五年级奥数“置换问题”第五讲
小学五年级数学—巧解置换问题
1袋大米的重量=2袋面粉
一辆卡车载300袋大米和1300 袋面粉。
3×200=600(袋) 300袋大米相当于600袋面粉。
一辆卡车载300袋大米和1300 袋面粉。
600+1300=1900(袋) 这辆卡车一共可以载1900袋面粉。
现在卡车上已载有400袋 大米。
1袋大米=2袋面粉
4×200=800(袋) 现在卡车上已载有400袋大米转换 成面粉共800袋。
18-3=15(小时) 这件工作还需要乙做15小时就可以完成。
5. 买4个气球和5张贺卡共用 14元，买同样的5个气球和4张 贺卡共用13元，一个气球和一 个贺卡分别多少元？
通过分析可以得到： 4个气球+5张贺卡=14元 5个气球+4张贺卡=13元
题中两组已知条件进行 对比，多买1个气球少买 1张贺卡，少付1元钱。
这辆卡车一共可以载1900袋面粉。
1900-800=1100(袋) 这辆卡车最多可以再载1100袋面粉。
7. 小明买了3千克水果和4千克 奶糖,共用去84元。已知3千克奶 糖的价钱与4千克水果糖的价钱 一样多。每千克奶糖各多少元？
通过分析可以得到： 3千克水果糖+4千克奶糖=84元
4千克水果糖的价钱=3千克奶糖
题中两组已知条件进行对比，两个等 式要有关联，可将第一个等式两边同 乘以4，第二个等式两边同乘以3。
336÷25=13.44(元) 每千克奶糖13.44元。
25千克奶糖=336元
9千克奶糖+16千克奶糖=336元
4×3千克水果糖+4×4千克奶糖=4×84元 3×4千克水果糖的价钱=3×3千克奶糖
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转 换成一种数量，从而找到解题方法的一类典型应 用题。
五年级奥数举一反三,置换问题
（100-40）÷（40-10）=2 （40-20）×2+40=80（袋）
3. 买2条床单和3条毛巾只用210元，买同样的3条床单和2条 毛巾只用280元。买一条床单用多少钱？买一条毛巾用多少 钱？
（210+280）÷5=98（元）
210-98×2=14（元）……毛巾
98-14=84（元）……床单
置换问题主要是研究把油数量关系的两种 数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题 方法的一类典型的应用题。“鸡兔同笼”问题 就是一种比较典型的置换问题，解答置换问题 一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题关系把两种数量转换成一种 数量，从而找出解题方法。 1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量， 从而找出解题方法。 2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解 题方法。
1. 某站运来西红柿和黄瓜共重1660千克，已知运来 的西红柿的重量比黄瓜的重量的3倍少60千克，菜 站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？
（1660+60）÷（3+1）=430（千克）……黄瓜
1660-430=1230（千克）……西红柿
2. 一条公路长72千米，由甲、乙、丙三人修路队共同 修完，甲队修的千米数是乙队的2倍，丙队修的千米数 比甲队少3千米，甲、乙、丙三队各修多少千米？ （72+3）÷（2+2+1）=15（千米）……乙队 15×2=30（千米）……甲队 30-3=27（千米）……丙队
1. 小明去买同一种笔和同一种橡皮，所 带的钱能买8支比和4块橡皮，或买6支 笔和12块橡皮。结果他用这些钱全部买 了笔，请问他能买几支？
（12-4）÷（8-6）=4
8+4÷4=9（支）
2. 一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10 袋大米和100袋面粉。现在卡车已载有20袋大米，最 多还能载多少袋面粉？
五年级奥数-代换法
五年级奥数代换法思维聚焦在有些题目中出现了两个或两个以上的未知量，而且这些未知量之间存在倍数关系或相差关系，我们可以依据它们之间的关系进行替换,使题目中只有一种未知量,从而将这样一个较复杂的问题转化成了一个简单的问题。
一、典型例题妈妈把720毫升果汁倒入6个小杯和一个大杯中，正好都倒满，1个大杯的容量相当于3个小杯的容量。
小杯和大杯的容量各是多少毫升？思路点拨根据“1个大杯的容量相当于3个小杯的容量"，我们可以将6个小杯换成2个大杯，这样一换，也就转换成了将720毫升果汁都倒给了三个大杯，全部倒满，所以可以求出一个大杯的容量,进而求出小杯的容量。
当然，我们也可以将一个大杯换成3个小杯，也能解决这个问题。
解答：大杯容量：720÷（6÷3+1）＝720÷3＝240(毫升）小杯容量:240÷3＝80（毫升)答：大杯容量是240毫升,小杯容量是80毫升.二、触类旁通在2辆同样的大卡车和5辆同样的小卡车里装满水泥，正好100袋.每辆大卡车比小卡车多装8袋，每辆大卡车和小卡车各装多少袋？思路点拨这里与前面类似,也出现了两个不同的未知量,所以我们也要想办法将它们换成一个未知量。
根据“每辆大卡车比小卡车多装8袋”，如果将1辆大卡车换成1辆小卡车，必须减去8袋水泥，那么将2辆大卡车换成小卡的话，要减去8×2＝16(袋）水泥,这样水泥的总袋数也应减少为100—16＝84（袋），现在将84袋水泥交给7辆小卡车运,就能求每辆小卡车装的袋数。
解答：一辆小卡车装的袋数:（100-8×2）÷（2+5）＝84÷7＝12（袋)一辆小卡车装的袋数：12+8＝20（袋)答:每辆大卡车装运20袋,每辆小卡车装运12袋。
三、熟能生巧1、钢笔的单价是铅笔的6倍.黄老师买了2枝钢笔和3枝铅笔，共付了18元，钢笔和铅笔的单价各是多少元？2、实验小学有3块面积相等的花圃和3块面积相等的苗圃，共是480平方米。
人教版五年级奥数练习：置换问题 (5)
人教版五年级奥数练习：置换问题
