【高中数学】解析几何定点问题通关50题(含答案)
解析几何中的定点,定值问答(含答案解析)
分析几何中的定点和定值问题【教课目的】学会集理选择参数（坐标、斜率等）表示动向图形中的几何对象，研究、证明其不变性质 ( 定点、定值等 )，领会“设而不求” 、“整体代换”在简化运算中的作用．【教课难、要点】解题思路的优化．【教课方法】议论式【教课过程】一、基础练习1 、过直线x 4 上动点 P 作圆O：x2y2 4 的切线PA、PB，则两切点所在直线AB 恒过必定点．此定点的坐标为．【答案】(1,0)yPB4xA【分析】设动点坐标为P(4,t），则以OP直径的圆C方程为：x(x 4)y( y t ) 0 ，故 AB 是两圆的公共弦，其方程为4x ty 4 ．注：部分优异学生可由x0 x y0 y r 2公式直接得出．4x40令0得定点 (1,0) .y2 、已知 PQ 是过椭圆 C : 2 x2y21中心的任一弦， A 是椭圆 C 上异于P、Q的随意一点．若AP、AQ分别有斜率 k1、 k2，则 k1k2=______________．【答案】 -2【分析】设P( x, y), A( x0 , y0 ) ，则Q(x,y) y0y y0y y02y 2k1 k2x x0x 2x2，x0x02x2y 21又由 A 、 P 均在椭圆上，故有：00，2x2y21y02y2两式相减得 2( x02x 2 )( y02y2 ) 0， k1k2222x0x3 、椭圆x 2y 21，过右焦点F作不垂直于 x 轴的直线交椭圆于A、 B 两点，3627AB 的垂直均分线交x 轴于N e=1，则 NF : AB 等于_______.42【答案】1 4【分析】设直线 AB 斜率为 k ，则直线方程为y k x 3 ,与椭圆方程联立消去y 整理可得34k 2x224k2 x36k 2 1080 ,则 x1 x224k22, x1x236k 2108 34k34k2,所以 y1y218k, 34k2则 AB 中点为12k 2,9k. 34k24k23所以 AB 中垂线方程为 y9k21x12k22,34k k 3 4k令则 x3k 2即N 3k22 ,0y 0 ,34k2,34k,所以 NF33k 29(1k 2 ) 34k234k 2.AB1 k2x 1 236 1 k 2NF 1x 24x 1 x 24k 2,所以.3 AB4４、已知椭圆 x 2y 2 1(a b 0) ， A, F 是其左极点和左焦点，P是圆 x 2y 2b 2a 2b 2上的动点，若PA = 常数，则此椭圆的离心率是PF【答案】 e = 5 12【分析】PA常数，所以当点 P 分别在（± b ，0 ）时比值相等，因为 PF即a b = a+b，整理得： b 2 ac ，b c b+c又因为 b 2 a 2 c 2 ，所以 a 2c 2ac同除以 a 2 可得 e 2 + e -1=0 ，解得离心率 e =5 1 ．2二、典例议论例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C ：x 2y 2 1的左极点为 A ，过原点 O 的直线（与42坐标轴不重合）与椭圆C 交于 P ，Q 两点，直线 PA ，QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点．试问以 MN 为直径的圆能否经过定点（与直线 PQ 的斜率没关）？请证明你的结论．yMAPOQNx剖析一：设 PQ 的方程为 ykx ，设点 P x 0 , y 0 （ x 0 0 ），则点 Q x 0 , y 0 ．联立方程组ykx,消去 y 得 x 24 2．22y 241x2k所以 x 02，则 y 02k．1 2k21 2 k2所以直线 AP 的方程为 ykx 2 ．进而 M 0,2k1 1 2k 21 2k 21同理可得点 N0, 2k．112k 2所以以 MN 为直径的圆的方程为x 2( y12k 2k 2)( y 2k ) 01 11 2k 2整理得： x 2y 2 ( 2k2k ) y 2 011 2k 211 2k2 x 2 y 2 2 02, 0)由，可得定点 F (y剖析二 ：设 P （ x 0， y 0 ），则 Q （﹣ x 0 ，﹣ y 0），代入椭圆方程可得 x 0 2 2 y 02 4 ．由直线 PA 方程为：yy 0 ( x 2) ，可得 M 0,2y 02 y 0 x 0x 0，同原因直线 QA 方程可得 N 0,，可得以22x 02MN 为直径的圆为 x 2y2y 02y 2y 0 2 0 ，x 0x 0整理得： x 2y 22y 02 y 0 y 4 y 2 0x 0 2x 0 2 x 0 2 4242，代入整理即可得x 2y 24x 0 y 0 y 2 0因为 x 02y 0x 0 24此圆过定点 F (2, 0) ．剖析三 ：易证： k AP k AQb 2 1 a 2，2故可设直线AP 斜率为 k ，则直线 AQ 斜率为1 .2k直线 AP 方程为 y k( x2) ，进而得 M (0, 2k ) ，以1 1代 k 得 N 0,2kk故知以 MN 为直径的圆的方程为 x 2( y 2k)( y1 ) 0k整理得： x2y22 (12k ) y 0kx 2 y 22 02, 0) .由，可得定点 F (y剖析四、设 M (0, m), N (0, n) ，则 以 MN 为直径的圆的方程为x 2 ( y m)( yn) 0即 x 2y 2(m n) y mn再由k AP k AQ k AM k AN = b 21得 mn - 2 ，下略a22.例 2 、已知离心率为 e 的椭圆C :x2y2恰过两点，，a2b21(a b 0)(1 e) 和 20 .(1)求椭圆 C 的方程；(2) 已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，此中M 、N 对于原点O对称，AB过点 E(1, 0) ，且 AB、MN 斜率互为相反数.试问：直线AM、BN的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea23B Ne (1)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(2)设 AB 方程为y k( x1) ， A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 )k AM kBNy1kx3y2kx3k( x1 1) kx3k ( x21) kx3x1x3x2x3x1x3x2x3则整理得： k AM k BN k ( x1x3 1)(x2x3 ) (x2x3 1)(x1 x3 )( x1x3 )( x2x3 )k AM kBNk 2x1x22x32( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )由y k( x1)消元整理得： (4 k 21)x28k2 x 4k 240 ，x2 4 y24.所以 x1 x28k 21 , x1 x24k4k24k224②1y kx又由消元整理得：x2 4 y2 4(4 k 2 1)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得： k AM kBN0.例 2( 变式 ) 、已知离心率为 e 的椭圆Cx2y21(a b 0)，，. :a2b2恰过两点 (1 e) 和 20(3)求椭圆 C 的方程；(4)已知 AB、MN 为椭圆C上的两动弦，此中 M、N 对于原点O对称，AB过定点E(m, 0), ( 2 m 2) ，且 AB、MN 斜率互为相反数. 试问：直线 AM 、 BN 的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea2B N e3(3)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(4)设 AB 方程为y k( x m) ， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 ).kAM kBNy1kx3y2kx3x1x3x2x3k( x1m)kx3k (x2m)kx3 x1x3x2x3则整理得： k AM kBNk ( x1x3m)( x2x3 ) ( x2x3m)( x1x3 )(x1x3 )( x2x3 )kAMkBNk 2x1x22x32m( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )y k( x m)消元整理得： (4 k21)x28k 2mx4k 2 m240 ，由4 y24x2所以 x1x28k2m, x1 x24k 2m24②4k214k21又由y kx消元整理得：x2 4 y24(4 k 21)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得：kAMkBN0.三、课外作业1 、已知椭圆x2y2A、B是其左、右极点，动点M知足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P1 ，，42在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点，则点 Q 的坐标为．【答案】（0,0 ）【分析】试题剖析：设M (2,t ), 则AM : y t( x 2) ，与椭圆方程联立消y 得(t28) x24t 2 x 4t 232 0，4.28t t 28t162t，所以 k BP 82，即 k BP k OM1，点Q的坐 O所以 x P28， y P22t2tt t 816t 282（0,0 ）x2y21上不一样于左点A、右点 B 的随意一点，直PA， PB 的斜率2 、已知 P 是412分 k1 , k2 ,则 k1k2的．1【答案】3【分析】P( x, y) ， A(23,0), B(23,0)y， k2yk1x2，x 2 33y y y2 k1k2x2，⋯⋯①x 2 3 x 2 312因 P 在上，所以x2y2 1 ，即 y212x2⋯⋯②1243把②代入①，得k1k2y21 x2123x2y21(a b0) 的离心率e=1， A,B 是的左右点，P 上不一样于3 、已知b2a22AB 的点，直PA,PB 的斜角分,， cos() =.cos()【答案】 7【分析】.试题剖析：因为A,B 是椭圆的左右极点，P 为椭圆上不一样于 AB 的动点，kPAkPBb 2 Q e1 c 1 a2 b 21 b23 kPA b 2 3 a 22 a 2a 24 a 24，k PB，a 24cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 1 34 7cos() cos cossinsin1 tantan1 344 、以下图，已知椭圆x 2 y 21，在椭圆 C 上任取不一样两点A ，B ，点 A 对于 x 轴的对称C ：4点为 A ' ，当 A ， B 变化时，假如直线 AB 经过 x 轴上的定点 T (1 ， 0) ，则直线 A 'B 经过 x 轴上的定点为 ________．【答案】 (4 ， 0)AB 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，由 x 2 y 2 1得 (my ＋ 1) 2 ＋ 4 y 2 ＝4 ，即 (m 2 ＋ 4) y 2＋ 【分析】设直线 4x my 12 my －3 ＝ 0.记 A (x 1， y 1 )， B (x 2， y 2)，则 A ′(x 1 ，－ y 1)，且 y 1＋ y 2＝－ 2m， y 1 y 2＝－3 ，m 24m 2 4当 m ≠0 时，经过点 A ′(x 1，－ y 1 )，B( x 2， y 2 )的直线方程为yy 1 ＝ x x 1.令 y ＝ 0 ，得 x ＝y 2y 1 x 2x 1x 2 x 1 y 1 ＋ x 1my 2 my 1 y 1 ＋ my 1 ＋ 1 ＝ my 1 y 2－my 12＋my 1 y 2＋ my 12＋ 1 ＝2my 1 y 2 ＋ 1 ＝y 2y 1 ＝y 1y 2＋ y 1y 2＋ y 1y 2.－2m3m24＋ 1 ＝ 4 ，所以y＝ 0 时，x＝4.2mm24当 m ＝0时，直线AB的方程为 x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，自然能够有一条经过点 (4 ，0) 的直线．当直线 AB 为 x 轴时，直线A′B就是直线 AB ，即x轴，这条直线也经过点 (4 ， 0) ．综上所述，当点A，B 变化时，直线A′B 经过 x 轴上的定点(4，0)．x2y21的右焦点 F2的直线交椭圆于于M ,N 两点，令F2 M m, F2 N n ，则5、过椭圆34mn____ ．m n【答案】34【分析】x2y 21，得 M 试题剖析：不失一般性，不如取MN垂直 x 轴的状况，此时 MN ：x=1, 联立43x1（1，3）,N （1，-3），∴m=n= 3 ，∴ mn3 222m n46 、已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为F12，0，点B 2,2在椭圆 C 上，直线y kx k0与椭圆 C 交于E F两点，直线AE AF分别与y轴交于点M，，，N ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．x2y21(a b 0) ，分析：（Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为b2a2因为椭圆的左焦点为 F12，0 ，所以a2b2 4 ．设椭圆的右焦点为F2 2，0，已知点 B2,2在椭圆 C 上，由椭圆的定义知 BF1BF22a ，所以 2a3224 2 ．所以 a22，进而 b2．所以椭圆 C 的方程为x2y 2 1 ．84解法二：设椭圆C 的方程为x2y 2a2b21(a b0) ，因为椭圆的左焦点为F12，0 ，所以a2b2 4 ．①因为点 B 2,2421．②在椭圆 C 上，所以b2a2由①②解得， a2 2 ，b 2．所以椭圆 C 的方程为x2y 21 ．84（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为22,0．因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E x, y（不如设 x00 ），则点 F x0 ,y0．00y kx,28联立方程组x2y2消去 y 得x2．84112k所以 x022，则 y022k．12k122 k2所以直线 AE 的方程为ykx22．112k 2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点M，N，令 x22k22k0 得 y12k2，即点 M 0,1．112k2同理可得点22kN 0,．1 1 2k222k22k2 2 12k 2．所以 MN12k 2112k2k1设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2k．22 22 12k 2则以 MN 为直径的圆的方程为x2yk ，k即 x2y 22 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法二：因为椭圆 C 的左端点为 A ，则点 A 的坐标为22,0 ．因为直线 y kx (k0) 与椭圆x2y21交于两点 E，F，84设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F (x0 ,y0 ) ．所以直线 AE 的方程为yy0x22．x022因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x2 2 y0，即点 M2 2 y0．0 得 y220,x0x022同理可得点 N 0,2 2 y0．x0222 2 y0 2 2 y016 y0．所以 MN2 2 x0x028x0 2 2因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆C上，所以x02y021 ．84.所以 MN 8．y0设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P2x0．0,y02则以 MN 为直径的圆的方程为x2y 2x016．y02y0即 x2y2 +2 2x0 y4 ．y0令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法三：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0．因为直线 y kx ( k 0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E2 2 cos,2sin（ 0），则点 F2 2 cos ,2sin ．所以直线 AE 的方程为y2sin x22．22 cos 2 2因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x 0 得 y2sin，即点 M0,2sin．cos1cos1同理可得点 N0, 2sin．cos1所以 MN2sin2sin41cos1．cos sin设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2cos．sin2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2cos4，sin sin2.即 x 2y 24cosy 4 ．sin令 y0 ，得 x 24 ，即 x 2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ，P 2 2,0 ．、已知椭圆x 2y 2（a， b）的离心率为 3 A (1 ，3在椭圆 C 上．7C: a2b 2=1>0>0，点2 )2(I) 求椭圆 C 的方程；(Ⅱ )设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断能否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与 l 订交于两点 P 1， P 2 （两点均不在座标轴上） ，且使得直线 OP 1 ， OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明原因．（Ⅰ）解：由题意，得c 3 ， a 2 b 2 c 2 ，又因为点 A(1, 3 )在椭圆 C 上，a22所以13 1 ， 解得a2 ， b 1， c3 ，a 24b 2所以椭圆 C 的方程为x 2y 21.4（Ⅱ） 结论：存在切合条件的圆，且此圆的方程为x 2y 25 .证明以下：假定存在切合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2y 2 r 2 (r0) .当直线 l 的斜率存在时，设l的方程为ykx m .y kxm,222由方程组x 2得 (4k1) x8kmx 4m40 ，y21,4因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，所以 1 (8km) 24(4k21)(4m24) 0 ，即 m 24k 2 1 ..y kx m,得 (k 222kmxm 2r 20 ，由方程组y 2r 2 ,1)xx 2则2(2km)24(k21)(m2r 2 ) 0 .设 P 1 (x 1, y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ，则x 1x 2 2km ， y2xb ，k 2 1设直线 OP 1 ， OP 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，y y2 (kxm)(kx 2m) k 2 x x2km( xx ) m 2k 1k 211112x 1x 2x 1 x 2x 1 x 2所以k 2 m 2 r 2 km k 2km m 2 m 2 2 2k 21 2 1r k2 r 22 r 2mmk 2 1，k 1 k 2(4 r 2 )k 2124k 214k 2(1r 2) .将m代入上式，得要使得k 1k2为定值，则4 r 21241 r2 ，即 r 5 ，考证切合题意 .所以当圆的方程为x 2 y 25 时，圆与 l 的交点 P 1, P 2 知足 k 1k 2 为定值 1 .4 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l的方程为 x2 ，此时，圆 x 2 y 25 与 l 的交点 P 1 , P 2 也知足 k 1k 21 .4y 2 2228、已知椭圆 C 1 ：x1( a b0) 的离心率为，且过定点 M (1 ， )． a 222 2b(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知直线 l ： y kx1(k R) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，试问在 y 轴上能否存在定点P ，使得3以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，说明原因．ec25a2a 222a 22(1) 解：由已知 b cb251 112a 224b∴椭圆 C 的方程为2 y24x21 55y kx 1322(2) 解：由得：9(2k4) x12kx 43 02y24x215 5设 A(x1， y1)， B(x2， y 2)，则 x1、 x2是方程①的两根∴x1x212k，x1 x2439(2k24)9(2k24)uuur，uuur，设 P(0， p )，则PA ( x1，p)y1p) PB ( x2y2uuur uuurp 21PA PB x1 x2y1 y2p( y1y2 )x1 x2(kx1)( kx2(18p 245)k236 p23 24 p39uuur uuur uuur 9(2k24) uuur若 PA PB ，则 PA PB即 (18 p245)k 236 p224 p39 0对随意 k∈R恒建立18p 245 0∴24 p39036 p2此方程组无解，∴不存在定点知足条件.①1) pk ( x1 x2 ) 2 p p233。
高考数学定点问题专项练习讲解
