§1.3 离散时间信号的DTFT与Z变换
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
实验三z变换及分析、DTFT实验
实验三 z 变换及分析、DTFT 实验一、 实验目的（1） 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （2） 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点；（3） 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； （4） 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
二、实验原理及实例分析2.1 z 正反变换序列()n x 的z 变换定义为()()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x z X Z （1）其中，符号Z 表示取z 变换，z 是复变量。
相应地，单边z 变换定义为()()[]()∑∞=-==0n n z n x n x z X Z （2）MATLAB 符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans 和z 反变换函数iztrans ，其语句格式分别为Z=ztrans(x) x=iztrans(z)上式中的x 和Z 分别为时域表达式和z 域表达式的符号表示，可通过sym ：函数来定义。
【实例1】 试用ztrans 函数求下列函数的z 变换。
（1）)()cos()(n u n a n x nπ=； （2）)(])2(2[)(11n u n x n n ----=。
解：（1）z 变换MATLAB 源程序为 >>x=sym('a^n*cos(pi*n)'); >>Z=ztrans(x);>>simplify(Z) ans=z/(z+a)（2）z 变换MATLAB 源程序为 >>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans=z^2/(z-2)/(z+2)【实例2】 试用iztrans 函数求下列函数的z 反变换。
（1）65198)(2+--=z z z z X （2）32)2)(1()12112()(--+-=z z z z z z X解：（1）z 反变换MATLAB 源程序为 >>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x) ans=-19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1)其中，charfcn[0](n)是)(n δ函数在MATLAB 符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为)()2335()(619)(11n u n n x n n --⨯+⨯+-=δ。
dtftdft和z变换的关系公式
dtftdft和z变换的关系公式离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换都是信号处理领域中常用的数学工具，用于描述和分析离散时间信号和系统。
它们之间存在密切的关系，可以通过一系列数学公式进行转换和相关性描述。
1.离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是用于离散时间信号的频域分析的工具。
对于一个离散时间序列x[n]，其DTFT定义为：X(e^jω)=Σx[n]e^(-jωn)，其中-π≤ω≤π这个公式表示了信号x[n]在频率ω上的分量，ω是一个连续变量，表示角频率。
DTFT将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(e^jω)。
2.离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是对离散时间序列进行有限点数的傅里叶变换，可以看作是DTFT的一种离散形式。
对于一个N点的离散时间序列x[n]，其DFT定义为：X[k] = Σx[n]e^(-j(2π/N)kn)，其中0 ≤ k ≤ N-1这个公式表示了信号x[n]对应于离散频域上的k点的分量，k是一个离散的变量，表示频域中的点数。
DFT可以看作是DTFT在频域上采样得到的结果。
不同于DTFT的连续频域函数，DFT得到的频域函数X[k]是离散的、有限个点的函数。
在时域上，DFT可以通过插值的方法从N点的离散时间序列x[n]还原得到。
3.Z变换Z变换是离散时间信号和系统理论中的重要工具，用于处理离散时间系统的频域表示。
对于一个离散时间序列x[n]，其Z变换定义为：X(z)=Σx[n]z^(-n)，其中z是一个复数变量这个公式表示了信号x[n]在复平面上的分布。
Z变换将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(z)。
Z变换与DTFT的关系可以通过将公式中的z替换为e^jω得到：X(z)，z=e^jω=X(e^jω)这个关系表明，在单位圆上的Z变换与DTFT是相等的。
这也意味着，通过Z变换可以直接计算DTFT，或者通过反过来计算DTFT可以得到Z变换。
z变换与离散时间傅里叶变换DTFT
DTFTxn- m e- jωω X e jω
3、乘以指数序列
1 jω DTFT a xn X e a
n
7
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
4、乘以复指数序列（调制性）
DTFT e- jωω0 xn X e j ωω0
5、时域卷积定理
jω n jnω x ( n ) e
收敛条件为： x( n )
n
绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。也就是
说， 若序列x(n)绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连 续。由于时域是离散的，故频域一定是周期的。
e e X e 也是以2π为周期的周期性函数 .