例5 一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。
那么，全做上衣能做多少件？
分析把两组条件进行比较，做（18－14）件上衣的布料可以做（15－9）条裤子，也就是2件上衣的布料和3条裤子的布料同样多。
9条裤子的布料可以做9÷3×2=6件上衣，所以，一共能做18＋6=24件上衣。
练习五
1，一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。
如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？
2，小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？
3，一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放5箱桔子。
这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？。
五年级奥数置换问题
甲队： 15×2=30（千米） 丙队： 30－3=27（千米） 答：甲队修（ 30）千米，乙队修（15）千米， 丙队修（27）千米
• 例❸一件工作甲做5小时以后由乙来做，3小时 可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时 可以完成，那么甲做1小时以后由乙来做几小时 可以完成？ • （1）甲做5小时，乙做3小时完成 • （2）甲做3小时，乙做9小时完成 • （9－3）÷（5－3）=3（小时） • 看（1）甲做1小时，剩下4小时工作量 • （5－1）×3＋3=15（小时） • 答：甲做1小时以后由乙来做（15）小时可以完 成
• • • • •
骑车每小时行： 5×3=15（千米） 乘车每小时行： 15×4=60（千米） 答：乘车每小时行（60）千米，骑自行车行 （ 15）千米，步行行（5）千米。
• 例2、一筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个梨 分多2个，每份5个梨分多4个，问筐里至少有多 少个梨？ • 【2,3,5】=30 • 30－1=29（个）
• 答：筐里至少有（29）个梨。
• 练习1、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个 数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多 少个水果？ • 【3,4,5】=60 • 60－1=59（个） • 答：这个盘子里最少有（59）个水果。
• 练习1. 6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡 与2只小羊一样重，每只鸡和每只小羊各重多少 千克？ • 5÷2=2.5（只） • 全部换成鸡： • 6＋8×2.5=26（只） • 1只鸡重量： • 78÷26 =3（千克） • 1只小羊的重量： • 3×2.5=7.5（千克） • 答：每只鸡和每只小羊各重（ 3）、（7.5）千 克
• 练习1、生产一批零件，单独由甲做要6小时完成， 单独由乙做要8小时完成，如果甲每小时比乙多 做15个零件，这批零件一共有多少个? • 甲6小时比乙6小时多做： • 6×15=90（个） • 相当于乙几小时工作量： • 8－6=2（小时） • 乙每小时做： • 90÷2=45（个） • 这批零件一共几个： • 45×8=360（个） • 答：这批零件一共有（360）个。
最新的小学五年级《变换的数》奥数题及答案.doc
最新的小学五年级《变换的数》奥数题及答案变换的数奥数题及答案
对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。
如对18和42可进行这样的连续变换：
18，4218，2418，612，66，6。
答案与解析：
最新的小学五年级《变换的数》奥数题及答案：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。
因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。
因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
说明这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。
置换(代换)问题—2022-2023学年五年级数学思维拓展(学生)
2022-2023学年小学五年级思维拓展专题置换(代换)问题知识精讲专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
典例分析【典例01】20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
【思路引导】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。
132÷(25+30)=2.4元，即每千克梨2.4元。
知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。
苹果的单价是：(132-2.4×30)÷20=3元。
【典例02】用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？【思路引导】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。
因此，312立方米的水就相当于小水泵(6+20)小时的抽水量了。
小水泵每小时抽水是312÷(6+20)=12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。
【典例03】一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？【思路引导】把题中两组已知条件进行对比，甲少做(5-3)小时，乙就要多做(9-3)小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。
