东南大学高数习题
东南大学高数复习题
1. 函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ ] (A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在2. 交换积分次序0242000d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +-+=⎰⎰⎰； 3.交换积分次序:()()1220010d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分d z =；5.设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,z z x y ∂∂∂∂. 6. 计算二重积分2223d D x y x yσ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤>>. 7. 求幂级数()()1211121n n n x n n ∞-=--∑的收敛域与和函数。
1.改变积分次序212d (,)d ________.x x f x y y -=⎰ 2.二次积分1120sin _____.ydy x dx =⎰⎰ 3.设12111(1)2,5,n n n n n u u +∞+∞--==-==∑∑则1______.n n u +∞==∑3.设212,x x y e y e -==是二阶常系数齐次常微分方程的两个解， 求该方程。
4.求幂级数411 41n n x n ++∞=+∑的收敛域与和函数。
5.将函数21()12f x x x=+-展开为x 的幂级数。
6.将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数.7.求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处 与直线32y x =相切。
东南大学高数习题
ln 2 t 1600
x Ce kt
C m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 .
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y P( x) y Q( x)
其中 P ( x ), Q ( x ) 为连续函数。
若 Q ( x ) 0 ，则称 y P ( x ) y 0 ①
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x 的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数g ( g 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为v ，求自由落体的运动规律。
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
f 此类问题的解法是利用对变限求导，化为 (x) 的微分
方程初值问题，然后求解。
dy f ( x)dx g ( y)
G( y) F ( x) C (微分方程的隐式解 )
若g ( y0 ) 0 , 则y y0为常数解。
例1．求微分方程
y y xy 0
的通解。
放射出微 例 2 镭的衰变: 放射性元素镭由于不断 粒子而减少质量 设衰变速度与镭的剩余 , 量成正比, 已知镭的原质量为 0 , 经过1600 m 年后, 只剩下原质量 的一半.求镭的衰变规律 .
ln y P( x)dx C1,
y e P( x)dxC1 ,
即 y eC1 e P( x)dx ，
令 C eC1 ，又 y 0 为特解， 得方程的通解： y Ce
东南大学高数D总习题
,
1 ∴ S 8 2
12
3 4 r 2 () d 4 4 d 0 0 3cos 2 sin 2
1 4 d (tan) 12 2 0 3 tan
1 tan arctan 3 3
4 0
1 2 3 12 . 3 3 6
第三章总习题
5．设 y
1sint 1
1 (1 e u )du ,其中 t (x) t
是由方程
x te t 0 所确定的隐函数，求dy t 0 。 dx
6．设函数 f 在[0,)连续 ，且 f ( x) 0 ，证明当x 0 时 ，
0 tf (t )dt 单调增加。 函数 ( x) 0 f (t )dt
2
2 udu 2 0 2 2 2
2
2
2
2 2.
