十字相乘法与韦达定理
一元二次方程、韦达定理
一元二次方程及韦达定理一、 求解一元二次方程的过程就是一个因式分解的过程 一元二次方程如果有解的话一定可以表示成：))((0212x x x x a c bx ax --==++)0(≠a 其中：21,x x 就是方程的两个根；如果21x x =，就说方程有两个相等的根。
二、 一元二次方程求根的几种办法：1. 十字相乘法：2. 配方法：3. 公式法：4. 猜根+结合韦达定理。
三、 韦达定理1、 韦达定理应用的前提是方程有实根！2、 韦达定理的正向运用： )0(02≠=++a c bx ax 如果有两个根21,x x （可以相等），那么： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 ：得到的是各项系数之间的关系。
3、 若两个实数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =⋅21， 则21,x x 必为方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。
4、 可以通过韦达定理来判断两个根的符号：1） 通过21x x ⋅来判断两根同号还是异号；2） 通过21x x +来判断两根的正负。
基本题型解法及易错点一、 求解一元二次方程的根：02=++c bx ax1. 如果二次项前面有参数，要先讨论参数是否为0；2. 有根的判断标准是：042≥-=ac b ∆；所以，0<ac 时，一定有两个根；3. 十字相乘法：1） 整数的分解；2） 分数变整数。
4. 求根公式法：运算∆的时候，数字较大时，先不单独运算，提取公因式优先。
5. 猜根+韦达定理：根据题目数字关系，猜测其中的根，根据韦达定理得出另一根。
6. 多参数的，可以看成是其中一个的二次方程。
二、 韦达定理的整体应用1. 如果是含参的一元二次方程，未告知具体根，在使用韦达定理前，一定验证0≥∆。
2. 已知两个实数的和、积关系，求两个实数：1） 通过和、积关系逆推出是一个一元二次方程的根；2） 有两种情况。
3. 已知21,x x 是方程两根，求解有关21,x x 的式子的值：不单独求21,x x ，整体进行代换。
【精品】用十字相乘法解一元二次方程
【关键字】精品用“十字相乘法”解一元二次方程回顾：1.一元二次方程的一般形式是：2.一元二次方程的根的个数的判断：（1）当时，方程无解（2）当时，方程一解（3）当时，方程两解3.根与系数的关系（韦达定理）是：作用：有根可求系数4.求根公式：作用：求根5..求一元二次方程的根的方法有：6.常用求根方法是“十字相乘法”新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解一、二次项系数是1型：例1：，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
写成十字相乘形式是：一般地，由多项式乘法，，反过来，就得到写成十字相乘形式是：练习一用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：（1）-7x+6=0 （2）-5x+6=0（3）+8x+16=0 （4）0（5）0 （6）+(1+)x+=0（7）0 （8）0二：二次项系数不是1型：例2：=反过来我们就得到因式分解的结果：。
我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项拆成，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成，写在右边上下两角。
上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！1.因式分解竖式写2.交叉相乘验一次项3.横向写出∴2、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程例2 解方程：解：∴练习二解下列一元二次方程：（1）=0 （2）=0（3）(4)0（5）=0 （6）=0（7）（8）（9）（10）（11）（12）三：带字母的（1）（2）(3) （4）（5）(6）总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。
（2）当二次项系数是1时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。
（3）不是所有二次三项式都能“十字相乘法” 进行因式分解，只是对某些特殊的多项式较为方便。
初高中衔接知识点及习题(十字相乘、韦达定理、二次不等式)
一、因式分解（十字相乘）。
十字相乘法：它的特征是“拆两头，凑中间”（12.21）二、韦达定理：方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x 则___21=+x x ____21=x x 。
()21221214x x x x x x -+=- 。
2122122212x x x x x x -+=+）（练习：一、把下列各式分解因式： 1、1522--x x 2、3722+-x x3、21152-+-y y 4 、101132++x x5、3522---x x ；6、 2265y xy x +-7、225163b ab a -+- 8、 ()()2762-+-+b a b a二、1、已知21,x x 是方程03522=--x x 的两根，则：1）___21=+x x 。
2）________21=x x 。
3）_______1121=+x x 。
4）________2221=+x x 。
5）()()________1121=++x x 。
6）21x x -= 。
2、二次项系数为1的二次方程，两根之和为5，两根之积为6，求二次方程3、一元二次方程0232=++ax x 的一个根为31，则另一个根为 =a 4、方程()002≠=++p r qx px 的两根为1,0-求p q :三、一元二次不等式及其解法形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．口诀：一化正；二求根；三大于取两边、小于取中间1、解下列一元二次不等式071522≤++x x 042≤-x 0162≤-+x x2230x x --+≥ 10732>-x x(2)(3)6x x +-< 041132>+--x x03222<--a ax x 0)1(2<--+a x a x2、填空题1）不等式(1)(12)0x x -->的解集是2）已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N =3）不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