小学五年级奥数计算题精讲精品课件
乘法分配律
乘法分配律： a b a c a b c
9. 55.5×11.1－45.5×11.1 =（55.5 － 45.5）×11.1 =10×11.1 =111
10. 2.1×8+3.2×8+4.7×8 =（2.1+3.2+4.7）×8 =10×8 =80
乘法分配律
乘法分配律： a b a c a b c
等差数列的和
等差数列的和怎么求？
19. 2.2+4.2+6.2+8.2+10.2+…+100.2 =（2+100）×50÷2+0.2×50 =102×50÷2+10 =2550+10 =4959.9
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
分组法
怎么分组？可以分几组？
20. 30.1─29.1+28.1─27.1+…+2.1─1.1 =（30.1─29.1）+（28.1─27.1）+…+（2.1─1.1） =1×15 =15
较复杂的简便计算
21. 15.37×7.89─9.37×7.89+15.37×2.11─9.37×2.11 =（15.37─9.37）×7.89+（15.37─9.37）×2.11 =6×7.89+6×2.11 =6×（7.89+2.11） =6×10 =60
较复杂的简便计算
22. 42×137─80÷15+58×138─70÷15 =42×137+58×138 ─ 80÷15 ─ 70÷15 =42×137+58×（137+1） ─ （80÷15 + 70÷15） =42×137+58×137+58 ─（80+70）÷15 =（42+58）×137+58 ─ 10 =13700+58 ─ 10 =13748
五年级数学广角假设替换问题
五年级数学广角假设替换问题摘要：一、问题背景- 小学五年级数学广角中的假设替换问题二、问题描述- 具体问题：找出次品- 解决方案：用天平称重- 最多称几次：3 次- 最少称几次：1 次三、问题分析- 利用假设和替换的方法，最少只需称1 次- 分析题目条件，找到解决方案四、解答过程- 假设法：先假设一个次品，然后替换掉- 替换法：从9 颗珍珠中任选8 颗，替换3 次正文：在小学五年级的数学广角中，我们经常会遇到一些有趣的问题，其中之一就是假设替换问题。
这个问题的大致背景是：有一个王阿姨，她有9 颗外形相同的珍珠，其中一个略重一些。
她想找出8 颗质量完全相同的珍珠。
我们可以用天平来称重，但需要确定最少需要称几次才能找出次品。
具体来说，这个问题可以描述为：有一个问题，需要找出次品。
解决方案是利用天平称重。
最多需要称3 次，最少需要称1 次。
这个问题看似复杂，但我们可以通过一种叫做假设替换的方法，最少只需称1 次就能找到次品。
假设替换法的具体操作步骤如下：1.首先，我们假设有一颗珍珠是次品，然后将其替换掉。
这样，我们就将问题转化为从剩下的8 颗珍珠中找出次品。
2.接下来，我们再次假设有一颗珍珠是次品，然后将其替换掉。
这样，我们就将问题进一步转化为从剩下的7 颗珍珠中找出次品。
3.最后，我们再假设有一颗珍珠是次品，然后将其替换掉。
这样，我们就将问题最终转化为从剩下的6 颗珍珠中找出次品。
通过以上步骤，我们发现，在第三次替换后，剩下的6 颗珍珠中必然有次品。
此时，我们只需再称一次，就能确定哪颗珍珠是次品。
因此，最少只需称1 次就能找到次品。
总之，在解决这类问题时，我们可以利用假设和替换的方法，将问题逐步简化，从而找到解决方案。
五年级数学广角假设替换问题
五年级数学广角假设替换问题摘要：一、问题背景- 小学五年级数学广角中的假设替换问题二、问题描述- 具体问题：找出次品- 解决方案：用天平称重- 问题拓展：最多称几次能找出次品三、解决方案- 一次称重的解决方案- 两次称重的解决方案- 三次称重的解决方案四、总结与反思- 问题解决能力的提升- 数学思维的培养正文：一、问题背景在小学五年级数学广角中，假设替换问题是其中一个有趣且富有挑战性的问题。
这个问题旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
具体来说，学生需要通过假设和替换的方法，找出一个质量不同的次品。
二、问题描述假设你有一个包含多个相同形状和大小物品的集合，其中有一个物品的质量与其他物品略有不同。
你的任务是找出这个质量不同的次品。
为了解决这个问题，你可以使用天平来称重。
将物品分成两组，分别放在天平的两边，如果两边重量相等，则说明次品不在这两组中；如果两边重量不等，则说明次品在较重的那一边。
通过这种方法，你可以逐步缩小搜索范围，最终找出次品。
问题拓展：最多称几次能找出次品？三、解决方案1.一次称重的解决方案如果你一次只称一个物品，那么最多需要称n 次才能找出次品，其中n 是物品的数量。
这是因为在每次称重中，你只能排除一半的物品，而无法确定次品在哪一半中。
2.两次称重的解决方案如果你一次称两个物品，那么最多需要称log2(n) 次才能找出次品，其中n 是物品的数量。
这是因为在第一次称重中，你可以排除一半的物品；在第二次称重中，你又可以排除一半的物品。
因此，每次称重都可以将物品数量减半，从而更快地找出次品。
3.三次称重的解决方案如果你一次称三个物品，那么最多需要称log3(n) 次才能找出次品，其中n 是物品的数量。
小学五年级数学—巧解置换问题33页PPT
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
小学五年级数学—巧解置换问题共33页文档
END
Байду номын сангаас
小学五年级数学—巧解置换问题
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