高考数学定点问题专项练习讲解一、解答题1．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，且离心率等于2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0P 作直线,PA PB 交椭圆于,A B 两点，且满足PA PB ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）将点⎛ ⎝⎭代入椭圆标准方程，结合222,c e c a b a ==+列方程组，解这个方程组求得224,2a b ==，椭圆方程为22142x y +=；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用0PA PB ⋅=，解得22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，此直线过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 试题解析：（1）22142x y +=（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222212122424124240,,1212km m k x kmx m x x x x k k −+++−=+=−=++，，由()()()()1212220x x kx m kx m −−+++=得224830k km m ++=，2m k =−（舍去），22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，所以过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆的标准方程，除了222a b c +这一条件，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量积等于零来求解.2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭， 所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12c a =， 解得2a =，1c =， 又2223b a c =−=，所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨−=−⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++−+−−=，由题意，>0∆， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()122834−+=−+k t k x x k ，因为PA PB =，所以P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234−−=+k t k k ， 340kt += ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k−， 直线l 的方程为()11y t x k−=−− ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =， 此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–12），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】(1) 2214x y +=.(2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=−列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，.则121k k +==−，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++−=由题设可知()22=16410k m ∆−+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k −+，x 1x 2=224441m k −+. 而12121211y y k k x x −−+=+ 121211kx m kx m x x +−+−=+ ()()12121221kx x m x x x x +−+=.由题设121k k +=−，故()()()12122110k x x m x x ++−+=.即()()22244821104141m km k m k k −−+⋅+−⋅=++. 解得12m k +=−. 当且仅当1m >−时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=−+，即()1122m y x ++=−−， 所以l 过定点（2，1−）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.4．已知点P 3(1,)2−是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)−，．证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,)2−即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点. 【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =， 又312P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b +=，解得b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y −，， 11121332211y y k k x −−−+==+，解得14x =−，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx mx y =+⎧⎨+−=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++−=， 122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+，22430k m ∆=−+>． 由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫−++−++−= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k −−−=． 当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当4m k =时， 22430k m ∆=−+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)−，． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶点，点B 为上顶点，|AB |且|AF 1|+|AF 2|＝4. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2作直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）310x y +−= 【分析】（1）依题意得到关于a 、b 的方程组，解得即可；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线l 的方程为1x my =+，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由123k k +=，即1212322y yx x +=++，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：（1）依题意可得()()4a c a c ⎧++−=⎪=解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩23143x y +=（2）由（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程得231143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++−=，所以122634m y y m −+=+，122934y y m −=+ 因为111x my =+，221x my =+，所以122834x x m +=+，212212434m x x m −+=+ 因为123k k +=，即1212322y y x x +=++，所以()()121212122336120my y y y x x x x ++−−+−=代入得22222961248233612034343434m m m m m m m −−−+⨯+⨯−⨯−⨯−=++++ 解得3m =− 即l ：310x y +−= 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.6．已知⊙M 过点A ，且与⊙N ：22(16x y +=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14−，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点． 【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过A ，且与圆N 相切 所以||,||4R AM MN R ==−，即4MN MA +=， 由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c ==所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=，可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==−+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，因为直线BQ 的斜率为14k−， 所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭， 因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k−=）所以直线l 过定点(0,0) 【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题． 7．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：y ＝kx+b 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）如果k+b ＝﹣14，求动直线l 所过的定点； （2）记椭圆C 的上顶点为D ，如果∠ADB ＝2π，证明动直线l 过定点P （0，﹣13）；（3）如果b ＝﹣12，点B 关于y 轴的对称点为B '，向直线AB '是过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）定点（1，﹣14）；（2）见解析；（3）定点（0，﹣2）． 【分析】 （1）把b ＝﹣k ﹣14代入直线方程可得定点坐标； （2）根据∠ADB ＝2π，可得AD BD ⊥,结合韦达定理可得,k b 关系； （3）结合对称性求出直线AB 的方程，结合韦达定理，从而可得定点坐标. 【详解】（1）∵k+b ＝﹣14，∴b ＝﹣k ﹣14，∴y ＝kx ﹣k ﹣14＝k （x ﹣1）﹣14， 所以动直线l 过定点（1，﹣14）．（2）联立2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得（1+2k 2）x 2+4kbx+2b 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣212224kb 2b 2,x x 12k 12k−=++ ， ∵∠ADB ＝2π，又D （0，1）， ∴（x 1，y 1﹣1）•（x 2，y 2﹣1）＝x 1x 2+（y 1﹣1）（y 2﹣1）＝x 1x 2+（kx 1+b ﹣1）（kx 2+b ﹣1） ＝x 1x 2+k 2x 1x 2+（b ﹣1）2+k （b ﹣1）（x 1+x 2） ＝（1+k 2）x 1x 2+k （b ﹣1）（x 1+x 2）+（b ﹣1）2＝（1+k 2）×222212b k−++k （b ﹣1）×2412kb k −++（b ﹣1）2＝23112b k ++（b ﹣1），∴23112b k ++（b ﹣1）＝0，又b≠1（否则直线l 过D ）， ∴b ＝﹣13，所以动直线l 过定点（0，﹣13）.（3）b ＝﹣12，直线l 为：y ＝kx ﹣12，由（2）知x 1+x 2＝1222322,1212k x x k k −=++， 经过A （x 1，y 1），B′（﹣x 2，y 2）的直线方程为：112121y-y x x y y x x −=−−− ，∴112121121122y kx x x x x kx kx ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭=−−⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 令x ＝0得y ﹣()112121x 1kx k x x 2x x −⎛⎫−=−⋅ ⎪−−⎝⎭ ， ∴y ＝kx 1﹣()2111221122113122222x x x kx x k x x x x −+⋅=−=−−=−++ ， 所以直线AB′是过定点（0，﹣2）． 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，直线恒过定点问题，一般是求解直线的方程中,k b 关系式，从而得到定点，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知椭圆C ：22x 143y +=，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】证明见解析；2,07⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消元，然后韦达定理可得x 1＋x 2＝－2834mkk +，x 1·x 2＝()224334m k−+，然后算出()221223434m k y y k−=+，然后由条件可得0AD BD ⋅=，即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，代入化简可得k 和m 的关系，然后可得答案. 【详解】由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ ，消去y 并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 由Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 得3＋4k 2－m 2>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴x 1＋x 2＝－2834mkk +，x 1·x 2＝()224334m k−+ ∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝()2223434m k k−+.∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2，0)，即0AD BD ⋅=，即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以()2223434m k k −+＋()224334m k −+＋21634mkk+＋4＝0， 整理得：7m 2＋16mk ＋4k 2＝0， 解得m 1＝－2k ，m 2＝27k−，且满足3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m ＝27k −时，l ：y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(27，0) 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.9．已知点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，且直线220x y +−=过椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）不经过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=−，直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．【答案】（1）2215x y +=；（2）()1,1− 【分析】（1）根据题意，可得2c =，再将点(0,1)P 代入椭圆方程可得1b =，结合222a b c =+即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程y kx m =+，将直线与椭圆方程联立，消y 可得()2221510550k xkmx m +++−=，由题意利用韦达定理整理可得10k m ++=，进而可求解.【详解】（1）点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，则211b=，解得1b =， 直线220x y +−=过椭圆C 的一个焦点，令0y =，可得2x =，即2c =， 所以222145a b c =+=+=，所以椭圆C 的方程为2215x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，设()00,A x y ，()00,B x y −，（0x <且00x ≠），则001200112y y k k x x −−−+=+=−，解得01x =，直线恒过点()1,1−； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+， 直线与椭圆的交点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2215y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2221510550k x kmx m +++−=， 则1221015km x x k −+=+，21225515m x x k−=+， 所以()()12211212121211112kx m x kx m x y y k k x x x x +−++−−−+=+==−， 整理可得()()()12122210k x x m x x ++−+=，所以()()2221111515km m m k k k −−+⋅=++， 即()()110m k m −++=，因为直线l 不过点(0,1)P ，所以1m ≠， 所以10k m ++=，即1m k =−−， 直线()111y kx m kx k k x =+=−−=−−， 当1x =时，则1y =−， 所以直线恒过定点()1,1− 【点睛】本题考查了求圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查了分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.10．椭圆C 的焦点为()11,0F −，()21,0F，椭圆上一点2P ⎫⎪⎪⎭.直线l 的斜率存在，且不经过点2F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且22180AF O BF O ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程； （2）求证：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的定义及两点间距离公式可得24a ==,即可求得a ,由焦点可得1c =,进而求解；（2）设直线l 方程为y kx m =+,与椭圆方程联立可得()2223484120kxkmx m +++−=,即可得到122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+,且>0∆,再由22180AF O BF O ∠+∠=︒可得220AF BF k k +=,利用斜率公式可得4m k =−,即可得证. 【详解】（1）解:由题,1c =,122a PF PF =+,24a ==,所以2a =,则2223b a c =−=, 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）证明:设直线l 方程为y kx m =+,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点, 联立2234120y kx m x y =+⎧⎨+−=⎩,可得()2223484120k x kmx m +++−=, ()()()22284344120km k m ∆=−⨯+−>,即22430k m −+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+, 因为22180AF O BF O ∠+∠=︒,所以220AF BF k k +=,则1212011y y x x +=−−,得()()1221110y x y x −+−=,即()()1212220kx x m k x x m +−+−=, 代入可得4m k =−,把4m k =−代入22430k m −+>,解得1122k −<<， 又直线不过点()21,0F ,所以0k ≠, 即1122k −<<且0k ≠, 所以直线():4l y k x =−过定点()4,0 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线恒过定点问题,考查运算能力.11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1B （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线BM 与直线BN 的斜率之积为12，证明直线l 过定点并求出该定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）答案见解析，直线过定点()0,3−. 【分析】（1）首先根据顶点为()0,1B 得到1b =得到2a =，从而得到椭圆C 的方程. （2）设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，与椭圆联立得到()222148440k xkmx m +++−=，利用直线BM 与直线BN 的斜率之积为12和根系关系得到3m =−，从而得到直线恒过的定点. 【详解】（1）一个顶点为()0,1，故1b =，又2e ==2a =．故椭圆的方程为2214x y +=．（2）若直线l 的斜率不存在，设(,)M m n ，(,)N m n −，此时22221141114BM BNn n n k k m m mm m −−−−⋅=⨯===，与题设矛盾， 故直线l 斜率必存在．设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++−=， ∴122814km x x k −+=+，21224414m x x k−=+． ∵()121212*********BM BNy y y y y y k k x x x x −++−−⋅=⋅==，即()()()121212112kx m kx m kx m kx m x x ++−++++=∴()2212121(1)(1)02k x x k m x x m ⎛⎫−+−++−= ⎪⎝⎭， 化为2230m m +−=，解得3m =−或1m =（舍去），即直线过定点()0,3−． 【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握：（1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关；（2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点.12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭.（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程； （2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310k xktx t +++−=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t 值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫−⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得3c e a ==，222a c b −=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直， 故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++−=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613ktx x k −+=+，()21223113t x x k−=+，()* 由()()222(6)413310kt kt∆=−+⨯−>，得2231k t >−，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=−⋅−()()2212121(1)(1)0k x xk t x x t =++−++−=，将()*代入，得12t =−， 所以直线l 过定点10,2⎛⎫−⎪⎝⎭.本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．13．如图，已知椭圆222:1x C y a+=上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +−−+=相切，其中1a >.（1）求椭圆的方程；（2）不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ ⊥，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y +=；（2）102⎛⎫− ⎪⎝⎭， 【分析】（1）确定圆M 的圆心与半径，利用直线AF 与圆M 相切关系，根据点到直线的距离公式构建方程，求得a ，即可表示方程；（2）设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11y x k=−+，分别于椭圆联立方程求得交点P 、Q 的坐标，即可表示直线l 的方程，得答案. 