一元二次方程的解法(十字交叉法)及韦达定理 - 副本 - 副本
（2）已知方程 2 x 4 x 3 0 的两个根分别是 x1 , x2 ，不解方程直接完成下列各小题
2
1
① x1 x2
， x1.x2
。 ②
1 1 x1 x2
③
3x1 x1 x2 3x2
④ x12 x22
四、达标检测： （1）方程 x x 6 0 的根是
课 题
一元二次方程的解法（十字交叉法）及韦达定理 1． 学习用十字交叉法解形如 x 2 ( p q) x pq 0 的一元二次方程 2． 掌 握 由 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 推 出 一 元 二 次 方 程
学习标
ax2 bx c 0(a 0) 中的两个根 x1 , x 2 的和(积)与它的系数之间的关
系（韦达定理）
重点：1.掌握用十字交叉法解形如 x 2 ( p q) x pq 0 的一元二次方程 重点难点 2.一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根 x1 , x 2 的和(积)与它的系数 之间的关系（韦达定理）及运用 学习过程： 一、课前检测 分解因式① x 7 x 12 =
2
（2）方程 x x 6 0 的解是
2
（ 3 ）若 x1 , x2 是方程 x 3x 5 =0 的两个根 x1 x2
2
， x1.x2
。
1 1 x1 x2
2
， ( x1 1)( x2 1)
（4）知方程 2 x kx 6 0 的一个根是—3，求方程的另一个根及 k 的值
2
。② m 2m 15 =
2
二 、合作探究： 3． 活动一：结合上面两个自测题小组讨论形如 x 2 ( p q) x pq 的二次三项式怎样分 解因式，从而理解怎样解形如 x ( p q) x pq 0 的一元二次方程
十字相乘法去是留之我见
十字相乘法去是留之我见作者：时曼曼来源：《亚太教育》2015年第17期摘 ;要：在中学数学教学中关于“十字相乘法”这一知识点的争议颇大，主要有提倡删去和建议保留“十字相乘法”这两种观点。
建议保留“十字相乘法”的人认为：虽然十字相乘法存在局限性--不是通法，但是“十字相乘法”自身存在着数学教育价值，它体现了数学的简洁、形式美;掌握“十字相乘法”对学习一元二次方程的求解、解不等式及三角函数都会有帮助。
赞同删去“十字相乘法”的人认为：“十字相乘法”技巧性过强，注重教会学生一些奇怪的解题技巧，不仅会加重学生的学习负担，这也与数学课程要培养学生的数学技能的目标相违背。
根据一元二次方程根与系数的关系--韦达定理同样可以代替“十字相乘法”通过观察试解的方法来求解方程。
关键词：十字相乘法;因式分解;公式法《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对于分解因式这一知识内容的要求为“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）”。
显然，课标并不要求掌握用“十字相乘法”对多项式进行分解因式。
通过对数学教学交流群—中国数学教育之友初中群（著名数学教育家张奠宙教授也在该交流群，群成员中有来自全国各地的中学教师900人左右）做调查：“十字相乘法”该不该教，你怎么看？可谓是众说纷纭，许多教师认为“十字相乘法”是奇技淫巧不该教，但在实际教学时还是讲了“十字相乘法”。
于是试图通过梳理关于“十字相乘法”的各方主要观点加深读者对于“十字相乘法”的认识，对比人教版、苏教版对“十字相乘法”的处理和安排，对“十字相乘法”的教学提出一点建议。
一、赞同删去十字相乘法的观点王尚志、张思明、胡凤娟在《如何认识“十字相乘法”（一）》中认为，求根公式法是一种非常简单、通用的方法。
不管在什么情况下都能在有限步将二次三项式成功分解;其次，求根公式对于研究一元二次方程根与系数的关系，对深刻认识“十字相乘法”及学生学习有关的不等式、方程都有帮助，而“十字相乘法”只适用于特殊的二次三项式的分解，对于没有整数根的二次三项式，十字相乘法就失去了应用价值。
第4讲 计算—— 十字相乘法+韦达定理
第4 讲 计算—— 十字相乘法+韦达定理一、学习目标1. 熟练运用十字相乘法2. 熟练运用韦达定理二、重点难点1.教学重点：十字相乘法+韦达定理2.教学难点：十字相乘法+韦达定理【例1】十字乘法公式：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式。
：把例2312++x x 分解因式。
：把例6722+-x x ∵ (+1)(+2)＝＋2 ∵(－1)(－6)＝＋6 (+1)＋(+2)＝+3 (－1)＋(－6)＝－7 21⨯x x 61--⨯x x )2)(1(++=x x 解：原式 【扩展】列分解因式（1）2142--x x （2）1522-+x x【扩展】口算：1、342++x x2、1072++x x3、1272+-x x4、862+-x x5、202-+x x6、3424++x x7、872-+ax ax8、22149b xy x +- 9、221811y xy x ++)6)(1(--=x x 解：原式【例2】韦达定理证明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
