，
F(x) − G(x)
0
又 F(x),G(x) 在[0, +) 上单调递增，
当 m 1时， F(x2 ) = m = G(x4 ) F (x4 ) ， x2 x4 0 ，
而 x3 x1 0 ，此时 A B 和 B A 均不成立.
………………………4 分
，在直线 l 方程中令
y
= 0 得 xD
=
x0 2
，
FD 2 = 1 + ( x0 )2 = 4 + x0 2
2
4
DK
=
x0 2
−
x03 8(x02 + 3)
=
3x0 8(
(x02 + 4) x02 + 3)
,
k
FD
=
−
2 x0
, kBC
=
x0 2
, kFD
kBC
=
−1, FD
⊥
BC ，........2
法二：由方法一知存在 x1 0 x2 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ， A = [x1, x2 ] .
存在 x3 0 x4 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ，故 B = [x3, x4 ] .
…………………3 分
当 x 0 时， F (x) − G(x) = 3ax2 + ex − e2x ex − e2x 0 ，
Z20 联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2020 届第一次联考
数学参考答案
一、选择题 1．A 2．C 二、填空题
3．C
4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．B
11． −1 ； 2
15． 60 三、解答题
12． 23 ； 23 3
16．1
13． −2 ； −154 17． 4
14． 3 2 + 6 ； 2 2
令
P(t)
=t
− 1 − 2ln t t
，则 P(t)
=
(t
− 1)2 t2
0
当 t 1 时， P(t) P(1) = 0 .
……………2 分 ……………1 分
在上式中令 t
x
= e2
，可得当
x
x
0 时，有 e2
−x
−e 2
x
成立， e2 x
− ex
3x
xe 2
令 Q(t) = et − 2t ，则 Q(t) = et − 2 ，Q(t) Q(ln 2) = 2 − 2ln 2 0 ，ex 2x 恒成立，
3 3+5 3 22
= 10 .
22
3 12 + 3 + 25 5
则 BM 与平面 B1MC 所成角的正弦值为
10 . 5
方法三：不妨设 AB = 2 ，设所求线面角为 ，
...................2 分
BM ⊥ AA1 / /BB1 ，BM = 22 −12 = 3, B1M = 3 + 22 = 7 ，
又 BM ⊥ BB1, BM ⊥ BC ， BM ⊥ 平面 CB1B ，即 BM 是三棱锥 M − B1MB 的高
1
VM −B1CB
=
BM 3
SB1CB
=
3 3 2 = VB−B1CM =
10 h ，可得 h = 2 3 ，
3
10
...........3 分
sin = h = BM
2= 10
Fra Baidu bibliotek
10 5
因此 A = [x1, x2 ] .
……………………………………………2 分
同理知存在 x3 0 x4 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ，故 B = [x3, x4 ] .
……………1 分
F (x) − G(x) = (4ax2 − e2x ) − (ax2 − ex ) ，
令 H (x) = ax2 − ex ，由 a 0 知 H (x) 在 (−,0) 上单调递减，
，即
BM
与平面 B1MC
所成角的正弦值为
10 . 5
...........2 分
20．解：（1）设等差数列{an} 的公差为 d ， ∴ 3a1a1++43dd==5a1 + 5d ，
解得
ad1
=1 =1
，∴数列
{an
}
的通项公式为
an
=
n.
b1 + 2b2 + nbn = (2n − 2)bn + 2 ，
当 n 2 时， b1 + 2b2 + (n ) −1 bn−1 = (2n − )4 bn−1 + 2
(2n
−
)4 bn−1
=
(n
−
2 ) bn
bn bn−1
=
2
即{bn} 是等比数列，且 b1 = 2, q = 2 bn = 2n
（2） cn
=
an bn
=
n 2n
，记 S
= c1 + c2
+
cn
F(x) = 8ax + ex , F(x) = 8a + ex 0 ， F(x) 单调递增.
1+ 1+ 1
又 F (0) 0, F (−
2
2a
)
0（也可依据
lim
x→−
F ( x)
0 ），存在
x0
0
使得
F (x0 )
=
0，
故 F (x) 在 (−, x0 ) 上单调递减，在 (x0 , +) 上单调递增.
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21．解：（1）不妨设 P 在第一象限，由题可知 P(2 6 ,1) 3
8 + 1 = 1 ，又 e = 1 ， 8 + 1 = 1
3a2 b2
2
12c2 3c2
可得 c = 1，椭圆的方程为 x2 + y2 = 1 . 43
由题可知， A1(0,1, 3), B1(0,3, 3),C(2, 2, 0), B(0, 2, 0)
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又
M
是
AA1
的中点，
M
(0,
1 2
,
3) . 2
.....................2 分
=
1 21
+
2 22
+
+
n 2n
，
则 2S
=1+
2 21
+
3 22
+
+
n 2n−1
，
11
1n
n+2
S = 2S − S =1+ + + 21 22
+ 2n−1 − 2n = 2 − 2n 2 .
............4 分
.............4 分 .............3 分 .............4 分
2e
e
…………………………1 分
h(x) 在 R 上单调递增，且 h(−1) = 0 ，
h(x) 在 (−, −1) 上负，在 (−1, +) 上正，
……………………………2 分
故 h(x) 在 (−, −1) 上单调递减，在 (−1, +) 上单调递增.