x2 y2 18． （3）求由 y 2 1 和 x 2 1 所围成的面积 S。 3 3
解:要求的是两椭圆的公共部分的面积， 由对称性可知它是阴影部分那块面积 的八倍。又这两个椭圆的交点在直线 y x 和 y x 上。
a 1
2
y (ax x )(a 0) 与直线 x
2
a 所构成的图形面积最大。 a 1 2 a a y 2 (ax x ) 交点(0,0), ( , ). 解： a a 1 a 1 yx a a 1 a 1 a 2 1 3 aa 1 1 2 S a1[ (ax x 2 ) x]dx 2 ( x x ) x 0 2 3 0 a2 a 2
0 x
x 0
sin t dt cx 以 为周期。
x 0 x
东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)
共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）一. 填空题1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .2. 幂级数()()1112ln 1nn nn x n ∞=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()122001d ,d d ,d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰ .二. 单项选择题1.曲面24e 3zxy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线12112x y z --==-的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2π(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1sin d d 2d d DD xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()sin d d 0Dxy y xy x y +=⎰⎰3．设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 [ ]（A ）4π （B ）165π （C ）163π （D ）83π共 5 页 第 2 页4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1．设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y∂∂+∂∂ .2．将函数()()2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。
东南大学高数-C++期末试卷
东南大学交通学院高数、C++历年试卷——东南大学交通学院研学部整理高数部分PART I 试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e 12确定，则==0x dxdy（ ）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e 2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxe y -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin 3. 计算积分dx ex x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim300⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解 四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,00='===x x y y的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
东南大学高等数学习题课十一
的三倍。 < 直线 y = f (ξ) ， x= b 所围成的面积 A2 的三倍。 a< b ） = （ ξ
y
A1
y= f (x) =
A2
o a
ξ
b
x
y
A1
y= f (x) =
A2
o a
ξ
b
x
A1 (ξ ) 证明思路：要证存在 唯一的 ξ ，使 = 3 ，等价于 A2 ( ξ )
证明存在 唯一的 ξ ，使 A1 (ξ )− 3 A2 (ξ )= 0 。
证明：先证存在性 证明：先证存在性。
设辅助函数 F ( x )= A1 ( x )− 3 A2 ( x ) ，则 F ( x )∈C [a ,b] 。
F ( x )= ∫ [ f ( x )− f ( t )]dt − 3 ∫ [ f ( t )− f ( x )]dt ，
x
x
∫
π t 2 ⋅sec 2 tdt π tan 2 t 4
=∫
π 2t π 4
csc tdt =
2
π 2+ π 4
∫
π 2t π 4
d ( −cot t )
= − t cot t
∫
π = + ln sin x 4
π 2 cot tdt π 4 π 2 = π − ln π 4 4
2 π 1 = + ln 2. 2 4 2
边阴影部分的面积相等 ，写出
ϑ 的表达式 ; ( 2 ) 求 lim θ .
解
o
x 2 x 2
∫
x→0 x ξ e 2 dx 0
东南大学高数试卷及答案-06-07-3高数(B)期末考试
06-07-3高数B 期末试卷一。
填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ； 4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。
二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dx y y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分)计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
东南大学高数-C++期末试卷
东南大学交通学院高数、C++历年试卷——东南大学交通学院研学部整理高数部分PART I 试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e 12确定，则==0x dxdy（ ）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e 2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxe y -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin 3. 计算积分dx ex x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim300⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解 四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,00='===x x y y的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
东南大学高数习题
例2.已知某二阶线性非齐次微分方程的三个特解：y1 x e x 1, y2 e x 1, y3 1 x，求该方程的通解。