定理内容：一元二次方程中，两根x ₁、x ₂有如下关系：例1.已知一元二次方程0342=+-x x 的两根为1x ，2x ，则21x x 等于________例2.已知一元二次方程052=+-m x x ，则___________21=+x x例3.关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x ，2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是___________例4.若1x ，2x 是方程012=-+x x 的两个根，则2221x x +=______________例5.已知一元二次方程0562=--x x 的两根为a,b,则____________11=+b a例6.已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x 有两个实数根1x ，2x（1）求实数m 的取值范围____________;(2)当,02221=-x x 求m 的值例7.关于x 的方程0122=+++k x x 的实根是1x ，2x（1）求k 的取值范围__________________;(2)如果12121-<-+x x x x例8.已知关于x 的方程047)1(222=--+-+a a x a x 的两根为1x ，2x ，且满足02332121=---x x x x ，求)2).(441(2a a a +-+。
十字相乘法
首先，我们看看第一个数，是a2，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），
然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y+3）(-11y-1）．
再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕
=(x+2y-3）(2x-11y+1）．
根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
怎样进行分解因式
例 7x + (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
=(0×a+b+1）(a+b－2）
=(b+1）(a+b－2）
提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
例：2x^4+13x^3+20x2+11x+2
=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2
=(2y+3x+1）(y+5x+2）
一元二次方程的解法(十字交叉法)及韦达定理
2
bx c 0 ( a 0 ) 中的两个根 x 1 , x 2 的和(积)与它的系数之间的关
系（韦达定理）
重点：1.掌握用十字交叉法解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程
2
重点难点
2.一元二次方程 ax
2
bx c 0 ( a 0 ) 的两个根 x 1 , x 2 的和(积)与它的系数
之间的关系（韦达定理）及运用 学习过程： 一、课前检测 分解因式① x 7 x 12 =
2
。② m 2 m 15 =
2
二 、合作探究： 3． 活动一：结合上面两个自测题小组讨论形如 x ( p q ) x pq 的二次三项式怎样分
2
解因式，从而理解怎样解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程
③
3 x1 x1 x 2 3 x 2
④ x1 x 2
2 2
四、达标检测： （1）方程 x x 6 0 的根是
2
（2）方程 x x 6 0 的解是
2
（3）若 x1 , x 2 是方程 x 3 x 5 =0 的两个根 x1 x 2
2
， x1 . x 2
班级姓名组长批改一元二次方程的解法十字交叉法及韦达定理审核人学习目标bxax的和积与它的系数之间的关系韦达定理重点难点重点
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案 授课时间： 课 题 月 日 班级 姓名 主备人 组长批改 审核人
一元二次方程的解法（十字交叉 法）及韦达定理
2
1． 学习用十字交叉法解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程 2． 掌 握 由 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 推 出 一 元 二 次 方 程 学习目标
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程3判别式、韦达定理及十字相乘法
一元二次方程(3)【基础知识】(一)一元二次方程的根的判别式)4(2ac b -=∆.000方程没有实数根根；方程有两个相等的实数数根；方程有两个不相等的实⇔<∆⇔=∆⇔>∆(二) 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 若21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则ac x x a b x x =⋅-=+2121,如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么_______,2121=⋅=+x x x x 。
例题一 1、不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 x+2=0 (3)x 2－x+2=02、如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 3、关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
4、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
6、已知关于的一元二次方程有1、不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况:1）x 2＋3x+3=0; （2）x 2-4x-3=0; （3）4x 2-4x+1=0 2、如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的k ＝3、如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有k 的取值范围是4、关于019)13(22=-+--m x m mx x 的方程有m 的取值范围。
