第07招 函数的奇偶性的判断和证明

【知识要点】
一、函数的奇偶性的定义
对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质
1、奇偶函数的定义域关于原点对称；
2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；
3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；
4、 奇函数在原点有定义时，必有
(0)0f =.
三、判断函数的奇偶性的方法
判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法
首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
2、和差判别法
对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.
3、 作商判别法
对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，()
1()
f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【方法讲评】
方法一 定义法
使用情景
具体函数和抽象函数都适用.
解题步骤
首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关
系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否
则是非奇非偶函数.
【例1】判断下列函数的奇偶性.
（1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1)
()22
x f x x -=--
【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简.
【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =⋅ 且(0)0f ≠
①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数
【解析】证明：①令0x y ==，则2
(0)(0)2[(0)]f f f += ∵(0)0f ≠ ∴(0)1f = ②令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +-=⋅ ∴()()f y f y -= ∴()y f x =是偶函数
【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如0-11、、等. 学科*网
【例3】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)
0()
0()(2
2x x x x x x x f 的奇偶性
【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.
【反馈检测1】已知1
212)(+-=x x x f
（1）判断)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的值域．
【反馈检测2】已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有
()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.
（1）证明函数()f x 是奇函数；（2）讨论函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性；
（3）设(1)1f =，若2
()21f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.
方法二 和差判别法
使用情景
一般与对数函数指数函数有关.
解答步骤
对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若
()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.
【例4】判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性.
【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简捷高效. 【反馈检测3】已知函数)10(2
2
log )(≠>+-=a a x x x f a
且. （1）求)(x f 的定义域； （2）判定)(x f 的奇偶性；
（3）是否存在实数a ，使得)(x f 的定义域为],[n m 时，值域为]1log ,1[log ++m n a a ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【例5】判断函数2
x
12x )x (g x +
-=
的奇偶性. 【解析】由题得0x ≠，因为12)12(x 2x 12x 2x 12x
)x (g )x (g x
x x x --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--- 0x x x =-=-，所以()()g x g x -=，所以)x (g 是偶函数.
【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差
判别法可以化繁为简，简洁高效.
方法三 作商判别法 使用情景
一般含有指数函数运算.
解答步骤
对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若
()
1()
f x f x =--，则()f x 是奇函数，()
1()
f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【例6】 证明函数)1a 0a (1
a 1
a )x (f x
x ≠>-+=，是奇函数.
【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作商判别法可以化繁为简，简捷高效.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第07讲：
函数的奇偶性的判断和证明参考答案
【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）}11|{<<-y y ．
【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）2m <-或2m >. 【反馈检测2详细解析】（1）因为有()()()f x y f x f y +=+，
令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，
令y x =-可得：(0)()()0,f f x f x =+-= 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数. （2）)(x f Θ是定义在[1,1]-上的奇函数，由题意设1211x x -≤<≤，则
212121()()()()()
f x f x f x f x f x x -=+-=-
由题意0x >时，有()0f x >，21()()f x f x ∴>
()f x ∴是在[1,1]-上为单调递增函数；
（3）因为()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，所以()f x 在[1,1]-上的最大值为1)1(=f ，
所以要使()f x <2
21m am -+，对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，
只要2211m am -+>，即2
20m am ->，
令22
()22g a m am am m =-=-+
由(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩ 得2
2
20
20
m m m m ⎧+>⎪⎨-+>⎪⎩，2m ∴<-或2m >.
【反馈检测3答案】（1）定义域为),2()2,(+∞⋃--∞；（2）)(x f 在定义域上为奇函数；（3）
)2
2
23,0(-∈a .
即m n 、是方程1log 2
2
log +=+-x x x a a
的两个实根，于是问题转化成关于x 的方程 ),2(02)12(2+∞=+-+在x a ax 上有两个不同的实数解.
令 ,2)12()(2
+-+=x a ax x g 则有：
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>=>--
>--=∆08)2(221
208)12(2a g a a a a ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧><-<+>⇒06122232223a a a a 或22230-<<∴a 10<<a 又 故存在这样的实数)2
2
23,
0(-∈a 符合题意.。