变量和模糊概率随机变量的数学期望

所在行，Ｍ—ｏｌ所在列的元为主元对表ｌ进行单纯形替代得表２．
表２
当ＵＩ＋如＋…＋厶ｌ≥１时单纯形法迭代结果
ｃｊ
…
—ｅｌ
—ａ２一口３
一ａｎ
０
０
０
…０
一Ｍ
Ｘｉ
！！
！！
竺
：：：
兰
三！
兰！
竺二
！！
！
竺
０
—１
—１
…
一１
１
０
０
…０
—１
（Ｕｌ＋￡２＋…＋Ｌ）一１
Ｏ
ｌ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
ｌ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
％一如
０
Ｏ
ｌ
０
０
Ｏ
ｌ
Ｏ
Ｏ
仉一如
●●
Ｕ ＋一 ＋
一
Ｕ ＋一 ＋
＋
～
＋
＋
≤
＋～ ＋
２≤ｋ≤ｒｔ一１；
（８）
以以ｋ ＋ 一 ＋
ｏ
ｋ“‰ ＋ 一 ＋
≥≥
“‰地‰ ｈ乙 ＋ ～ ＋ ｋ ＋ … ＋ ¨ ＋ “如玑以 ≤
２≤ｍ≤ｎ一１．
（９）
证明设Ｅｅ＝［Ｅ车一，Ｅｅ＋］，则Ｅｅ一、Ｅ导＋分别是（ＬＰＥ一。１）和（ＬＰＥ＋。１）的最优值．下面
先求（ＬＰＥ一一１）的最优值．
‰∑哪ｐ∥Ｉ ｐ∥Ｅ ７ｆ∽ｉ：１，２，…，¨∑ｐ∥＝１）＋
ｎ’
ｎ２
｛忌：∑妇∥ ｐ∥Ｅ丌”＿『＝１，２，…ｍ，∑ｐＰ＝ １）＝
』＝ｌ
，＝ｌ
ｎ１
ｎｌ
五。｛∑口护∥Ｉｐ：８’Ｅ丌∽ ｉ：１，２，…，‰∑ｐ｛ｅ）＝ １）＋
ｉ＝ｌ
ｉ＝ｌ
也∑川 也 ｒ●，Ｌ
如７
Ｊｐｊ ７’Ｅ丌ｊ训，，＝１，２，…，№， 也∑川 击
２）设ｋｌ、ｋ２为实数，则对任一［ｎｌ＋Ｒ２ｌＩＰ（拿，叩）有
Ｅ（ｋｌＳ＋ｋ２叩）＝ｋｌ［Ｅ搴］＋ｋ２［Ｅ７］； ３）当ｅ、叩相互独立时，Ｅ（纫）＝［Ｅ亭］［Ｅ７］．
证明１）Ｅｃ：∑劬卜ｃ∑丌ｆ＝ｃ．
ｉ＝Ｉ
ｉ＝Ｉ
“１
％
２）Ｅ（ｋｌ ｅ＋ｋ２叩）：∑∑（．｜｝ｌ车＋ｋ２】７）丌口＝
ｒ●ＪＬ ～∑Ⅲ ～∑川
１）：
万方数据
肖
盛燮
吕
恩琳
ｋｌ［Ｅ拿］＋Ｊ］｝２［Ｅ】７］． ３）同理可证当Ｓ、７相互独立时，Ｅ（切）＝［Ｅ亭］［Ｅ７］． 定理６模糊概率（ＦＰ）随机变量的数学期望具有如下性质： １）若Ｃ为常数，则Ｅ Ｃ＝Ｃ；
２）设ｋｌ、ｋ２为任意实数，则对任一［ｎｌ＋，ｔ２］源模糊概率随机变量（车，叩）有 Ｅ一（ｋｌｅ＋蠡２７）＝ｋｌ［Ｅ搴］＋七２［娶７］，
●●●
●●●
●●●
●●
Ｏ
Ｏ
Ｏ
０
０
０
０
ｌ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
１
０
…
ａｌ一０，２ ８ｌ—ａ３
ｏｌ一％０
０
Ｏ
…０
０
以一Ｌ。 １一（Ｌｌ＋Ｌ２＋···＋Ｌ。）