1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，______, k =______. 2、关于的一元二次方程的一个1，则方程的另一根为 . 3、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是 ．补：十字相乘法解一元二次方程基础公式：()()()ab x b a x b x a x +++=++2,()()()b x a x ab x b a x ++=+++2例1 解方程:(1)x 2+3x+2=0; (2)x 2-7x+6 =0.练习1、解方程（1）652++x x =0 （2）652+-x x =0（3）652-+x x =0 （4）652--x x =0（5）122-+x x =0 （6）18112++x x =0(7)x 2-7x+12=0 (8)a 2+11a+28=0(9)x 2-16x+28=0. (10)x 2-4x-21=0(11)m 2+7m-30=0 (12)a 2-a-56=0(13)m 2-9m+20=0 (14)x 2-9x-36=0（15）8)3(2)3(222-+-+x x x x =0（16）()()2414222++-+x x xx =0例2解方程练习2.解方程 （1）042772=-+x x（4）x x x 86223--=00232)1(2=-+y y 08103)2(2=-+x x 045314)2(2=--x x 024223)3(2=-+-x x。
如何认识十字相乘
如何认识“十字相乘法”？（一）摘要：在义务教育数学课程标准中去掉了“十字相乘法”，引起了广泛的争议，很多初中教师还是把“十字相乘法”作为教学的内容，一些高中教师也用了很多时间补充“十字相乘法”的内容。
应该如何对待“十字相乘法”，什么是“通性通法”？本文通过对“十字相乘法”的分析，希望能和老师一起来讨论这些问题。
本文介绍了“十字相乘法”的原理及适用范围；对“十字相乘法”与“求根公式法”进行比较；分析了这些方法在后续数学学习中的作用，以及在“中、高考”在这方面的命题趋势；最后给出了一些建议，供老师参考。
关键词：因式分解、配方法、求根公式、韦达定理、十字相乘法在1992年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》（试用）中，要求掌握提公因式法（字母的指数是数子）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式的多项式，无需拆项和添项）和十字相乘法（二次项系数与常数项的积为绝对值不大于60的整系数的二次三项式）这四种分解因式的基本方法，会用这些方法进行因式分解。
在2000年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》（试用修订版）中，要求要求掌握提公因式法（字母的指数是数子）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（无需拆项和添项，分组后能直接提公因式或运用公式）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超多四项的多项式。
与1992年的教学大纲相比，2000年的教学大纲不认为“十字相乘法”是分解因式的基本方法，不要求掌握。
在2001年的义务教育数学课程标准中，与2000年数学教学大纲相比，对于“十字相乘法”的要求是一样的。
因此很多人对此提出质疑，那么该如何看待这个问题呢？一、韦达定理在讨论“一元二次方程、一元二次函数、最小二乘法等”数学内容时，“配方法”发挥了关键性的作用，同时，也提供了一种对“二次三项式”进行因式分解的思路。
我们先从配方谈起。
1、一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax方程)0(02≠=++a c bx ax 是否存在根？有几个根？ 配方法：两边同除以a ，则有02=++a cx a b x 0222=++a c x a b x0)2()2(22222=+-++ac a b a b x a b x22244)2(a ac b a b x -=+讨论：当042>-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根：a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=；当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根abx 22,1-=； 当042<-ac b 时，方程02=++c bx ax 在实数范围内没有实数根。
数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力
数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力
“十字相乘法”确实比较难，学会它用来分解因式特别是解一元二次方程就非常简单。
节约时间，运算量不大，不易出错。
所以作为初中生很有必要掌握“十字相乘法”的分解因式方法。
下面我将由易到难的一步步介绍十字相乘法的应用过程。
第一节：“十字相乘法”的基本方法和初中阶段的简单应用模式。
十字相乘法分解因式
第二节：用“十字相乘法”来解一元二次方程。
十字相乘法解方程
第三节：十字相乘法分解复杂的二次三项式。
分解复杂二次三项式
第四节：分解更加复杂的二次三项式。
分解更加复杂二次三项式
第五节：分解两个字母的二次三项式。
分解两个字母的二次三项式
第六节：自测题。
自测题。
应用“韦达定理”改进“十字相乘法”
“
韦达定理 ” 改 进
四 川 苍 澳 中学 )
“
十字 相 乘法 ”
曹文 培
由 一 元二次方 程根与系数 的 关系 知道
_
,
二 次 三项
b
,
字 相 乘法 [例
解
:
”
简便
。
-
-
`
~ 两
一
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,
_
。
_
,
、
,
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l
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宁 僻 宁` =
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劣 一劣 ` 苦一 劣 , , 叹
.