五年级奥数第5次课加法原理版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】第二讲加法原理一、考点、热点回顾生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5 种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有 k类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，⋯，第 k类方法中有 m k 种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+⋯ +m k 种不同的方法．这就是加法原理．二、典型例题：例 1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150 本，不同的科技书200 本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析在这个问题中，小明选一本书有三类方法．即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说．所以，是应用加法原理的问题．解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法．例 2 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析①中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．②中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题．解：①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法．②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法．补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例 3 如右图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有 4 种走法；第二步从乙地到丙地共 2 种走法，所以由乘法原理，这时共有 4×2=8 种不同的走法．第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有 3 种不同的走法．解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11（种）不同的走法．例 4 如下页图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从 A 点到 B 点有两类走法，一类是从 A 点先经过C 点到 B 点，一类是从 A 点先经过D 点到 B 点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从 A 到 B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从 A 点先经过C 到 B 点共有：1×3=3（种）2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯不同的走法．从 A 点先经过D 到 B 点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从 A 点到 B 点共有：3+6=9（种）不同的走法．例 5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即 1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有 3×3=9 种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有 3×3=9 种不同情形．最后再由加法原理即可求解．解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有3×3=9（种）不同的情形．所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形．例 6 从 1 到 500的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个？分析从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 8×9=72 个数不含 4．三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含 4 的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有 3×9×9=243 个三位数．由于 500 也是一个不含 4 的三位数．所以， 1～500中，不含 4 的三位数共有 3×9 ×9+1=244个．解：在 1～500 中，不含 4 的一位数有 8 个；不含 4 的两位数有 8×9=72 个；不含 4 的三位数有 3×9×9+1=244 个，由加法原理，在 1～500 中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（个）不含 4 的自然数．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个 0 的三位数，3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯如：把 1 看成是 001．把两位数看成是前面有一个 0 的三位数．如：把 11 看成011．那么所有的从 1 到 500的自然数都可以看成是“三位数”，除去 500外，考虑不含有 4 的这样的“三位数”．百位上，有 0、1、2、3这四种选法；十位上，有 0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500 外，有 4×9×9=324 个不含 4 的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而 500还没有算进去，应该加进去．