三点共线、四点共面的充要条件
数学高考复习名师精品教案：第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算
数学高考复习名师精品教案第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算课题：空间向量及其运算一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：1．,a b向量共线的充要条件： ；2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =，AD b = ，1A A c =，则下列向量中与BM等的向量是（ ）()A 1122a b c-++ ()B 1122a b c++()C 1122a b c--+ ()D c b a +-21212．有以下命题：A①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,a b c是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③3．下列命题正确的是 （ ）()A 若a 与b共线，b与c 共线，则a与c 共线；()B 向量,,a b c共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）()A OC OB OA OM ++= ()B OCOB OA OM--=2()C OCOB OA OM 3121++= ()D OCOB OA OM313131++=四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABCP -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BCPG ⊥GN ABCPM例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1） 用向量法证明H G F E ,,,四点共面； （2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4O M O A O B O C O D =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD-中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1A A 长为b ，且 1111120AAB AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。
如何证明三点共线的几何性质
如何证明三点共线的几何性质在几何学中，三点共线是一个基本的概念。
如果三个点在同一直线上，我们称这三个点为共线点。
证明三点共线的几何性质是学习几何学的重要内容之一。
本文将介绍如何证明三点共线的几何性质，包括点的投影、互相连接以及面积等方法。
一、点的投影证明法点的投影证明法是最基本的证明方法之一。
通过将每个点在同一直线上进行投影，如果它们的投影点重合，则说明这三个点共线。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C，连成线段 AB、AC。
2. 以 AB 为直线，将点 C 在 AB 上进行投影，得到点C′。
3. 以 AC 为直线，将点 B 在 AC 上进行投影，得到点B′。
4. 连接点B′ 和C′。
如果连接点B′C′和直线 AB 重合，则 A、B、C 三点共线。
否则，三点不共线。
二、互相连接证明法这种方法利用了三点的连线特点。
连接两点得到线段，同时如果这个点与另外两个点都连线，那么它们应该互相连接。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C。
2. 连接点 A 和 B，得到线段 AB。
3. 连接点 A 和 C，得到线段 AC。
4. 连接点 B 和 C，得到线段 BC。
5. 如果线段 AB、AC、BC 任意两个相交，那么这三个点 A、B、C 共线；如果它们不相交，则说明三个点不共线。
三、面积证明法这是一种用于证明三点共线的几何性质的可靠的证明方法。
根据向量积的定义，如果三个向量的向量积为零，则这三个向量共面。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C，连接成ΔABC，即三角形 ABC。
2. 按照任意顺序带入向量公式：2×ΔABC=AB×AC+AC×BC+BC×BA，其中，2×ΔABC 是三角形 ABC 的面积，AB×AC+AC×BC+BC×BA 就是向量积。
3. 如果向量积为零，即2×ΔABC=0，则这三个点 A、B、C 共线，否则不共线。
空间向量基本定理(1)
a
B’ M
D A B
C
共面向量: 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 共面向量
叫做共面向量. 叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的， 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 既可能共面， 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
则向量
不共线， 不共线
p 与向量
r a ，b
共面的充要条件是 共面的充要条件是
x,y使 存在实数对x,y 存在实数对x,y使
p = xα + yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 空间一点P ABC内的充要条件是存在有 空间一点 位于平面ABC
序实数对x,y使 序实数对x,y使 x,y
AP = x AB + y AC
rC b r A a B
u r p
P
对空间任一点O,有 对空间任一点O,有OP = OA + x AB + y AC O,
u r p
③
rC br A a B
P
O
填空：OP = (_____)OA + (____)OB + (____)OC 填空： 1-x-y x y
(1)共面，因为OB + OC − 2OA = 3OP − 3OA 即(OB − OA) + (OC − OA) = 3 AP 1 1 所以 AB + AC = 3 AP, 所以 AP = AB + AC 3 3 又 AB， 不共线，所以 AB， ， 共面且有公共点A AC AC AP 从而A, B, C , P四点共面。
证明四点共面的方法
证明四点共面的方法方法一：向量法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在向量的线性组合为0向量，即λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。
将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
方法二：行列式法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。
将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。
方法三：向量叉积法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即AB ×AC 与AD 共垂，或者AB ×AD 与AC 共垂，或者AC ×AD 与AB 共垂其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。
将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
2023年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(基础、典型、压轴)(解析版)
第10章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，∴空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件， 故选：A ．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱中，既与AB 共面，又与1CC 共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC ，DC ，1BB ，1AA ，11D C ，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1AB与1BC 所成角的大小为___________.【答案】60︒##3π 【分析】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB 且△1BDC 为等边三角形，即可知异面直线1AB 与1BC 所成角.【详解】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB ，∴1DC 与1BC 所成角即为异面直线1AB 与1BC 所成角，又△1BDC 为等边三角形，∴1DC 与1BC 所成角60︒，即异面直线1AB 与1BC 所成角为60︒.故答案为：60︒8．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2π 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，由已知ABCD 为正四面体，则ABC ，DBC △均为正三角形，所以AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，故BC AD ⊥，即直线BC 与直线AD 的夹角为2π， 故答案为：2π. 9．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α⊂，b β⊂，于是得直线a 和b 没有公共点，所以直线a 和b 是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a =故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与11B C 之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，得到11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11A B ⊥平面11ADD D ，11A B ⊥平面11BCC B ，因为1A D ⊂平面11ADD D ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，所以11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111A B =，所以异面直线1A D 与11B C 的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC 3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值 【答案】33【分析】取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.【详解】取BC 的中点D ，连结PD ，AD∵PB PC = ∴PD BC ⊥∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面即BC AD ⊥∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角∵6PB PC BC ===∴3PD 633==PA sin PDAPD ∠===P BC A --【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π, 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）若a 、b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距D ．