东南大学高数习题

g ( y)
? ?gd(yy) ? ?f (x)dx
? G( y) ? F (x) ? C (微分方程的隐式解)
若g ( y0 ) ? 0 , 则y ? y0为常数解。
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例1．求微分方程 y?? y ? xy ? 0 的通解。
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例 2 镭的衰变 : 放射性元素镭由于不断 放射出微
粒子而减少质量 , 设衰变速度与镭的剩余 量成正比 ,
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数 g (g ? 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为 v?，求自由落体的运动规律。
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1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数 (或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为 偏微分方程。
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例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（1） y ? Cearcsin x .
解： y?? Cearcsin x ? 1 ， 1? x2
消去常数C ，得 y?? y? 1 ，即 y? 1? x2 ? y ? 0 。 1? x2
显然，将 y ? Ce arcsin x 代入 y? 1? x2 ? y ? 0 中，等式 成立，且方程的阶数与任意常数的个数相等，故此方 程符合题意。
为 n 阶 微分方程 F ( x, y, y?, y??, ? , y(n) ) ? 0 的初始条件 。
称问题
?? F (x, y, y?, y??, ? , y(n) ) ?
? ??
y(
x? )
?
y?, y?(x?) ?
y1,
?
,
0, y(n?1) (x?) ?
yn?1.
为初值问题 。
微分方程不含任何常数的解称为 特解。
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例如：在例 1 中 y ? x2 、 y ? x2 ? 2 都是微分方程 dy ? 2 x dx
的解，而 y ? x2 ? C 是方程的通解。
又如： y1 ? e x ， y2 ? e ? x ， y ? C1e x ? C2e? x 和 y ? C1e x ? C2e x? 3 都是微分方程 y??? y ? 0 的解。
其中 y ? C1e x ? C2e? x 是通解 ， 但 y ? C1e x ? C2ex?3 ? (C1 ? C2e3)ex ? Cex (C ? C1 ? C2e3) 不是通解。
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5.微分方程的初始条件
称附加条件
y( x?) ? y?, y?( x?) ? y1, y??( x?) ? y2 , ? , y(n?1) ( x?) ? yn?1
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（2） y ? C1cos 3x? C2 sin 3x 。
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
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§4.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F (x, y, y?) ? 0
4．2．1 可分离变量的方程
dy ? f ( x) g ( y) dx 若g ( y) ? 0 ? dy ? f ( x)dx
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3.n 阶微分方程的一般形式：
F (x, y, y?, y??, y???,? y(n) ) ? 0. 4.微分方程的解
能使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。若该 函数是显式的，则称为 显式解；若是隐式的，则称为 隐式解。
若微分方程的解中含有任意常数，而且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的 通解。
?kdt ,
ln x ? kt ? C1 ? x ? Ce kt
? ln 2 t
于是 x(t ) ? m0 e 1600
x(0)? m0
?
C ? m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 . 13
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y?? P ( x) y ? Q( x)
其中 P ( x), Q( x) 为连续函数。
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2.微分方程的阶
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微 分方程的阶。未知函数的最高阶导数为 n 的 微分方程 称为 n 阶 微分方程。
例如： dy ? xy? 0 ； dx
x
d2y dx2
?
xy2
?
sin
x
；
x2 y???? xy??? 4 y?? 3x4 ；
y(4) ? 4 y???? 10y???12 y?? 5 y? sin 2x。
若 Q(x) ? 0 ，则称 y?? P (x) y ? 0
①
为一阶线性齐次方程；
若 Q( x) ? 0 ，则称 y?? P ( x) y ? Q( x) ②
为一阶线性非齐次方程。 通常称方程①为方程②所对应的线性齐次方程。
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（一）一阶线性齐次方程的解法
y?? P (x) y ? 0 ,
? ? dy ? ? P(x)dx,
已知镭的原质量为 m0 , 经过1600年后, 只剩下原质量
的一半.求镭的衰变规律 .
解 : 设t时刻镭的质量为 x(t), 则 dx(t) ? kx(t) (k ? 0),
dt
初始条件为 x(0) ? m0. 又已知
分离变量并积分得 dx ? kdt, x
x(1600 ) ? m0 ,
?dxx
?
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例 3．验证Baidu Nhomakorabea数 y? C1 coskx? C2 sin kx ①
是微分方程 d 2 y ? k2 y ? 0(k ? 0)
②
dx2
的通解，并求方程②满足初始条件 y x?0 ? A，
dy dx
x? 0
? 0 的特解。
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6.微分方程的解的几何意义
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数 y ? y(x) ，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分 方程的积分曲线 ，通解的图形是平面上的一族曲线， 称为积分曲线族 ，特解的图形是积分曲线族中的一条 确定的曲线。这就是微分方程的通解与特解的几何意义。
y
dy ? ? P(x)dx, y
? ln y ? ? P(x)dx? C1, y ? e? ?P (x)dx?C1 ,
即 y ? ? eC1 ?e? ?P( x)dx ， 令C ? ? eC1 ，又 y ? 0为特解， 得方程的通解： y? Ce??P(x)dx 。
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例 1．求方程 ( y? 2xy)dx ? x2dy ? 0 满足初始条件 y x?1 ? e 的特解。