所以，从 1 到 500 中，不含 4 的自然数仍有 324 个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例 7 如下页左图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从 A 到 B 要一直向右、向上，那么，经过下页右图中 C、D、E、F 四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从 A 到 B 点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F 的路线．第一类，经过C 的路线，分为两步，从 A 到 C 再从 C 到 B，从 A 到 C 有 2 条路可走，从 C 到 B 也有两条路可走，由乘法原理，从 A经C 到 B 共有 2×2=4 条不同的路线．第二类，经过D 点的路线，分为两步，从 A 到 D 有 4 条路，从 D 到 B 有 4 条路，由乘法原理，从 A经D 到 B 共有 4×4=16 种不同的走法．第三类，经过E 点的路线，分为两步，从 A 到 E 再从 E 到 B，观察发现．各有一条路．所以，从 A经E 到 B 共有 1 种走法．第四类，经过F 点的路线，从 A经F 到 B 只有一种走法．最后由加法原理即可求解．解：如上右图，从 A 到 B 共有下面的走法：从 A经C 到 B 共有 2×2=4 种走法；从 A经D 到 B 共有 4×4=16 种走法；从 A经E 到 B 共有 1 种走法；从 A经F 到 B 共有 1 种走法．所以，从 A 到 B 共有：4+16+1+1=22种不同的走法．三、习题练习1．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2．书架上有 6 本不同的画报和 7 本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3．如下图中，沿线段从点 A 走最短的路线到 B，各有多少种走法？4．在 1～1000的自然数中，一共有多少个数字 0？5．在 1～500的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？6．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？四、习题巩固5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1、如图，从甲地到乙地有两条路线，乙地到丁地也有两条路线；从甲地到丙地只有一条路线，丙地到丁地有三条路线．那么从甲地到丁地共有多少种不同走法？2、书架上有 6 本故事书， 6 本画报， 6 本科普读物，小芳从书架上任取一本，有多少种不同的取法．3、在 1～1000 的自然数中，一共有多少个末尾数字含 0？4、3 把钥匙开 3 把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次，才能把锁和钥匙配起来．6。
小学五年级数学—巧解置换问题共33页
小学五年级数学—巧解置换问题
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若浮烟Fra bibliotek。9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
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第3讲 置换问题
练 习 题
练习2：师徒二人加工一批零件，师傅加工10小时，徒弟加工4小时， 二人共加工了198个零件。如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作 量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？
解： 10÷4=2.5 2.5×5=12.5（小时） 198÷（12.5＋4）=12（个/小时） 198－12×4=150（个） 150÷10=15（个/小时）
答：一共能容纳24只这样的兔子
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每千克梨：132÷（25＋30）=2.4元
苹果的单价是：（132－2.4×30）÷20=3元。
答：苹果和梨的单价分别是2.4元，3元。
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第3讲 置换问题
练 练习1：6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的
习 题
重量，求每只鸡和每只小羊的重量。
解： 8÷2=4 4×5=20（只） 78÷（20＋6）=3（千克） 78－6×3=60（千克） 60÷8=12.5（千克）
5年级趣味数学
第 讲 3
置换问题
第3讲 置换问题
知 置换问题主要是研究把有数量关系的两种
识 精
数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解
讲 题方法的一类典型的应用题。“鸡兔同笼”
问题就是一种比较典型的置换问题。解答置
换问题一般用转换和假设这两种数学思维方
法。
解答置换问题应注意下面两点：
1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，
答：两种玩具的单价各是12，20元
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第3讲 置换问题
练 练习4：汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时。
习 题