因为
口ｌ—ａ２≤０，ａｌ—ａ３≤０，…，口ｌ—ａｎ≤０，
所以（ＬＰＥ一～３）的最优解为： 石ｌ＝１一（￡ｌ＋￡２＋…＋Ｌｎ）， Ｙｌ＝（Ｕｌ＋Ｌ２＋…＋￡。）一１，Ｙｉ·＝Ｕｉ一￡ｆ，
则称
￡（（￡Ｊｉ）＝ｚｉ，
ｉ＝１，２，…，ｎ，
Ｅｅ：∑２ｃｉ７ｆ卜｛∑ｚｉＰｉ Ｌｉ≤Ｐｆ≤Ｕｉ，ｉ：１，２，…，ｎ且∑ｐ卜１）
（１）
＊收稿日期： 基金项目：
作者简介：
万方数据
２００３—０９－１６；修订日期：２００５—０６－１０ 国家自然科学基金资助项目（５９８７８０５７）；国家科技攻关计划“西部开发科技行动”重大项 目（２００４ＢＡ９０ｌＡ０２） 肖盛燮（１９３７一），男，四川营山人，教授，主要从事防灾减灾工程研究及模糊分析（联系人． Ｔｅｌ，ＺＦａｘ：＋８６－２３—６２６５２７６５；Ｅ—ｍａｉｌ：ｘｉａｏｓｈｅｎｇｘｉｅ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ）．
０即Ｕｌ＋Ｕ２＋Ｌ３＋…＋Ｌ。≥１时，（ＬＰＥ一～３）的最优解为
茗】＝Ｕｌ—Ｌｌ，Ｘ２＝ｌ一（ＵＪ＋￡２＋…＋厶。），
Ｙ２＝（Ｕ１＋以＋…＋￡。）一１，Ｙｉ＝仉一Ｌｉ，
ｉ＝３，４，…，ｎ．
当［１一（ｕｌ＋Ｌ２＋…＋厶）］一（以一Ｌ２）≥０即ｕｌ＋巩＋…＋厶≤１时得表４．
表４
当Ｕｌ＋以＋Ｌ３…＋厶≥ｌ和Ｕｌ＋％＋…＋ｋ≤１时单纯形法迭代结果
一‘０
一Ｍ
托一Ｏ
０
聋ｎ ——
Ｏ
九一。
Ｙ２
Ｏ
＂一Ｏ
Ｏ
０
０
●
０
Ｏ
ｏ
０
Ｏ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
～
Ｏ
ｏ
Ｏ
●
～
～
Ｏ
０
仉一Ｌｌ 如一如 仉一如
０
Ｏ
ｏ
Ｏ
０
０
●
ｏ
Ｏ
０
．】Ｉｆ一啦Ｊ｜ｌｆ一Ⅱ３ …
Ｍ一％８ｌ一＾ｆ
０
Ｏ—Ｏ
０
以一厶
０
１
１一（ＵＩ＋如＋…＋厶。）
０
Ｏ
再对表３分情况进行单纯形替代，可以得到当［１一（ｕｌ＋Ｌ２＋…＋厶）］一（ｕ２一￡２）≤
ｂ 七 ｏ ＋ 后
｝
ｐ
ｐ
ｐ：８’Ｅ ７ｒ｛釉，ｉ＝１，２，…，ｎｌ，
ｎｌ
ｎ２
ｐ∥∈丌∽＿『＝１，２，…，％∑ｐ∥＝１，∑｜ｐ∥＝
ｉ＝１
ｊ＝Ｉ
｛．｜｝ｌ∑口护ｌ｝）＋Ｉ｜｝２∑咖∥Ｉ ｐ∥Ｅ丌∽ｉ＝ｌ，２，…，％
ｉ＝Ｉ
』＝１
４ｌ
～
ｐ∥∈丌∽Ｊ＝１“２一，％∑ｐ∥＝１，∑ｐ∥＝１）＝
ｉ＝ｌ
』＝ｌ
ｎＩ
ｎ１
（陈山林推荐）
摘要： 研究离散型区间概率随机变量和离散型第二类模糊概率随机变量数学期望的性质及求解 方法．利用模糊分解定理，把求模糊概率随机变量的数学期望问题化为求一系列区间概率随机变 量的数学期望．求区间概率随机变量的数学期望是一个典型的线性规划问题，用单纯形方法推导 了求区间概率随机变量数学期望的一个很实用的计算公式．算例表明，用该计算公式得到的结果 和用数学规划方法得到的结果完全吻合，但计算过程相对简单．