可能存在平面α与直线a 、b 都垂直【答案】D 【分析】在A 中，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面内平行于b ；在B 中，反设过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，推出矛盾；在C 中，过异面直线a 、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，则//a b .【详解】在A 中，由于a 、b 是异面直线，把直线b 平移与直线a 相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在B 中，若过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，则//αβ，这与a αβ⋂=矛盾，所以，过直线a 最多只能作一个平面α与直线b 垂直，由a α⊂，可得b a ⊥，当直线a 与b 不垂直时，过直线a 不能作平面与直线b 垂直，B 选项正确；在C 中，由于a 、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面α与该公垂线垂直，这样的平面α有且只有一个，且这个平面α与直线a 、b 等距，C 选项正确；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//a b ，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题. 3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是 A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a 与b 成60°角，若//c a ，则c 与b 所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c 与b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,a b 异面，//c a ，∴c 与b 相交或异面.当c 与b 相交时，根据异面直线a 与b 所成角的概念可知c 与b 所成的角为60°角；当c 与b 异面时，自空间不在,,a b c 上的一点分别作,a b 的平行线//,//m a n b ,∵//c a ，∴//m c ,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n 所成的不超过直角的角既是异面直线a 与b 所成的角，又是异面直线c 与b 所成的角，根据异面直线a 与b 成60°角，故异面直线c 与b 所成的角为60°角.故答案为：60°. 5．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点． （1）求证：四边形B 1EDF 是菱形；（2）作出直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形B 1BGF 为平行四边形，四边形BEDG 为平行四边形，得到四边形B 1EDF 为平行四边形，再由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，得到四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点．【详解】（1）证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，如图1所示，则B 1B ∥FG ，B 1B ＝FG ，∴四边形B 1BGF 为平行四边形，则BG ∥B 1F ，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，且E ，G 分别为BC ，AD 的中点，可得BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE ，BG ＝DE ，则B 1F ∥DE ，且B 1F ＝DE ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形，由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，∴四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为______.【答案】3π 【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，如图，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠或其补角 ，22GF CF ==， 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形 故3GFC π∠=故答案为：3π 【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________． 【答案】4(0,]3； 【详解】由于,,,AB AP AB AC AB AP A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面APC ，1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅= ，在APC ∆ 中，4AP AC +=，要使APC ∆ 面积最大，只需0,90AP AC APC =∠=，APC S ∆的最大值为12222⨯⨯=，V 的最大值为142233⨯⨯=，该三棱锥的体积V 的取值范围是4(0,]3.。
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
竞赛中的向量和向量方法
向量和向量方法李智伟 林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1） 共线向量定理：()||≠⇔a b b 0存在唯一的实数λ使得λa =b ．（2） 平面向量基本定理：设向量12,e e 为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数对12,λλ使得1122λλ=+a e e ． （3） 若(,)OP OA OB λμλμ=+∈R ，则,,P A B 三点共线的充要条件是1λμ+=．定比分点公式：若点P 在直线AB 上，且AP PB λ= ，O 为任意一点，则1OA OB OP λλ+=+ ． （4） 对于向量1122(,),(,)x y x y =a =b ，121200x x y y ⊥⇔=⇔+= a b a b ．（5） 设,a b 为两个向量，则-≤±≤+a b a b a b ，≤a b a b ．（6） 空间向量基本定理：设向量123,,e e e 为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数组123,,λλλ使得112233λλλ=++a e e e ． 若(,,)OP OA OB OC λμυλμυ=++∈R ，则,,,P A B C 四点共面的充要条件是1λμυ++=．（7） 两向量的夹角公式：cos ,<>=a b a b a b；向量模长公式：=a 点A 到平面α的距离公式：d =a nn （其中a 是以点A 为起点，以平面α内任意一点为终点的一个向量，n 是平面α的一个法向量）．（8） 三角形中“四心”的向量形式： 重心：若G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= ； 垂心：若H 为ABC 的垂心，则(1)HA HB HB HC HC HA == ；(2) 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ；外心：若O 为ABC 的外心，则2211,22AO AB AB AO AC AC == ； 结合垂心有：OH OA OB OC =++ ； 内心：若I 为ABC 的内心，则0BC IA CA IB AB IC ++= ．B A OCDE 1图 B A OC2图 B 'C '二、赛题分析：§１几何中的运用 例1.（2004年全国高中联赛）设O 点在ABC 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC 的面积与AOC 的面积之比为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．53【分析及解答】思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量． 如图1，取BC 中点D ，AC 中点E ，则有2OB OC OD += ，2OA OC OE += ， 故232()0OA OB OC OA OC OB OC ++=+++= ， 即20OD OE += ， 所以O D E 、、三点共线且2OD OE =， 22232112.343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S ∴==⨯=⨯⨯= 故选C ．【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广．思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G 为三角形的重心的充要条件是0GA GB GC ++= ，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量． 如图2，延长,OB OC 到点B '和点C '，使得2,3OB OB OC OC ''== ， 故由已知有：0OA OB OC ''++= ， 即O 为AB C '' 的重心，所以,AOC C OB B OA S S S ''''==3,236,2,AOC AOC C OB COB COB B OA BOA S S S S S S S ''''==⨯== 又2131.3AOC COB BOA AOC ABC S S S S S ∴=∴= ::::,故选C ．【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广．【拓展】 命题：设P 点在ABC 的内部，则1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 成立的充要条件是123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ． 命题证明与思路2类似，设123,, PA PA PB PB PC PC λλλ'''=== ， 则0PA PB PC '''++= ，故P 为A B C ''' 的重心，,B PC C PA A PB S S S ''''''∴== 由233112,,,B PC BPC C PA CPA A PB APB S S S S S S λλλλλλ''''''===得123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ．推论１：设P 点在ABC 的内部，则0BPC CPA APB S PA S PB S PC ++= （*）． 对（*）可以有以下的理解： 由11sin ,,2211sin ,,(,,)2211sin ,.22BPC CPA APB S b c b c b c S c a c a c a PA a PB b PC c S a b a b a b =⨯=<>=⨯=<>====⨯=<> 其中 得0b c a c a b a b c ⨯+⨯+⨯=……………… （1） sin ,sin ,sin ,0a b c b c c a a b a b c<>+<>+<>= ...... （2） 若设123,,,a b c e e e a b c === 即123,,e e e 为平面内不共线的三个单位向量． （2）化为231312123sin ,sin ,sin ,0e e e e e e e e e <>+<>+<>= (3)注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明．