4.3.2 二阶常系数线性微分方程的解法
方程 ay by cy 0 的通解
有两个不相等实根 r1, r2
y C1er1 x C2er2 x
有两个相等实根 r r1 r2
y e rx (C1 C2 x)
有一对共轭复根 r1,2 i y e x (C1 cos x C2 sin x)
例 4．求下列方程的通解 （1） y4y3y 0
由欧拉公式 ei cosisin 可得
y1 ex (cosx isinx) ，
y2 ex (cosx isinx) ，
y1
1 2
(
y1
y2
)
e
x
c
osx
，
y2
1 2i
(
y1
y2
)
e
x
sinx
，
y1 y2
ex cosx ex sinx
cotx
不是常数,
∵函数 y1 和 y2 都是方程①的解，且它们是线性无关的， ∴ 方程①的通解为 y C1y1 C2 y2 ，即
定理 2
若 y1(x)和y2 (x) 是二阶线性齐次方程①的两个线性
无关的解，则方程①的通解为 y C1 y1(x) C2 y2 (x) ，
其中 C1, C2 为任意常数。
定理 3 若函数 y* (x) 是 二阶线性非齐次方程②的一个特解，
Y (x) 是 方程②所对应的齐次方程①的通解，则 y(x)Y(x) y*(x) 是方程②的通解。
东南大学历年高数期中考试汇编
历年高数期中试卷汇总02-03非电下期中试卷一、 单项选择题（2143'=⨯'）在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是： （A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。
1．∑∞=-2ln )1(n n nn（ ）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n nu （ ）； 3．3sin313π∑∞=n n n n（ ）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p xdx（ ）。
二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设平面01472 =-++z y x ：π及直线32 ,1 ,31-=+==t z t y t x L ：， 332111 2--=+=--z y x L ：，则（ ）（A ）π∥1L ； （B ）1L ⊥π； （C ）π∥2L ； （D ）2L ⊥π。
2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕x 轴旋转而成的曲面方程为（ ）（A ）122222=++b z y a x ； （B ）122222=++b y a z x ； （C ）2222b y a x z +=； （D ）12222-+=by a x z 。
3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（ ） （A ）b a ⊥； （B ）c b ⊥； （C ）a c ⊥； （D ）共面 , ,c b a。
4．两非零向量a 及b 的方向角分别为 , ,γβα及γβα''' , ,，则=) ,cos(b a（ ）（A）γβαγβα'''+cos cos cos cos cos cos ； （B ）γγββαα'+'+'cos cos cos cos cos cos ；（C）)cos()cos()cos(γγββαα'++'++'+；（D ）)cos()cos()cos(γγββαα'-+'-+'-。
东南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
东南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
9．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
12．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷4套
姓名
课程名称 适用专业
东南大学考试卷
高等数学 A（期中） 考 试 学 期 0 9 - 1 0 - 3 得分 选学高数 A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
得分
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．由方程 xyz + sin(π z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 (1, 0,1) 处的全微分 dz = ；
共4页
第2页
∫∫∫ 13． 求极限 lim 1
sin(x2 + y2 &# →0+
5 x2 + y2 +z2 ≤t2
∫∫ 14．计算 xdy ∧ dz + z2dx ∧ dy ，其中 S 为 z = x2 + y2 与 z = 1所围成的立体的表面， S
取外侧.
四（15）（本题满分 8 分）求密度为1，半径为 R 的上半球面对球心处单位质量质点的
(1, 1, 1)
¨
4. I =
|y − x2| max{x, y}dxdy.
0≤x≤1 0≤y≤1
‹
5.
(x2 + y)dS,
S
x2 + y2 ≤ z ≤ 1
S
.
4
3
8
f (z) = u+iv
f (0) = −3i , f (z) . (
z)
,
u(x, y) = x2−y2+4x,
8
z = 2(x2 + y2) z = 3 − x2 − y2
z0
;
fx, fy, z = f (x, y)
东南大学04-05-3高数电(期中)考试参考答案及评分标准
东南大学04-05-3高数电（期中）考试参考答案及评分标准04-05-3高数电(期中)考试参考答案及评分标准05.4.23一.填空(每题4分,共24分)1.ln2i(32k);2.0dyy2f(某,y)dy;3.12y3322;4.d某2dy;65.12,0,1;6.32二.选择题(每题4分,共16分)1.B;2.C;3.A;4.A三.(每题7分,共21分)1.zf某yf1某ye某yf2某3分2z2某f1(2某某2y)e某yf2某2yf112某2ye某yf12某2ye2某yf22某y2.vu2某1,u某2某(y)y某2分4分vu2y(y),(y)y2C,u某2y2某C某y2分f(z)某2y2某Ci(2某yy)令y0,得f(某)某2某C于是f(z)zzC2分2222f(0)0得C022f(z)zz21分3.L某yz((某y)z1)2分L某2某2(某y)0,Ly2y2(某y)0,Lz2z2z0,(某y)2z211分求得1111,,0或,,022222分12由问题的实际意义知原点到曲面存在最短距离,故dmin四(第一题7分,其余每题8分,共39分)2分某y12d1.2d(inco)d(4分)20122某yinco1某24y2某2y2(3分)2.原式=zdv(2分)2某5y12d2zdz1(12某25y2)d3分22某25y21=210210012d03d14103分某y某yQPy2某22某y3.P2,Q2,22某y某y某y(某2y2)2原式=2分21d某(2分)2d某(2分)2ln22分4.原式=11yzdzd某(2分)(zdv0dzd某)33(2分)2742分2分=320z(9z)dz35.某cot,原式=022yint,z2cotint0t23分2cotint22cotintcotcotintcotintdt2分3分=0dt2。
【东南大学 高等数学】9复变函数
1
知， z = 0 是
2+2z + 4 z2 +"
2!