定义５设ｇ（ｘ，，，）是实变量菇、Ｙ的单值实函数，对二维［ｎｌ＋ｎ２］ＩＰ（￥，７）定义
Ｅｇ（拿，叩） ＝
～∑㈨ ～∑川 ｇ ｏ
％曲 丌
玎砂 ＝
ｒ＿ＪＩ ～∑Ⅲ ，∑川 ｇ 口
ｂＤ ｐ
ｐ哼
ｐｌｅ’∈７ｒｌ釉，ｉ＝１，２，…，ｎｌ，
∑ｎ１ ｐ∥：ｌ；ｐｊ，）∈丌∥，，：１，２，…，％壹ｐ∥
ｉ＝１
』＝１
可以证明Ｅｅ：Ｅ，车，Ｅ ｅ：Ｅ ７Ｓ，于是定义１与定义３等价，定义２与定义４等价．我们以
后通常采用定义３和４，并约定ｎ’＝ｎ．
定理１设离散型ｎＩＰｅ的区间概率分布列为
Ｑ（ｅ＝ａｉ）＝７ｆｔ，
ｉ＝１，２，…，ｎ，
又ｇ（戈）是实变量ｘ的单值实函数，则有
Ｅｇ（导）二∑ｇ（ａｉ）丌ｆ．
定理２设离散型ｎＦＰＳ的模糊概率分布列为
应用数学和力学，第２６卷第ｌＯ期（２００６年１０月） Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
应用数学和力学编委会编 重庆出版社出版
文章编号：１０００－０８８７（２００５）ｌｏ－１２５３螂
离散型区间概率随机变量和模糊 概率随机变量的数学期望‘
肖盛燮１， 吕恩琳２
（１．重庆交通学院工程力学系，重庆４０００７４； ２．重庆大学工程力学系，重庆４０００４４）
（６）
定理７设离散型ｎｉＰ随机变量ｅ的概率分布列为
Ｑ（￡＝吼）＝死＝［厶，仉］，
ｉ＝ｌ，２，…，ｎ，
且ｏｌ≤ｎ２≤…≤ａ。，则当／－ｇ≥３时
ｋ—ｌ
ｎ
ｍ—Ｉ
Ｅ手：［∑（口ｉ一‰）以＋钆＋∑（口ｆ—ａｋ）厶，∑（口ｉ—ｏ。）厶＋
ｉ；ｌ
ｉ＝ｋ＋１
ｆ＝ｌ
ｏ。＋∑（啦一口。）阢】，
（７）
其中，ｋ、ｍ由下列条件（Ｉ）、（ＩＩ）分别唯一确定：
ｓ．ｔ．Ｘｌ＋戈２＋…＋菇ｎ＝１一（￡ｌ＋Ｌ２＋…＋￡ｎ），
０≤石ｉ≤Ｕｉ一厶，ｉ＝ｌ，２，…，ｒｔ； 万方数据
离散型区间概率随机变量和模糊概率随机变量的数学期望
进一步可转化为（ＬＰＥ一一３）： ｍａｘ｛（一口ｌｚｌ—ａ２ｘ２一…一口，∥ｎ））
Ｓ．ｔ．ｘｉ＋Ｙｉ ２ Ｕｉ—Ｌｉ，Ｘｉ≥０，Ｙｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｒｔ，
首先因为定理中（￡，ｕ）是可行的，易证总存在ｋ，使得
ｆ Ｚ１＋…＋≯一１ ｔ厶＋…＋拿４≤：’ ２≤ 、七≤ 、ｎ一１；’
【Ｕ１＋…＋仉＋ｋ＋ｌ＋…＋厶≥１，