)
口
”
x
,
+ 戈 2= 一 万
]
,
峪2
。
一
一 `
=
( Zx
一 夕 ) ( 3二 一 4夕)
x
于是 有 为
一
.
[例 3 ]
。
2 2 把 多项 式 2x + 翔 一 3夕 +
+ 4 , 一 z分 解
定理 对于二 次 三项式 : , 使得 a e ~ 二 二 为 + 为 =
.
沪+
一b
,
如+
c
,
若能找 到气
a 劣 二+
、
因式
c
。
那末
,
加+
( 告
, 分 解 3劣 +
? 戈一 8 的 因式
.
-
一
,
因为 3 x ( 一 8 ) = 一 2 4
一 6 + 4二 一 2
所 以取
二:
= 4
十字相乘
我们知道
2 x 2 x 3 x 5x 6 ，反过来，
就得到二次三项式 x 2 5 x 6 的因式分解形式， 即
x 5x 6 x 2 x 3，其中常数项6分解
2
成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次 项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
x px q x a b x ab x a x b
2 2
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三 项式分解因式。
即：x ＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
x x a b ab
2
x 2 bx＋ax=(a＋b)x
十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，借用一个 十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十 字相乘法。
2
=3m (m-5) (m+4)
m 4 4m-5m=-m
【1】用十字相乘分解因式法解一元二次方程：
(简单、常用、重要的一元二次方程解法)
用十字相乘分解因式法解一元二次方程：
1、x 2x 15 0
2
2、a 7a 10 0
2
2
2
－3
－1 －9x－x=－10x ＋3
例3 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
=(5x＋3)(x－4)
2
5x
－4 x －20x＋3x=－17x
练习
2、把 x 2x 15分解因式;
2
x
3
解 : 原式
2
(x+3) (x-5)
3、把a 7a 10分解因式 ; 解:原式= (a+5) (a+2)
初升高衔接数学十字相乘法及韦达定理课件-高一上学期
所以顶点坐标为(1，4）
(2)方法一：由(1)知m＝2，所以－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0.
得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1.
(3)由题图知，当抛物线在 x 轴上方时，图象上点的纵坐标大于0.这部分图
得(2x−1)(x−3)=0，
1
解得x1= ，x2=3.
2
能力提升
用十字相乘法分解下列因式
1、x4+7x2+6
解：1.原式= （x2+1）（x2 +6）
2.原式= （x-y）（x -4y）
2、x2-5xy+4y2
二、一元二次方程根的情况
2
例如：解方程 mx ＋2x＋1＝0.
(1)判断依据：对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c＝0(a≠0)，有
象上点的横坐标介于A,B两点的横坐标之间．所以当－1<x<3时，y>0.
