力力矩力偶
理论力学13力偶与力偶矩
习题: P.29 1-15、1-16
2020/4/30
19
谢谢大家!
2020/4/30
20
理论力学
主讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2020/4/30
1
1.3 力偶与力偶矩
F ＝－F′
F' F
2020/4/30
2
F ＝－F′
■力偶的定义
F
两个大小相等、
作用线不重合的反
向平行力组成的力
系称为力偶
F′
(couple)。
2020/4/30
3
力偶中两个力的作
用线所确定的平面称 为力偶的作用面
(acting plane of a couple)，二力作用线 之间的垂直距离d称 为力偶臂(couple arm)。
x
黑版手书计算上例。
2020/4/30
17
练习
如图汽缸盖上4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为M1=M2=M3=M4=15 N.m。
求工件的总切削力偶矩
解：根据 M Mi 可得
M2
M1
M4
M3
M M 1 M 2 M 3 M 4
415 60N .m 负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向
2020/4/30
8
d1 M=F0×d1=F×d
平面问题
由于力偶的作用面总是与力系所在的平面 重合，力偶矩由矢量变成代数量
M = Fd
正负号用来区别 转向，通常规定: 逆时针为正 顺时针为负
+–
这里的逆时针或顺时针转向是指物体在力偶的作用下转
动202的0/4/方30 向。
10
■力偶是最简单的力系之一
力偶矩与力矩的区别和联系
力偶矩与力矩的区别和联系答案：一、作用不同：力矩是力对物体产生转动作用的物理量。
可以分为力对轴的矩和力对点的矩。
即：M=LxF。
其中L是从转动轴到着力点的距离矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。
力偶是作用于同一刚体上的一对大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力。
二、含义不同：力偶矩为“力偶的力矩”的简称，亦称“力偶的转矩”。
力矩与力偶矩的联系是物体旋转的作用。
扩展：力矩：力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的大小为该点到力的作用线所引垂线看长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
力矩的计算公式为M=F*L，公式当中M表示的是力F对于转动轴O的力矩，只要是使物体产生逆时针方向转动效果的，称为正力矩，反之则称为负力矩。
力偶距：由两个大小相等方向相反的平行力所组成的二力称为力偶，记为（F,F,），力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂，记做d。
力偶不能合成为一个力，也不能通过一个力进行平衡，或是用一个力进行等效替换。
力偶可以使物体转动以及改变物体转动的状态。
力偶对物体的转动效果与力矩对物体的转动效果相同，力偶对物体的作用效应可以通过力偶距来进行衡量。
力偶距的计算可以通过力与力偶臂的乘积得到，计算公式为M=F*d。
只要是使物体产生逆时针方向转动效果的，称为正力偶矩，反之则称为负力偶矩。
力矩和力偶距的异同共同点：单位统一,符号规定统一。
差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。
2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力偶。
1-2力矩力偶力的平移
力矩为零的情形：
1）力等于零；
2）力臂等于零。
应当注意：一般来说，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须标明矩心。即力矩与矩心的位置有关。
推论一：力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用效果。
推论二：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变其对刚体的作用效果。
三、力的平移定理
力的平移定理——若将作用在刚体某点（A点）的力（F）平行移到刚体上任意点（O点）而不改变原力的作用效果，则必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。
力偶矩是代数量，一般规定：使物体逆时针转动的力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是N•m，读作“牛米”。
4．力偶的性质
性质1：力偶中的两个力在其作用面内任意坐标轴上的投影的代数和等于零，因而力偶无合力，也不能和一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。