【详解】（1）由题可知，()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为1xy c+=，即0x cy c +−= 因为直线AF 与圆22:6270M x y x y +−−+=相切，该圆的圆心为()3,1,r =3a a==⇒=故椭圆的标准方程为2213x y +=（2）因为不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ ⊥，即直线AP 与坐标轴不垂直也不平行由()0,1A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11y x k=−+ 联立22131x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得()221360k x kx ++=，解得0x =或2613k k −+， 因此点P 的坐标为22266,11313k k k k ⎛⎫−−+ ⎪++⎝⎭，即222613,1313k k k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭ 将上式中的k 换成1k −，得点Q 22263,33k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭所以直线l 的斜率为22222223131313664313k k k k k k k k k k −−−−++=+++， 即直线l 的方程为2222163433k k k y x k k k −−⎛⎫=−+⎪++⎝⎭， 化简并整理得21142k y x k −=−，故直线l 恒过定点102⎛⎫− ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查椭圆中的过定点问题，还考查了求椭圆的标准方程，属于较难题.14．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫− ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =.（1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AFk c ⎛⎫−− ⎪⎝⎭==−，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =所以椭圆E 的方程为22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q . 理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =−，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +−−=， 所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =−+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+−=−+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k −=−++=+，以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y ， 即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y −+++−++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++−=++，解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=−+，所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B −， 此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=. 显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A −，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，已知12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0)【分析】（1）由条件直接算出即可（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++−=，122834km x x k −+=+，212241234m x x k −=+，由AM AE k k =可得13162y y x =+，同理24262y y x =+，然后由12341111y y y y +=+推出m k =−即可 【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =−=. ∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++−=()()22222264434412043k m k m m k ∆=−+−>⇒<+122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+.又AM AE k k= ∴3113110062422y y y y x x −−=⇒=+++， 同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+ ∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= ∴1212214()y y x y x y +=+∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++ ∴1212(4)()280k m x x kx x m −+−+=∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k−−+−−+=⇒=+++ ∴m k =−，此时满足2243m k <+ ∴(1)y kx m k x =+=− ∴直线MN 恒过定点(1,0) 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点． 【答案】（1）2；（2）见解析 【分析】（1）设出直线方程为()0y kx t k =+>，联立直线的方程和椭圆的方程，化简为一元二次方程的形式.根据直线和椭圆有两个交点得出判别式大于零，写出韦达定理，根据中点坐标公式求得E 点的坐标，由此求得直线OE 的斜率和方程，根据D 点坐标求得,m k 的关系式，结合基本不等式求得22m k +的最小值.（2）将直线OD 的方程代入椭圆方程，求得G 点坐标，结合,E D 两点坐标以及两点间的距离公式，求得,,OG OD OE ，代入2OG OD OE =⋅列方程，解方程求得,k t 的关系，由此判断出直线过定点.【详解】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=−+，所以1222ty y 3k 1+=+， 由于E 为线段AB 的中点，因此E E 223kt tx y 3k 13k 1，=−=++， 此时E OE E y 1k x 3k ==−，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=−， 又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1， 所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2．（2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k =−， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎛⎫ ⎝，又1E D 3k ，，⎛⎫⎛⎫− ⎪⎝⎭⎝， 由距离公式及t ＞0得222229k 1|OG |(3k 1+=+=+，OD ==，2OE 3k 1==+， 由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）． 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查根于系数关系，考查直线和直线交点坐标、直线和椭圆交点坐标的求法，考查两点间的距离公式，考查直线过定点的问题，综合性较强，属于中档题.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，且过点．（1）求C 的方程；（2）设点M 为C 上的动点，求12w MF MF =⋅的取值范围；（3）设椭圆C 的左顶点为A ，不过点A 的直线:l y kx m =+（0k ≠，m ∈R ）与C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为E ，若||2||PQ AE =，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）22142x y +=；（2）[0,2]；（3）证明见解析，2,03⎛⎫− ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆离心率可得222ab =，再将点代入椭圆方程得22211a b+=，可出a ,b ，从而得到椭圆方程；（2）设M 点的坐标为()00,x y ，利用向量的坐标运算可知21202w MF MF y =⋅=−uuu r uuu u r ，再由椭圆性质可知20[0,2]y ∈，即可求得结果；（3）由||2||PQ AE =，直角三角形斜边中点等于斜边一半，可知0AP AQ ⋅=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124240k x kmx m +++−=，由韦达定理结合0AP AQ ⋅=即可得到m 与k 的关系，从而得结果. 【详解】（1）离心率222112b e a =−=，222a b ∴=①，将点代入椭圆方程得22211a b+=②， 联立①②解得24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=（2）设M 点的坐标为()00,x y ，则2200142x y +=，即22024x y +=由（1）可知1(F ，2F ，())222120000000,,22w MF MF x y x y x y y ∴=⋅=−⋅−=+−=−uuu r uuu u r，又20[0,2]y ∈，12[0,2]w MF MF ∴=⋅∈，（3）||2||PQ AE =，且直角三角形斜边中点等于斜边一半，AP AQ ∴⊥，0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，又(2,0)A −，由2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124240k x kmx m +++−=， ()()()22222(4)41224842km k m k m ∆=−+−=−+， 122412km x x k ∴+=−+，21222412m x x k−=+， ()22222222221212122222444121212k m k k m m k y y k x x km x x m m k k k−−=+++=−+=+++， ()()()11221212122,2,24AP AQ x y x y x x x x y y ∴⋅=+⋅+=++++uu u r uuu r22222222224843484012121212m km m k m k km k k k k−−+−=−++==++++， 223480m k km ∴+−=，即23m k =或2m k = 因为直线l 不过点A ，2m k ∴≠，23m k ∴=且满足0∆>， ∴直线l 的方程为23y kx k =+，即23y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴直线l 过定点2,03⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，求直线过定点，求直线过定点的思路： （1）设直线的点斜式，找到斜率与截距的关系，确定定点； （2）根据题目中的信息求出直线（如两点），确定定点；（3）根据圆锥曲线的性质确定直线定点的性质，然后由性质确定准确的定点.18．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>过()2,0A −、()0,1B 两点.（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点.【答案】（1；（2）证明见解析. 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入椭圆M 的方程，求出a 、b 的值，可得出c 的值，进而可求得椭圆M 的离心率；（2）设直线PC 的方程为()2y k x =−，求出点P 、Q 的坐标，求出直线BP 的方程，求出点S 的坐标，进一步可求得直线SQ 的方程，由此可得出直线SQ 所过定点的坐标. 【详解】（1）将点A 的坐标代入椭圆M 的方程可得241a =，0a >，2a ∴=，同理1b =，c ∴==因此，椭圆M的离心率为c e a ==（2）如下图所示：直线AB 的方程为12x y +=−，即112y x =+，易知直线PC 的斜率存在，设直线PC 的方程为()2y k x =−，联立()22214y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222241161640k x k x k +−+−=， 由韦达定理可得22164241P k x k −=+，228241P k x k −∴=+，则()24241P P k y k x k =−=−+， 所以，点P 的坐标为222824,4141k k k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭， 联立()2112y k x y x ⎧=−⎪⎨=+⎪⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，即点424,2121k k Q k k +⎛⎫ ⎪−−⎝⎭，所以，直线BP 的斜率为222412141824241PB kk k k k k k +++==−−−−+，所以，直线BP 的方程为21142k y x k +=−+−，在直线BP 的方程中，令0y =，可得4221k x k −=+，即点42,021k S k −⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以，直线SQ 的斜率为42121424242121SQkk k k k k k k +−==+−−−+，所以，直线SQ 的方程为2142421k k y x k +−⎛⎫=− ⎪+⎝⎭，即212142k k y x +−=−， 整理可得()22420k x x y −+−+=，由20420x x y −=⎧⎨−+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线SQ 过定点()2,1.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点)M在椭圆上，椭圆E 上存在点N 与左焦点F 关于直线y x =对称（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ､B 为椭圆的左､右顶点，过点(4,)(0)≠T m m 的直线TA ，TB 与椭圆相交于点P ､Q 两点，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析，定点坐标(1,0). 【分析】（1）先写出N 的坐标，得b c =，再联立方程22222211a b a b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩，解方程即可；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，设 TA 方程和TB 方程分别为(2)6m y x =+、 (2)2my x =−，将它们分别与椭圆方程22142x y +=联立，得到 PQ 方程，进而求出定点.【详解】（1）由题意可得：左焦点(,0)F c −关于直线y x =对称点()0,N c −；22222211a ba b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程：22142x y +=； （2）由题意可知(2,0)A −，(2,0)B 同时直线,TA TB 斜率存在且不为零，:(2)6ATm l y x =+与椭圆22142x y +=交于A ，设11(,)P x y ，可得222222(1)401899m m m x x +++−=212472218m x m −∴−⋅=+， 21122362121818m mx y m m −∴==++，， :(2)2BT m l y x =−与椭圆22142x y +=交于B ，设22(,)Q x y ，可得2222122402m x m x m ⎛⎫+++−= ⎪⎝⎭，2224822m x m −∴⋅=+， 2222224422m mx y m m−−∴==++，， 当12x x ≠时，直线122112:()y y PQ y y x x x x −−=−−，22224424()262m m m y x m m m −+=−+−+， 令0y =时，1x =，当12x x =时，222236-224182m m m m −=++，26m =，121x x ==， ∴直线PQ 恒过点()1,0.【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
高考数学解析几何范围最值、定点定值难题好题
高考数学解析几何范围最值、定点定值问题难题好题一、范围最值问题：1、已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (1)求动点P 的轨迹C 的方程．(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线21l l 、，设l 1与轨迹C 交于A 、B 两点，l 2 与轨迹C 交于D 、E 两点，求||||||||FD FC FB FA ⋅+⋅的最小值．2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P 为其一个焦点，以双曲线191622=-y x 的焦点Q 为顶点。
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。
解：(1)抛物线x y 162=的焦点P 为(4，0)，双曲线191622=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，由已知有a>b>0，且a=5，c=4 ……3分916252=-=∴b ，∴椭圆的标准方程为192522=+y x …………………5分 (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+yx ，即353+-=x y )50(≤≤x ……7分点M 是线段CD 上，∴35300+-=x y )50(0≤≤x),1(00y x AM +=，),1(00y x BM -=，12020-+=⋅∴y x AM ，………10分将35300+-=x y )50(0≤≤x 代入得BM ⋅1)353(2020-+-+=x x BM AM ⋅⇒85182534020+-=x x 34191)3445(253420+-=x ........... 12分500≤≤x ，BM AM ⋅∴的最大值为24，BM AM ⋅的最小值为34191。
BM AM ⋅∴的取值范围是]24,34191[。
高一数学解析几何试题答案及解析
高一数学解析几何试题答案及解析1.已知直线：，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略2.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】问题可转化为圆和相交，两圆圆心距，由，得，即可解得，即，故选A．【考点】点与圆的位置关系3.已知直线：与圆:交于、两点且，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由可知，且，所以到直线：的距离为，由点到直线距离公式由：，解得：．【考点】1．向量的垂直；2．直线与圆的位置关系；3．点到直线距离公式．4.若过点P（-，-1）的直线与圆有公共点，直线的倾斜角的取值范围（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线方程为，圆心到直线的距离，因此倾斜角的范围是【考点】1．直线和圆的位置关系；2．直线的倾斜角和斜率5.（本题满分12分）已知直线方程为，其中（1）求证：直线恒过定点；（2）当变化时，求点到直线的距离的最大值；（3）若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）本题考察的是直线恒过定点，本题中直线含参数，我们需要把直线方程进行化简，把含的综合在一起，求出两个方程的解集即可得到定点．（2）本题考察的是求点到直线的距离的最大值，因为直线恒过定点，只需保证定点与已知点的连线与已知直线垂直时距离最大，所以距离的最大值即为已知点与定点的距离，利用两点间距离公式即可求出答案．（3）本题考察的是求直线的截距问题，由（1）直线过定点，根据点斜式方程写出直线方程，分别求出在轴的截距，根据面积公式结合基本不等式即可求出相应的斜率，从而求出直线方程．试题解析：（1）证明：直线方程为，可化为对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点．（2）点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，即（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，直线方程为，则，当且仅当时取等号，面积的最小值为4此时直线的方程为【考点】（1）两点间距离公式；（2）基本不等式6.直线的倾斜角为．【答案】【解析】直线转化为形式为，因此直线的斜率为，而，因此直线的倾斜角为【考点】直线的倾斜角；7.若，，三点共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】过、两点直线方程为：，因为、、三点共线，所以满足直线方程，所以，故选A．【考点】三点共线成立的条件，直线方程．【思路点晴】本题主要考查是已知三点共线，求其中一个点坐标，属于基础题，先根据已知两个点、的坐标，求出点、两点所在的直线方程，然后由、、三点共线，将点坐标代入直线方程，求出的值．8.已知表示图形为圆．（1）若已知曲线关于直线的对称圆与直线相切，求实数的值；（2）若，求过该曲线与直线的交点，且面积最小的圆的方程．【答案】（1）；（2）圆的方程为．【解析】（1）根据，求出圆的圆心坐标，半径，已知曲线圆关于直线的对称圆，那么这两个圆的圆心坐标是关于直线对称，两个圆的半径相等．然后根据对称圆与直线相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，求出；（2）将带入方程中，求出圆的方程及圆心坐标和半径，要求面积最小的圆，就是当圆的直径刚好等于已知圆与直线的交点的弦长,求出圆的圆心和半径，最终求出圆的方程．试题解析：（1）已知圆的方程为，可知圆心为，设它关于的对称点为，则，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴点到直线的距离为，即．∴，∴．当时，圆的方程为．设所求圆的圆心坐标为．∵已知圆的圆心到直线的距离为，则，∴，，∴所求圆的方程为．【考点】（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）对称圆的求解；（3）直线与圆相切的性质；（4）直线与圆的相交弦．【易错点晴】本题主要考查的直线与圆相切的条件，关于直线对称圆的求解，属于难题．过两个点且半径最小的圆的方程是过这两点的线段长度刚好等于圆的直径，圆心坐标为线段的中点坐标；两个圆关于一条直线对称说明这两个圆的圆心是关于直线对称的且半径相同，这样就将圆的对称转化成了两个点关于直线对称．9.如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6C．3D．2【答案】A【解析】，直线方程为，即．设点关于直线的对称点为，则有，解得，即．点关于轴的对称点，由对称性可知四点共线，所以所求路程即为．故A正确．【考点】对称问题．10.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，．（1）求平行四边形的顶点D的坐标；（2）在ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）设的中点为，则由为的中点求得，设点坐标为，由已知得为线段中点，求的坐标；（2）求得直线的斜率，可得边上的高线所在的直线的斜率为，从而在中，求得边上的高线所在直线的方程；（3）求得，用两点式求得直线的方程，利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，可得的面积．试题解析：（1）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有[解得所以D（3，8）（2）所以CD边上的高线所在直线的斜率为故CD边上的高线所在直线的方程为，即为（3）由C，D两点得直线CD的方程为：【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．