推论２：设P 点在ABC 的内部，若1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= ，若(1)123::1:1:1λλλ=，则P 为ABC 的重心，反之也成立；(2)123::sin :sin :sin BPC CPA APB λλλ=∠∠∠，则P 为ABC 的外心，反之也成立； (3)123::::BC CA AB λλλ=，则P 为ABC 的内心，反之也成立；(4)123::tan :tan :tan A B C λλλ=，则P 为ABC 的垂心，反之也成立．注：由平面向量基本定理知，对于给定的ABC 内部的任意一点P ，1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 中的123::λλλ的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足3,7,11,9AB BC CD DA ==== ，则AC BD 的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个【分析及解答】题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：=a 来处理． 注意到222231113079+==+，由于0AB BC CD DA +++= ，22222()2()()则AD AB BC CD AB CD BC AB BC BC CD =++=+-+++222220AC BD AD AB CD BC ⇒=--+= 故AC BD 只有一个值0．故选A ．【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直．用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势．类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线．例3.（2006年全国高中联赛）已知ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC -≥ ，则ABC 的形状是（ ）A ．必为锐角三角形B ．必为钝角三角形C ．必为直角三角形D ．不确定【分析及解答】思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于t 的任意性，故可考虑取适当的t 将原式化为与向量相关的不等式． 令ABC α∠=，点A 作AD BC ⊥于D ，由BA tBC AC -≥22222BA t BA BC t BC AC ⇒-+≥ 令2BA BC t BC= 代入上式得： 2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥222sin BA AC α⇒≥ 222sin BA AC α⇒≥ 从而有AD AC ≥ ，由此得AC BC ⊥．故选C ．【说明】此处令2BA BC t BC= 的目的是化BC 为BA ，将两个向量的模长统一，由AD AC ≥ 结合距离的定义即得AC BC ⊥．思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直接考虑条件的几何意义来证明． BA tBC - （t ∈R ）的几何意义：表示以A 为终点，起点在直线BC 上的所有向量（如图3）． BA tBC AC -≥ 则说明AC 为这些向量的最小值， 故由距离最小性得AC BC ⊥，故选C ．图 3思路３：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代数问题求解． 由BA tBC AC -≥ 得(1)BA BC t BC AC ---≥ ，即(1)CA t BC AC --≥ ． 于是22(1)CA t BC AC --≥ ，2222222(1)(1)(1)(2)(1)0CA t CA BC t BC AC BC t CA BC t ⇒--+-≥⇒---≥ ,1t t ∈∴-∈R R ．所以关于1t -的二次不等式应满足 24()0BC AC ∆=≤ ，02BC AC C π⇒=⇒∠= ．故选C ． 【说明】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的同时，实质上也建立了代数上的关系（第二部分的内容会进一步说明向量在联系数形上的作用）．向量的模长公式=a 便是联系数形关系最常用的工具之一．例4.（2007年全国高中联赛）在AEF 中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2A BA E A C A F += ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于 ．【分析及解答】已知EF 与BC 的模长，求夹角，故可联系向量的夹角公式cos ,<>=a b a b a b来处理． 22()()22AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF AB AB BE AC AB AC BF +=⇒+++=⇒+++=21,11, AB AC AB BE BF ===-=- ， 1()12BF AC AB ∴+--= ． 故2BF BC = ． 设EF 与BC 的夹角为θ，即是BF 与BC 的夹角，则有cos 2BF BC θ= ， 得2cos 3θ=． 【说明】题中除了注意各边的长度外，转化条件2AB AE AC AF += 应是此题的关键，用向量拆分为与所求向量EF 与BC 相关的向量，再处理便显得得心应手了．§２代数中的运用例5.（2005年全国高中联赛）使关于xk ≥有解的实数k 的最大值是 ．【分析及解答】思路１：很容易发现此题就是要求函数y =的最大值，注意到(3)x -+ (6)3x -=为定值，故可以平方去根号（或用柯西不等式）处理．令y =36x ≤≤，则2(3)(6)2[(3)(6)]6,y x x x x =-+-+≤-+-=0y ∴<≤（ 4.5等于时取等x ）故实数k思路２：为了转化根号，可以考虑构造向量，从而将原问题化为和向量数量积相关的不等式．同思路１设定函数，设(1,1), ==p q，则 ==p q令p 和q 的夹角为θ，a b =则223a b +=，若向量p 和q 以原点为起点，则q 的终点(,)a b 应在以原点为圆心、半径为的14圆周上（第一象限内），则易判断[0,]4πθ∈（如图4），所以cosα∈， 故cosy θ==∈ p q p q ，实数k ． 【说明】用向量方法转化代数问题时有很强的构造性，须仔细研究代数式的结构再变形．值得一提的是，思路2只需运用重要不等式≤a b a b就能很快求出最大值（须验证取等条件），这里结合几何关系更进一步地确定了所求函数的范围，为求此类函数的值域提供了很好的思路．例6.（2009年全国高中联赛）求函数y =的最大和最小值．【分析及解答】和第5题相比，这里多了一个根号，故可以考虑将原问题转化为空间向量的数量积问题来处理．设==p q ，则 ==p q （其中013x ≤≤） 则11y =≤= p q p q ，当p 和q 共线时取等，即9(13)427x x x -==+，解得9x =，故当9x =时等号成立，故最大值为11．p q()q y x O 图 4又y ==13当0x =时等号成立，故最小值为．【说明】此类代数问题，构造向量，使复杂问题简单化，事半功倍．例7.（2005年全国高中联赛）过抛物线2y x =上的一点(1,1)A 作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1AE EC λ=；点F 在线段BC 上，满足2BF FCλ=，且121λλ+=，线段CD 与EF 交于点P ．当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．【分析及解答】先考虑P 点的形成，、B D 两点由A 确定，C 点运动时，、E F 随之运动，故而相交形成P 点，适合用相关点法求轨迹．又由于点、线较多，故考虑用向量转化可简化计算．过抛物线上点A 的切线斜率为 122x y x ='==，∴切线AB 的方程为21y x =-， 1(0,1),(,0)2B D ∴-，且D 是线段AB 的中点． 1211112222CD CA CB CE CF λλ++∴=+=+ ． 设(1)CP CE CF μμ=+- ，CD kCP = ， 则(1)CD k CE k CF μμ=+- ，由平面向量基本定理知：121,21(1),2k k λμλμ+⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩ 两式相加得32k =，即P 是ABC 的重心，设2000(,),(,)(1) P x y C x x x ≠， 则0022000112(),33311,33x x x x x x y +++⎧==≠⎪⎪⎨-++⎪==⎪⎩消去0x 得21(31)3y x =-， 故点P 的轨迹方程为212(31)(33y x x =-≠． 【说明】利用向量转化线段长度关系，通常可以联系定比分点公式．本题的解法主要运用了向量基本定理，给出同一向量的两种表示方式，对应系数应该相等．此外得到三角形重心后，便利用重心性质，使计算大大简化．三、归纳小结这里仅仅是对近年来联赛一试中的试题进行了探究，而二试中的平面几何和部分不等式均可以考虑用向量方法解决．希望这里的探究能给大家带来处理向量问题及向量方法解题的一些启示．众所周知，随着高中教材改革的深入，全国高中数学联赛以及各省市高中竞赛中对向量的考查将愈发灵活多变，比重也将愈来愈大．只有在充分熟知向量相关的各种性质的基础上，多去自发地运用向量知识解决几何和代数问题，自主地探究向量方法，才能在竞赛中处于优势地位．四、针对练习1.已知正三棱锥P ABC -的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心O 满足0OA OB OC ++= ，则这个正三棱锥的体积为 ．（2008年湖北省预赛试题）（提示：由条件得O 为底面三角形的重心即中心，然后求出高即可求得体积112P ABC V -=） 2.已知P 为ABC 内一点，且满足3450PA PB PC ++= ，那么，,,PAB PBC PCA 的面积比为 ．（2006年吉林省预赛试题）（提示：由例1思路2求解即可，注意比例顺序，答案为5:3:4） 3. ,,O A B 是平面上不共线三点，向量,OA OB == a b ，设P 为线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP = p ．若5,3==a b ，则()-p a b 的值是 ．（2008年河北省预赛试题）（提示：结合中垂线的性质证得1()()()2-=+- p a b a b a b 即可，结果为8） 4．已知,x y 都在区间(2,2)-内，且1xy =-，则函数224949u x y=+--的最小值为 ．（2003年全国联赛试题）（提示：构造向量==a b 其中2222,72(94)u x y ==-+a b ，利用≤a b a b 得2214414472(94)7212u x y xy≥≥-++ 125=） 5．如图6，已知抛物线2:4(0)C y px p =>，F 为C 的焦点，l 为准线，且l 与x 轴的交点为E ，过点F 任意作一条直线交抛物线C 于、A B 两点． 若(0)AF FB λλ=> ，求证：()EF EA EB λ⊥- ． （2006年陕西预赛试题第1问） （提示：利用抛物线定义，作出、A B 两点在准线上的投影点、A B ''，可证EA EB EA EB λλ''-=- ，又由()EF EA EB λ''⊥- 即得证）6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在右准线上，且满足111,()(0)OF OM FO PM OP OF OMλλ==+> ． （1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点12(0,),(0,)N B b B b -，点、A B 在双曲线上，且22()B A B B μμ=∈R ，当110B A B B = 时，求直线AB 的方程． （2007年辽宁省预赛试题） （提示：由111,()(0)OF OM FO PM OP OF OM λλ==+> 知四边形1PFOM 为菱形，利用图形性质可求出2e =；双曲线过点N ，可确定双曲线方程，故得12,B B 的坐标，22()B A B B μμ=∈R 说明2、、A B B 三点共线，设AB 的直线方程，结合110B A B B = 即11B A B B ⊥，可确定直线AB 的方程为3y =-）。