12
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称 序列之和
即x( n ) xe ( n ) xo ( n )
这是因为 xe ( n ) xo ( n ) [ xer ( n ) xor ( n )] j [ xei ( n ) xoi ( n )]
4
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
例： x(n) R5 (n)
X (e j ) e jn
n 0 4
1
x(n)
1 e e e e j 2 j 2 j 2 j 1 e e e e j 2 sin(5 / 2) e sin( / 2)
DTFTxn hn X e jω H e jω
6、频域卷积定理
1 DTFTxn y n X e jω Y e jω 2π 1 π jθ j ω θ X e Y e dθ π 2π
Z变换与DTFT
n
a
n
令它的后项与前项比值的极限等于 即 a
l im
n 1 n
an
则当
1时，级数收敛； 1时，级数发散； ＝ 时，级数可能收敛也可 1 能发散。
级数收敛的判断法则
(2)根值判定法：令正项级数一般项 的n次根的极限等于 即
部分分式展开法
求解方法： 把X(z)表示成
X ( z) X ( z) (单极点时 )或 k (r阶重极点时， k 1,2, , r ) z z
再按部分分式展开，求出各个系数。 5z 1 例题：已知 X ( z) 1 z 1 6 z 2 2＜|z|＜3, 求其逆Z变换。
l im
n n
an
an
则当
1时，级数收敛； 1时，级数发散； ＝ 时，级数可能收敛也可 1 能发散。
二、Z变换的收敛域
1. 2. 3. 4.
几类序列的Z变换收敛域问题：
有限长序列 右边序列 左边序列 双边序列
总结
有限长序列
x(n) n1 n n2 x ( n) 其它n 0 其Z变换：X ( z ) x(n) z n
围线积分法（留数法）
其中围线c是在X(z)的环状 解析域（即收敛域）内环 绕原点的一条反时针方向 的闭合单围线。
围线积分的Z反变换公式
1 x ( n) X ( z ) z n 1 dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
围线积分法（留数法）
X ( z ) z 在任一极点zr 处的留数
有限长序列
j Im[ z ]
dft变换,z变换,离散傅里叶三者变换关系
dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换(DFT)、Z变换和离散傅里叶变换(DTFT)是数字信号处理领域中常用的数学工具。
尽管它们的数学形式和实际应用略有不同，但它们之间存在紧密的联系。
首先我们来看离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
对于一个离散时间序列x(n)，DFT 将其表示为一组离散频谱X(k)，其中k表示频域中的离散频率。
DFT通过计算输入序列x(n)和一组复数旋转因子的点乘来实现。
在数学上，DFT的表达式如下：N-1X(k) = Σx(n)*e^(-j2πkn/N)n=0其中，N表示离散时间序列的长度，k表示离散频率的编号。
接下来我们来看Z变换。
Z变换是一种将序列转换为复数域表示的数学工具。
Z变换通过对序列x(n)中的每个样本进行加权求和，并使用复数变量Z来表示其变换结果。
Z变换的数学表达式如下：∞X(Z) = Σx(n)Z^(-n)n=0其中，X(Z)表示Z域中的复数函数，x(n)表示离散时间序列的样本值，Z表示复杂变量。
离散傅里叶变换(DFT)和Z变换之间存在紧密的联系。
如果我们将离散时间序列x(n)看作是一个去掉复杂变量Z的Z变换结果，那么离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换的特殊情况。
实际上，当变换的因子Z被设置为单位圆上的离散点时，离散傅里叶变换(DFT)和Z变换是等价的。
这时，离散傅里叶变换(DFT)可以用Z变换的形式表示：X(Z)|z=exp(-j2πk/N) = X(k)这个等式表示，当复数变量Z被设置为复数旋转因子z=exp(-j2πk/N)时，离散时间序列的Z变换结果X(Z)等于离散傅里叶变换(DFT)的离散频谱表示X(k)。
离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶变换(DTFT)之间也存在联系。
离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换(DTFT)的一种抽样。
离散傅里叶变换(DTFT)是将离散时间序列转换为连续频域表示的数学工具。
数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFT
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n) 0
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
ZT
[a
nu
(n)]
1
1 az
1
za
ZT
[a
nu(n
1)]
1
1 az
1
z 2
2n u(n)
za
1 1 3z1
z 3 3n u(n 1)
xn 2nun 3n un 1
例2 设