11.已知圆,为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为．（1）若点运动到处，求此时切线的方程；（2）求满足条件的点的轨迹方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）当直线的斜率不存在时，易求得直线方程为，当直线的斜率存在时，把直线方程设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径，得关于斜率的方程，解方程得斜率的值，根据点斜式得直线方程；（2）直接用坐标表示条件，用直接法求动点轨迹，化简整理即得动点的轨迹方程．试题解析：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，到直线的距离，满足条件；当直线的斜率存在时，设斜率为，得直线的方程为，则，解得．所以直线方程，即．综上，满足条件的切线方程为或（2）设，则，，∵，∴，整理，得，故点的轨迹方程为，【考点】1、圆的切线方程；2、直接法求动点的轨迹方程．【方法点睛】（1）过圆外一点引圆的切线，一定有两条．求圆的切线方程时一定要注意，不能丢掉斜率不存在这种情况．（2）动点轨迹方程的求法：一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．二、代入法若动点依赖已知曲线上的动点而运动，则可将转化后的动点的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．四、参数法若动点的坐标与之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出，关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．12.（2015秋•甘南州校级期末）已知两点A（﹣1，0），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，1]D．[﹣1，0）∪[1，+∞）【答案】B【解析】由题意画出图形，求出P与AB端点连线的斜率，则答案可求．解：如图，∵KAP =﹣1，KBP=1，∴过P（0，﹣1）的直线l与线段AB始终有公共点时，直线l的斜率k的取值范围是k≤﹣1或k≥1．故选：B．【考点】直线的斜率．13.（2015秋•甘南州校级期末）直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值为（）A．3或﹣1B．0或﹣1C．﹣3或﹣1D．0或3【答案】B【解析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故选：B．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．14.（2015秋•河池期末）直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．解：∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，∴3（1﹣2a）﹣2=0，∴，故选：B．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．15.（2015秋•河池期末）直线3x+4y+2m=0与圆x2+（y﹣）2=1相切，且实数m的值为（）A．log23B．2C．log25D．3【答案】A【解析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r，列出方程求出m的值．解：因为直线3x+4y+2m=0与圆x2+（y﹣）2=1相切，所以圆心到直线的距离为d=r；即=1，化简得2+2m=5，即2m=3，解得m=log23．故选：A．【考点】圆的切线方程．16.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（）A．36B．18C．6D．5【答案】C【解析】将圆的方程变形为，可知圆心，半径．圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为．故C正确．【考点】1点到线的距离；2圆的简单性质．【思路点睛】本题主要考查圆上的点到线的距离的最大最小值问题，难度一般．圆上的点为动点，到圆心的距离均等于半径，所以应将圆上的动点到定直线的距离问题先转化为圆心到定直线的距离的问题．由数形结合分析可知圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为．17.已知正方形中心为点M（-1，0），一条边所在直线方程为x+3y-5=0，求正方形其他三边所在直线方程．【答案】三边所在的直线方程为：x+3y+1=0；3x-y+9=0；3x-y-3=0【解析】由题已知正方形的一条边所在的直线方程和中心点的坐标，可利用中心到各边的距离相等，建立所求的直线方程，求出。
高中数学解析几何深度练习题及答案
高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。
解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。
因此，三角形ABC为等腰三角形。
题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。
解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。
由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。
即 k * (-3/k) = -1。
解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。
题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。
解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。
L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。
通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。
2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。
解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。
高中数学解析几何解答题(有答案)
高中数学解析几何解答题（有答案）解析几何解答题1、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分故该椭圆中即椭圆方程可为………3分设H（x,y）为椭圆上一点，则…………… 4分若，则有最大值…………………5分由（舍去）(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分若…………………7分由所求椭圆方程为………………… 8分（1）设，则由两式相减得……③又直线PQ直线m直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，……④…………………11分由③④得Q（）…………………12分而Q点必在椭圆内部，由此得 ,故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分2、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 .（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.解：（Ⅰ）与圆相切, ……①由 ,得 ,,故的取值范围为 .由于，当时，取最小值 .6分（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，由①，得，为定值.12分3、已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称点为D．（1）求抛物线的方程。
（2）证明：点在直线上；（3）设，求的面积。
．解：（1）设，，，的方程为．（2）将代人并整理得，从而直线的方程为，即令所以点在直线上（3）由①知，因为，故，解得所以的方程为又由①知故4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三点不共线．(I)求椭圆的方程及直线的斜率；(Ⅱ)求面积的最大值．解：（I）设椭圆的方程为，则，得， .所以椭圆的方程为.…………………3分设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)，设，则由，得,由，得，，设,易知，由OT与OP斜率相等可得，即，所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为 (6)分（II）设直线AB的方程为，即，由得，，.………………8分点P到直线AB的距离为 .于是的面积为……………………10分设，，其中 .在区间内，，是减函数；在区间内，，是增函数.所以的最大值为 .于是的最大值为18.…………………12分5、设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的直线方程．解：（Ⅰ）由题意， -------1分为的中点------------2分即：椭圆方程为 ------------3分（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积不符合题意故舍掉；------------4分同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍掉；------------5分当直线，均与轴不垂直时，设 : ，代入消去得： ------------6分设 ------------7分所以，------------8分所以，------------9分同理 ------------11分所以四边形的面积由，------------12分所以直线或或或 ---------13分6、已知抛物线P：x2=2py(p0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；，解得．抛物线的方程为．4分（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．由，消y得，6分，解得．7分切线方程为．8分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，设，，由消y得．且．∵ ，直线：，与联立可得，同理得．10分∵焦点，，，12分以为直径的圆过焦点．14分7、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I）由题意可得，2分所以，即 4分即，即动点的轨迹的方程为 5分（II）设直线的方程为 , ，则 .由消整理得，6分则，即 .7分.9分直线12分即所以，直线恒过定点 .13分8、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周所以，1分又椭圆的离心率为，即，所以，2分所以， .4分所以，椭圆的方程为 .5分（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为 . 由得，6分设，，因为，所以，7分同理可得，8分所以，，10分，12分设，则，13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为 .14分方法二：不妨设直线的方程 .由消去得，6分设，，则有，.①7分因为以为直径的圆过点，所以 .由，得 .8分将代入上式，得 .将①代入上式，解得或（舍）.10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以.12分设，则 .所以当时，取得最大值 .14分9、过抛物线C: 上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。
江苏高考 解析几何 定值定点问题 含答案解析
第2课时 定点、定值问题题型一 定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2， 设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3，则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①解 将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程， 可得(1＋2k 2)x 2＝4， 解得x ＝±21＋2k2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， 由E 是3x ＋3y －2＝0上一点， 可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以OE ⊥MN ，OM ＝d ， 即有23－m m ＝－1k，①4＋4k21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，②由①得m ＝2k3(k －1)(k ≠1)，代入②式，化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47.②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 解得x N ＝2－4k 21＋2k 2，y N ＝k (x N ＋2)＝4k1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)， 以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点， 可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型二 定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)， 由题意知直线PQ 斜率存在， 设其方程为y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0.所以x 1,2＝(42k 2＋42k )±[－(42k 2＋42k )]2－4(2k 2＋1)(4k 2＋8k ＋2)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2.由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1 ＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 (2018·南通考试)如图，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝uPB →，求证：λ＋u 为定值．证明 当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而λ＝2，u ＝23，λ＋u ＝83.当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 由题设，得x 1＋1k ＝λx 1，x 2＋1k＝ux 2，即λ＝1＋1x 1k ，u ＝1＋1x 2k.所以λ＋u ＝1＋1x 1k ＋1＋1kx 2＝2＋x 1＋x 2kx 1x 2，将y ＝kx ＋1代入x 2＋y 2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0， 则Δ>0，x 1,2＝－2k ±4k 2＋12(1＋k 2)2(1＋k 2)， x 1＋x 2＝－2k1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k2， 所以λ＋u ＝2＋－2k1＋k 2k · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋k 2＝83. 综上，λ＋u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1，所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0· 2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．1．(2019·江苏省明德实验学校调研)如图，已知A ，B 是圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点，P 为直线l ：x ＝4上的动点，P A ，PB 与圆的另一个交点分别为M ，N .(1)若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； (2)求证：直线MN 过定点．(1)解 由题意可知直线P A 的方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2＝4，解得M (0,2)，直线PB 的方程为y ＝3x －6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －6，x 2＋y 2＝4，解得N ⎝⎛⎭⎫85，－65，所以MN 的方程为y ＝－2x ＋2， 即2x ＋y －2＝0.(2)证明 设P (4，t )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)，直线PB 的方程为y ＝t2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2t 236＋t 2，24t 36＋t 2， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－84＋t 2，－8t 4＋t 2， 直线MN 的斜率k ＝24t36＋t 2－－8t4＋t 272－2t 236＋t 2－2t 2－84＋t 2＝8t 12－t2， 直线MN 的方程为y ＝8t 12－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－84＋t 2－8t4＋t 2， 化简得y ＝8t 12－t 2x －8t12－t 2， 所以直线MN 过定点(1,0)．2．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解 (1)由椭圆定义得MF 1＋MF 2＝4，①由垂直得MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝4(4－b 2)，②由题意得12MF F S＝12MF 1· MF 2＝1，③ 由①②③，可得b 2＝1，C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，因为直线RS 过点(2，－1)，所以－1＝2k ＋m ，即2k ＝－m －1，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，故x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km 4m 2－4＝2k －2kmm ＋1＝2k m ＋1＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )．(1)解 由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45， 由题意可知D (5,0)，显然，直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0.(2)证明 设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以D 点坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1.△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．4．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，Δ＝16(k －1)2>0，∴x 1＝k 2－4k ＋4k 2， 同理x 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k， ∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k＝k · 2k 2＋8k 2－2k ＝8k， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k＝－1， ∴直线AB 的斜率为定值－1.5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1， 即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2aba 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →· OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)2(1＋4k 2)， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ，所以OA →· OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)· 4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足MA ＝MB .求证：1OA 2＋1OB2＋2OM 2为定值． (1)解 将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由MA ＝MB ，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 12＝123＋4k 2，y 12＝12k 23＋4k 2，所以OA 2＝OB 2＝x 12＋y 12＝12(1＋k 2)3＋4k 2， 同理，OM 2＝12(1＋k 2)4＋3k 2. 所以1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝2×3＋4k 212(1＋k 2)＋2(4＋3k 2)12(1＋k 2)＝76.1 OA2＋1OB2＋2OM2为定值76.综上，。