四点共面问题探究
空间四点共面充要条件的应用与探究平面上的三点共线与空间的四点共面，是平面向量与空间向量问题中的一类重要题型。
在高中数学人教A 版选修教材2-1《空间向量与立体几何》一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中更明确为充要条件。
因此有些老师在教学中就给出了如下的空间P 、A 、B 、C 、四点共面的充要条件：对于空间任意一点O ，存在实数x 、y 、z ，使得OC OB OA x OP z y ++=且x+y+z=1。
这个结论对于解决空间四点共面问题提供了很便捷的方法，例如：● 问题1：对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有OC OB OA OP 326++=，则 （ ）(A)O 、A 、B 、C 四点共面 (B) P 、A 、B 、C 四点共面(C) O 、P 、B 、C 四点共面 (D) O 、P 、A 、B 、C 五点共面 分析：由条件可以得到OC OB OA OP 213161++=，而1213161=++，则P 、A 、B 、C 四点共面。
●问题2：已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，OC OB OA x OM 3121++=，则x= 。
分析：由上面的充要条件很容易得到6131211x =--=。
● 问题3：在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别是AA 1、AB 、AD 上一点，且132AA AP =,AB AM 21=,AD AN 41=，对角线AC 1与平面PMN 交与点H ，求H 点分AC 1的比。
分析：因为P 、M 、N 、H 四点共面，则可设为AN z AM y AP AH ++=x ，且x+y+z=1 由已知，132AA AP =,AB AM 21=,AD AN 41=， 则AD z AB y AA AH 4232x 1++= 又A 、H 、C 1三点共线，则1AC AH λ= 而AD AB AA AC ++=11 所以，AD z AB y AA AH 4232x 1++=AD AB AA λλλ++=1 因为向量AD AB AA ，，1不共面， 则有：λ===4232z y x ， 所以λ23=x ，λ2=y ，λ4=z 又因为x+y+z=1， 所以λ23+λ2+λ4=1， 解得152=λ 所以，1152AC AH = 即：H 点分AC 1的比为2:13.AM C 1以上三个问题的解决都用到了课本中提到的四点共面的充要条件，思路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共面问题提供了一条重要的解题思路。
立体几何常见结论
立体几何常见结论1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）。
证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2。
空间直线。
(1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线:共面没有公共点;异面直线：不同在任一平面内,无公共点［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等。
（×)（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
(不在任何一个平面内的两条直线）（2). 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如右图）。
(直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离:公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交(共面）垂直和异面垂直.[注］：21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内。
高中数学基础知识大筛查(5)-平面向量
基础知识大筛查-平面向量概念与定理1、有关概念（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
2.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
3、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ= 当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。
4、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π时，，垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：a ∙b ，即a ∙b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
空间向量专题讲义一------小题题型突破
题型六：空间向量的综合类问题 1（多选）．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点 O ，有 OP = 1 OA + 1 OB + 1 OC ，则 P ， A ， B ， C 四点共面 632
C．设 a,b, c 是空间中的一组基底，则 a + b,b + c,c + a 也是空间的一组基底
1
→
AB−
2
→
AD
2 23
3、在空间四边形 ABCD 中，则 AB CD + AC DB + AD BC 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
4．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ，点 E, F 分别是 BC, AD 的中点，则 AE AF
的值为（ ）
A． a2
B． 1 a2 2
A．9
B．－9
C．－3
D．3
2/6
题型三、利用空间向量解决直线与平面的位置关系 ①直线与直线：注意直线与直线的垂直包括两类：共面垂直与异面垂直
异面直线之间的夹角
0,
2
，两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量共线
1．若两条不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为1 = (1, 0, -1) ， 2 = (−2, 0, 2) ，则 l1 和 l2 的位置关系是（ ）
2、空间向量坐标化
设 a = ( x1, y1, z1 ),b = ( x2, y2, z2 ).
向量表示
数量积
ab
共线
a = b(b 0)
垂直
( ) a b = 0 a 0,b 0
数学复习：共线向量与共面向量
数学复习：共线向量与共面向量学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面．导语我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下．一、空间向量共线的充要条件问题1平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb ，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．知识梳理1．对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa ，把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示．注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．(2)向量a ，b 共线时，表示向量a ，b 的两条有向线段不一定在同一条直线上．例1如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解方法一∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN→＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．方法二∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC→＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →)＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →.∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线．反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(2)判断或证明空间中的三点(如P ，A ，B )共线的方法：是否存在实数λ，使PA →＝λPB →.跟踪训练1(1)已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________.答案1解析由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以m ＝1－λ，n ＝λ，所以m ＋n ＝1.(2)如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD→＝12(CD →－CB →)－32CF ＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH上，∴四边形EFGH 是梯形．二、空间向量共面的充要条件问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面．问题3对两个不共线的空间向量a ，b ，如果p ＝x a ＋y b ，那么向量p 与向量a ，b 有什么位置关系？反过来，向量p 与向量a ，b 有什么位置关系时，p ＝x a ＋y b ?提示向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a＋y b .知识梳理1．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.2．共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b问题4对于不共线的三点A ，B ，C 和平面ABC 外的一点O ，空间一点P 满足关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则点P 在平面ABC 内的充要条件是什么？提示x ＋y ＋z ＝1.证明如下：(1)充分性∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→可变形为OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴点P 与A ，B ，C 共面．(2)必要性∵点P 在平面ABC 内，不共线的三点A ，B ，C ，∴存在有序实数对(m ，n )使AP →＝mAB →＋nAC →，OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，∴OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，又∵点O 在平面ABC 外，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，∴x ＋y ＋z ＝1.例2(1)(多选)对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是()A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC→C ．OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→D ．