性质2：力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等于力偶矩，与矩心的位置无关。
作业
教学反思
2.合力矩定理
3.力矩的平衡条件
二、力偶的概念
1．定义：
大小相等、方向反向、作用线平行但不共线的两个力。用符号(F，F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂；
两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面。
2．力偶的作用效应
使刚体产生转动效应。
3．力偶矩
力偶矩是力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积并冠以正负号。用来表示力偶在其作用面内使物体产生转动效应的度量，用Ｍ或Ｍ(F，F′)表示。
简述力矩和力偶矩的异同
简述力矩和力偶矩的异同力矩和力偶矩是物理学中描述力的概念，它们有一些相似之处，但也有一些区别。
力矩（Torque）：1.定义：力矩是一个力对物体产生旋转运动的影响。
它是通过力与力臂（从轴到力的垂直距离）的乘积来计算的。
2.方向：力矩是一个矢量，具有大小和方向。
它的方向垂直于力的方向和力臂的方向，遵循右手定则。
3.单位：国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（N·m）。
4.公式：力矩（τ）等于力（F）乘以力臂（r）：τ=F×r。
5.效果：力矩导致物体绕一个轴点旋转，其方向和速度取决于力的大小和方向以及力臂的长度。
力偶矩（Couple Moment）：1.定义：力偶矩是由一对相等大小但方向相反的力组成的，它们的作用线距离轴相等。
力偶矩的作用结果是不产生平移，只引起物体绕轴点的纯旋转。
2.方向：力偶矩的方向是垂直于作用线的方向，通常定义为“垂直于纸面向外”和“垂直于纸面向内”两种方向。
3.单位：力偶矩的单位与力矩相同，为牛顿米（N·m）。
4.公式：力偶矩的大小等于其中一力的大小乘以力臂，不涉及力的方向：M=F×d。
5.效果：力偶矩导致物体纯粹绕轴点旋转，而不会导致物体的平移。
异同点：•两者都是用来描述力对物体的旋转效应。
•两者都可以用牛顿米（N·m）作为单位。
•力矩是由单个力产生的，而力偶矩是由一对力产生的，它们的作用线距离轴相等。
•力矩具有大小和方向，而力偶矩只有大小，方向垂直于作用线。
总的来说，力矩和力偶矩是在力和旋转运动的背景下用于描述物体行为的重要物理量，它们有不同的定义和效应，但都是重要的工程和物理学概念。
力矩力偶
力偶系的合成和平衡
空间力偶系的合成：
M Mi
M x M xi M y M yi M z M zi
合力偶矩的大小：
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力偶矩矢的方向：
cos(M , i )
M x
cos(M ,
MO (F) = MO (F cos)+MO(F sin )
例题 1
如 图 所 示 圆 柱 直 齿 轮 ， 受 到 啮 合 力 Fn 的 作 用 。 设 Fn=1400N。压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60
mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。
解： 计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
其力偶矩矢为：
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象：
∑M = 0：
M 2 FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M2 4M1 8 kN m
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
例题 4
图示三角柱刚体是正方体的一半，其上作用着三个力偶。已知力 偶（F1，F1）的矩 M1= 20 N·m；力偶（F2， F2）的矩 M2= 20 N·m；力偶（F3，F3）的矩 M3= 20 N·m，试求合力偶矩矢 M。 又问若要使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶？
0
0l
3
力偶及其性质
力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
力偶的实例
力偶矩和力矩
力偶矩和力矩
力偶矩和力矩是物理学中的两个重要概念，它们在力学、机械学等领
域中有着广泛的应用。
力偶矩和力矩的概念虽然相似，但是它们的物
理意义和计算方法却有所不同。
力偶矩是指两个大小相等、方向相反的力在同一平面内作用于同一点
上所产生的力矩。