已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多
少千米？
解： 12×3=36（千米）
36×4=144（千米）
答：甲、乙两地相距144千米
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答：可以买16支圆珠笔
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第3讲 置换问题
例 例4：5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆
题 精
玩具汽车贵8元。这两种玩具的单价各是多少元？
讲
解： 每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元 3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3=24元 5辆玩具汽车=3架玩具飞机的价钱 24=（5－3）辆玩具汽车的价钱 每辆玩具汽车：24÷2=12元 每架玩具飞机的价钱：12＋8=20元
从而找出解题方法；
2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解
题方法。
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第3讲 置换问题
例 题
例1：20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克 梨的价钱相等。求苹果和梨的单价。
精
讲
解：
2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等
20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等
答：师傅25个每小时，徒弟12个每小时。
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第3讲 置换问题
例 例3：一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9
题 精
小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。那么甲做1小时以后
讲
由乙来做几小时可以完成？
解： 甲少做（5－3）小时→乙就要多做（9－3）小时 甲2小时的工作量=乙6小时的工作量 甲1小时的工作量=乙3小时的工作量 这件工作全部由甲做需要用5＋3÷3=6小时 现在甲先做1小时，剩下5小时的工作量由乙来做 乙必须用5×3=15小时才能完成。
答：全做上衣能做24件
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第3讲 置换问题
练 练习5：一个笼子能容纳18只同样大的兔子和9只同样大的鸡，或者容
习 题
纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。如果这个笼子用来装兔
子，一共能容纳多少只这样的兔子？
解：
4只兔子=6只鸡 2只兔子=3只鸡 9÷3=3 18＋3×2=24（只）
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第3讲 置换问题
例 例5：一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件
题 精
同样的上衣和15条同样的裤子。那么，全做上衣能做多少件？
讲
解： 做（18－14）件上衣的布料可以做（15－9）条裤子 →2件上衣的布料=3条裤子的布料 9条裤子的布料可以做9÷3×2=6件上衣 一共能做：18＋6=24件上衣。
答：乙来做15小时可以完成
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第3讲 置换问题
练 练习3：王老师去买笔奖给三好学生。他所带的钱正好买4支圆珠笔和5
习 题
支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。如果王老师买1支钢笔，
剩下的钱可以买多少支圆珠笔？
解： 2支钢笔=6只圆珠笔
1支钢笔=3只圆珠笔
（5－1）×3＋4=16（支）
答：两种玩具的单价各是12，20元
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第3讲 置换问题
例 例4：5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆
题 精
玩具汽车贵8元。这两种玩具的单价各是多少元？
讲
解： 每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元 3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3=24元 5辆玩具汽车=3架玩具飞机的价钱 24=（5－3）辆玩具汽车的价钱 每辆玩具汽车：24÷2=12元 每架玩具飞机的价钱：12＋8=20元
答：每只鸡和每只小羊的重量分别是3千克，12.5千克。
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第3讲 置换问题
例 例2： 用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水
题 精
312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，
讲
两种水泵每小时各抽水多少立方米？
解： 大水泵2小时的抽水量=小水泵5小时的抽水量 大水泵8小时的抽水量=小水泵8÷2×5=20小时的抽水量 312立方米的水=小水泵（6＋20）小时的抽水量 小水泵每小时抽水：312÷（6＋20）=12立方米 大水泵每小时抽水：12×5÷2=30立方米。