1 X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) ,
利用部分分式法求z反变换。
解：
z2 X (z)
(z 2)(z 0.5) 4 z 1 z
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
dtft与z变换的关系
dtft与z变换的关系一、什么是dtft和z变换1.1 DTFT（Discrete-Time Fourier Transform，离散时间傅里叶变换）离散时间傅里叶变换（DTFT）是一种重要的信号分析工具，用于将离散时间域中的信号转换到连续频率域中。
DTFT将离散信号看作一个周期为N的连续信号进行处理。
其定义如下：$ X(e^{j}) = _{n=-}^{} x[n]e^{-jn} $其中，$ X(e^{j}) 表示信号X在频率处的变换值，x[n]$表示离散时间域信号。
1.2 Z变换Z变换是一种用于进行离散信号分析的工具，可以将差分方程的离散信号转换到复频率域中。
其定义如下：∞[n]z−nX(z)=∑xn=−∞其中，X(z)表示信号X在z处的变换值，x[n]表示离散时间域信号。
二、dtft与z变换的关系DTFT和Z变换之间存在一种关系，这种关系可以帮助我们在DTFT和Z变换之间进行转换。
2.1 Z变换的定义与DTFT的关系将Z变换的定义进行变换：∞[n]z−nX(z)=∑xn=−∞用替代变量z=e jω替换，可以得到：∞[n]e−jωnX(e jω)=∑xn=−∞可以发现，这与DTFT的定义是相同的，即Z变换是DTFT的一个特殊形式。
因此，可以将Z变换看作是DTFT的一个离散版本。
2.2 DTFT与Z变换的区别尽管DTFT和Z变换有着类似的定义和形式，但它们还是存在一些区别的。
2.2.1 定义域DTFT的定义域是整个实轴，即−∞<ω<∞。
而Z变换的定义域是单位圆内部的点，即|z|<1。
2.2.2 周期性DTFT是以周期2π重复的，而Z变换没有周期性。
2.2.3 连续性DTFT是连续的函数，而Z变换是离散的函数。
三、DTFT与Z变换的应用DTFT和Z变换都具有广泛的应用领域，在信号处理和控制系统等方面发挥着重要作用。
3.1 DTFT的应用3.1.1 频谱分析DTFT可以将离散时间域信号转换到连续频率域中，用于频谱分析。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
dtft,dft和z变换的关系公式
dtft,dft和z变换的关系公式
DTFT（离散时间傅里叶变换）是对离散时间信号进行傅里叶变换，变换结果为复数序列。
DFT（离散傅里叶变换）是对离散时间序列进行傅里叶变换，并将结果离散化，得到一个离散频率的结果。
Z变换将离散时间序列转换为复平面上的函数。
它们之间的关系是：
DTFT和DFT：DFT是DTFT在离散频率上的取样。
换句话说，DFT将DTFT的周期延伸到一个无限长、以2π/N为周期的周期函数，并从中取出N个点，即得到DFT。
因此，DTFT是DFT的完整信号分析工具，而DFT 只是DTFT的离散取样。
DFT公式与DTFT公式如下：
DTFT：$X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$。
DFT：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$。
其中，k是DFT的离散频率，从0到N-1。
DFT和Z变换：DFT是在单位圆上取样的Z变换。
单位圆上的采样点是Z域变量的周期性取样。
DFT和Z变换的关系如下：
$X[k] = X(z)|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}$。
其中，k从0到N-1，X(z)为Z变换。
因此，可以通过DTFT、DFT和Z变换之间的关系，得到它们之间的相互转换公式。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是指在离散时间点上取值的信号。
它可以用一个数列来表示，其中每个数代表了在相应时间点上的信号取值。
离散时间信号在数字信号处理中起着重要的作用，因为它们可以通过数字系统来表示和处理。
离散时间信号的定义可以表示为x(n)，其中n是离散时间点的索引。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
有限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取值范围在0到N-1之间，N为信号的长度。
而无限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取遍整个整数集。
离散时间信号的Z变换是一种重要的信号变换方法，它将离散时间信号转换为复变量的函数。
Z变换是一种在数字信号处理中常用的工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域，从而可以进行频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号x(n)的Z变换可以表示为X(z)，其中z为复变量。
Z变换的定义可以表示为：X(z) = Σ(x(n) * z^(-n))其中Σ表示求和符号，x(n)表示离散时间信号的取值，z^(-n)表示z的负幂次方。
Z变换的性质和连续时间信号的拉普拉斯变换类似，具有线性性、平移性、卷积性、频率抽样等性质。