OP →＝2OA →－OB →－OC →答案BC 解析方法一A 选项，OP →＝OA →＋OB →＋OC →，不能转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，∴A 不正确；B 选项，∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面，故B 正确；C 选项，OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →.∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →，由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 选项正确；D 选项，OP →＝2OA →－OB →－OC →，无法转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，D 项不正确．方法二当点P 与A ，B ，C 共面时，对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x＋y ＋z ＝1，可判断出只有选项B ，C 符合要求．(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N ∈AC ，且AN ∶NC ＝2，求证：A 1，B ，N ，M 四点共面．证明设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则A 1B —→＝b －a ，∵M 为线段DD 1的中点，∴A 1M —→＝c －12a ，又∵AN ∶NC ＝2，∴AN →＝23AC →＝23(b ＋c )，∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(b ＋c )－a＝23(b －a )－12a ＝23A 1B —→＋23A 1M —→，∴A 1N —→，A 1B —→，A 1M —→为共面向量．又∵三向量有相同的起点A 1，∴A 1，B ，N ，M 四点共面．反思感悟向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明．①MP →＝xMA →＋yMB →；②对于空间任意一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对于空间任意一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)；④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．(2)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋y AC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．跟踪训练2已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．证明如图，连接EG ，BG .因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知向量EG →，EF →，EH →共面，即E ，F ，G ，H 四点共面．1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．(2)空间向量共面的充要条件．(3)三点共线、四点共面的证明方法．2．方法归纳：转化化归、类比．3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．对于空间的任意三个向量a ，b ,2a －b ，它们一定是()A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案A解析由向量共面定理可知，三个向量a ，b ,2a －b 为共面向量．2．(多选)下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是()A ．OM →＝3OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC→C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0答案AC解析A 选项中，3－1－1＝1，四点共面，C 选项中，MA →＝－MB →－MC →，∴点M ，A ，B ，C 共面．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为()A ．1B ．0C ．3D ．13答案D解析∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.4．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知AB →＝9a ＋m b ，BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m ＝________.答案－3解析因为BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b .所以BD →＝BC →＋CD→＝BC →－DC →＝－2a －b －(a －2b )＝－3a ＋b ，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即9a ＋m b ＝λ(－3a ＋b )．＝－3λ，＝λ，解得m ＝λ＝－3.练习1．下列命题中正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb答案C解析A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故A 错误；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B 错误；C 中，∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →，故C 正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb ，故D 错误．2．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是()A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D答案A解析∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则()A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对答案A解析因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .4．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则()A ．O ，A ，B ，C 四点必共面B ．P ，A ，B ，C 四点必共面C ．O ，P ，B ，C 四点必共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点必共面答案B解析由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，得OA →－OP →＝2(OP →－OB →)＋3(OP →－OC →)，即PA →＝2BP →＋3CP →.由共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面．5．(多选)在以下命题中，不正确的命题是()A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件C ．若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行D ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面答案BCD解析对于A ，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，A 正确；对于B ，若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故B 不正确；对于C ，由向量平行知C 不正确；对于D ，只有x ＋y ＋z ＝1时，才有P ，A ，B ，C 四点共面，故D 不正确．6．已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为()A ．13B ．－13C ．12D ．－12答案A解析PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴32－x －16＝1，解得x ＝13.7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R ，使得AB →＝λBD →.∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2，∵e 1，e 2不共线，＝2，＝－4λ，∴k ＝－8.8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”)答案平行解析设G 是AC 的中点，连接EG ，FG (图略)，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．9．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．解(1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 四点共面，即M 在平面ABC 内．10．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN→＋13AB BA →＋13DE ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．11．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.12．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y 等于()A ．56B ．76C ．53D ．73答案B解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，①又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，②联立①②，解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→，那么M 必()A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内答案C 解析PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋B 1A 1——→＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→，又11－6－4＝1，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面．14．已知a ＝3m －2n －4p (a ≠0)，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ＋y ＝________.答案－5解析∵a ∥b 且a ≠0，∴b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp ，又m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y －4，则x ＝－13，y ＝8，x ＋y ＝－5.15．