力偶矩的大小等于两个力的大小乘以它们之间的距离，方向垂直于力所在的平面，符合右手定则。
力偶矩的物理意义是
描述力对物体的扭矩作用，它可以用来计算物体的旋转运动。
力矩是指力对物体产生的转动效应，它等于力的大小乘以力臂的长度。
力臂是指力作用点到物体的旋转轴的垂直距离。
力矩的方向垂直于力
臂和力的平面，符合右手定则。
力矩的物理意义是描述力对物体的转
动效应，它可以用来计算物体的平衡状态和旋转运动。
在实际应用中，力偶矩和力矩常常被用来计算物体的平衡状态和旋转
运动。
例如，在机械设计中，我们需要计算物体所受的力偶矩和力矩，以确定物体的平衡状态和旋转运动。
在航空航天领域中，力偶矩和力
矩也被广泛应用于飞行器的设计和控制中。
总之，力偶矩和力矩是物理学中的两个重要概念，它们在力学、机械
学等领域中有着广泛的应用。
了解力偶矩和力矩的概念和计算方法，对于理解物体的平衡状态和旋转运动有着重要的意义。
动力学中的力矩与力偶推导
动力学中的力矩与力偶推导动力学是研究物体运动的力学分支，力矩与力偶是在动力学中的重要概念。
力矩是描述力对物体的旋转效果，而力偶则是用来描述力矩对物体的作用效果。
在本文中，将详细推导力矩与力偶的定义以及它们在动力学中的应用。
1.力矩的定义与推导在物理学中，力矩又称为力的转矩，它用来描述力对物体产生的旋转效果。
力矩的大小与力的大小以及力与物体转动轴之间的垂直距离有关。
假设一个力F作用在物体上，该力与物体转动轴之间的距离为r，力F的力矩M可以通过以下公式计算：M = F × r其中，M代表力矩，F代表力，r代表力与转动轴之间的距离。
对于多个力作用在同一物体上，其合力矩等于各力矩的矢量和。
若有n个力分别为F1、F2、...、Fn，作用在同一物体上，它们与转动轴的距离分别为r1、r2、...、rn，合力矩M_total可以通过以下公式计算：M_total = F1 × r1 + F2 × r2 + ... + Fn × rn2.力偶的定义与推导力偶是由一对大小相等、方向相反的力组成，它们沿着同一直线作用于物体上。
力偶的作用效果是产生一个力矩，其大小与力的大小相等，方向垂直于该直线。
假设一个力偶大小为F，力偶的力矩M_couple可以通过以下公式计算：M_couple = F × d其中，M_couple代表力偶的力矩，F代表力偶的大小，d代表力偶之间的距离。
当多个力偶作用在同一物体上时，其合力矩等于各力偶力矩的矢量和。
若有n个力偶大小分别为F1、F2、...、Fn，力偶之间的距离分别为d1、d2、...、dn，合力矩M_couple_total可以通过以下公式计算：M_couple_total = F1 × d1 + F2 × d2 + ... + Fn × dn3.力矩与力偶的应用力矩与力偶在动力学中有广泛的应用。
它们常常用于分析刚体的平衡条件、机械系统的运动以及转动运动等。
建筑力学 第2章 力力矩力偶
图（a)
图（b)
4、作用与反作用定律 两物体间相互作用的力（作用力与反作力） 同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。
这一定律就是牛顿第三定律，不论物体是 静止的或运动着的，这一定律都成立。
与二力平衡区别，作用于两个物体上。
FT FT
P
P
y
y
A
o
B
b1 Fy a1 A
b
x o
Fx
FB
Fy
I
E
D
出各构件的受力图。 P
例 题 1-4
解：
1. 杆 AB 的受力图。
FAB
C
A
B FBA
2. 杆 BC 的受力图。
A
45
H B F
FBy
FCB
C
H
45
B F
FBx
I
E
D
FTH
FTF
B
FBC
P
3. 轮 B (B处为没 有销钉的孔）的受
力图。
例 题 1-4
5. 轮 D 的受力图。 4. 销钉 B 的受力图。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可 动铰支座。 支座特点：限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作 相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相 垂直，但指向未知。
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、
3力矩力偶力偶系
1-7 如图示在△ ABC 平面内作用力偶（ F ， F ）， 其中力 F 位于 BC 边上， F 作用于 A 点。已知 OA ＝ a ， OB ＝ b ， OC ＝ c ，试求此力偶之力偶矩及其在三个 坐标轴上的投影。 答：
m( F , F ) m y ( F , F ) F b c
求： 合力及合力作用线位置。
解： 由合力矩定理
P h q dx x
0 l l
0
x2 q dx l
2 h l 3
例
已知：F , l , a,
M x F , M y F , M z F 求：
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