Z变换将离散时间信号映射到复平面上的点，其中每个点对应离散时间信号在不同频率上的幅度和相位信息。
Z变换在信号处理中有广泛的应用。
它可以用于系统的频域分析，比如计算系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
Z变换还可以用于信号的滤波和等级控制，用于设计数字滤波器和控制器，从而实现对信号的调制和解调。
此外，Z变换还可以用于信号的压缩和编码，用于提取信号中的相关特征和压缩信号的数据量。
总而言之，离散时间信号及其Z变换是数字信号处理中的重要概念和工具。
离散时间信号可以用一个数列来表示，在离散时间点上取值。
而Z变换则将离散时间信号从时域转换到复频域，从而实现对信号的频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号及其Z变换的应用广泛，包括系统分析、信号滤波、信号压缩等领域。
实验三z变换及分析、DTFT实验
实验三 z 变换及分析、DTFT 实验一、 实验目的（1） 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （2） 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点；（3） 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； （4） 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
二、实验原理及实例分析2.1 z 正反变换序列()n x 的z 变换定义为()()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x z X Z （1）其中，符号Z 表示取z 变换，z 是复变量。
相应地，单边z 变换定义为()()[]()∑∞=-==0n n z n x n x z X Z （2）MATLAB 符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans 和z 反变换函数iztrans ，其语句格式分别为Z=ztrans(x) x=iztrans(z)上式中的x 和Z 分别为时域表达式和z 域表达式的符号表示，可通过sym ：函数来定义。
【实例1】 试用ztrans 函数求下列函数的z 变换。
（1）)()cos()(n u n a n x nπ=； （2）)(])2(2[)(11n u n x n n ----=。
解：（1）z 变换MATLAB 源程序为 >>x=sym('a^n*cos(pi*n)'); >>Z=ztrans(x);>>simplify(Z) ans=z/(z+a)（2）z 变换MATLAB 源程序为 >>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans=z^2/(z-2)/(z+2)【实例2】 试用iztrans 函数求下列函数的z 反变换。
（1）65198)(2+--=z z z z X （2）32)2)(1()12112()(--+-=z z z z z z X解：（1）z 反变换MATLAB 源程序为 >>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x) ans=-19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1)其中，charfcn[0](n)是)(n δ函数在MATLAB 符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为)()2335()(619)(11n u n n x n n --⨯+⨯+-=δ。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析Z变换与DTFT
其Z变换为
X (z)
n n1
x ( n) z - n
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n1 n2 0 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大： 0 z n1 0
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT [ x1 (n)] X 1 (e j )， FT [ x2 (n)] X 2 (e j )
j j 则 FT [ax1 (n) bx 2 (n)] aX1 (e ) bX 2 (e )
式中a，b为常数。
2.时移与频移
j 设 FT [ x(n)] X (e ) ，则
时域离散信号和系统的频域分析z变换与dtft时域和频域时域频域matlab时域转频域时域到频域的转换时域相乘频域卷积时域分析与频域分析时域频域转换时域和频域的关系时域信号和频域信号
第2章 时域离散信号和系统的 频域分析
x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0
2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
n
n2 0
0 z
例2-4 x ( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)资料