X1+X2=
X1 X2 =
练习： X1与X2是方程X2-X-1=0的两根
求 X1+X2=
X1X2=
+ =
X12+X22=
练习：已知 x 1，x 2 是方程 x 2－2x－1＝0 的两个实数根，
1
1
求 (1)x 1＋x 2； (2)(2x 1－1)(2x 2－1)；
(3) ＋
x1
x2
能力提升
b
c
那么 x1＋x2＝－a ，x1x2＝a ，这一关系也被称为韦达定理．
(2)应用：若已知 x1，x2 是一元二次方程的两个根，
十字相乘和韦达定理的关系
十字相乘和韦达定理的关系要说这十字相乘和韦达定理的关系，咱得先聊聊这俩玩意儿是啥。
十字相乘，那可是咱初中数学里的老熟人了，简单说，就是把一个二次三项式拆成俩一次因式的乘积。
韦达定理呢，就牛了，它说的是一元二次方程的根和系数之间的关系。
这两者乍一看，八竿子打不着，但实际上，它们之间有着千丝万缕的联系。
记得那会儿学十字相乘，老师就在黑板上画了个大大的十字，左边是x乘以啥，右边也是x乘以啥，中间一交叉，嘿，还真就能把二次项、一次项、常数项都给对上号了。
那时候，咱们班的小李子，数学总是倒数，但一遇到十字相乘，眼睛就亮了，跟发现新大陆似的。
他说，这方法好啊，简单易懂，一学就会。
韦达定理呢，咱得说，那真是个大家伙，它不光能告诉你方程的根和系数之间的关系，还能帮你解决一堆跟方程有关的问题。
比如说，你知道了方程的两个根的和与积，就算不知道具体的系数，也能通过韦达定理把方程给解出来。
这定理的名字还挺有来头，是法国数学家弗朗索瓦·韦达给整出来的，厉害吧！要说它们之间的关系，其实就像是孪生兄弟，虽然长得不一样，但骨子里透着一股子亲。
你看，十字相乘能帮咱们把二次三项式分解成一次因式的乘积，这过程中，咱们其实就已经在无形中用到了韦达定理的思想。
为啥这么说呢？因为当你用十字相乘把一个二次三项式分解成俩一次因式的时候，这俩一次因式的根，不就是原二次方程的根吗？而这两个根的和与积，正好就对应着韦达定理里的那两个公式。
有一次，我跟班上的小张讨论这个问题，他一脸疑惑地看着我，说：“刘哥，你这说的也太玄乎了吧？十字相乘跟韦达定理还能扯上关系？”我一拍他的肩膀，笑道：“兄弟，你得这么想，十字相乘是咱们解题的工具，韦达定理是咱们解题的思路。
工具和思路，那是一体的，你说有没有关系？”所以啊，这十字相乘和韦达定理，看似两个不相干的东西，实际上却有着千丝万缕的联系。
它们就像是一对好搭档，一起帮咱们解决那些头疼的数学问题。
你说，这算不算是一种奇妙的缘分呢？。
十字相乘法与韦达定理
十字相乘法与韦达定理十字相乘法1．十字相乘法的依据和具体内容 一、知识准备：ab x b a x ab bx ax x b x a x +++=+++=++)())((22（1）左边：a x +与b x +的形式；（2）右边：二次项系数为1；常数项的和)(b a +为一次项的系数；常数项的积ab 作为常数项；直接写出结果：)3)(2(++x x = ， )4)(3(--x x = ， )2)(5(-+x x = ， )6)(8(+-x x = ，二、探究活动：1、ab x b a x b x a x +++=++)())((2反过来：=+++ab x b a x )(2也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且 常数q 等于两个因数a ，b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。
(1)对于二次项系数为1的二次三项式： ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试）①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；)3)(2(652--=+-x x x x 1582++x x 28112+-x x②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．)2)(3(62-+=-+x x x x 62--x x 1242--x x练习：解方程（用十字相乘法）0452=++x x 01282=+-x x 03652=--x x02700602=-+x x 0525502=+-x x 08.48.22=--x x(2) 对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间，多试验”2522+-x x ； 3832-+x x 6752--x x（3）解方程：15442-+x x =0 3562-+x x =0 413102++x x =0注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 2.拓展提高1、把下列各式分解因式：2252310a b ab +- 2265y xy x +- 91024+-x x2、已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。
十字相乘法韦达定理教案学案
同学个性化教学设计年 级： 教 师: 科 目： 班 主 任： 日 期: 时 段:课题 十字相乘法和韦达定理教学目标正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
重难点透视 根与系数的关系的推导、运用。
考点发现法，引导法，讲练结合法。
知识点剖析序号 知识点 预估时间 掌握情况1 十字相乘法2 根与系数的关系 3韦达定理教 学 内 容一、问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格：方 程1x 2x 1x +2x 12x x ⋅ 220x x -= 2340x x +-= 2560x x -+=观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系？（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知： 1、根与系数关系：（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：12x x p +=-， 12x x q =。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。
并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠∴20b cx x a a++=∴12b x x a +=-，12cx x a=对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
证明：∵20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时根为：242b b acx a-±-=设2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=，则∴2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a -+------⋅=⋅=== 学生思考、归纳并回答下列问题：（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21203x x -=（4）2263x x += （5）220x -= （6）2210x x ++= 例2、已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。
