高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)
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显然直线 存在斜率且斜率不为 ，
设直线 方程为 . ，得 .
，由 得 ，
设 ，又因为 ， ，
，即 .
由 ，所以 ，解得 ， .
解法4：假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行,
所以 .过点 作 于 ，则有 ，
， ，即 ，代入椭圆方程，求得 ，
.
2.（东城区2016.4理科）已知抛物线 ，焦点 ， 为坐标原点，直线 （不垂直 轴）过点 且与抛物线 交于 两点，直线 与 的斜率之积为 ．
（Ⅰ）求抛物ຫໍສະໝຸດ Baidu 的方程；
（Ⅱ）若 为线段 的中点，射线 交抛物线 于点 ，求证： .
备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）
解：（Ⅰ）因为直线 过点 且与抛物线 交于 两点， ，
设 ， ，直线 （不垂直 轴）的方程可设为 ．
所以 ， ．
因为直线 与 的斜率之积为 ，
③三角形面积： 底×高，正弦定理面积公式
④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式
⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比
⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比
⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式
⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称
⑨直线与圆的位置关系
二轮复习——解析几何
一．专题内容分析
解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划
二．解答策略与核心方法、核心思想
圆锥曲线综合问题的解答策略：
核心量的选择：
常见的几何关系与几何特征的代数化：
①线段的中点：坐标公式
②线段的长：弦长公式；解三角形
（Ⅱ） 是椭圆 在 轴右侧部分上的两个动点，若原点 到直线 的距离为 ，证明：△ 的周长为定值．
解：（Ⅰ）椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ） 当 垂直于 轴时，可得 ．
当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
因为原点 到直线 的距离为 ，所以 ，即 ．
由 得 ，
即 ．
设 ， ，则 ， ．
所以
．
因为 , 在 轴右侧，所以 ，所以 ．
所以 ．
所以 ，得 ．……4分
由 消 得
其中
所以 ， ．
所以 ，抛物线 ．……8分
（Ⅱ）设 ，因为 为线段 的中点，
所以 ， .
所以直线 的斜率为 .
直线 的方程为 代入抛物线 的方程，
得 .
所以 .
因为 ,
所以 .……13分
3.（东城区2018.5文科）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行, ，
显然直线 斜率存在，设直线 方程为 .
由 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 .
直线 方程为 ，由 ，消 ，
得 .
又 ,所以 ，即 ，
. .
由 可得 ，
解得 , ， ，
解法3：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行, .
解法1：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行，即 .
设点 ， ， ， ,
直线 方程为 ，
由点 在直线 上，则
联立， ，显然 ，可解得 .
又由点 在椭圆上， ，所以 ，即 ，
将其代入 ，解得 ， .
解法2：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
A． B． C． D．
6.已知圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，则直线截圆 所得的弦长是_____________．
7.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
答案．提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（ ）位于直线 的下方，即 ，由此解得 。
所以 ，同理 ．
所以 ．
所以 ．
综上，△ 的周长等于椭圆 的长轴长 ．
解法2：作 于 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
同理 ，
所以 ，
又 ，同理 ．
所以．
综上，△ 的周长等于椭圆 的长轴长 ．
解析几何选择填空题练习：
1.（2018年全国3卷）设 是双曲线 的左、右焦点， 是原点．过 作 一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征
代数运算：设参、消参
重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．
三．典型例题分析
1.（海淀区2017.4）已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，且 ，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点 ,若点P在直线 上，直线 与椭圆交于另一点 判断是否存在点 ，使得四边形 为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
A. B.2C. D.
分析：由题可知 ，所以 ，
在 中， ，
又在 中， ，
，所以
所以 ，所以离心率 .故选C.
解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。
2.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为_____.
分析：∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°.
则△AA1F为等边三角形，
过F作FF1⊥AA1于F1，
则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，
则KF＝A1F1＝ AA1＝ AF，即p＝ ，
∴抛物线方程为y2＝3x.
3.（2018年北京高考）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为；双曲线 的离心率为．
解析：连接 ，根据椭圆的定义可知， ， ．
由图中 为正六边形，得 ．
所以，在直角三角形 中， ， ．
故椭圆的离心率为 ．
由题可知，双曲线的一条渐近线的方程为 ．
所以 ．
双曲线的离心率为 ．
4.在极坐标系 中，方程 表示的圆为D
（A）（B）（C）（D）
5．直线 的参数方程为 （ 为参数），则 的倾斜角大小为C
原题等价于函数 的最大值小于2， 即 。
8.若实数 满足不等式组 则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（6）D
设直线 方程为 . ，得 .