X (z) P(z) Q(z)
8
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是 X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
0 | z |
所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)， 如图所示。
11
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
jIm[z]
o
Re[z]
δ(n)的收敛域(全部Z平面)
12
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 例 求矩ˇ 形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收ˇ敛域。
解
N 1
X (z) RN (n)zn zn
n
(2-3)
7
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就
jIm[z]
是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即
Rx-<|z|<Rx+
收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中 的阴影部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当o然Rx-可以小到零R，e[z]R x+可以大到无穷大。
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
3
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二.变换域分析法
信号与系统的频域分析、‵复频域分析。 1.连续时间信号与系统：
拉普拉斯变换和傅里叶变换。 拉普拉斯变换可将微分方程转化为代数方程。
数字信号处理实验三：离散时间信号的频域分析
实验三：离散时间信号的频域分析一．实验目的1．在学习了离散时间信号的时域分析的基础上，对这些信号在频域上进行分析，从而进一步研究它们的性质。
2．熟悉离散时间序列的3种表示方法：离散时间傅立叶变换（DTFT）,离散傅立叶变换（DFT）和Z变换。
二．实验相关知识准备1．用到的MATLAB命令运算符和特殊字符：< > .* ^ .^语言构造与调试：error function pause基本函数：angle conj rem数据分析和傅立叶变换函数：fft ifft max min工具箱：freqz impz residuez zplane三．实验内容1．离散傅立叶变换在MATLAB中，使用fft可以很容易地计算有限长序列x[n]的离散傅立叶变换。
此函数有两种形式：y=fft(x)y=fft(x,n) 求出时域信号x的离散傅立叶变换n为规定的点数，n的默认值为所给x的长度。
当n取2的整数幂时变换的速度最快。
通常取大于又最靠近x的幂次。
（即一般在使用fft函数前用n=2^nextpow2(length(x))得到最合适的n)。
当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补0，以构成长为n点数据。
当x的长度大于n时，fft函数将序列x截断，取前n点。
一般情况下，fft求出的函数多为复数，可用abs及angle分别求其幅度和相位。
注意：栅栏效应，截断效应（频谱泄露和谱间干扰），混叠失真例3－1：fft函数最通常的应用是计算信号的频谱。
考虑一个由100hz和200hz正弦信号构成的信号，受零均值随机信号的干扰，数据采样频率为1000hz。
通过fft函数来分析其信号频率成分。
t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s，即采样频率为1000hzx=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)+1.5*rand(1,length(t));%产生受噪声污染的正弦波信号subplot(2,1,1);plot(x(1:50));%画出时域内的信号y=fft(x,512);%对x进行512点的fftf=1000*(0:256)/512;%设置频率轴（横轴）坐标，1000为采样频率subplot(2,1,2);plot(f,y(1:257));%画出频域内的信号实验内容3－2：频谱泄漏和谱间干扰假设现有含有三种频率成分的信号x(t)=cos(200πt)+sin(100πt)+cos(50πt)用DFT分析x(t)的频谱结构。
2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。
在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。
n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。
1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。
1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。
第1章离散时间信号与系统