2 2
(bci acj abk );
m x ( F , F ) Fab b2 c2
Fbc b c
2 2
;
Fac b2 c2
;
m z ( F , F )
M y M iy M 2 80N m
轴上的投影
。
例 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 解：
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
轴上的投影
。
例： 已知 M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ; 求：平衡时的 M及铰链 O，B处的约束力。 2 解：取轮,由力偶只能由力偶 平衡的性质,画受力图。
M 0
解得
M1 FA r sin 0
FO FA 8kN
例： 已知 M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ; 求：平衡时的 M及铰链 O，B处的约束力。 2 解： 取杆BC，画受力图。
力偶力矩力偶矩之间的关系
力偶力矩力偶矩之间的关系
力偶矩、力矩和力偶之间存在以下关系：
- 力矩是一个描述力的转动效果的物理量，它的大小等于力的大小与力臂的乘积，方向垂直于力和力臂所在的平面，是一个矢量。
力臂是从转动轴到力的垂直距离，是描述转动效果的关键因素。
- 力偶是一个成对出现的力，它们等大、反向、作用在同一直线上，但不共点。
力偶矩是描述力偶的转动效果的物理量，它的大小等于力偶中两个力的大小和它们的力臂的乘积，方向垂直于力和力臂所在的平面，也是一个矢量。
- 力偶矩和力矩的区别在于，力矩的大小、正负与力和矩心的相对位置有关；而力偶矩与转动轴的位置无关。
总之，力偶矩、力矩和力偶是描述力的不同物理量，它们的大小、方向和作用效果均有所不同。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的物理量来描述力的作用。
1.5力偶与力偶矩
力偶的三要素
1.力偶矩的大小 2.力偶在作用平面内的转向 3.力偶的作用面
力偶的特性
1、力偶没有合力，不能与一个力平衡，只能用力偶来平衡。 2、力偶对物体的转动效果可用力偶矩来度量。 3、凡是三要素相同的力偶都是等效力偶，可以相互代替。
§3.2 力偶与力偶矩
三、力偶与力偶矩的性质
相同点
使物体转动状态பைடு நூலகம்变。
力偶矩是矢量，逆时针为正，顺时针为正。
力偶的三要素和特性
力偶在作用面内可以任意移动和转动， 而不改变它对物体的作用。
力偶的转动作用 取决于力偶矩， 在同一平面内凡 是力偶矩相同的 力偶，一定是等 效力偶。
不改变力偶矩的大小和转动条件下同时改 变力偶中力的大小和力偶臂，不改变它对 物体的转动作用效果。
力矩 不同点 不同点 力偶
转动效应与矩心有关
对作用面内任一点矩 为常数，即等于力偶 矩。
小结
• • • • • • 力偶 力偶臂 力偶矩 力偶矩公式 力偶三要素 力偶三特性
§3.2 力偶与力偶矩
一、 力偶
1、力偶：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成 的。 m F , F 记作 2、力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。
§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
M F , F F d
力偶矩记作 mF , F 或m
d ——力偶臂，m F——力的大小，N m——力偶矩，N . m
力对点的矩,力偶
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
§2.3.3 平面力偶系的合成与平衡条件 例题 2-6
例2-6 一简支梁AB=d，作用一力偶 M ，求二支座约束力。
解：
梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。
M
因为力偶只能与力偶平衡，所以
A
d
B
FA = FB。
由
Mi 0
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
==
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
r
F
§2.3.1力对点的矩
2.力矩的性质 （1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
2.3.2汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FRLeabharlann MOFi平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例2-1
已知: F=1400N, θ 20,
求:MO F.