十字相乘法之我见
我谈“十字相乘法”该不该删去摘要：十字相乘法在新课程实施过程中该如何处理成为数学教师讨论的一个热点话题。
初等代数课上也提到了“十字相乘法”应该删去，本文从理论依据、应用范围、影响、意义四个方面对这个问题进行了分析,旨在从个人角度浅谈十字相乘法,我认为,十字相乘法如果不删掉也有其道理。
在义务教育数学课程标准修订过程中数学教育专家特别是一些数学家认为十字相乘法没有足够的理论依据，更重要的是十字相乘法有着太多的特殊性在实际生活中基本上是用不到的，由此自2001年后，数学课程标准删除了“十字相乘法”，而我作为一名学生身兼实习班主任浅谈我对十字相乘法的看法，我认为十字相乘法不该删去。
首先十字相乘法并不是没有理论依据，早在1986年曹文培教授就已在《数学教学通讯》第三期上提出了韦达定理与十字相乘法的关系，由此引出十字相乘法其实可以理解为韦达定理的逆定理，由两根之和及两根之积推出系数比例关系，自然也可将首项化为1从而利用系数拆项反推根的情况，这样两边再乘上相应的系数就得到了十字相乘法的一般方法。
后来又先后出现了由差量法以及拆项法推出十字相乘法的意义。
香港著名教师梁子节老师更是在一次演讲中推出了由拆项法到十字相乘法的教学过程，梁老师提出学生掌握了拆项的原理后，可以尝试同时使用拆项法及十字相乘法，这样，会较易明白十字相乘法的使用窍门。
此外他还将分解二次三项式的功力分成四个级别，让学生更好的去接受它，「初阶」是明白拆项的原理并能实际使用，「进阶」是拆项与十字相乘法一起使用而无困难，「高阶」是能仅是用十字相乘法就可以分解二次三项式。
「超级」的，又或是手中无剑心中亦无剑的境界，是连十字相乘法都不必用，见到某个二次三项式便能够直接写出因式分解的答案！其次十字相乘法有着广泛的应用，因式分解本身无论在生活的数学中，还是在理论上的数学中，都不会单独出现，但是因式分解却因为其自身在数学应用中的随处可见性。
例如，在求值问题中的运用，在分式运算中的运用，在二次根式计算中的运用，以及在等式、恒等式证明中的运用等等，让它居于一个基础性的地位,属于中学阶段必须要掌握的工具性的数学知识。
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十字相乘法与韦达定理十字相乘法一、知识准备：（1）左边：a x +与b x +的形式；（2）右边：二次项系数为1；常数项的和)(b a +为一次项的系数；常数项的积ab 作为常数项；直接写出结果：)3)(2(++x x = ， )4)(3(--x x = ， )2)(5(-+x x = ， )6)(8(+-x x = ，二、探究活动：1、ab x b a x b x a x +++=++)())((2反过来：=+++ab x b a x )(2也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且 常数q 等于两个因数a ，b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。
(1)对于二次项系数为1的二次三项式：方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试）①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．练习：解方程（用十字相乘法） (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间，多试验”2522+-x x ； 3832-+x x 6752--x x（3）解方程：15442-+x x =0 3562-+x x =0 413102++x x =0注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的1、把下列各式分解因式：2、已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。
3、已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
课后作业1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则a= ，b= ；3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a= ，b= ；4．解方程： 5.解方程韦达定理及其应用一、知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则ab x x -=+21， a cx x =•21，；补充公式ax x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 4、使用韦达定理时应满足的条件：（1）必须是（ ），即条件为（ a ≠0 ） （2）方程必须有（ ），即条件为（ b2-4ac ≥0 ） 二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．课后练习A 组1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．217．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．B 组9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ． 10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则baa b +的值是( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．97941313．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤115．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根． (1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ． (1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值． 17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值． 18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值． 19、已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。
（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。
20、在ABC ∆中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632=++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。
21.已知a ＋a 2－1＝0，b ＋b 2－1＝0，a ≠b ，求ab ＋a ＋b 的值．。