2 (a)若： N ，N为整数，则序列的最小周期为N
0
(b)若： 2 N S L ，N为有理数但不是整数，L、S 0
为整数，则序列的最小周期为S。
2 0 N , 不是有理数，则序列是非周期性的 (c)若：
所以 x(n) 的周期N是 N1 , N2的最小公倍数30
(2) 1 2 1 , N1 8 ; 4 14
2
4
, N2
2 8; 4
13
N1/N2是无理数，所以x(n)是非周期的。
n0 n0
u(n-n0),n0>0
…
-1
…
0 1
(a)
2
3
n
… … -1
u(-n0-n),n0>0
…
0 1 (b) n0
… …
n
… … 图1.1.2
-n0
…
-1
… 0 1 …
n
思考： u(n+n0),n0>0; 的图形。
4
(c)
单位脉冲序列与单位阶跃序列的相互关系：
(n) u (n) u (n 1)
u(n) (n) (n 1) (n 2) (n m)
m 0
5
（３）矩形序列 (Rectangle sequence)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
RN ( n )
1
…
0 1
-3 -2 -1
第1章 离散时间信号与系统
dtft与z变换的关系
dtft与z变换的关系
DTFT与Z变换是两种经常使用的频域分析方法，它们在数字信号处理领域中有广泛的应用。
DTFT是一种连续的频域分析方法，Z变换则是一种离散的频域分析方法。
虽然它们的应用场景不同，但它们之间却有着密切的联系。
事实上，Z变换可以看作是DTFT的离散形式。
在进行离散信号的频域分析时，我们通常使用Z变换。
Z变换可以将离散信号转换为Z域中的复数函数，并且可以用于求解离散信号的频域特性。
在Z域中，离散信号中的每一个采样值都对应了一个复数值，从而形成了一个Z变换序列。
而DTFT则是将离散信号转换为连续的频域函数，可以用于分析离散信号的频域特性。
在DTFT中，离散信号中的每一个采样值都对应了一个复数值，从而形成了一个连续的频谱。
尽管DTFT和Z变换有着不同的数学定义，但它们之间有着非常紧密的联系。
实际上，我们可以通过取Z变换在单位圆上的点值，来得到DTFT的数值解。
也就是说，我们可以通过在Z变换的极坐标图中画出单位圆，并在单位圆上取等间距的点来逼近DTFT，从而得到DTFT的数值解。
这种方法通常被称为“Z变换采样”。
总之，DTFT和Z变换是数字信号处理领域中两种常用的频域分析方法。
虽然它们在应用场景上有所不同，但它们之间具有非常紧密的联系。
我们可以通过Z变换采样的方法来逼近DTFT，从而得到离散信号的频域特性。
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为系统的频率响应。所以两个序列的时域卷积对 系统的频率响应。 应于DTFT的乘积。值得指出： 的乘积。 应于 的乘积 值得指出： （1）由于 ） ， e =e ω 是以 是以2π为周期的周期函数 所以 X(ejω ) 为周期的周期函数 （2）DTFT ）
X(ejω ) =
jω ω
n=−∞
jω
j(ω+2π)
Rx− < z < Rx+
j Im[ z]
Re[z]
Rx+ Rx−
X
第
变换及收敛域。 [例2-1] 求序列 x(n) = δ (n) 的Z变换及收敛域。 解：这相当
n1 = n2 = 0 时的有限长序列，
19 页
Z[δ (n)] =
n=−∞
∑δ (n)Z
∞
−n
= Z =1
0
其收敛域应包括 z = 0, z = ∞, 充满整个 平面。 整个Z 即 0 ≤ z ≤ ∞, 充满整个Z平面。
x(n)e− jnω ∑
∞
正是周期函数
X(e ) 的付氏级数展开
X
第
二 、 z变换
5 页
离散时间系统的z变换（ 离散时间系统的 变换（类似于模拟系统的拉氏变 变换 ），它是分析离散系统和离散信号的重要工具 它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 变换定义为: 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为 （ ） 变换定义为
1 −n 15 4 , 因此x(n) = 1 4n+2 , 15
zk 为c内的第 个极点，zm为c外的第 个极点， 内的第k个极点 外的第m个极点 内的第 个极点， 外的第 个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。 表示极点处的留数。 表示极点处的留数
X
第 25 页
留数的求法： 留数的求法：
1、当Zr为一阶极点时的留数： 、 阶极点时的留数：
Re s[ X (z)zn−1]Z =Zr = [(z − zr ) X (z)zn−1]z=zr
C为环形解析域内 为环形解析域内 环绕原点的一条逆 时针闭合单围线. 时针闭合单围线
0
j Im z] [
Rx+
Re[z]
Rx−
c
X
第 24 页
二.求Z反变换的方法
1.留数法 留数法 由留数定理可知： 由留数定理可知：
1 X (z)zn−1dz = ∑Re s[ X (z)zn−1]z=zk 2πj ∫ c k 1 X (z)zn−1dz = −∑Re s[ X (z)zn−1] z =zm c 2πj ∫ m
.
x(n), n1 ≤ n ≤ n2 x(n) = 其他n 0,
Q X (z) = ∑x(n)z ,∴若x(n)z
−n n=n1 n2 −n
.
n1 0 n2
.