解: 直接按定义
r 60mm
M F F h F r cosθ O 78.93N m
按合力矩定理
第二章-力-力矩-力偶
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
d
Pn
D 2
cos
75.2 N m
②应用合力矩定理
MO (Pn ) MO (P ) MO (Pr )
Pn
cos
D 2
0
75.2 N m
§2-3-1 力偶（P25 §2-3 ）
一、 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 二、力偶的性质 1 性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
m 0 m1 m2 NA l cos 0
解得：
m2 m1 cos 2
§2-3-3 空间力对点之矩与空间力偶
一、力对点的矩 ⒈ 空间力对点之矩三要素
决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：
力偶与力偶矩
可见，平面力偶的力偶矩也是一个代数量。
返回
§3-2 力偶与力偶矩
一、力偶 大小相等、方向相反、 作用线相互平行而不重 合的两个力 ( F , F ) 。 力偶作用面、力偶臂d（两力作用线之间 的垂直距离） 力偶的两个力不是平衡力系。 力偶的两个力在同一坐标轴上的投影之 和为零。
力偶无合力，即在任何情况下，一个力 偶都不能与一个力等效。
力偶对物体只产生转动效应。
二、力偶矩
—— 度量力偶对物体转动效应的物理量 用力偶的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
m o ( F ) m o ( F ) F ( d x ) F x Fd
力偶的两个力对其作用面内任 一点之矩的代数和，其大小恒 等于一力的大小与力偶臂的乘 积，而与矩心的位置无关；其 正、负号与力偶的转向有关。 定义力偶矩为
建筑工程技术专业《3.3 力偶及力偶矩》
同学们好！开车是21世纪我们要掌握的一项根本技能。
当我们双手紧握方向盘，驰骋在回家的路上，是多么幸福的一件事情啊！同学们可否知道，方向盘产生的转动效应是怎么产生的呢？这就是我们今天学习的知识点——力偶。
力偶是由大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系组成的，记作(F,F')。
仅只有力偶组成的力系，只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动。
如下图，力偶中两力所在的平面，叫做力偶作用面；
两力作用线之间的垂直距离，叫做力偶臂，计为字母d。
力偶有两个重要的性质：
① 力偶没有合力，即对物体不产生移动效应。
② 力偶在任意坐标轴上的投影等于零，如下列图所示。
力偶对物体的转动效应，用力偶矩度量，以M〔F,F'〕或M 表示，
即
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于一边力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向，即，逆时针转为正，顺时针转为负，单位为
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
力偶矩的性质
力偶矩的性质如下列图所示，力偶对任意点取矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
最后，结合下面两张图片，解释一下力偶矩的1个定理及2个推论，该定理和推论，只适用刚体，不适于变形体。
定理：在同一平面内的两个力偶，如果他们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，那么此两力偶等效。
推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应；
推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动效应〔力偶的等效性〕。
好的，同学们，方向盘在你手中，转动原理在你心中，你掌握了吗？。
2021铁道工程技术 1.6力矩和力偶
力矩和力偶从实践中知道，力除了能使物体移动外，还能使物体转动。
例如用扳手拧紧螺母时，加力可使扳手绕螺母中心转动，如图、所示。
一、力矩的概念图 扭矩扳手力矩表达的是力F 使扳手绕螺母中心O 转动的效应，转动中心O ，称为矩心，矩心到力作用线的垂直距离d ，称为力臂。
图用力的大小与力臂的乘积d F ⋅再加上正号或负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，称为力F 对O 点的矩，简称力矩，用符号O M ()F 或O M 表示。
一般规定：使物体产生逆时针方向转动的力矩为正；反之，为负，所以力对点的矩是代数量。
即：()d F M O ⋅±=F （）力矩的单位为m kN m N ⋅⋅或。
例 已知kN F F F F 84321====，求各力对A 点的矩。
如图所示。
F 3图1.12图解：()()()()m kN l F M M m kN l F M m kN l F M A A A A ⋅=⨯⨯===⋅-=⨯-=-=⋅-=⨯⨯-=-=9.13866.02860sin 0162885.02830sin 421 4321F F F F一压路机的碾子重20kN ，半径40r cm =，如图所示。
如用一通过其中心的水平力F 使此碾子越过高8h cm =的台阶，求此水平力的大小。
如果要使作用的力最小，问应向哪个方向用力？并求最小力min F 的值。
F minrFαABh习题2－8图二、合力矩定理如果力系n 21F 、、F F ⋅⋅⋅的合力为R 。
由于合力R 与力系等效，则合力对其作用面内任一点O 的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和，即：())()(....)()(21F M F M F M F M M O n O O O O ∑=+++=R （）上式称为合力矩定理。
例 图所示每1m 长挡土墙所受土压力的合力为R ，它的大小kN R 150=，方向如图示。
求土压力R 使墙倾覆的力矩。
解：土压力R 可使挡土墙绕点A 倾覆,分解土压力R ，得到1F 和2F 使墙倾覆的力矩，即R 对A 点的力矩为：自己动手做RF1F 2b=1.5mh=4.5mh/3Ad30°图()()()mkNbFhFMMMAAA⋅=⨯-⨯=⋅-⋅=+=4.825.130sin1505.130cos15032121FFR荷载F=2021α=45 ,尺寸如图。
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公理4 作用力和反作用力定律（P14 性质二）
等值、反向、共线、异体、且同时存在。 [例] 吊灯
