上海高三数学模拟试卷

高三数学模拟试卷

班级 学号 姓名 得分

注意：本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个

空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1．设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = . 2．集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是 . 3．二项式6)1

(x

x -的展开式中，系数最大的项为第 项. 4．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担

一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种．

5

．直线()2x t

t y =+⎧⎪⎨

=⎪⎩为参数被双曲线221x y -=截得的弦长为 .

6．若函数2log ,0

()(),0

x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -= .

7.

半圆直径为2

8．已知数列{}n a 的通项公式为1

n n a -=则01n a C +12n a C +23n

a C ++1n n n

a C +=

9．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n

S n

为等差数列，且通项为

1(1)2

n S d

a n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n

b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数

列为等比数列，且通项为 ．

10．设,x y 满足约束条件1

12210

x y x x y ≥⎧⎪⎪

≥⎨⎪+≤⎪⎩，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-，且//a b ,

则实数m 的最小值为 .

11．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ． 12．函数()421421

x x x x k f x +⋅+=

++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以

()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围

是 ．

二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有

一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

13．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的 ( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

14．将函数sin(2)3y x π

=-

图象上的点(,)4

P t π

向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）

（A ）12t =

，s 的最小值为6π （B

）2t = ，s 的最小值为6

π

（C ）12t =

，s 的最小值为3π （D ）32t =，s 的最小值为3

π

15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，

总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹是( )

（A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）圆的一部分

16．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为32，且这两个交

点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于

y 轴的抛物线条数是( )

（A ） 0条 （B ） 7条 （C ） 14条 （D ） 无数条

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B C

a b c

+=

. （1）证明：sin sin sin A B C =； （2）若2226

5

b c a bc +-=，求tan B .

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，

60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．

（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.

19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分7分）

椭圆E ：122

22=+b y a x ，)0(>>b a 的短轴长等于焦距，

)1,0(P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆相交于B A ,两点， 是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值．

20.（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分）

已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*

n N ∈.

（1）证明数列{}

2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n S ；