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不同为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案0解析∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kBC →，∵AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →，∴OB →－OA →＝k (OC →－OB →)，化简整理得OA →－(k ＋1)OB →＋kOC →＝0，∵λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，∴①当k ＝－1时，比较系数得m ＝0且λ＝－n ，∴λ＋m ＋n ＝0；②当k ≠－1时，可得λ1＝m －k －1＝n k，得m ＝(－k －1)λ，n ＝kλ；由此可得λ＋m ＋n ＝λ＋(－k －1)λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m ＋n ＝0.16．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AG AH ＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解如图，连接BG .因为AB →＝PB →－PA →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－PA →.因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－PA→＝－PA →＋PB →＋PD →.因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－PA →，所以AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →.因为AGAH ＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3PB →＋m 3PD →.因为BG →＝－AB →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →，所以BG →＋m 3PD →.又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3＝0，m ＝34，即m 的值是34.。
19-20版 第3章 3.1 3.1.2 空间向量的基本定理
3．1.2 空间向量的基本定理学习 目 标核 心 素 养1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点)3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.1.通过共线、共面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2.借助空间向量分解定理及任一空间向量可用一组基向量线性表示提升数学运算素养.1．共线向量定理与共面向量定理 (1)共线向量定理两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝xb . (2)向量共面的条件①向量a 平行于平面α的定义已知向量a ，作OA →＝a ，如果a 的基线OA 平行于平面α或在α内，则就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α.②共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量． ③共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb .2．空间向量分解定理 (1)空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.(2)基底如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量[答案] A2．给出的下列几个命题：①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[只有②为真命题．]3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．x＝y＝z＝0[若x≠0，则a＝－yx b＋zx c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y ＝z＝0.]向量共线问题【例1】 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．判定两向量共线就是寻找x 使a ＝xb (b ≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a ＝xb ，从而得a ∥b .1．如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形． [证明] ∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形.共面向量定理及应用试证：EF →与BC →、AD →共面．[解] 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，则EF →＝EA →＋AD →＋DF →， EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →， DF →＝－CF →，②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →.所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.2．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM .应用向量共面定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] ∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心， ∴M ，N ，Q ，R 为所在边的中点，顺次连接M ，N ，Q ，R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. ∵MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →)＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →) ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PF →－32PE →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PH →－32PE →＝EF →＋EH →.∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E ，F ，G ，H 四点共面.基底的判断及应用1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ [提示] 不唯一，不共面． 2．怎样理解空间向量基本定理？[提示] (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．(3)拓展：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面．【例3】 (1)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．(2)如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.[思路探究] (1)判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．(2)借助图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a ，b ，c 表示出来．[解] (1)假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面． 则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎨⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底． (2)AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BB ′→＋BC →)＝AB →＋12BB ′→＋12(AC →－AB →)＝b ＋12a ＋12(c －b )＝b ＋12a ＋12c －12b＝12a ＋12b ＋12c . AN →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′N → ＝AA ′→＋A ′B ′→＋12B ′C ′→＝a ＋b ＋12(A ′C ′→－A ′B ′→)＝a ＋b ＋12(c －b )＝a ＋12b ＋12c .1．(变换条件)若把本例3(2)中的AA ′→＝a 改为AC ′→＝a ，其他条件不变，则结果又是什么？[解] AM →＝AB →＋BM → ＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(AC ′→－AB →)＝b ＋12(a －b )＝12a ＋12b . AN →＝AC ′→＋C ′N → ＝AC ′→＋12C ′B ′→＝AC ′→－12B ′C ′→＝AC ′→－12(A ′C ′→－A ′B ′→)＝a －12(c －b )＝a ＋12b －12c .2.(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P 在线段AA ′上，且AP ＝2PA ′”，试用基底{a ，b ，c }表示向量MP →.[解] MP →＝MC ′→＋C ′A ′→＋A ′P → ＝12BC ′→－A ′C ′→－13AA ′→ ＝12(BB ′→＋BC →)－AC →－13AA ′→ ＝12[AA ′→＋(AC →－AB →)]－AC →－13AA ′→ ＝12(a ＋c －b )－c －13a ＝16a －12b －12c .用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．1．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A ，B ，M ，N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ， ∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ≠kc ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面与条件矛盾．∴d 与a ，b 不共面． 同理可证④也是正确的．]2．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →.] 4．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．13 [因为点M 在平面ABC 中，即M ，A ，B ，C 四点共面，所以x ＋13＋13＝1，即x ＝13.]课时分层作业(十九) 空间向量的基本定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中正确的个数是 ( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间任意一个向量p 存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .④若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 B [①中当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面．]2．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定 C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面，∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面，∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C.] 3．