高考数学解析几何专题练习与答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（）A.19422yxB.14922yxC.113422yxD.141322yx2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b ab，过左焦点F 1作斜率为3的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．32C ．31D ．323．已知过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为22，则m 6+ m 4的值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为A ．30oB．45oC．60oD．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=22cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上6．点M 的直角坐标为)1,3(化为极坐标为（）A ．)65,2( B．)6,2( C ．)611,2( D．)67,2(7．曲线的参数方程为12322tyt x (t 是参数)，则曲线是（）A 、线段B 、直线C 、圆D 、射线8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（）A ．54B ．45C ．254D ．4259．圆06422y x yx的圆心坐标和半径分别为（）A.)3,2(、13B.)3,2(、13 C.)3,2(、13 D.)3,2(、1310．椭圆12222by x的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为( )A.1222yxB.13222yxC.12222yxD.13222yx11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为（）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222baby ax ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021k k ，则21k k 的最小值为1,则椭圆的离心率为( ).(A)22 (B) 42 (C)23 (D)4313．设P 为双曲线11222yx上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点m P,2和4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( )A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516xy 上,若A 点坐标为(3,0),||1AM ,且0PM AM 则||PM 的最小值是（）A ．2 B．3 C．2 D．316．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AFFB ，则k（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）218．圆22(2)4x y与圆22(2)(1)9x y 的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是()(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．[6，3) B．(6，2) C．(3，2) D．[6，2]21．直线l 与两直线1y 和70x y 分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则直线l 的斜率为（）A ．23B ．32 C ．32D ．2322．已知点0,0,1,1O A，若F 为双曲线221xy的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP uu r uu r的取值范围为（）A ．21,1 B．21,2 C．1,2 D ．2,23．若b a,满足12b a ，则直线03b yax过定点（）.A 21,61B .61,21C .61,21.D 21,6124．双曲线1922yx 的实轴长为 ( )A.4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1、F 2分别是双曲线1by ax 2222（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若9021PF F ,且21PF F 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A ．2B．3C． 4D． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是()A.B.C. D.y=x 27．抛物线x y 122上与焦点的距离等于6的点横坐标是（）A ．1B．2Ｃ．3Ｄ．428．已知圆22:260C xyx y，则圆心P 及半径r 分别为（）A 、圆心1,3P ，半径10r ；B 、圆心1,3P ，半径10r ；C 、圆心1,3P ，半径10r；D 、圆心1,3P ，半径10r。
解析几何定点问题通关50题(含答案)
解析几何定点问题通关50题（含答案）1. 直线，当变动时，所有直线都经过定点A. B. C. D.2. 直线，当变动时，所有直线都通过定点A. B. C. D.3. 直线经过一定点，则该定点的坐标是A. B. C. D.4. 已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为A. B. C. D.5. 下列四个命题：①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过定点的直线都可以用方程表示．其中真命题的个数是A. B. C. D.6. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点A. B. C. D.7. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点A. B. C. D.8. 已知直线，则当变化时，所有直线都通过定点A. B. C. D.9. 直线恒过一定点，则此定点为．10. 若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点．11. 直线，恒过定点．12. 若不论取何值，直线：恒过定点，则这个定点的坐标为．13. 已知直线，则直线恒过定点．14. 动直线经过的定点坐标为，若直线和圆恒有公共点，则半径的最小值是．15. 直线经过的定点坐标为，经过此定点且与垂直的直线方程是．16. 已知直线上有一点，则它与两定点，的距离之差的最大值为．17. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点．18. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是．19. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20. 已知椭圆：经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线，交椭圆于，两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．21. 已知椭圆的两个焦点为，．其短轴长是，原点到过点和两点的直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若点是定直线上的两个动点，且，证明以为直径的圆过定点，并求定点的坐标．22. 已知椭圆的离心率，直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于，两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为．且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）动点在直线：上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．24. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆短轴上的一个顶点，的延长线与椭圆相交于．的周长为，．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作椭圆的两条互相垂直的弦，，试问直线是否恒过定点?若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．25. 已知过点的直线与直线：垂直．（1）若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点?若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．26. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上．（1）求定点的坐标；（2）求圆的方程；（3）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．27. 已知抛物线，直线．（1）若曲线上存在一点，它到的距离与到坐标原点的距离相等，求的坐标；（2）过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点记为，，求证：直线过定点．28. 已知圆，直线．（1）求证：直线恒过定点；（2）（判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短?并求截得的弦长最短时，求的值以及最短长度．29. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，为正三角形．（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．30. 已知，是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点，都不在轴上．（1）若，求证：直线和的斜率之积为定值；（2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设，是椭圆上异于点的任意两点，且，问直线是否过一个定点?若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．31. 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右顶点，动点在射线上运动，交椭圆于点，交椭圆于点．（1）若垂心的纵坐标为，求点的坐标；（2）试问：直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．32. 已知动圆过定点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率不为零的直线交曲线于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．33. 如图，中心在坐标原点，焦点分别在轴和轴上的椭圆，都过点，且椭圆与的离心率均为．（1）求椭圆与椭圆的标准方程；（2）过点引两条斜率分别为，的直线分别交，于点，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．34. 已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于，两点，探究直线是否过定点?若过定点求出定点坐标，否则说明理由．35. 已知椭圆与轴交于，两点，为椭圆的左焦点，且是边长为等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点?若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．36. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．37. 已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆方程；（2）设点是椭圆的左顶点，，为椭圆上异于点的两动点，若直线，的斜率之积为，问直线是否恒过定点?若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．38. 已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点．（1）求点的坐标；（2）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标．39. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，试问：在椭圆上是否存在定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过定点?若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．40. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个定点?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．41. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相交于，两点（，均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．42. 已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个短轴端点时，与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）是否在轴上存在定点，使为定值?若存在，请求出定点及定值；若不存在，请说明理由．43. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的两点，直线与的斜率之积为．（i）求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若为坐标原点，求的取值范围．44. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为．①试问，所在直线是否过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若点为椭圆上异于，的一点，且，求的面积的最小值．45. 设，分别为椭圆：的左，右焦点，若椭圆上的点到点，的距离之和等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为椭圆的左顶点，直线，分别与轴交于点，．问：以为直径的圆是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．46. 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点且斜率乘积为的两条直线分别交椭圆于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过定点?若过定点，求出点的坐标；若不过定点，请说明理由．47. 已知椭圆的离心率为，它的一个焦点在抛物线的准线上．点为椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点．（ⅰ）若，直线与的斜率分别为，，满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（ⅱ）在轴上是否存在点，使得，且?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．48. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连接，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．49. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连接，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．50. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，，．（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；②过点作的垂线与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．答案1. C2. D3. A 【解析】，即．令得故定点坐标为．4. A5. A【解析】对于命题①④，方程不能表示倾斜角是的直线；对于命题③，当直线平行于一条坐标轴时，直线在该坐标轴上的截距不存在，故不能用截距式表示直线；对于命题②，应为．6. D 【解析】因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线，，切点分别为，，所以，，则点，在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，所以圆的方程是又得，，即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，，所以直线恒过定点．7. B 【解析】由于直线恒过定点，其关于点对称的点为，又由于直线与直线关于点对称，所以直线恒过定点．8. C 【解析】直线方程变形为，则直线通过定点．9.10.11.【解析】由题意，，因为，所以所以所以直线恒过定点．12.【解析】取，得取，得解构成的方程组，得，，将该点坐标代入直线方程，则方程恒成立，说明不论取何值，直线都经过点．13. ．【解析】直线，化为：，联立解得，，则直线恒过定点．14. ，【解析】将直线化简为点斜式，可得，所以直线经过定点，且斜率为．即直线恒过定点．因为直线和圆恒有公共点，所以，所以，即半径的最小值是．15. ，【解析】直线，即直线，它一定经过和的交点．由求得可得直线经过的定点坐标为，设直线方程为，代入，可得，所以经过此定点且与垂直的直线方程是．16.【解析】设关于直线的对称点为，与直线的交点即为所求的点．设，则解得所以线段．17.【解析】恒过定点，设直线恒过定点，由直线与直线关于点对称，可得点，关于点对称，从而解得定点．18.【解析】根据指数函数的性质，可知函数恒过定点．将点代入，可得．由于点始终落在所给圆的内部或圆上，所以．由解得或这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是．19. （1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，所以．由面积可得，即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．（2）设，，，则切线，的方程分别为，．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，由解得因此，直线过定点．20. （1）因为椭圆：经过点，且离心率等于，所以，，所以，，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程和直线方程得，所以，．由，得，代入得，所以（舍去），，所以直线的方程为，所以过定点．21. （1）由题意可得，即，直线的方程为，即为，由题意可得，解得，即有椭圆的方程为．（2）由题意可设，，由，，且，可得，即，即为．以为直径的圆的方程为，化简为，可令，即有，解得，可得以为直径的圆过定点，定点的坐标为．22. （1）因为直线：与圆相切，，所以，因为椭圆的离心率，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．（2）直线代入椭圆方程，消去可得：，所以，所以或，设，，则有，，若以为直径的圆过点，则，因为，，所以，所以，所以，解得，所以存在实数使得以为直径的圆过定点．23. （1）因为椭圆：的离心率为．且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为直线的方程为，设，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．24. （1）由的周长是，得：，解得：，由且在的延长线上，得，设，则，，，由，解得：，所以，椭圆的方程是．（2），直线，均有斜率，设，，由得：，设点的坐标为，点的坐标为解得：，，当时，，所以，同理，直线的方程是，直线恒过定点．25. （1）点在函数的图象上，，即点由，得，即直线的斜率为，又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，所以直线的方程为，一般式方程为：．（2）点在直线上，所以，即，代入中，整理得，由解得故直线必经过定点，其坐标为．26. （1）由得，令得即定点的坐标为．（2）设圆的方程为，由条件得解得所以圆的方程为，圆的标准方程．（3）圆的标准方程为，则，设点关于圆心的对称点为，则有解得，，故点的坐标为．因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，若点为直角三角形的顶点，则有，解得，若点是直角三角形的顶点，则有，解得，综上，或．27. （1）设，则，即，与抛物线方程联立，得．（2）设直线方程为，代入抛物线方程整理得，，可得．特别地，，，这时切点为，，过定点．一般地，，，切点为，，所以，，所以，所以，所以过点，综上所述，直线过点．28. （1）直线的方程可化为，联立解得所以直线恒过定点．（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长且最短直线的斜率为，．由解得．此时直线的方程是，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离为所以最短弦长是．29. （1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）．由，解得，所以抛物线的方程为．（2）由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，当时，则，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．30. （1）由题意可知：，则，由，则，由，则所以直线和的斜率之积为定值；（2）直线过点，由，，，则椭圆方程为：，显然的斜率一定存在，当直线的斜率时，则，，直线的方程为，当直线斜率存在，设斜率为，且，设直线的方程：，，，则整理得：，，，由，则，．，则，整理得：，解得：或（舍去），则直线的方程，则直线恒过点，综上可知：直线过点．31. （1）设的垂心为，因为边上的高所在的直线方程为且垂心的纵坐标为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为，则的方程为：．由所以点的坐标为．（2）设点的坐标为，点坐标为，则，．直线的方程为，由．由于，，共线，所以，即，平方得，化简得．设直线的方程为，由，所以，，代入得，解得或．当时，直线的方程为，即，恒过；当时，直线的方程为，即，恒过，此种情况不合题意．综上可知：直线恒过．32. （1）设动圆的半径为，由及，知点在圆内，则有从而，所以的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线的方程为：，则，，，，故曲线的轨迹方程为．（2）依题意可设直线的方程为，，，由整理得：，则，即，解得：或．由，，，假设存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数，则所以要使为非零常数，当且仅当解得，当时，常数为，当时，常数为，所以存在两个定点和，使直线，的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．33. （1）设两个椭圆方程为：， .因为过点，所以，又因为离心率均为．所以椭圆方程分别为：，．（2）直线的方程为，联立椭圆方程得消去得，则则点的坐标为同理可得点的坐标为，又，则点为，所以则直线的方程为化简得，即当时，，故直线过定点．34. （1）依题意：，则，因为以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆：与直线相切，所以，椭圆的方程：．（2）依题意斜率存在，设，，设，将的方程代人椭圆得：所以舍，将换成则，所以，．所以直线的斜率为：．直线的方程为：，即所以直线过定点．当时，，，此时，直线也过定点．故，直线必过定点．35. （1）依题意可得，且，解得．所以椭圆的方程是．（2）由，消，得．设，，则．且，．经过点，的直线方程为．令，则．又，，故当时，．即直线与轴交于定点．36. （1）因为椭圆的离心率为，且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为直线的方程为，设，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．37. （1）由题意椭圆的离心率．所以，所以，所以．所以椭圆方程为．又点在椭圆上，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去得：，设，，则，．又，由题意知，则，且，则则．所以，所以或．当时，直线的方程为，此时直线过点，显然不适合题意．当时，直线的方程为，此时直线过点．当直线的斜率不存在时，若直线过点，，点的坐标分别是，，满足．综上，直线恒过点．38. （1）设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离．当且仅当时等号成立，此时点坐标为．（2）设点的坐标为，显然．当时，点坐标为，直线的方程为；可知，则方程为：．当时，直线的方程为，化简得；综上，直线的方程为．与直线的方程联立，可得点的纵坐标为．因为，轴，所以点的纵坐标为．因此，点的坐标为．当，即时，直线的斜率．所以直线的方程为，整理得．当，时，上式对任意恒成立，此时，直线恒过定点，当时，直线的方程为，仍过定点，当时，仍过定点．故符合题意的直线恒过定点．39. （1）由题意，，，所以，，，所以椭圆的方程为；（2）①当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的方程为：；②当直线的斜率为时，直线的方程为，此时以为直径的圆的方程为：，与联立，得，因为在椭圆和圆上，所以，因为，所以，所以，在椭圆上可能存在定点满足条件；③斜率存在时，设直线的方程为：，，，与椭圆方程联立，可得，所以，，所以过的直线斜率存在时，以为直径的圆过定点，综上所述，时，过的直线无论如何转动，以为直径的圆过定点．40. （1）因为椭圆的离心率为，所以，解得，设，又，，因为椭圆的左、右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，所以解得，所以，，所以椭圆的方程为．