其次，在（ＬＰＥ一～１）中，令Ｐｉ＝髫ｉ＋Ｌｆ，ｉ＝ｌ，２，…，凡，则（ＬＰＥ一一１）化为（ＬＰＥ一一２）： ｍｉｎ｛（ｎ１菇ｌ＋ａ２菇２＋…＋ａｎｘｎ）＋（ｎ１Ｌｌ＋ｎ２￡２＋…＋口，正ｎ））
ｉ＝２，３，…，，１．
当［１一（Ｊ已ｌ＋￡２＋…＋厶）］一（ｕｌ—Ｌ１）≥０即ｕｌ＋Ｌ２＋…＋Ｌ。≤１时，选表１中ｕｌ 一￡ｉ所在行，Ｍ一口ｌ所在列的元为主元对表１进行单纯形替代得表３．
万方数据
１２５８
肖
盛燮
吕
恩琳
表３
当Ｕｌ＋如＋…＋厶ｌ≤１时单纯形法迭代结果
…
ｑ
—ｏＩ
～０２
一ｔ１３
一ｎｎ
０
０
０
ｃＪ
—ｏＩ
—ａ２
一０３
…
一口ｎ
０
０
０
…０
一Ｍ
ｘｆ
Ｘｌ
Ｘ２
Ｘ３
…
‰
Ｙｌ
Ｙ２
Ｙ３
…
二ｈ
！
生
０
０
Ｍ—ａ３ … 肘一‰ｏＩ—ＭⅡ２一Ｍ
０
…０
０
再对表４进行单纯形替代，……，如此作下去，不难得到：当
ｆ ＵＪ＋…＋ｕｋ一１＋Ｌｋ＋…＋Ｌ。≤１， 【Ｕｌ＋…＋巩＋如＋ｌ＋…＋厶≥１
１２５３
１２５４
肖
盛
燮
吕
恩
琳
为Ｓ的数学期望（或期望区间）．
定义２对离散型模糊概率（凡ＦＰ）随机变量搴［２｜，若
则称
车（（Ｕｉ）＝戈ｉ，
ｉ＝１，２，…，ｎ，
娶拿＝∑ｉ＝１ ｘｉ匹ｉ＝。∈Ｕ．１］ＡＥａ手
（２）
为拿的模糊数学期望，其中ＥＡｓ全∑茗∥ｎ，这里丌ｎ是，！的Ａ水平截集．
ｉ＝ｌ
定义３若离散型ｎＩＰ随机变量手的概率区间分布列［４］为
咒ｌ＋戈２＋…＋ｘｎ＝ｌ一（Ｌｌ＋￡２＋…＋Ｌｎ）．
按线性规划单纯形法的大肘法（ＬＰＥ一一３）可表为（啪一一３’）：
ｍａｘ｛（一Ⅱｌ戈ｌ—ａ２省２一…一ａｎｘｎ—Ｍｚ））
ｓ．ｔ．ｚｉ＋Ｙｉ＝Ｕｉ—Ｌｌ，Ｘｉ≥０，Ｙｉ≥０，ｉ＝１，２，…，凡，
ｘｌ＋戈２＋…＋戈ｎ＋ｚ＝１一（￡ｌ＋￡２＋…＋￡ｎ）．
列单纯形表得
表１
单纯形法初始表
…
ｑ
一。ｌ
一。２
一ａ３
一ａ。
０
０
０
…０
一Ｍ
ｘｌ
ｘ２
并３
…Ｘｎ
Ｙｌ
Ｙ２
Ｙ３
…
ｈ
二
１２５７ ６
Ｍ一８ｌ肘一啦肘一０３ …
．】Ｉ，一ｎ．１
０
０
０
…０
０
因为ｎｌ≤０２≤…≤‰，所以Ｍ一口Ｉ≥Ｍ一口２≥…≥Ｍ—ａ。，于是，当［１一（Ｌｉ＋￡２
＋…＋Ｌ。）］一（Ｕｌ—Ｌ１）≤０即Ｕｌ＋Ｌ２＋…＋厶。≥ｌ时，选表１中１一（厶１＋Ｌ２＋…＋￡。）
数、分布列和模糊数学期望的定义．在此基础上，本文利用模糊分解定理［３ｌ，研究离散型第二 类模糊概率随机变量数学期望的性质和具体计算方法．
１离散型区间概率随机变量和模糊概率随机变量的数学期望陋“１
本文用含７ｌ＂的式子表示满足封闭运算的区间概率和模糊概率，有关概念详见文献［２，４］．
定义１对离散型区间概率（ｎｉＰ）随机变量ＳＨＪ，若
定义６设ｇ（ｚ，），）是实变量菇、Ｙ的单值实函数，对二维［ｎｌ＋ｎＥ］ＦＰ（ｅ，叩）定义