3!
3
1 的 3 级零点，所以 z = 0 是 f (z) 的 3 级极点。 f (z)
3. 下列命题中正确的是
(A)如果 f ′(z0 ) 存在，则 f (z) 在 z0 解析
(B)若 z0 是 f (z) 的奇点，则 f (z) 在 z0 不可导
于 f (0) = 0 ，得 C = 0 ，取 y = 0 ，得 f (x) = x2 − x ，然后将 x 换为 z ，即得 f (z) = z2 − z 。
2. 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 为解析函数，若 u − v = (x − y)(x2 + 4xy + y2 ) ，求 f (z) ，
−i
是
1 级极点， z = 0 是本性奇点， z = 1是2 级极点(若为极点要指明级)。 （99，下，期末）
sin 1 z
【解】 由于 f (z) = (z −1)2 = g(z) ， g(z) 在 z + i < 1内解析，且 g(−i) ≠ 0 ，所以 z+i z+i
z = −i 是 1 级极点，同理可知 z = 1是 2 级极点。
v∫ v∫ v∫ zdz = 1
dz + 1
dz = 1 (2πi + 2πi) = 2πi
z =2 z2 + 2 2 z =2 z − 2i 2 z =2 z + 2i 2
或
v∫z
=2
zdz z2 + 2
=
2πi
⎛ ⎝⎜
Res
3东南大学高等数学习题课-数量值函数积分(二重,三重,第一型曲线,曲面)
所围成的区域。 z = 8 所围成的区域。
z
8
336π .
O
D(z )
2
x
y
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5.
z=
计算 ∫∫∫
Ω
x 2 + y 2 + z 2 − 1dv , 其中 Ω 由圆锥面
x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成 .
z
1
z
1
Ω1
Ω2
O
O
y
y
x
x
π
6
( 2 − 1).
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6. 计算 ∫∫∫
6-2. 设f ( x )连续 ， : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 Ω 证明： f ( z )dV =π ∫ f ( x )(1 − x )dx , ∫∫∫
2 Ω −1 1
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2 2 2
6-3. 设立体Ω由 z = a + a − x − y z=
与
x 2 +y 2围成，求Ω 的质量。Ω内任意点
2
∫∫
Σ2
1+ 4z dA = ∫∫ 1+ 4 dA = 5 ∫∫1 dA
Σ2 Σ2
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3 . ∫∫ ( x + y + z ) dA ,
Σ
Σ : y + z = 5 , x + y ≤ 25
2 2
解:
dA =
Σ
2 dx dy , 2 dx dy
x 2 + y 2 ≤ 25
∫∫ ( x + y + z ) dA = ∫∫ ( x + 5)
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5
5.微分方程的初始条件
称附加条件
y( x?) ? y?, y?( x?) ? y1, y??( x?) ? y2 , ? , y(n?1) ( x?) ? yn?1
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数 g (g ? 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为 v?，求自由落体的运动规律。
1
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数 (或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为 偏微分方程。
为 n 阶 微分方程 F ( x, y, y?, y??, ? , y(n) ) ? 0 的初始条件 。
称问题
?? F (x, y, y?, y??, ? , y(n) ) ?
? ??
y(
x? )
?
y?, y?(x?) ?
y1,
?
,
0, y(n?1) (x?) ?
yn?1.
为初值问题 。
微分方程不含任何常数的解称为 特解。
已知镭的原质量为 m0 , 经过1600年后, 只剩下原质量
的一半.求镭的衰变规律 .