………………………2 分
（2）方法一：设 F (x) = f (2x) + g(x) = 4ax2 + ex ， G(x) = f (x) + g(2x) = ax2 + e2x
18．解：（1） f (x) = cos2 x +
3 sin x cos x = 1 + cos 2x + 2
3 2
sin
2x
=
1 2
+
sin
2x
+
6
……4
分
f
()
=
1 +sin( 2
+
)
=
1
+ sin 5
=
1
+
1
= 1 …………3
分
32
36 2
6 22
（2）由
f
( 2
)
=
13 10
,
(0, 3
BG⊥MB1 且 BC∩BG=B，所以 MB1⊥平面 BCG. 又因为 MB1 平面 CMB1，
所以平面 CMB1 ⊥平面 BCG,又平面 CMB1 ∩平面 BCG=CG, 作 BH⊥CG 于点 H，则 BH⊥平面 CMB1，则∠BMH 即为所求线面角.
............4 分
设 AB=BC=2，由已知得 BB1=2，BM= 3 ，BG= 2 21 ，BH= 30
.................2 分 .................1 分
又∵ BM ∩BC=B，∴BB1⊥平面 BMC
∴ BB1⊥MC.
.................2 分
（2）方法一：作 BG⊥MB1 于 G，连结 CG. 由（1）知 BC ⊥ 平面AA1B1B ，得到 BC⊥MB1，又
)
得
sin
+
6
=
4 5
, cos
+
6
=
3 5
…………3
分
cos
= cos
+ 6
−
6
=
cos
+
6
cos
6
+ sin
+
6
sin
6
=
3
3 + 4 ……4 分 10
19．解：（1）证明：在 Rt ABC 中， B 是直角，即 BC ⊥ AB ， 平面ABC ⊥ 平面AA1B1B ，
(3 +
x02 )x2
−
x03 x
+
x04 4
− 12
=
0,
=
x06
− 4(3 +
x02
)(
x04 4
− 12)
=
−(3x04
− 48x02
− 144)
0
0 x02 8 + 4 7 ，故此解符合题意. （其他解法酌情给分）
22．解：（1） h(x) = 1 x2 + ex ， h(x) = 1 x + ex
...........5 分
（2）设
A
(x0 ,
x02 4
)
，则切线 l
的方程为
y
=
x0 2
x
−
x02 4
，
代入椭圆方程得： (3 +
x02 )x2
−
x03 x
+
x04 4
− 12
=
0,
........2 分
设 B(x1, y 1),C(x2 , y2 ), E(x3, y3 ) ，则 x3
=
x1
+ x2 2
分
DEK ∽ FOD , S1 S2
= DK 2 FD 2
= 9x02 (x02 + 4) = 18 16(x02 + 3)2 49
........2 分
化简得 (17x02 + 72（) x02 − 4) = 0, x0 = 2(x0 = −2舍去） A 的坐标为 (2,1)
........2 分
又 m 1 ， x3 和 x1 均在各自极值点左侧， 结合 F (x) 单调性可知 F(x1) = m = G(x3 ) F (x3 ) x3 x1 0 . 当 x 0 时， F (x) − G(x) = 3ax2 + ex − e2x 3x2 + ex − e2x
平面ABC 平面AA1B1B = AB ， BC 平面ABC ，
BC ⊥ 平面AA1B1B ， BC ⊥ B1B .
.................2 分
在菱形AA1B1B中，A1AB = 600 ，连接 BM , A1B
则 A1AB 是正三角形， ∵点 M 是 AA1 中点，∴ AA1⊥ BM . 又∵ AA1 / /B1B ，∴BB1⊥ BM .
设面 B1MC 的一个法向量为 n(x, y, z) ，
CB1 = (−2,1,
3),
MB1
=
(0,
5 2
,
3) 2
−2x + y + 3z = 0
5y+
3z=0
，令 y = −
3
得
z=5
，n = (2
x = 2 3
3, −
3, 5)
2 2
....................4 分
又 BM = (0, − 3 , 3 ) ，sin = cos n, BM =
BC ⊥ BM ，CM = 22 + 3 = 7 ， BC ⊥ BB1 ，CB1 = 22 + 22 = 2 2 ，
1
SB1MC
=
2 2
2
7−2 =
10 ，设点 B 到平面 B1MC 的距离为 h ，
则三棱锥 B − B1MC 的体积为VB−B1CM
=
1 3
h
SB1CM
=
10 h . 3
...........3 分
当 x 0 时， F(x) − G(x) = H (2x) − H (x) 0
又 m 1 ， x3 和 x1 均在各自极值点左侧， 结合 F (x) 单调性可知 F(x1) = m = G(x3 ) F (x3 ) x3 x1 0 . 当 m = 1时， x2 = x4 = 0 ， A B 成立，故 m = 1符合题意. 当 x 0 时， F (x) − G(x) = 3ax2 + ex − e2x 3x2 + ex − e2x ，
7
5
30
sin BMH = BH = 5 = 10 . 则 BM 与平面 CB1M 所成角的正弦值为 10 .
BM 3 5
5
......4 分
方法二：以 A 为原点， BC 为 x 轴正方向， AB 为 y 轴正方向，垂直平面 ABC 向上为 z 轴正
方向建立平面直角坐标系，不妨设 AB = 2 ，设所求线面角为 ，
又 对 于 任 意 m N* ， 存 在 x ln m 使 得 F(x) m ， 又 lim F (x) → + ， 且 有 x→−
F(x0 ) F(0) = 1 m ，
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由零点存在定理知存在 x1 0 x2 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ，