机器人动力学课程1

第一章 绪 论
• 1.2.2 动态仿真和优化设计 1) 根据连杆质量、负载大小、传动机构特征进 行动态仿真。仿真结果可用于选择适当尺寸 的传动机构，指导机械结构设计。 2) 在上述仿真基础上进行运动参数和机构结构 的综合优化。一般指标和要求是：运动速度 高，但惯性小，结构轻便。— 广义惯性球 GIE 。
• • 1) 2) 3)
第二章 惯性参数
• 2.2 惯性参数的计算 • 2.2.1 质量 1) 对于具有 n个质点p1 , p2 KK, pn 的质点系 s， n mi 为质点 pi 的质量； 有 m = ∑ mi ， i =1 2) 对于质量均匀分布的规则物体，有 m = ∫v ρdv ρ — 密度。 • 2.2.2 质心及质心位置 Ø 质心定义— 外力作用线通过物体上的一定点 时，物体仅作平动；外力作用线不通过这个 定点时，整个物体为随这个点的平动和绕该
2 2 G = m y + z i ω x − ∑ mi xi yiω y − ∑ mi z i xiω z x ∑ i i i =1 i =1 i =1 n n n 2 2 G x = −∑ mi xi yiω x + ∑ mi zi + xi ω y − ∑ mi yi ziω z i =1 i =1 i =1 n n n G = − m z x ω − m y z ω + m x 2 + y 2 ω ∑ ∑ ∑ i i i x i i i y i i i z x i =1 i =1 i =1
第一章 绪 论
• 1.1 研究范围 • 1.1.1、机器人动力学正问题 例：单自由度弹性体振动微分方程：
m 其中， — 质量，c— 阻尼， k— 刚度系数， F— 主动力， x— 位置坐标。 Ø 基本定义：对于给定的一组关节力和力矩，求 关节位移、速度和加速度。主要用于机器人动 态仿真和动力学优化。求解微分方程组— 难。
第二章 惯性参数
• 应用牛顿— 欧拉方程或拉格朗日方程进行机器人动 力学分析和计算时，首先必须已知机器人的质量 （对于移动）、转动惯量（定轴转动）、惯性张量 （定点转动）。 2.1 惯性参数 通常的机器人的运动问题属于刚体动力学的范畴。 刚体质量 m。 v rc 。 xc , y c , z c ；矢量表示： 质心位置c ：坐标表示： 惯性张量（惯量张量）— 刚体绕空间定点转动。转 动惯量— 刚体绕定轴转动。
第一章 绪 论
• 1.4 学习方法 1) 原理 2）定义 3）数学模型 4）应用 • 1.5 参考书 1) 《机器人学》，熊有伦。机械工业出版社。 1993年10月，P131-161。 2) 《机器人学-控制.传感技术 .视觉.智能》，付 京逊(美国)。中国科学技术出版社。1989年 10月。 3) 《机器人动力学》，赵锡芳。上海交大出版
[I ] = ∑ mi [{ri }Τ {ri }[E ] − {ri }{ri }Τ ]
n i =1
(2-2-10)
下面以矢量形式推导建立刚体的惯性张量表达式： v v 设 ri = ( xi , yi , zi ) , vi = (v xi , v yi , vzi ) 将（2-2-7）式向 x,y,z轴上投影得： n
i =1 i =1 i =1
(
)
v v v v = I ⋅ω 即 Go v (2-2-8) n v v v vv I = ∑ mi ri ⋅ ri E − ri r 其中 (2-2-9) v v i =1 I 称为刚体对o点的惯性张量。 v v I 在坐标系中的矩阵表达式为：
(2-2-7)
(
)
第二章 惯性参数
v v lij = ei′ ⋅ e j
(i, j = 1,2,3)
(i , j = 1,2,3)
第二章 惯性参数
其中 δ ij 为克罗内克符号：
1, 1 2 2 δ ij = 1 − (i − j ) 5 − (i − j ) = 4 0 ,
[
]
(i = j ) (i ≠ j )
v Ø 一阶张量 p是一个包含31 = 3个分量 pi (i = 1,2,3) 的量，即矢量（向量）。 v Ø 二阶张量 p （并矢）是一个包含 32 = 9 个分 量的 pij (i, j = 1,2,3)的量，且满足下列变换关 3 3 系， (i, j = 1,2,3)。 p′ ij = ∑∑ l iml jn p mn
第一章 绪 论
• 关于柔性与刚性的基本概念探讨： （1）刚性：无变形。 （2）柔性：物体在外力作用下的变形能力。 刚体和柔体的区别不是单纯由物理性质和几 何形状决定，还决定于惯性力。 • 1.2 研究目的 • 1.2.1 机器人结构及驱动器设计
第一章 绪 论