解 : 设t时刻镭的质量为 x(t), 则 dx(t) ? kx(t) (k ? 0),
dt
初始条件为 x(0) ? m0. 又已知
分离变量并积分得 dx ? kdt, x
x(1600 ) ? m0 ,Leabharlann ?dxx?2
9
（2） y ? C1cos 3x? C2 sin 3x 。
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
10
§4.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F (x, y, y?) ? 0
4．2．1 可分离变量的方程
dy ? f ( x) g ( y) dx 若g ( y) ? 0 ? dy ? f ( x)dx
若 Q(x) ? 0 ，则称 y?? P (x) y ? 0
①
为一阶线性齐次方程；
若 Q( x) ? 0 ，则称 y?? P ( x) y ? Q( x) ②
为一阶线性非齐次方程。 通常称方程①为方程②所对应的线性齐次方程。
14
（一）一阶线性齐次方程的解法
y?? P (x) y ? 0 ,
? ? dy ? ? P(x)dx,
g ( y)
? ?gd(yy) ? ?f (x)dx
? G( y) ? F (x) ? C (微分方程的隐式解)
若g ( y0 ) ? 0 , 则y ? y0为常数解。
11
例1．求微分方程 y?? y ? xy ? 0 的通解。
12
例 2 镭的衰变 : 放射性元素镭由于不断 放射出微
粒子而减少质量 , 设衰变速度与镭的剩余 量成正比 ,
6
例 3．验证函数 y? C1 coskx? C2 sin kx ①
是微分方程 d 2 y ? k2 y ? 0(k ? 0)
②
dx2
的通解，并求方程②满足初始条件 y x?0 ? A，
dy dx
x? 0
? 0 的特解。
7
6.微分方程的解的几何意义
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数 y ? y(x) ，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分 方程的积分曲线 ，通解的图形是平面上的一族曲线， 称为积分曲线族 ，特解的图形是积分曲线族中的一条 确定的曲线。这就是微分方程的通解与特解的几何意义。
4
例如：在例 1 中 y ? x2 、 y ? x2 ? 2 都是微分方程 dy ? 2 x dx
的解，而 y ? x2 ? C 是方程的通解。
又如： y1 ? e x ， y2 ? e ? x ， y ? C1e x ? C2e? x 和 y ? C1e x ? C2e x? 3 都是微分方程 y??? y ? 0 的解。
?kdt ,
ln x ? kt ? C1 ? x ? Ce kt
? ln 2 t
于是 x(t ) ? m0 e 1600
x(0)? m0
?
C ? m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 . 13
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y?? P ( x) y ? Q( x)
其中 P ( x), Q( x) 为连续函数。
3
3.n 阶微分方程的一般形式：
F (x, y, y?, y??, y???,? y(n) ) ? 0. 4.微分方程的解
能使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。若该 函数是显式的，则称为 显式解；若是隐式的，则称为 隐式解。
若微分方程的解中含有任意常数，而且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的 通解。
y
dy ? ? P(x)dx, y
? ln y ? ? P(x)dx? C1, y ? e? ?P (x)dx?C1 ,
即 y ? ? eC1 ?e? ?P( x)dx ， 令C ? ? eC1 ，又 y ? 0为特解， 得方程的通解： y? Ce??P(x)dx 。
15
例 1．求方程 ( y? 2xy)dx ? x2dy ? 0 满足初始条件 y x?1 ? e 的特解。
8
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（1） y ? Cearcsin x .
解： y?? Cearcsin x ? 1 ， 1? x2
消去常数C ，得 y?? y? 1 ，即 y? 1? x2 ? y ? 0 。 1? x2
显然，将 y ? Ce arcsin x 代入 y? 1? x2 ? y ? 0 中，等式 成立，且方程的阶数与任意常数的个数相等，故此方 程符合题意。
2
2.微分方程的阶
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微 分方程的阶。未知函数的最高阶导数为 n 的 微分方程 称为 n 阶 微分方程。
例如： dy ? xy? 0 ； dx
x
d2y dx2
?
xy2
?
sin
x
；
x2 y???? xy??? 4 y?? 3x4 ；
y(4) ? 4 y???? 10y???12 y?? 5 y? sin 2x。