，由 得 ，
设 ，又因为 ， ，
，即 .
由 ，所以 ，解得 ， .
解法4：假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行,
所以 .过点 作 于 ，则有 ，
， ，即 ，代入椭圆方程，求得 ，
.
2.（东城区2016.4理科）已知抛物线 ，焦点 ， 为坐标原点，直线 （不垂直 轴）过点 且与抛物线 交于 两点，直线 与 的斜率之积为 ．
（Ⅰ）求抛物ຫໍສະໝຸດ Baidu 的方程；
（Ⅱ）若 为线段 的中点，射线 交抛物线 于点 ，求证： .
备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）
解：（Ⅰ）因为直线 过点 且与抛物线 交于 两点， ，
设 ， ，直线 （不垂直 轴）的方程可设为 ．
所以 ， ．
因为直线 与 的斜率之积为 ，
③三角形面积： 底×高，正弦定理面积公式
④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式
⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比
⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比
⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式
⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称
⑨直线与圆的位置关系
二轮复习——解析几何
一．专题内容分析
解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划
二．解答策略与核心方法、核心思想
圆锥曲线综合问题的解答策略：
核心量的选择：
常见的几何关系与几何特征的代数化：
①线段的中点：坐标公式
②线段的长：弦长公式；解三角形
（Ⅱ） 是椭圆 在 轴右侧部分上的两个动点，若原点 到直线 的距离为 ，证明：△ 的周长为定值．
解：（Ⅰ）椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ） 当 垂直于 轴时，可得 ．
当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
因为原点 到直线 的距离为 ，所以 ，即 ．
由 得 ，
即 ．
设 ， ，则 ， ．
所以
．
因为 , 在 轴右侧，所以 ，所以 ．
所以 ．
所以 ，得 ．……4分
由 消 得
其中
所以 ， ．
所以 ，抛物线 ．……8分
（Ⅱ）设 ，因为 为线段 的中点，
所以 ， .
所以直线 的斜率为 .
直线 的方程为 代入抛物线 的方程，
得 .
所以 .
因为 ,
所以 .……13分
3.（东城区2018.5文科）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行, ，
显然直线 斜率存在，设直线 方程为 .
由 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 .
直线 方程为 ，由 ，消 ，
得 .
又 ,所以 ，即 ，
. .
由 可得 ，
解得 , ， ，
解法3：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行, .
解法1：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行，即 .
设点 ， ， ， ,
直线 方程为 ，
由点 在直线 上，则
联立， ，显然 ，可解得 .
又由点 在椭圆上， ，所以 ，即 ，
将其代入 ，解得 ， .
解法2：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
A． B． C． D．
6.已知圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，则直线截圆 所得的弦长是_____________．
7.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
答案．提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（ ）位于直线 的下方，即 ，由此解得 。
所以 ，同理 ．
所以 ．
所以 ．
综上，△ 的周长等于椭圆 的长轴长 ．
解法2：作 于 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
同理 ，
所以 ，
又 ，同理 ．
所以．
综上，△ 的周长等于椭圆 的长轴长 ．
解析几何选择填空题练习：
1.（2018年全国3卷）设 是双曲线 的左、右焦点， 是原点．过 作 一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征
代数运算：设参、消参
重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．
三．典型例题分析
1.（海淀区2017.4）已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，且 ，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点 ,若点P在直线 上，直线 与椭圆交于另一点 判断是否存在点 ，使得四边形 为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
A. B.2C. D.
分析：由题可知 ，所以 ，
在 中， ，
又在 中， ，
，所以
所以 ，所以离心率 .故选C.
解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。
2.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为_____.
分析：∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°.
则△AA1F为等边三角形，
过F作FF1⊥AA1于F1，
则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，
则KF＝A1F1＝ AA1＝ AF，即p＝ ，
∴抛物线方程为y2＝3x.
3.（2018年北京高考）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为；双曲线 的离心率为．
解析：连接 ，根据椭圆的定义可知， ， ．
由图中 为正六边形，得 ．
所以，在直角三角形 中， ， ．
故椭圆的离心率为 ．
由题可知，双曲线的一条渐近线的方程为 ．
所以 ．
双曲线的离心率为 ．
4.在极坐标系 中，方程 表示的圆为D
（A）（B）（C）（D）
5．直线 的参数方程为 （ 为参数），则 的倾斜角大小为C
原题等价于函数 的最大值小于2， 即 。
8.若实数 满足不等式组 则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（6）D