1) 根据机器人的运动指标（位移、速度和加速 度）和受力条件设计机器人操作臂的结构尺 寸，要求满足强度和刚度条件。— 属于机械 设计范畴。 注意：不同的运动规划（操作任务）会改变 机器人的设计结构和受力条件。 2) 根据机器人的运动指标和受力条件进行驱动 器设计。包括驱动方式、工作速度、驱动力 和力矩以及驱动功率等。
（2-2-3）
第二章 惯性参数
• 对于均质规则物体，有：
ρ ⋅ xdv ∫ ρ ⋅ xdv ∫ v xc = = v , x = f1 ( xi ) m ρdv ∫ v ρ ⋅ ydv ∫ ρ ⋅ ydv ∫ v = v , y = f 2 ( yi ) yc = m ∫vρdv ρ ⋅ zdv ∫ ρ ⋅ zdv ∫ v v z = = , z = f 3 (z i ) c m ρdv ∫ v
m =1 n =1
第二章 惯性参数
vN Ø N阶张量 p 是一个包含 3 N 个分量 pijkL （下标 i,j,k… 共有N个）的量，且满足下列变换关系：
′ L = ∑∑ ∑ L ∑ liml jn lkq L pmnqL pijk
m =1 n =1 q =1 3 3 3
Ø 上面定义一阶、二阶张量的基础是在笛卡儿 直角坐标系之间的变换，故称为笛卡儿张量 （仿射正交张量）。
(
)
(
)
(2-2-13)
(
)
第二章 惯性参数
上式可写成：
Gx = I xxω x − I xyω y − I zxω z G y = − I xyω x + I yyω y − I yzω z G = −I ω − I ω + I ω zx x yz y zz z z
(2-2-14)
& + cx & + kx = F m& x
第一章 绪 论
• 1.1.2、机器人动力学逆问题 Ø 基本概念：已知轨迹点所对应的关节位移、速 度、加速度，求所需要的关节力和力矩。主要 用于机器人的设计和控制。求解代数方程 （组）— 易。 • 1.1.3、具有弹（柔）性构件的机器人动力学 为当前机器人学的前沿研究课题，属于柔 性多体动力学问题。柔性机器人操作臂是一个 复杂的非线性耦合的动力学系统。非线性反映 在：(a)刚柔耦合 (b)大变形。
第二章 惯性参数
v v v 由 vi = ω × ri ，得：
v xi = ω y zi − ω z yi v yi = ω z xi − ω x zi v = ω y − ω x x i y i zi
(2-2-12)
将式 (2-2-12) 代入式 (2-2-11) 得： n n n
第二章 惯性参数
2) 刚体的惯性张量 • 张量 3 lij p j (i = 1,2,3) 一阶张量：分量 pi′ = ∑ j =1 式中 lij 为新旧坐标轴夹角的方向余弦，
v v 式中 ei′,e j 分别为新旧坐标系中沿坐标轴的 3 3
likl jk = δ ij , ∑ lki lkj = δ ij ∑ 单位矢量，且有： k =1 k =1
n
i i i
i =1
i
i
v
n
1
1
n
2
2
i
第二章 惯性参数
到质点 的向径， 为原点o到质心 C 的 v v m r m r ∑ 向径, 则：v ∑ （2-2-1）
pi
n n
v rc
rc =
i =1 n
i i
•
v r 对于均质规则物体有： c =
∑ mi
i =1
=
r ∫ dv
• 惯性张量
v 设刚体绕定点 o 转动的瞬时角速度为ω ，则刚
第二章 惯性参数
v 体对o点的动量矩 Go 为： n n n v v v v v v v v v vv v Go = ∑ ri × mi vi = ∑ mi ri × (ω × ri ) = ∑ mi ri ⋅ ri E − ri ri ⋅ ω
v
v v r = f (ri )
。
z
p1 v r1 o
∫ ρdv
v
p2 v r2 vC v rc rn p n
, （2-2-2）
=
v
v ρ ⋅ r ∫ dv m
y
x
第二章 惯性参数
2) 分量形式 v r 若 = (x , y , z ) ，则
c c c c
n n mi x i ∑ mi xi ∑ xc = i =1 = i =1 n m m ∑ i i =1 n n mi yi ∑ mi yi ∑ i =1 = i =1 yc = n m m ∑ i i =1 n n mi z i ∑ mi z i ∑ i =1 z = i =1 = c n m mi ∑ i =1
Gx = ∑ ( yi mi v zi − z i m i vyi ) i =1 n G y = ∑ ( zi mi vxi − xi m i v zi ) i =1 n G = (x m v − y m v ) i i xi z ∑ i i yi i =1