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .所以应选B.] 4．设O -ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 A [连接AG 1交BC 于E ，则E 为BC 中点， AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)． ∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)，∴OG ＝34OG 1，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.] 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] A 二、填空题6．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB →与CD →是共线向量； ②若A ，B ，C ，D 不在一直线上，则AB →与CD →不是共线向量；③若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ④若向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上． ①④ [①为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，向量AB →，CD →的方向相同或相反，因此AB →与CD →是共线向量；②为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB →，CD →的方向不确定，不能判断AB →与CD →是否为共线向量；③为假命题，因为AB →，CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为AB →，AC →两个向量所在的直线有公共点A ，且AB →与AC →是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故填①④.]7．已知空间的一个基阿底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]8．如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1 [DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →， 所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1.]三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. 因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， 所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎨⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立， 所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 10．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.[解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . [能力提升练]1.如图，空间四边形ABCD 中，点G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，则AG →＋13BE →＋12CA →的化简结果为( )A.AF →B.AH →C.AE →D.CF →A [∵G 是△BCD 的重心， ∴|GE →|＝13|BE →|，∴GE →＝13BE →.又EF →＝12CA →，∴AG →＋13BE →＝AG →＋GE →＝AE →，AE →＋EF →＝AF →，从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.设AB →＝a ，AD→＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →为________．－13a ＋13b ＋13c [如图所示，连接AN ， 则MN →＝AN →－AM → ＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .]。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解3---空间向量基本定理
高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.2 空间向量基本定理【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k使得a＝x i＋y j＋z k. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|.(2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点三 求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（2021·云南师大附中高二期中）已知{},,a b c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ） A ．,,a b b c +B ．,,a a b c -C ．,,a c b c a b ---D ．,,a b a b c ++3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ） A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 题型二：空间基底表示向量4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥O ABC -中，设,,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+ C ．111263a b c --D ．111263a b c ++5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（ ）A ．111322a b c ++B ．111322a b c -+ C ．111322a b c +-D ．111322a b c -++ 题型三：空间向量基本定理判断共面7．（2022·全国·高二）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++8．（2022·全国·高二）对空间任一点O 和不共线三点A ､B ､C ，能得到P ､A ､B ､C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．111236OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =++D ．以上都错9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P ，Q ，R ，S 共面的是（ ）A ．AP AQ AR AS →→→→=++B ．23AP AQ AR AS →→→→=++ C ．23AP AQ AR AS →→→→=+-D ．243AP AQ AR AS →→→→=-+ 题型四：空间向量共面求参数10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．－611．（2022·江苏·高二课时练习）已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（ ）．A ．1-B ．1C ．2-D ．212．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（ ） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=-D ．1330λ=-题型五：空间向量基本定理的应用13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数λ使得AP BC λ=，且(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，则62x y +的最小值为（ ）A ．4+．8C ．6．6+14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（ ） A ．已知,,a b c 是空间三个向量，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++ B ．若,C AB D 所在的直线是异面直线，则,C AB D 不共面 C ．若三个向量,,a b c 两两共面，则,,a b c 共面D ．已知A ，B ，C 三点不共线，若111236OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OC M OA =-+ C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OC A =-- 题型六：空间向量基本定理16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体'ABCD A B C D -'''.点E是上底面''''A B C D 的中心，取{,,}AB AD AA ' 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z的值.(1)BD x AD y AB z AA =+'+'; (2)AE x AD y AB z AA =+'+.【双基达标】一、单选题18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知M ，A ，B ，C 为空间中四点，任意三点不共线，且2OM OA xOB yOC =-++，若M ，A ，B ，C 四点共面，则x y +的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++D ．1OG =111888OA OB OC ++ 20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（ ）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC =++ C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x y z ++=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．323．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（ ） A ．521632a b c +-B ．121632a b c ---C ．121632a b c ++D ．521632a b c --+24．（2022·全国·高二课时练习）设x a b =+，y b c =+，z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,x y a b c ++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．425．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，2AG GE =，则GF =（ ）A ．1121332AB AC AA -+B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知BA ，BC ，BB '为三条不共面的线段，若23AC x AB yBC zC C ''=++，则x y z ++的值为（ ）． A ．