< ∞，n1 < n < n2 ;
考虑到x(n)是有界的，必有 z
−n
< ∞，n1 < n < n2 ;
X
第
因此，当n ≥ 0时， z
j Im z] [
Re[z]
z+
X
第 9 页
同样, 同样,对于级数
∑x(n)z ，满足
−n n=0
∞
z− < z ≤ ∞
பைடு நூலகம்级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛 半径。 半径。 j Im[ z]
Re[z]
z−
X
第
x (n)
10 页
(2).有限长序列 (2).有限长序列
∞
−n
可以把单边z变换看成是双边 变换的一种特例 可以把单边 变换看成是双边z变换的一种特例， 变换看成是双边 变换的一种特例， 即因果序列情况下的双边z变换 变换。 即因果序列情况下的双边 变换。
X
第
z变换的收敛域 变换的收敛域
z平面上使
n=−∞
7 页
∑x(n)z
∞
−n
收敛的区域称为“收敛域” 收敛的区域称为“收敛域”。
第 22 页
三、 Z反变换
一.定义： 定义： 已知X(z)及其收敛域, X(z)及其收敛域 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) = Z [ X (z)]
−1
X
第
Z反变换公式： 反变换公式： 反变换公式
23 页
1 n−1 x(n) = ∫c X (z)z dz, c ∈(Rx− , Rx+ ) 2πj
−n
= 1/ z , 只要z ≠ 0，则z
n n
−n
<∞
11 页
同样，当n < 0时，−n = z , 只要z ≠ ∞，则z−n < ∞ z 所以收敛域0 < z < ∞也就是除z = 0, z = ∞外的开域(0, ∞)， 即所谓“有限z平面”。
j Im[ z]
×
Re[z]
X
第
3. 右边序列
x(n), n ≥ n1 x(n) = n < n1 0,
X
第 3 页
对于一个线性时不变离散系统， 对于一个线性时不变离散系统，其输入输 出关系为
y(n)＝x(n)*h(n) ＝
则有
Y(e ) =
jω
n=−∞
∑y(n)e
jω
∞
− jωn
= X(e )H(e )
X
jω
第 4 页
ω H(ejω )为系统单位脉冲响应 为系统单位脉冲响应h(n)的DTFT，称 其中 的 ，
X
第
变换及收敛域。 [例2-2] 求序列 x(n) = a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
20 页
解： X (z) =
n=−∞
anu(n)z −n = ∑an z −n = ∑(az −1 )n ∑
n=0 n=0
∞
∞
∞
= 1+ az −1 + (az −1 )2 + L+ (az −1 )n L
当
z > a 时，这是无穷递缩等比级数。 这是无穷递缩等比级数。 递缩等比级数
−1
a1 1 z q = az , S = = = 。 −1 1− q 1− az z −a z = a为极点，在圆z = a 外， X (z)为解析函数，故收敛。
X
Z变换小结 变换小结
• Z 变换收敛域的特点： 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点 ） 收敛域是一个圆环， 有时可向外扩展到∞，只有x（ ） （ ） ， 有时可向外扩展到 ， 只有 （ n）=δ（n）的 平面。 收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每 ） 在收敛域内没有极点， （ ） 一点上都是解析函数。 一点上都是解析函数。 • Z 变换表示法： 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数 只表示收敛域上的函数， 解析表达式（注意 只表示收敛域上的函数，要 同时注明收敛域） 同时注明收敛域）
x+
故收敛域为 < z < Rx+ 0
j Im[ z]
×
Re[z]
X
z+ = Rx+
第 17 页
(6)双边序列 (6)双边序列
x
L
0
L
n
双边序列指n为任意值时, n)皆有值的序 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序 边序列和右边序列之和。 和右边序列之和 列，即左边序列和右边序列之和。
X (z) =
x(n), n ≤ n2 x(n) = n > n2 0,
x(n)
L
X (z) = =
0 n=−∞
∑x(n)z
−n
n2
0
−n
n2 n
n=−∞
∑x(n)z
+ ∑x(n)z
n=1
n2
−n
X
第 16 页
∞ 第二项为有限长序列,其收敛域 0 < z < ; 项为有限长序列, 项为有限长序列 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 ≤ z < Rx+ ; 最大收敛半径 R 为最大收敛半径 .
X
第 8 页
一些序列的收敛域
(1).预备知识 (1).预备知识 阿贝尔定理: 阿贝尔定理: ∞ x(n) z n 在 z = z (≠ 0) 如果级数 ∑ ， + n=0 z,级数必绝对收 收敛,那么,满足0 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 为最大收敛半径。 敛。|z+|为最大收敛半径。
.. x(n) ... n1 0 1
∞
12 页
X (z) =
n=n1
∑
∞
x(n)z −n =
n=n1
∑
−1
n
x(n)z −n +
∑
n=0
x(n)z −n
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数, 第一项为有限长序列，第二项为 的负幂级数 第一项为有限长序列
X
第 13 页
第一项为有限长序列,其收敛域为0 第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。 最小收敛半径 收敛半径。
,