（2）设直线为：，代入椭圆，整理，得：，成立，设，，则，，设存在定点，使，则整理，得，即，要满足题意，则有解得，所以在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过这个定点．41. （1）设双曲线的标准方程为，由已知，得，，又，解得，，所以双曲线的标准方程为．（2）设，，联立得，有以为直径的圆过双曲线的左顶点，所以，即，所以，所以，所以，解得，．当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件．所以，直线过定点，定点坐标为．42. （1）抛物线的焦点为，由题意可得，即，由直线经过和，可得直线，直线与原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切，可得，解得，则，即有椭圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，可得，设，，可得，，设，，，要使为定值，则，解得，即有．当直线的斜率不存在时，，，，，可得．则在轴上存在定点，使得为定值．43. （1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，，，解得，，即有椭圆的标准方程为．（2）（i）设，，由，直线与的斜率之积为，可得，即有，由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线，代入椭圆方程，可得，可得，，则，化为，解得舍去，则直线的方程为，即直线恒过定点，该定点坐标为；（ii）由（i）可得由，可得，解得．令，则，且，即有，由，可得．则的取值范围是．44. （1）由题意，椭圆的焦点坐标为，，设椭圆方程为，所以，，，所以椭圆的标准方程为．（2）①若的斜率不存在，设，．则，而，故不成立，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，联立得．所以，，，，因为直线与直线斜率之积为．所以整理得．所以直线恒过．②由①知，，，因为，所以，当时，设所在直线方程为，则，，当时，也符合上式，所以令，，，因为，所以．当，即时，取最大值，所以当，即时，的面积最小，最小值为．45. （1）由椭圆上的点到点，的距离之和是，可得，．又在椭圆上，因此，所以．所以椭圆的方程为．（2）因为椭圆的左顶点为，所以点的坐标为．因为直线与椭圆交于，两点，设点（不妨设），则点．由消去，得，所以，则，所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令，得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．46. （1）由已知得结合，解得所以椭圆的标准方程为．（2）直线过定点．由（1）可知椭圆的右顶点为．由题意可知直线和直线的斜率存在且不为．设直线的方程为，．由得，可知恒成立，，所以．所以．所以点．因为直线和直线斜率的乘积为，故可设直线的方程为，．同理，易得，．所以点．当，即时，，则直线的方程为，整理得．显然直线过定点．47. （1）由题意可知：椭圆的离心率，则，抛物线准线方程，则，所以，，所以椭圆的标准方程：．（2）设，，则整理得：，则，则，，（ⅰ）证明：因为，所以，代入韦达定理，可得，化简可得，则直线的方程为，即，故直线恒过定点．（ⅱ）假设存在点满足题意，，则，化简整理得，此时判别式恒成立，所以，设中点，则，，由，则在线段的中垂线上，当，直线的方程为，当，可得，则，则，故即，且 ，所以 的取值范围为，当 时， ，综上， 的取值范围为．48. （1） 因为椭圆的离心率为，不妨设 ， ，即 ，其中 ， 又 内切圆面积取最大值时，半径取最大值为， 因为，其中 为定值， 为三角形 的周长，当 取最大值时， 所以 也取得最大值，此时点 为短轴端点， 所以，，解得 ，所以椭圆的方程为．（2） 设直线 的方程为 ， ， ，联立得 ， 则，， 直线 的方程为， 直线 的方程为，则，，假设 为直径的圆恒过定点 ， 则，，， 即， 即，。
高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解
解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。
3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。
（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。
高中数学通关系列之“解析几何解答题30题”
解：（1）由题意可得，
2a + 2c
1
×
2bc
= 6 =3 ，解得
a b
= =
2
3
．
2 a=2 b2 + c2
c = 1
∴椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1 ； 43
（2）由（1）知 F1(−1, 0) ，易知当 PF1 ⊥ y 轴时不构成△ F2PQ ．
∴设直线 PF1 的方程为 =x ky −1 ，
即
(1
+
k
2
)12k 1+
2 −4 4k 2
−
3k 2 ( 8 1+
3k 2 4k 2
)
+
3k 2
= 0 ，
化为11k 2 − 4 =0 ，解得 k = ± 2 11 ， 11
所以存在过 F 的直线 l ，使得 | OP |= 1 | MN | ， 2
此时直线 l 的方= 程为 y 2 11 (x − 3) 或 y = − 2 11 (x − 3) ．
化简可得 (9 − x02 )k 2 + 2x0 y0k + 6 − y02 =0 ，
由两条切线相互垂直可得 k1k2
=
−1
，即
6 9
− −
y02 x02
=
−1 ，
化为 x02 + y02 = 15 ，即为 P 的轨迹方程；
（3）证明：设
Q(m, n)
，由椭圆的焦半径半径可得 |
QF1
||
QF2
|= (3 +
2x2 + 3y2 = 18 ，
可得 (2 + 3k 2 )x2 + 6k( y0 − kx0 )x + 3( y0 − kx0 )2 −18 = 0 ，
高考数学 解析几何取值范围通关50题(含答案)
t2
t
t
t
的焦距为 ，左、右焦点分别为 ．
t，
，且
t
与抛物线
（1）求椭圆 （2）过 值范围．
t
的方程；
t
交于 ， 两点，与抛物线
无公共点，求
的面积的取
17. 已知椭圆 ： 焦点 （1）求椭圆 （2）设经过点 求
t，
距离的等差中项． 的方程；
t 的两个焦点分别是 于
t
t
，
t
，且焦距是椭圆
上一点
到两
的直线交椭圆
t
（ 2 ）是否存在与椭圆
成立?若存在，求出实数
21. 经过原点的直线与椭圆 2 一点，直线 ， （1）求椭圆 （2）设 于
t，
的斜率均存在，且直线
t
t
t
交于 ， 两点，点 ， 的斜率之积为
t
为椭圆上不同于 ， 的 ．
的离心率； 在以
， 两点，若点
分别为椭圆的左、右焦点，斜率为 直 的直线 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交
， 两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，
的取值范围．
18. 在平面直角坐标系 （1）求圆心 （ 2 ）过 直 直t ，
t
中，已知圆 的方程；
外切，与圆
内切． 的轨迹
t2
t
t，
t和 分别交曲线
2 于
t ，
t ，动圆 两点，设
t
与圆
作两条互相垂直的直线
直
的斜率为
的面积为 ，求 的取值范围．
19. 已知椭圆 2
的右焦点坐标为
t
t
． ，求 的值； 的取值范围． t 为直角顶点的椭圆
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高考数学 解析几何取值范围通关50题(含答案)
2 2解析几何取值范围通关 50 题（含答案）1. 已知椭圆 C 2 x+ y 2 = t α t 0 ，F ，F 分别是其左、右焦点，以 F F 为直径的圆与椭圆 C 有且α2t2t 2仅有两个交点． （1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P ，点 P 横坐标的取值范围是 一 t,0 ，求线段 AB 长的取值范围．4x 2 y 22. 已知 F t ，F 2 分别是长轴长为 2 2 的椭圆 C ：α2 + b 2 = t α t b t 0 的左右焦点，A t ，A 2 是椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆上异于 A t ，A 2 的一个动点，0 为坐标原点，点 M 为线段 PA 2 的中点， 且直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t． 2 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 N ，点 N 横坐标的取值范围是 一 t,0 ，求线段 AB 长的取值范围．43. 如图，已知抛物线 E 2y 2 = x 与圆 M 2 x 一 4 2 + y 2 = γ2 γ t 0 相交于 A ,B ,C ,D 四个点．（1）求 γ 的取值范围；（2）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC,BD 的交点 P 的坐标．2 2 2 4. 已知函数 f x = lnx 一 2αx ，α ε R ．（1）若函数 y = f x 存在与直线 2x 一 y = 0 垂直的切线，求实数 α 的取值范围；（2）设 g x = f x + t x 2，若 g x 有极大值 x ，求证：lnx t + tt α．2tx t x t 25. 已知椭圆 x+ y = t α t b t 0 离心率为 2，左、右焦点分别为 F ，F ，左顶点为 A ， AF=α2 b 2 — t ，2t 2t（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 经过 F 2 与椭圆交于 M ，N 两点，求 F t M · F t N 取值范围．6. 已知椭圆 C 2 x + y = t α t b t 0 的离心率为 t ，且过点 一 C 的右顶点为 A ．α2b 22（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知过点 ,0 的直线交椭圆 C 于 P ，Q 两点，且线段 PQ 的中点为 R ，求直线 AR 的斜率的取值范围．2 22 3 2 2 t 27. 在平面直角坐标系 x0y 中，椭圆 E ：x+y= t α t b t 0 过点 ,t ，且与直线 2x + 2y 一4 = 0 相切． （1）求椭圆 E 的方程；α2 b 2（2）若椭圆 E 与 x 轴交于 M ，N 两点，椭圆 E 内部的动点 P 使 IPMI ，IP0I ，IPNI 成等比数列，求 P M · P N 的取值范围．8. 已知椭圆 C 2 x+y= t α t b t 0 经过点 t,,0 ．α2 b 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 y = 直 x 一 t 直 芋 0 与 x 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q ，求IABI 的取值范围．IPQI9. 设 F ，F 分别是椭圆 x 2 + y 24= t 的左、右焦点．（1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 P F t · P F 2 的最大值和最小值；（2）设过定点 M 0,2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A ，B ，且 LA0B 为锐角（其中 0 为坐标原点），求直线 l 的斜率 直 的取值范围．2 232 2 2 2 10. 已知椭圆 E ：mx 2 + y 2 = t m t 0 ．（1）若椭圆 E 的右焦点坐标为 ,0 ，求 m 的值；（2）由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以 B 0,t 为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求 m 的取值范围．11. 已知椭圆 C ：x + y α2b 2= t α t b t 0 ，其焦距为 2，点 P 在椭圆 C 上． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 C 交于 A ，B 两点的直线 l2y = mx + t m ε R ，使得 0 A · 0 B = 0 成立?若存在，求出实数 t 的取值范围，若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆 C 2 x+y = t α t b t 0 的离心率为 3，直线 l 2y = x + 2 与以原点为圆心、椭圆 C 的α2b 23短半轴为半径的圆 0 相切． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左顶点 A 作直线 m ，与圆 0 相交于两点 R ，S ，若 A 0RS 是钝角三角形，求直线 m 的斜率 直 的取值范围．MN 0Q2 13. 已知函数 f x = e x sinx 一 cosx ，g x = xcosx 一 2e x ，（其中 e 是自然对数的底数）．ππ（1）∀x t ε 0, 2 ，∃x 2 ε 0, 2 使得不等式 f x t + g x 2 2: m 成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x t 一 t ，求证：f x 一 g x t 0．x 2 y 214. 已知右焦点为 F 2 c ,0 的椭圆 C 2 α2 + b 2 = t α t b t 0 过点 t , C 关于直线 x = c 对称的图形过坐标原点． （1）求椭圆 C 的方程；（2,0 作直线 l 与 椭圆 C 交于 E ，F 两点，线段 EF 的中点为 M ，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 MA 的斜率 直 的取值范围．15. 已知椭圆 C 2 x +y= t α t b t 0 经过点 t,F ，F ，圆 x 2 + y 2 = 2 与α2b 2t2直线 x + y + b = 0 相交所得弦长为 2． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，0 为坐标原点，过点 F 2 作 0Q 的平行线交椭圆C 于 M ，N 两个不同的点，求 的取值范围．22 2x 2 y 216. 已知椭圆 C t 2 α2 + b 2 = t α t b t 0 的焦距为 4，左、右焦点分别为 F t ，F 2 ，且 C t 与抛物线C 22y 2 = x 的交点所在的直线经过 F 2． （1）求椭圆 C t 的方程； （2）过 F t 的直线 l 与 椭圆 C t 交于 A ，B 两点，与抛物线 C 2 无公共点，求 A ABF 2 的面积的取值范围．17. 已知椭圆 C ：x + y α2b 2= t 的两个焦点分别是 F t 一 t,0 ，F 2 t,0 ，且焦距是椭圆 C 上一点 P 到两 焦点 F t ，F 2 距离的等差中项． （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 F 2 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 Q x 0,y 0 ，求 y 0 的取值范围．18. 在平面直角坐标系 x 0y 中，已知圆 0t 2 x + t 2 + y 2 = t 和 022 x 一 t 2 + y 2 = t ，动圆 P 与圆0t 外切，与圆 02 内切． （1）求圆心 P 的轨迹 E 的方程； （2）过 A 一 2,0 作两条互相垂直的直线 l t ，l 2 分别交曲线 E 于 M ，N 两点，设 l t 的斜率为直 直 t 0 ，A AMN 的面积为 S ，求 S的取值范围．直2 22 2 19. 已知椭圆 E 2 x + y α2b 2= t α t b t 0 过点 0, ，且离心率为 t．2（1）求椭圆 E 的方程；（2）若以 直 直 芋 0 为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A ，B ，且线段 AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 t，求 直 的取值范围．tt20. 已知椭圆 C 的中心在原点 0，焦点在 x 轴上，离心率为 tt ．2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 C 交于 A ，B 两点的直线 l ：y = 直x + m直 ε R ，使得 0 A + 20B = 0 A 一 20B 成立?若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由．21. 经过原点的直线与椭圆 C 2 x +yα2b 2= t α t b t 0 交于 A ，B 两点，点 P 为椭圆上不同于 A ，B 的一点，直线 PA ，PB 的斜率均存在，且直线 PA ，PB 的斜率之积为 一 t ． 4（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设 F t ，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，斜率为 直 的直线 l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于 M ，N 两点，若点 F t 在以 MN 为直径的圆内部，求 直 的取值范围．3222 22222.已知椭圆M2x+y4b2 b2= t b t0上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2 3．（1）求椭圆M 的方程；（2）设不过原点0 的直线l 与该椭圆交于P，Q 两点，满足直线0P，PQ，0Q 的斜率依次成等比数列，求A 0PQ 面积的取值范围．23.已知椭圆C2x+y=tαt b t0的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆α2 b22与直线x 一 y + 2 = 0 相切．（1）求椭圆C 的方程．（2）若过点M 2,0 的直线与椭圆 C 相交于A，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足0A+ 0B=t0P（0为坐标原点），当P A一P B＜2 5 时，求实数t 的取值范围．324. 已知椭圆x + yα2 b2= t αt b t 0 与抛物线y2 = 2hx h t 0 共焦点F2，抛物线上的点M 到y 轴5的距离等于IMF2I 一 t，且椭圆与抛物线的交点Q 满足IQF2I =2．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y = 直x + m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．t 5 2 2 2 225. 椭圆 C 2 x +y= t α t b t 0 的左右焦点分别为 F ，F ，点 P 在椭圆 C 上，满足 PF· F F =α20，I P F t I = b 2 t 2，I P F I = ． 55t t 2（1）求椭圆 C 的方程．（2）设过点 D 0,2 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M ，N ，且 N 在 D ，M 之间，设 D N =λD M ，求 λ 的取值范围．26. 已知抛物线 E 2y 2 = 2h x h t 0 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 π的直线 l 被 E 截得的线段长为 8．4（1）求抛物线 E 的方程；（2）已知点 C 是抛物线上的动点，以 C 为圆心的圆过 F ，且圆 C 与直线 x =一 t相交于 A ，B 两2 点，求 FA · FB 的取值范围．27. 已知椭圆x+ y = t α t b t 0 的离心率为 t ，且经过点 P t, F ，F 分别α2 b 2 2 t 2作直线 l t 与 l 2，l t 交椭圆于 A ，B 两点，l 2 交椭圆于 C ，D 两点，且 l t 1- l 2． （1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 ABCD 的面积 S 的取值范围．5 22+ y2 = t 中，过坐标原点0 作两条互相垂直的射线0A，0B 与C 分别交于28. 如图，在椭圆C：x4A，B 两点．（1）已知直线AB 的斜率为直，用直表示线段AB 的长度；（2）过点0 作0M 1- AB 于M 点，点P 为椭圆C 上一动点，求线段PM 长度的取值范围．x2 y229.已知椭圆C t2α2+b2=tαt b t0的焦距为4，左、右焦点分别为F t，F2，且C t与抛物线C22y2=x的交点所在的直线经过F2．（1）求椭圆C t 的方程；（2）分别过F t，F2 作平行直线m，η，若直线m 与C t 交于A，B 两点，与抛物线C2 无公共点，直线η与C t 交于C，D 两点，其中点A，D 在x 轴上方，求四边形AF t F2D 的面积的取值范围．DM DP30. 在圆 x 2 + y 2 = t 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，点 M 在线段 DP 上，满足 = 2，当点 P 在圆上运动时，设点 M 的轨迹为曲线 C ．3（1）求曲线 C 的方程；（2）若直线 y = m x + 5 上存在点 Q ，使过点 Q 作曲线 C 的两条切线互相垂直，求实数 m 的取值范围．31. 已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 0，离心率等于 3，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线2的四边形的周长为 4 5，直线 l 2y = 直x + m 与 y 轴交于点 P ，与椭圆 E 交于 A ，B 两个相异点，且 A P = λP B． （1）求椭圆 E 的方程；（2）是否存在 m ，使 0 A + λ0 B = 40 P ?若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2 2 332. 如图，已知抛物线 x 2 = y ，点 A 一 t P x,y 一 t ＜ x B2作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．（1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求 IPAI · IPQI 的最大值．33. 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F t ，F 2 在 y 轴上，离心率等于 段 PF t 为直径的圆经过 F 2，且 t P F t · P F 2 = t ． （1）求椭圆 E 的方程；P 是椭圆 E 上的点，以线（2）做直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M ，N ，如果线段 MN 被直线 2x + t = 0 平分，求 l的倾斜角的取值范围．34. 设函数 f x = x 一 t · Ix 一 αI α ε R ．（1）当 α = 2 且 x 2: 0，关于 x 的方程 f x = 直x 一 2有且仅有三个不同的实根 x ，x ，x ，若tt = max x t ,x 2,x 3 ，求实数 t 的取值范围；t 2 3（2）当 α ε 一 t 时，若关于 x 的方程 f x = 2x 一 tα 有且仅有三个不同的实根 x ，x ，x ，2求 x t + x 2 + x 3 的取值范围．t23MP PNMQQN3 2 35. 如图，已知椭圆 x + y= t α t b t 0 的上顶点为 A ，左右顶点为 B ，C ，右焦点为 F ， AF =α2 b 23，且 A ABC 的周长为 t4．（1）求椭圆的离心率；（2）过点 M 4,0 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 P ，Q ，点 N 在线段 PQ 上，设 λ ==，试判断点 N 是否在一条定直线上，并求实数 λ 的取值范围．36. 已知圆 02x 2 + y 2 = 4，点 A 一 3,0 ，B 的轨迹为 C 2．,0 ，以线段AP 为直径的圆 C t 内切于圆 0，记点 P （1）证明 AP + BP 为定值，并求 C 2 的方程；（2）过点 0 的一条直线交圆 0 于 M ，N 两点，点 D 一 2,0 ，直线 DM ，DN 与 C 2 的另一个交S t点分别为 S ，T ，记 A DMN ，A DST 的面积分别为 S t ，S 2，求 2的取值范围．