＊＊公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚 体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5 告诉我们：处于 平衡状态的变形体，可用刚 体静力学的平衡理论去硏究。
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
指向相反 F1 = –F2 作用线共线，
⒋ 受力图上不能再带约束。 即受力图一定要画在分离体上。
⒌ 受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。
⒍ 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局 部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此 ⒉ 不要多画力 对于受力体所受的每一个力，都应能明确地
指出它是哪一个施力体施加的。
⒊ 不要画错力的方向 约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不 能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析 两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力 的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反， 不要把箭头方向画错。
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
[例4] 尖点问题
应去掉约束
应去掉约束
[例5] 画出下列各构件的受力图
三、画受力图应注意的问题 ⒈ 不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触
才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
只用白体字 F 表示力的
大小，而不
作用于同一个物体上。 在其上加‘－’
或‘→’矢量
符号。
讨论：①对刚体来说，上面的条件是充要的 ②对变形体(或多体)来说，上面的条件只是必要条件
变形体 平衡
必要 充分
两力大小相 等指向相反
③二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
二力杆
**公理2 加减平衡力系公理
销钉
A A
A
YA A XA
②固定铰支座
固定铰支座
RA 链杆约束
③活动铰支座（辊轴支座）
N
N的实际方向也 可以向下
活动铰支座（辊轴支座）
§2-1-4 物体的受力分析和受力图（P6 §1-4 ）
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择
研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理 分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
T
S1 S'1
P
P
S2 S'2
柔性体约束只能承受拉力，所以它们的约束反力是作用在接 触点，方向沿柔性体轴线，背离被约束物体。是离点而去的 力。
2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计)
P P
N
N
NB NA
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力 物体是向点而来的力。
FR
滑槽与销钉
3.光滑圆柱铰链约束 ①圆柱铰链
作用在物体上的力有：一类是:主动力,如重力,风力,气体 压力等。 二类是：被动力，即约束反力。
二、受力图 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体；
③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
[例2] 画出下列各构件的受力图
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
[例3] 画出下列各构件的受力图
力力矩力偶
力的单位：国际单位制：牛顿(N),千牛顿(kN)
力系：是指作用在物体上的一群力。
ห้องสมุดไป่ตู้
平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，
我们称这个力系为平衡力系。
二.刚体
Q
W
AB
就是在力的作用下，大小和
DC
形状都不变的物体。
F
G
三.平衡
是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
[证] ∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系， ∴ R , F3 也为平衡力系。
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
⒎ 正确判断二力构件。
§2-1-5 力的合成分解（P15 性质三）
一.两个共点力的合成
C
B
cos(180 ) cos 由余弦定理：
由力的平行四边形法则合成， R F12 F22 2F1F2 cos
也可用力的三角形法则合成。 合力方向由正弦定理：
§2-1-3 约束与约束反力（P4 §1-3 ）
一、概念 ⒈ 自由体：位移不受限制的物体叫自由体。
⒉ 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 ⒊ 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制 条件称为约束。 （这里，约束是名词，而不是动词的约束）
⒋ 主动力: 促使物体运动或使物体产生运动趋势的力称为 主动力（如重力、风力、切削力、物体压力、牵引力等）。
⒌ 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。（约束 的作用由力来表示，该力称为约束反力。）
⒌ 约束反力特点： ①大小常常是未知的； ②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
N1
G
G
N2
二、约束类型和确定约束反力方向的方法： 1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用效应。 推论1：力的可传性原理。
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
对同一个刚体来说，力的该性质称为力的可传性，因此， 对同一个刚体，力是滑动矢量。
**公理3 力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。