１∑㈧ ～∑Ⅲ 娶ｇ（｝，７） ＝
ｇ口
口～
九１ 丌一
丌一
＝。划＇１］ＡＥ艚（ｅ，叩），
其中
Ｅａｇ（车，叩） △＝ ～∑川 巳∑川 ｇ 口 ０ 丌 ∽ｎ 丌 锄∥
定理５ ＩＰ随机变量的数学区间期望具有如下性质： １）若Ｃ为常数，则ＥＣ＝Ｃ；
关键词： 区间数；模源自文库集；概率；随机变量；数学期望
中图分类号：０１５９
文献标识码：Ａ
引言
对连续型第二类模糊概率随机变量问题，即连续型的清晰事件一模糊概率问题，文献［１］给 出了模糊密度函数、模糊密度随机变量及其分布函数、期望和方差的基本概念及定义和计算方 法．对离散型第二类模糊概率随机变量问题，文献［２］给出了模糊概率随机变量及其分布函
Ｑ（导＝吩）＝巧，
则称
∥
ｎ’
ｎ，
Ｅ，拿＝∑吩７【：；＝｛∑吁田Ｉ ‘≤田≤巧，歹＝１，２，…，凡’且∑田＝１） （３）
ｊ＝ｔ
，；Ｉ
，＝１
为ｅ的数学区间期望（或期望区间）．
定义４若离散型ｎＦＰ随机变量手的模糊概率分布列［２】为
则称
眯＝∑ｉ叼弓＝。‰Ａ球
（４）＝１
为毒的模糊数学期望，其中而∈：Ａ∑ｘ：ｒｋ．
Ｑ（拿＝ａｉ）＝蛋ｆ，
ｉ＝１，２，…，１７，，
又ｇ（Ｘ）是实变量ｘ的单值实函数，则有
Ｅ～ｇ（ｅ）：∑ｇ（ａｆ）虿ｉ．
定理３设离散型ｎｉＰ（拿，刁）的联合区间概率分布列为
Ｑ（手＝ａｉ，７／＝岛）＝～，‘ ｉ＝１，２，…，ｎｌ；，＝１，２，…，ｎ２， 又ｇ（ｘ，ｙ）是实变量ｚ、Ｙ的单值实函数，则有
ｎｌ
ｎ２
３）当ｅ、７７相互独立时 Ｅ（铆）＝［Ｅ ｅ］［Ｅ叩］．
２离散型区间概率随机变量和模糊概率随机变量的数学期望的算法
由定义２，欲计算ＦＰ随机变量的数学期望，只须先计算ＩＰ随机变量的数学期望．而求口
随机变量的数学期望区间只需求出该区间的上、下限即可．设ｎｉＰ随机变量ｅ的概率分布列
为
Ｑ（拿＝ａｉ）＝丌ｆ＝ｌ厶，以ｊ，
ｉ＝１，２，…，ｎ，
则求Ｅｅ只需求解最优化问题（ＬＰＥ一一１）和（ＬＰＥ＋～１）：
（ＬＰＥ一。１）ｍｉｎ｛ａｌＰｌ＋ａ２ｐ２＋…＋ａａＰｎ）
ｓ．ｔ．ｐｌ＋ｐ２＋…＋Ｐ。＝ｌ，厶≤ｐｉ≤Ｕｉ，ｉ＝ｌ，２，…，ｎ．
（５）
（ＬＰＥ＋～１） ｍａｘ｛ａｌＰｌ＋ａ２ｐ２＋…＋ｎ护ｎ）
ｓ．ｔ．Ｐｌ＋ｐ２＋…＋Ｐ。＝ｌ，Ｌｉ≤ｐｆ≤玑，ｉ＝ｌ，２，…，ｎ．
Ｅｇ（手，７）＝∑∑ｇ（ａｉ，毛）丌驴．
定理４设离散型ｎＦＰ（导，叩）的联合模糊概率分布列为
Ｑ（毒＝ａｉ，７＝巧）＝蛋Ｆ，
ｉ＝１，２，…，１１，Ｉ；歹＝１，２，…，ｎ２，
又ｇ（戈，），）是实变量石、Ｙ的单值实函数，则有 万方数据
离散型区间概率随机变量和模糊概率随机变量的数学期望
１２５５
Ｅ—ｇ（ｅ，叩） ＝ １∑㈦ ，∑川 ｇ 口 ｂ 玎＿ ～驴