2 S2 2 37. 已知点 F t,0 ，点 A 是直线 l t 2x =一 t 上的动点，过 A 作直线 l 2，l t 1- l 2，线段 AF 的垂直平分线与 l 2 交于点 P ． （1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）若点 M ，N 是直线 l t 上两个不同的点，且 A PMN 的内切圆方程为 x 2 + y 2 = t ，直线 PF 的斜率为 直，求I 直IIMNI的取值范围．38. 设椭圆 x + y α23= t α t 的右焦点为 F ，右顶点为 A ．已知 t + t0F0A= 3t，其中 0 为原点，FAt 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y轴交于点 H ．若 BF 1- HF ，且 LM0A 三 LMA0，求直线 l 的斜率的取值范围．33x2 y239.在直角坐标系中，椭圆C t2α2b2=tαt b t0的左、右焦点分别为F t，F2，其中F2也是抛5物线C22y2=4x的焦点，点P为C t与C2在第一象限的交点，且I P F2I=．（1）求椭圆的方程；（2）过F2 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N 两点，若线段0F2 上存在定点T t,0 使得以TM，TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围．40. 如图，已知线段AE，BF 为抛物线C2x2 = 2hy h t 0 的两条弦，点E，F 不重合．函数y =αx αt 0 且α芋t 的图象所恒过的定点为抛物线C 的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知A 2,t ，B 一AE 与BF 的斜率互为相反数，且A，B 两点在直线EF 的两侧．①问直线EF 的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求0E· 0F的取值范围．t52 2 2 41. 已知椭圆 C 2 x+y= t α t b t 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直α2b 2线 x + y + t = 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 2,0 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ，若椭圆 C 上存在点 P 满足 0 S +0T = t 0 P （其中 0 为坐标原点），求实数 t 的取值范围．42. 已知椭 C 2 x+yα2b 2= t α t b t 0 的离心率为 4，F t ，F 2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一 点，且 A PF t F 2 的周长是 8 + 2 t5．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设圆 T 2 x 一 t 2 + y 2 = 4，过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E ，F 两点，当圆心t 在 x 轴上移动且 t ε t,3 时，求 EF 的斜率的取值范围．243. 已知椭圆C 与双曲线y2 一x2 = t 有共同焦点，且离心率为t．3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A 为椭圆C 的下顶点，M，N 为椭圆C 上异于A 的两点，直线AM 与AN 的斜率之积为t．（i）求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若0 为坐标原点，求0M· 0N的取值范围．44. 已知函数f x = e x 2x 一 m m εR ．（1）若函数f x 在一t, + CX) 上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）当曲线y = f x 在x = 0 处的切线与直线y = x 平行时，设h x = f x 一αx + α，若存在唯一的整数x0 使得h x0 ＜ 0，求实数α的取值范围．2 2 45. 已知曲线 C 上的点到点 F 0,t 的距离比它到直线 y =一3 的距离小 2． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 F 且斜率为 直 的直线 l 交曲线 C 于两点 A ，B ，交圆 F2x 2 + y 一 t 2 = t 于 M ，N 两点（A ，M 两点相邻）．① 若 B F = λB A ，当 λ ε t2时，求 直 的取值范围；2 3② 过 A ，B 两点分别作曲线 C 的切线 l t ，l 2 ，两切线交于点 P ，求 A AMP 与 A BNP 面积之积的最小值．46. 已知椭圆 C 2 y +x= t α t b t 0 的上下两个焦点分别为 F ，F ，过点 F 与 y 轴垂直的直线α2b 2t 2 t3交椭圆 C 于 M ，N 两点，A MNF 2 的面积为 3，椭圆 C 的离心力为 2 ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知 0 为坐标原点，直线 l 2y = 直x + m 与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A ，B 两个不同的点，若存在实数 λ，使得 0 A + λ0 B = 40 P ，求 m 的取值范围．47. 已知函数 f x = xlnx ，g x = αx 2 + x 一 α α ε R ．2（1）若直线 x = m m t 0 与曲线 y = f x 和 y = g x 分别交于 M ，N 两点．设曲线 y = f x 在点 M 处的切线为 l t ，y = g x 在点 N 出的切线为 l 2． （ⅰ）当 m = e 时，若 l t 1- l 2，求 α 的值； （ⅱ）若 l t ∥l 2，求 α 的最大值； （2）设函数 h x = f x 一 g x 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x t ，x 2 ，且 x t ＜ x 2 ．若λ t 0，且 λlnx 2 一 λ t t 一 l nx t 恒成立，求 λ 的取值范围．2 2 2 48. 设 0 ＜ () ＜ π，曲线 x 2sin() + y 2cos() = t 和 x 2cos() 一 y 2sin() = t 有 4 个不同的交点．2（1）求 () 的取值范围；（2）证明这 4 个交点共圆，并求圆半径的取值范围．49. 在平面直角坐标系 x 0y 中，椭圆 C 2 x +y = t α t b t 0 的离心率是 3，且直线 l 2 x + y= t被椭圆 C 截得的弦长为 5． （1）求椭圆 C 的标准方程；α2b 22t αb （2）若直线 l t 与圆 D 2x 2 + y 2 一 t x 一 4y + m = 0 相切： （i ）求圆 D 的标准方程；（ii ）若直线 l 2 过定点 3,0 ，与椭圆 C 交于不同的两点 E ，F ，与圆 D 交于不同的两点 M ， N ，求 IEFI · IMNI 的取值范围．50. 已知双曲线 C 2 x一y= t 的焦距为 3 2，其中一条渐近线的方程为 x 一 2y = 0．以双曲线 C 的α2 b 2实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E ，过原点 0 的动直线与椭圆 E 交于 A ，B 两点． （1）求椭圆 E 的方程；（2）若点 P 为椭圆的左顶点，P 㨸 = 2㨸 0 ，求 㨸 A+ 㨸 B的取值范围； （3）若点 P 满足 PA = PB ，求证 t0A 2 + t 0B2+ 2 0P 2为定值．2 222t 直222 22PP2x 0答案1. （1） 根据题意，因为以 F t F 2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，2所以 b = c = t ，即 α = = ，即椭圆C 的方程为 x2+ y 2 = t ． （2） 根据题意，过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点， 即直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y = 直 x + t ，与 x 2+ y 2 = t 联立，得 t + 2直2 x 2 + 4直2x + 2直2 一 2 = 0，11 t 0，有 直2 + t t 0，解之，得 直 εR ， 设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，AB 的中点为 M x 0,y 0 ，4直22直2一2x t + x 2 =一 t +2直2，x t · x 2 = t +2直2，2直y t + y 2 = 直 x t + t + 直 x 2 + t = t +2直2，2即 M 一2直t +2直2设直线 AB 的垂直平分线方程为 y 一 直 =一t +2直2令 y = 0，得 x = 一直2， t +2直因为 x ε 一 t,0 ，所以 0 ＜ 直24AB ==＜ t ， 2=2 2·t = t ε,2 ,即线段 AB 长的范围是,2 ．2. （1） 由题意可知 2α = 2 ，则 α = ，设 P x 0,y 0 ，因为直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t，2y 0所以2×y 0=一 t，x 0+ 2 2 x 0一 222 所以 02+ y 2 = t ，所以 b = t ，2故椭圆 C 的方程 x2 + y 2 = t ；（2） 设直线 l ：y = 直 x + t ，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，直 x + t ,+ y 2 = t,得 2直2 + t x 2 + 4直2x + 2直2 一 2 = 0， 则 11 t 0，有 直2 + t t 0 解之得 直 ε R ，x + x =一4直22，x x =b 2 +c 2 22直2一2，2直2+tt + 直2t + 直222 x t x 2 x t — x 2 一 x t x x 2 + x t t 2 t 2 2则 y + y = 直 x + x + 2 = 2直，2直 +t2所以 AB 中点 Q 一2直2直2+t QN 直线方程为：y 一=一=一 t x 一2直，2直2+t2 直2直2+t所以 N 一直,0 ，由已知得 一 ＜一＜ 0，2直2+t所以 0 ＜ 2直2 ＜ t ，即 t＜t4＜ t ，2直2+t所以IABI = 22直2+t· 2= =2 2 2222= 因为 t＜tt+,＜ t ，2 2直2+t所以 IABI ε,2 ，故线段 AB 长的取值范围是,2 ．3. （1） 将 y 2 = x 代入 x 4 + y 2 = γ2 ，并化简得x 2 一 7x + tt 一 γ2 = 0, tt ①E 与 M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根 x t ,x 2 ．由此得11 = 一 7 2 一 4 tt 一 γ2 t 0, x t + x 2 = 7 t 0, x t x 2 = tt 一 γ2 t 0h解得又 γ t 0 ，所以 γ 的取值范围是 ,4 ht5 ＜ γ2 ＜ tt,4（2） 不妨设 E 与 M 的四个交点的坐标为：A x t , 则直线 AC,BD 的方程分别为,B x t , 一 y 一 = ,C x 2, 一 x 一 x,D x 2, h· x 一 x t ,解得点 P 的坐标为y + = 2 tx 2 一 x t· x 一 x t ,设 t = ，由 t =及（1）知,0 ht + 直2x t + x 2 2 一 4x t x 22 x t x 2 x t x 2 tt 一 γ2x t x270 ＜t＜h2x 22tS = 2 · 2 则S 2 = x t + x 2 + 2 + 2 ·x 2 一 x t ht + x 2 2 一 4x t x 2 h将 x t + x 2 = 7 ， = t 代入上式，并令 f t = S ，得f t = 7 + 2t 2 · 7 一 2t 0 ＜ t ＜h求导数，令 f' t = 0 ，解得f' t =一 2 2t + 7 tt 一 7 h7 7当 0 ＜ t ＜ 7时，t当 t = 7时，t当 7 ＜ t ＜ 7时，t = t 一 2舍去 hf ' t t 0㜵f ' t = 0㜵t2f ' t ＜ 0h故当且仅当 t = 7 时， f t 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P ,0 ．t4. （1） 因为 f' x = t一 2α，x t 0，x因为函数 y = f x 存在与直线 2x 一 y = 0 垂直的切线， 所以 f' x =一 t在 0, + CX) 上有解， 2即 t一 2α =一 t 在 0, + CX) 上有解，x 也即 x = 24α一t2 在 0, + CX) 上有解，所以24α一t t 0，得 α t t ，4故所求实数 α 的取值范围是CX) ． （2） 因为 g x = f x+ x = t x 2+ lnx 一 2αx ， 22因为 g ' x = x 一2αx +t x①当 一 t 三 α 三 t 时，g x 单调递增无极值点，不符合题意，②当 α t t 或 α ＜一 t 时，令 g' x = 0， 设 x 2 一 2αx + t = 0 的两根为 x t 和 x 2， 因为 x t 为函数 g x 的极大值点， 所以 0 ＜ x t ＜ x 2，又 x t x 2 = t ，x t + x 2 = 2α t 0， 所以 α t t ，0 ＜ x t ＜ t ， 所以 g ' x =x t 2一2αx t +t= 0，x t x t x 2 x t x 232 2则 α =x t 2+t ， 2x t 要证明 lnxt + tt α，x tx t2只需要证明 x t lnx t + t t αx t 2， 因为x t lnx t + t 一 αx t 2 = x t lnx t 一 x t 3+xt2 =一 x t3 一 tx + x lnx + t,0 ＜ x ＜ t,2 2 tt t t令 h x=一 t x 3 一 tx + xlnx + t ，x ε 0,t ，22所以 h' x =一 3 x 2 + t，2 2 记 P x =一3 x 2 + t+ lnx ，x ε 0,t ，222 则 P ' x =一 3x + t=t 一3x ，x x当 0 ＜ x ＜ 3 时，h' x t 0， 3当 3＜ x ＜ t 时，h' x ＜ 0，3 所以 h x max = h所以 h' x ＜ 0，=一 t + ln＜ 0，3所以 h x 在 0,t 上单调递减， 所以 h x t h t = 0，原题得证． 5. （1） 设 F t 一 c,0 ，F 2c,0 ，=, 所以2一 c = 2 一 t, α = 2,c = t, 所以 b 2 = α2 一 c 2 = t ，2所以椭圆方程为 x2 + y 2 = t ．（2） 当直线 l 斜率存在时：设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，直线 l 为：y = 直 x 一 t ， 2代入 x2 得：x 2+ y 2 = t ，+ 直2 x 一 t 2 = t ，整理得： t + 2直2 x 2 一 4直2x + 2直2 一 2 =0， 由题意 11 t 0，4直22直2一2所以 x t + x 2 = 2直2+t ，x t x 2 = 2直2+t ， 所以232 2 22 2 F t M· F t N = x t + t,y t · x 2 + t,y 2= xt x 2 + x t + x 2 + t +直2 x t 一 t x 2一 t= t + 直2 x t x 2 + t 一 直2 x t + x 2 + t + 直2 2 2= t + 直 2 + t 一 直t + 直2 = 7直 一t2直2+t2直2+t2直2+t直2+t 一t= 222直2+tt= 7一22,2直2+t因为 t + 2直2 2: t ，所以 F t M · F t N ε 一当直线 l + y 2 = t, y =± 2 ，所以 M t,N t, 一所以 F t M · F t N = 2,综上，F t M · F t N ε 一 t , · 2, 7 ．2 = 7，2 6. （1） 依题意， t+t= t ，c= t，α2 = b 2 + c 2，解得 α = 2，b = ，c = t ，故椭圆 C 的标准方程为 x +yα2= t ．4b 2 α 243 （2） 依题意，直线 PQ 过,0 ．①当直线 PQ 的斜率不为 0 时，可设其方程为 x = my + t ， 2= my + t,联立2+ y = t, 3消去 x 得 4 3m 2 + 4 y 2 + t2my 一 45 = 0，3m3m设点 P x t ,y t ，Q x 2,y 2 ，R x 0,y 0 ，直线 AR 的斜率为 直，故 y t + y 2 =一 3m 2+4，y 0 =一 当 m = 0 时，直 = 0，当 m 芋 0 时，直 = t，4m+ 4因为 4m +4= 4 m + 4m 2: 8，故 0 ＜t三 t，mm4 m + 48m当且仅当 4 m = 4，即 m = t 时等号成立． m 故 0 ＜ 直 三 t，故 一 t直 三 t直 芋 0．888②当直线 PQ 的斜率为 0 时，线段 PQ 的中点 R 与坐标原点重合，AR 的斜率为 0． 综上所述，直线 AR 的斜率的取值范围为 一 t , t．8 8227. （1） 因为椭圆 E ：x+ yα2 b 2= t α t b t 0 与直线 x + 2y 一 4 = 0 相切， 联立 2x + 2y 一 4 = 0, b 2x 2 + α2y 2 = α2b 2, 整理得 b 2 + t α2 x 2 一 2 2α2x + 4α2 一 α2b 2 = 0，2t2 m 一 2 2 + η22 2 2 2因为椭圆 E ：x + y = t α t b t 0 过点 ,t ，所以 2 + t= t , tt ② α2 b 2 α2 b 2 由 ①② 得 α2 = 4，b 2 = 2， 所以椭圆 E 的方程：x+ y 42= t ．（2） 由（t ）得 M 一 2,0 ，N 2,0 ，设 P m,η ， 因为 IPMI ，IP0I ，IPNI 成等比数列， 所以2IP0I 2 = IPNI · IPMI t m 2 + η2 =· t m 2 = η2 + 2, 因为 P M = 一 2 一 m, 一 η ，P N = 2 一 m, 一 η ，所以 P M · P N = m 2 + η2 一 4 = 2η2 一 2． 因为 P 在椭圆 E 内部，所以 0 三 η2 ＜ 2， 所以 一 2 三 P M · P N ＜ 2． 即 P M · P N 的取值范围为 一 2,2 ． 8. （1） 由题意，得一 b 2 = 3, 3解得 α = 2，b = t ．2 所以椭圆 C 的方程是 x 4+ y 2 = t ． + 4b 2= t, （2） 由直 x 一 t ,消去 y ，得+ y 2 = t,设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则有t + 4直2 x 2 一 8直2x + 4直2 一 4 = 0h8直2x t + x 2 = t + 4直2 , 4直2 一 4 x t x 2 = t + 4直2 ,从而线段 AB 的中点坐标为一 2直y t + y 2 = 直 x t + x 2 一 2 =t + 4直2h于是，线段 AB 的垂直平分线方程为y 一一 直t + 4直2 =, m + 2 2 + η2令y = 0，则得,0 ，又点P t,0 ，所以3 3 3根据弦长公式，得PQ = t 一3直2t + 4直2t + 直2 = t + 4直2 hAB=从而IABI IPQI = 4 t + 直2 t + 3直2 t + 4直2t + 直2t + 4直2由 直 芋 0，得 t ＜ 3 一 2t +直2＜ 3． 因此，IABI 的取值范围为 4,4 ．IPQI9. （1） 易知 α = 2，b = t ，c = 设 P x,y ，则，所以F t 一 ,0 ，F 2 ,0 ，P F t · P F 2 = 一 3 一 x, 一 y · = x 2 + y 2 一 3x 2— x , 一 y= x 2 + t 一 4 32 一 8 h 因为 x ε 一 2,2 ，故当 x = 0，即点 P 为椭圆短轴端点时，P F t · P F 2 有最小值 一 2；当 x =± 2，即点 P 为椭圆长轴端点时，P F t · P F 2 有最大值 t ．（2） 显然直线 x = 0 不满足题设条件，可设直线 l 2y = 直x + 2，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，联立直x + 2, + y 2 = t, 消去 y ，整理得 直2由 11 = 4直 2 一 4 直2 x 2 + 4直x + 3 = 0，所以 4直 x t + x 2 =一 直2 + × 3 = 4直2 一 3 t 0 得t ,x t · x 2 = 43t h 直2 +43 333 32+ 一直 +t t 0，即 直 ＜ 4，所以 10. （1） 椭圆 E 的方程可以写成 x2 t22又0o ＜ LA0B ＜ t0o ¢=> cosLA0B t 0¢=> 0 A · 0 B t 0,所以0 A · 0B = x t x 2 + y t y 2 t 0h 又y t y 2 = 直x t + 2 直x 2 + 2= 直2x t x 2+ 2直 x t + x 2 + 43直2= + 直2 + t 4 一 8直2+ 4 直2 + t4 一 直2 + t = t , 直2 +43 2 t t 直2+ 直2+一 2 ＜ 直 ＜ 2 tt ②故由①，②得一 2 ＜ 直 ＜一2或 ＜ 直 ＜ 2h22t + y 2 = t ，焦点 m,0 在 x 轴上，所以 α2 = t ，b 2 = t ，c 2 = α2 一 b 2 = t t = = 3，求得 m = t．mm4（2） 设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA ，BC ，设 A x t ,y t ，C x 2,y 2 ，显然 BA与 BC 不与坐标轴平行，且 直BA · 直BC =一 t ＜ 0． 所以可设直线 BA 的方程为 y = 直x + t 直 t 0 ，则直线 BC 的方程为 y =一 tx + t ，由mx 2 + y 2 = t,消去 y 得到 m + 直2 x 2 + 2直x = 0，所以 x = 一2直，求得 BA =m+直t 一 0 =直y = 直x + tBC=× x 2 一 0 因为 A ABC 为以 B 0,t 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 BA = BC ，22+t m 直3 一 直2 + 直 一 m = 0 t m 直3 一 m 一 直2 一 直 = 03 m+直m + 一2因为t m直3 一t 一直2 一直= 0t m 直一t 直2 + 直+ t 一直直一t = 02 2t 722所以直= t 或m直2 + m 一t 直+ m = 0，设f 直= m直2 + m 一t 直+ m．因为以B 0,t 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于直的方程m直2 + m 一t 直+ m = 0 有两个不同的正实根x t，x2，且不为t，f t 芋0 t m + m 一t + m 芋0 t m 芋t ,3x t+x2t0t一所以m一tmt 0 t 0 ＜ m ＜t,x t · x2 t 0 t t t 0,恒成立,11t0t11= m 一t2一4m2t0t一t＜ m ＜t,3所以实数m的取值范围是11. （1）由椭圆C 的焦距2c =2，解得c=t，因为点P t,所以tα2在椭圆C 上，= t，解得α2 = 4，b= 3，2 2所以椭圆C 的标准方程：x + y4 3= t．（2）设A x t,y t ，B x2,y2 ，= mx + t,联立+ y = t 得3 + 4m3x2 + 8tmx + 4t2一t2 = 0，11 = 8tm 2 一 4 3 + 4m2 4t2 一t2 t 0，化简得3 + 4m2 t t2．一8mt4t2一t2x t + x2 =3+4m2，x t x2 =3+4m2，假设0A· 0B= 0 成立，所以x t x2 + y t y2 = 0，x t x2 + mx t + t mx2 + t = 0，t + m2 x t x2 + tm x t + x2 + t2 = 0，化简得7t2 = t2 +t2m2，代入3 +4m2 t t2 中得t2 t 3．4因为7t2 = t2 + t2m2 2: t2，所以t2 2: t2，7即t 2: 2 2t，或t 三一2 2t．7 7所以存在实数t，使得0A· 0B= 0 成立，实数t 的取值范围为一 CX), 一12. （1）由题意可得t = c = 3，u , + C X) ．α3又圆0 的方程为x2 + y2 = b2，因为直线l2x 一y + 2 = 0 与圆0 相切，b = = ，由α2 = 3c2 = 3 α2 一 b2 ，即α2 = 3．23 33 一2 3直2t +直222 2 2 2 2 22 2所以椭圆 C 的方程为 x +y= t ．32 （2） 由（t ）得知圆的方程为 x 2 + y 2 = 2，A 一 ,0 ， 直线 m 的方程为：y = 直 x + ．设 R x t ,y t ，S x 2,y 2 ，x 2 + y 2 = 2, 由 y = 直 x + 得 t + 直2 x 2 + 23直2一2直2x + 3直2 一 2 = 0，x t + x 2 =，x t x 2 = t +直2 ， 由 11 = t 2直4 一 4 t + 直2 3直2 一 2 t 0 得一 因为 A 0RS 是钝角三角形，所以＜ 直 ＜ , tt ①0R · 0 S= x t x 2 + y t y 2= x t x 2 + 直2 x t += 4直 一2 ＜ 0h t +直2x 2 + 一 2＜ 直 ＜ 2 , tt ②22由 A ，R ，S 三点不共线，知 直 芋 0, tt ③由 ①，②，③，得直线 m 的斜率 直 的取值范围是 一 2,0 u 0,2 13. （1） 因为 f x t + g x 2 2: m ， 所以 f x t 2: m 一 g x 2 ，所以 f x t min 2: m 一 g x ， 所以 f 一 g x 2 max ， 当 x ε时，f' x t 0，函数 f x 在 0,π2上单调递增，所以 f x min = f 0 =一 t ， 因为 g x = x cosx 一 e x ， 所以 g' x = cosx 一 xsinx 一 因为 x ε 0, π2 e x ， 所以 0 三 cosx 三 t ，xsinx 2: 0， 所以 g' x ＜ 0，e x 2: ，所以函数 g x 在 0, π2 上单调递减，所以 g x max = g 0 =一 ， 所以 一 t 2: m + ，所以 m 三一 t 一 ， 所以实数 m 的取值范围为 一 C X), 一 t 一3 2 3 32 2（2）x t一t，要证：f x 一g x t 0，只要证f x t g x ，2x 2 2x 22 t 22 只要证 e x sinx + t x + t cosx ， 由于 sinx + xt 0，x + t t 0， 只要证ex+t t cosx ，sinx+ 2x下面证明 x t 一 t 时，不等式 ex+tt cosx sinx+ 2 成立， 令 h x =ex+t所以 h' x =，x t 一 t ，x t一 t ，当 x ε 一 t,0 时，h' x ＜ 0，h x 单调递减， 当 x ε 0, + CX) 时，h' x t 0，h x 单调递增，所以 h x min = h 0 = t ，令 直 = cosx ，其可看作点 A sinx,cosx 与点 B 一 ,0 连线的斜率，sinx+ 2所以直线 AB 的方程为 y = 直 x + ， 由于点 A 在圆 x 2 + y 2 = t 上， 所以直线 AB 与圆相交或相切，当直线 AB 与圆相切且切点在第二象限时，直线 AB 的斜率取得最大值为 t ， 所以当 x = 0 时，直 = 2＜ t = h 0 ，x 芋 0 时，h x t t 2: 直，2 综上所述，当 x t 一 t ，f x 一 g x t 0． 14. （1） 因为椭圆 C 过点 所以 t+ t= t h tt ①α24b 2 因为椭圆 C 关于直线 x = c 对称的图形过坐标原点， 所以 α = 2c ． 因为 α2 = b 2 + c 2， 所以 b 2 = 3α2, tt ②4 由 ①② 得 α2 = 4，b 2 = 3， 所以椭圆 C 的方程为 x +y= t ．4 3 （2） 依题意，直线 l ,0 且斜率不为零，故可设其方程为 x = my + t． = my + t,由2+ y= t32消去 x ，并整理得 4 3m 2 + 4 y 2 + t2my 一 45 = 0．设 E x t ,y t ，F x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ， 所以 y + y =一 ， 3m +4y t +y 2所以 y 0 =2=一 t 所以 x 0 = my 0 + 2 = 3m 2+4， 所以 直 = y 0 = m．x 0一24m 2+42 223t t+m 2mt + m 2 t + m 2 0 2② 当 m 芋 0 时，直 = t ，4m+4因为 4m +4m所以 0 ＜t4m+ 4m= 4 m + 4m三 t，82: 8，m所以 0 ＜ 直 三 t ，8 所以 一 t三 直 三 t 且 直 芋 0．8 8综合 ①② 可知，直线 MA 的斜率 直 的取值范围是 一 t , t．8 815. （1） 由已知可得：圆心到直线 x + y + b = 0 的距离为 t ， 即 b= t ，2 所以 b = ， 又椭圆 C 经过点所以 t+4= t ，得到 = ，α2 3b 2 22所以椭圆 C 的标准方程为 x + y32= t ．（2） 设 Q x 0,y 0 ，M x t ,y t ，N x 2,y 2 ， 0Q 的方程为 x = my ， 则 MN 的方程为 x = my +x = my, + y 2= t,22 x 2 =tm , 得2m 2+3 y 2 = t ,2m 2+3x 2 =即2tm 22m 2+3 ,ty 0 = 2m 2+3 ,所以 0Q =·y 022 由+ y = t, 得 2m2+ 3 y + 4my 一 4 = 0， 所以 11 t 0，解之得 m 为任意实数．4m4y t + y 2 = 2m 2+3，y t y 2 =一 2m 2+3， MN = t + m 2 · y t 一 y 2 =t + m 2 · y t + y 2 2 一 4y t y 2 ==4 3 2m t + m 22 2 2MN 0Q2 t32 2 2 t + t 28 2 t t 2t 2 + t 8 2 8 2s 8 2 2 t 所以== 2= 2= 2因为 t + m 2 2: t ， 所以 0 ＜tt+m 2即 2 ＜2 +t三 t ， 三 3，即 t 三 t t+m 2＜ t，3 2+ t2t+m 2所以2 t 三 3＜ 2，即 的取值范围为,2 ． 16. （1） 依题意得 2c = 4，则 F t 一 2,0 ，F 2 2,0 ； 所以椭圆 C t 与抛物线 C 2 的一个交点为 P 2, ， 于是 2α = IPF t I + IPF 2I = 4 又 α2 = b 2 + c 2，解得 b = 2．，从而 α = 2 ． x 2y 2所以椭圆 C t 的方程为 8 + 4= t ． （2） 依题意，直线 l 的斜率不为 0，设直线 l ：x = ty 一 2，x = ty 一 2, 由 y 2 = x, 消去 x 整理得 y 2 一 ty + 2 = 0， 由 11 = 一 t 2 一 8 ＜ 0 得 t 2 ＜8． x = ty 一 2,由 x 2 + 2y 2 = 8,消去 x 整理得 t 2 + 2 y 2 一 4ty 一 4 = 0， 4t4设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则 y t + y 2 = t 2+2，y t y 2 =一 t 2+2，所以IABI = Iyt 一 y 2I =4F 2 到直线 l 的距离tt 4 故 S AABF 2 = 2 IABId = 2令 = s ε t,3 ．则 S AABF 2 =t 2= s 2+t = s+εs，MN 0QMN 0Qt + t 2y t + y 22 一 4yt y 23 3 3 3332t 220 2 3 2 2217. （1） 设椭圆 C 的半焦距是 c ．依题意，得 c = t ．由题意焦距是椭圆 C 上一点 P 到两焦点 F t ，F 2 距离的等差中项，得 4c = 2α， 所以 α = 2，所以 b 2 = α2 一 c 2 = 3． 故椭圆 C 的方程为 x + y = t ．43 （2） 当 MN 1- x 轴时，显然 y 0 = 0．当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y = 直 x 一 t 直 芋0 ． 代入椭圆方程，消去 y 整理得 3 + 4直2 x 2 一 8直2x + 4 直2 一 3 = 0． 设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，线段 MN 的中点为 0 x 3,y 3 ，则 x + x = 8直2．3+4直 4直2一3直所以 x 3 = 3+4直2，y 3 = 直 x 3 一 t = 3+4直2， 所以线段 MN 的垂直平分线方程为 y +3直=一3+4直在上述方程中令 x = 0，得 y = 直= t． 3+4直当 直 ＜ 0 时，3+ 4直 三一 4直+4直直；当 直 t 0 时，3+ 4直 2: 4 ．直所以 一t2三 y 0 ＜ 0 或 0 ＜ y 0 三 t2． 综上，y 0 的取值范围是 一18. （1） 设动圆 P 的半径为 γ，则 P0t = γ + t ， P02 = 3 一 γ， 所以 P0t + P02 = 4，所以 P 的轨迹为椭圆，2α = 4，2c = 2， 所以 α = 2，c = t ，b = ，所以椭圆的方程为 x+ y 43= t x 芋一 2 ．（2） 设 M 点坐标为 x 0,y 0 ，直线 l t 的方程为 y = 直 x + 2 ， 代入 x +y= t ，可得， 3 + 4直2 x 2 + tt 直2x + tt 直2 一 t 2 = 0，4 3 tt 直2一t 2t 一8直2 x 0 × 一 2 =所以 AM =3+4直2 ，所以 x 0 =3+4直2，+ 2 = ，2同理 AN所以 S = t AM × AN = t× ，S2 2令 直2 + t = t t t ，S2直= 72 ，所以 Sε 0,t ．直19. （1） 由已知得直,= t ,t 2t +t 一tt2= b 2 + c 2h322220 022α = 2, 解得 b = 3,c = t h2 2 所以椭圆 E 的方程为 x + y43= t ．（2） 设直线 l 的方程为 y = 直x + m 直 芋 0 ，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ． y 2联立方程+ = t, 3直x + m h整理得 4直+ 3 x 2 + 8直mx + 4m 2 一 t2 = 0，此方程有两个不等实根， 所以 11 = 8直m 2 一 4 4直2 + 3 4m 2 一 t2 t 0， 整理得 4直2 一 m 2 + 3 t 0h tt ①x t +x 2 一4直m3m由根与系数的关系，可得线段 AB 的中点坐标 x 0,y 0 满足 x 0 = =，y = 直x + m = ，24直2+34直2+3所以 AB 的垂直平分线方程为 y 一3m4直2+3=此直线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为,0 ，由已知得 t一直m·一m = t， 2 4直2+34直2+3 tt整理得 m 2 =直 芋 0h tt ②将 ② 代入 ① 得 4直2 + 3 t 0，整理得 4直2 + 3 4直2 一 8 直 + 3 ＜ 0，直 芋 0，解得 t＜ 直 ＜ 3， 所以 直 的取值范围为 一 3, 222 20. （1） 设椭圆 C 的方程为 + = t α t b t 0 ，半焦距为 c ．依题意 t = c = t，由右焦点到右顶α2b 2α2点的距离为 t ，得 α 一 c = t ．解得所以 b 2 = α2 一 c 2 = 3．c = t ,α = 2h所以椭圆 C 的标准方程是 x +y= t ．4 3 （2） 存在直线 l ，使得 0 A + 20 B 理由如下： 直x + m , = 0A 一 20B 成立． 由+ y = t,得33 + 4直2 x 2 + 8直m x + 4m 2 一 t 2 = 0h 11 = 8直m 2 一4 3 + 4直2 4m 2 一 t2 t0,化简得 3 + 4直2 tm 2． 设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则8直mx t + x 2 =一 3 + 4直2 ,x t x2=22m 2一t 2 3 + 4直2h2若0A+20B=0A一20B成立，即0A+20B=0A一20B，等价于0A· 0B= 0．42 2t 2 2t 2 2t 73 3 3 38 3直2b4直3 3 3 3 3 02t2 22x t x 2 + y t y 2 = 0,即x t x 2 + 直x t + m 直x 2 + m = 0,亦即化简得t +直2 · 4m 2 一 t2 3 + 4直2一 直m · 8直m 3 + 4直2+ m 2 = 0, 7m 2 = t 2 + t 2直2h将 直2 = 7m 2 一 t 代入 3 + 4直2 t m 2 中，得t23 +4 2一 t t m 2,解得3 m 2 t h4又由 7m 2 = t 2 + t 2直2 2: t 2，m 2 2: t 2，从而 m 2 2: t 2，m 2: 或 m 三一 ．所以实数 m 的取值范围是7一 C X), 一 7 7 7u , + CX) h21. （1） 设 P x 0,y 0 ，A x t ,y t ，B 一 x t , 一 y t ， y 2 + 0 = t, 2一y 2则b 2 所以 y t =一 b． 2 2一x 2 α2y+= t,b 2x 0 t2一y 2 y 0一y t y 0+y t y 0 t t ，所以 b t ，因为 直PA · 直PB = x 一x· x +x = =一 x 2一x 4α2 = 4 0 t0 t0 t 所以椭圆 C 的离心率 t == 3．2（2） 因为 t = c = 3，所以 b = t， 所以 x α+ y = t ，c =2α2b ，焦点 F 一 b,0 ，4b 2b 2t设 M N 2y = 直 x 一 b ， 联立y = 直 x 一 3b ,得 4直2 + t x 2 一 8 x 2 + 4y 2 = 4b 2直2b x + t 2直2b 2 一 4b 2 = 0， t 2直2b 2一4b 2 2设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，则 x t + x 2 = ，x t x 2 =4直2+t，y t y 2 =直x t 一 b x 2 一 b =直2 x t x 2 一 b x t + x 2 + 3b 2 ， 所以 F t M · F t N ＜ 0，所以 x t + b,y t · x 2 + b,y 2= x t + 3bx t x 2 + b + y t y 22 2t 7 3。
全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)
1．（2020•上海）已知抛物线 y2＝x 上的动点 M（x0，y0），过 M 分别作两条直线交抛物 线于 P、Q 两点，交直线 x＝t 于 A、B 两点． （1）若点 M 纵坐标为 ，求 M 与焦点的距离； （2）若 t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB 为常数； （3）是否存在 t，使得 yA•yB＝1 且 yP•yQ 为常数？若存在，求出 t 的所有可能值， 若不存在，请说明理由．
试卷第 1 页，总 25 页
线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
21．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + ＝1 交于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣ ； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + ＝ ，证明：2| |＝| |+| |．
试卷第 10 页，总 25 页
点的圆． （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
试卷第 8 页，总 25 页
18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)
20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F1
试卷第 9 页，总 25 页
（﹣ ，0），F2（ ，0），圆 O 的直径为 F1F2． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程．
试卷第 1 页，总 25 页
线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
点的圆． （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
试卷第 8 页，总 25 页
18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
22．（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l： x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点． （1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离； （2）设 t＝3，|FQ|＝2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积； （3）设 t＝8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
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由．
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24. 椭圆 知 吐 t h h 果 果 的左右焦点分别为 h， ， 为椭圆短轴上的一个顶点， h 的
延长线与椭圆相交于 ． （1）求椭圆 的方程；
的周长为 ， h h
h．
（2）过椭圆 的左顶点 作椭圆 的两条互相垂直的弦 ， ，试问直线 是否恒过定点?
若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
h
h
表示；③不经过原点的直线都可以用方程 吐 t h h 表示；④经过定点 的直线都可以用方
程 h 吐 t 表示．其中真命题的个数是
A.
B. h
C.
D.
6. 已知圆 知吐 t h h，点 为直线 吐 ， ， 为切点，则直线 经过定点
A.
B.
h 上一动点，过点 向圆 引两条切线 ，
C. h h
（1）求椭圆 的方程； （2） 为直线 吐 h 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ， ， 为切点，问直
线 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
20. 已知椭圆 ：吐 t h h 果 果 经过点 h ，且离心率等于 ．
（1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 ， 交椭圆于 ， 两点，且满足
23. 在 平 面 直 角 坐 标 系 吐 中 ， 已 知 椭 圆 ： 吐 t h h 果 果 的 离 心 率 为 ． 且 过 点
h． （1）求椭圆 的方徎；
（2）动点 在直线 ：吐 h
上，过 作直线交椭圆 于 ， 两点，使得 h ，再
过 作直线
，直线 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理
28. 已知圆 知 吐 h t
h ，直线 知 t h 吐 t t h
h．
（1）求证：直线 恒过定点；
（2）（判断直线 被圆 截得的弦长何时最长，何时最短?并求截得的弦长最短时，求
以及最短长度．
的值
29. 已知抛物线 知 h h吐 h 果 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点 的直线 交
于另一点 ，交 吐 轴的正半轴于点 ，且有 h ．当点 的横坐标为 时，
【高中数学】解析几何定点问题通关 50 题（含答案）
1. 直线 吐 t h A.
h ，当 变动时，所有直线都经过定点
B. h
C. h
D. h
2. 直线 吐 A.
t h h ，当 变动时，所有直线都通过定点
B. h
C. h
D. h
3. 直线 吐 t A. h
t h h 经过一定点，则该定点的坐标是
25. 已知过点 h 的直线 与直线 ：吐 t t h 垂直．
（1）若
h h，且点
在函数
h
h h吐
的图象上，求直线
的一般式方程；
（2）若点 h 在直线 上，判断直线 吐 t h h t h t h 是否经过定点?若是，求出
该定点的坐标；否则，请说明理由．
26. 已知直线 知 h 吐
t
h t 恒过定点 ，圆 经过点 和点 ，且圆心
过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．
，试判断直线
是否
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21. 已知椭圆 知 吐 t h h 果 果 的两个焦点为 h ， h ．其短轴长是 ，原点
到过点 和
两点的直线的距离为 h．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 是定直线 吐 h 上的两个动点，且 h 点，并求定点的坐标．
为
正三角形．
（1）求 的方程；
（2）若直线 h∥ ，且 h 和 有且只有一个公共点 ，试问直线 出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
第 1页（共 39 页）
15. 直线 t 吐 t h 垂直的直线方程是
h h 经过的定点坐标为 ．
，经过此定点且与 吐
h
16. 已知直线 知 吐
为
．
h 上有一点 ，则它与两定点 h ， 的距离之差的最大值
17. 若直线 h知 h 吐 与直线 关于点 h 对称，则直线 恒过定点
．
18. 如果直线 吐
B. h
C. h
D. h
4. 已知过定点 的直线 与曲线 h
吐 相交于 ， 两点， 为坐标原点，当
的
面积最大时，直线 的倾斜角为
A. h
B. h
C. h
D.
5. 下列四个命题：①经过定点 吐 的直线都可以用方程
h 吐 吐 表示；②经过任意
两个不同的点 h 吐h h ， 吐 的直线都可以用方程 吐 吐h 吐 吐h h
h ，证明以 为直径的圆过定
22. 已知椭圆 吐 t h h 果 果 的离心率 h ，直线 h 吐 t 与圆 吐 t h 相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点 h ，若直线 h 吐 t
与椭圆相交于 ， 两点，试判断是否存在实
数 ，使得以 为直径的圆过定点 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
．
11. 直线 t h 吐 t h t h h t ，恒过定点
．
12. 若不论 取何值，直线 ： t h 吐 t t
h 恒过定点，则这个定点的坐标为
．
13. 已知直线 知 t h 吐 t
ht
h ，则直线恒过定点
．
14. 动直线 知 h 吐 t h t 经过的定点坐标为
公共点，则半径 的最小值是
．
，若直线 和圆 知吐 t h 恒有
在直线 吐 t h h 上．
（1）求定点 的坐标；
（2）求圆 的方程；
（3）已知点 为圆 直径的一个端点，若另一个端点为点 ，问：在 轴上是否存在一点
，使得
为直角三角形，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
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27. 已知抛物线 知 h 吐，直线 知吐 h h． （1）若曲线 上存在一点 ，它到 的距离与到坐标原点的距离相等，求 的坐标； （2）过直线 上任一点 作抛物线的两条切线，切点记为 ， ，求证：直线 过定点．
D. h
7. 若直线 h知 h 吐 A.
与直线 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于点 h 对称，则直线 恒过定点
B.
C.
D.
8. 已知直线 A.
h 吐t t B. h
h ，则当 变化时，所有直线都通过定点
C. h
D.
h
h h
9. 直线 h 吐 t t h 恒过一定点，则此定点为
．
10. 若直线 h： h 吐
与直线 关于点 h 对称，则直线 恒过定点
t h h 果 果 和函数 吐 h 吐th t h 果 h 的图象恒过同
一个定点，且该定点始终落在圆 吐 t h t t
h 的内部或圆上，那么 的取值
范围是
．
19. 左、右焦点分别为 h， 的椭圆 知 吐 t h h 果 果 经过点 ， 为椭圆上一点， h 的重心为 ，内心为 ， ∥ h ．