1B ．76C ．56D ．11627．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底{},,a b c ，若m a b c =-+与n xa yb c =++共线，则x y +的值为（ ）． A ．2B ．2-C ．1D ．0【高分突破】一：单选题28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量a ，b ，c ，下列命题中正确的个数是（ ） ①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②若a ，b ，c 非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++；④若a ，b 不共线，向量(),,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 可以构成空间的一个基底. A ．0B ．1C ．2D ．329．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A C BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB yAA zAC =++，则x y z ++=（ ）A ．1B ．12C ．32D ．3430．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（ ） ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a b ∥；②若向量a b +，b c +，c a +是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底； ③{},,a b c 为空间一组基底，若()0,,xa yb zc x y z R ++=∈，则2220x y z ++=；④对于任意非零空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，若a b ∥，则312123aa ab b b ==．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、多选题31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，AA c '=．若CM MD '=，12A C A P ''=，则（ ）A ．a A C b c =++'B ．1122AM a b c =++C ．A ，P ，D 三点共线D ．A ，P ，M ，D 四点共面32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z ===B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面C ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+D ．a b +，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（ ）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n =C ．12m =-，1n =-D ．32m =，1n =35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（ ）A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ，b 是两个不共线的向量，且(c a b λμλ=+，R μ∈且0)λμ≠，则{a ，b ，}c 构成空间的一个基底D ．若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知{},,a b c 是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．存在不全为零的实数x ，y ，z ，使得0xa yb zc ++=B ．对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．在a ，b ，c 中，能与a b +，a b -构成空间另一个基底的只有cD ．不存在另一个基底{},,a b c '''，使得2323a b c a b c '''++=++37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（ ）A ．空间任意向量,a b 都是共面向量B ．已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则1t =-C ．在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若向量,,a b b c c a +++是空间一组基底，则,,a b c 也是空间的一组基底38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（ ）A ．111345OM OA OB OC =++B ．2MA MB MC =+C ．23OM OA OB OC =++D ．32MA MB MC =-三、填空题39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）40．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.41．（2022·全国·高二）已知,a b 是平面α上的两个向量，有以下命题：①平面α上任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；②若存在,R λμ∈，使0a b λμ+=，则0λμ==；③若,a b 不共线，则空间任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；④若,a b 不共线，且p 与,a b 共面，则都有(),p a b R λμλμ=+∈.请填上所有真命题的序号___________.42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC =，若DE OA OB OC αβγ=++，则αβγ++=________.43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，23ON OM =，设OA a =，,OB b OC c ==，则OP =________（用,,a b c 来表示）44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于_____________．45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，（1）a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件；（2）若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；（3）0a b ⋅=，0b c ⋅=，则a c =； （4）若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底； （5）()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．四、解答题46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．(1)试用OA ，OB ，OC 表示向量OG ；(2)若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值．47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．【答案详解】1．C【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C2．C【详解】由图形结合分析---,,a cbc a b三个向量共面，不构成基底，故选：C3．C选项A：由于()()2+--=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a a选项B：由于()()2++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a b选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +-三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底； 故选：C4．A【详解】连接,,OM ON 111()()()223MN ON OM OA OB OC CM OA OB OC CB =-=+-+=+--=11112112()()23263263OA OB OC OB OC OA OB OC a b c +---=+-=+-. 故选：A5．B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+， ∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+． 故选：B ．6．D【解析】【分析】利用空间向量的加法与减法可得出OM 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】()()21113232MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB =++=+-+=-+- 111322a b c =-++. 故选：D.7．D【解析】【分析】根据点P 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案.【详解】设OP xOA yOB zOC =++，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选：D.8．B【解析】【分析】证明出若OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-， 则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面； 对于B 选项，111236OP OA OB OC =++，1111236++=，P 、A 、B 、C 四点共面； 对于C 选项，1122OP OA OB OC =++，1112122++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面.故选：B.9．D【解析】【分析】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23RP RQ RS →→→=+，即得解. 【详解】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23AP AR AQ AR AS AR →→→→→→⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23RP RQ RS →→→=+，所以RP →，,RQ RS →→为共面向量， 故,,,P Q R S 四点共面. 故选：D . 10．D 【解析】 【分析】根据向量共面列方程，化简求得2m t +. 【详解】2111-≠-，所以,a b 不共线， 由于a ，b ，c 共面， 所以存在,x y ，使c xa yb =+， 即()()()21,2,22,,1,11,t x m y -=--+，()()(),,21,2,22,,t x x y x y y m -+-=-， ()()1,2,22,,2y t x y x x m y ---+=+，21222x y x y mx y t-+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，()()13123222x y m t mx y t =-⎧⎪=-⇒⋅-+⋅-=⎨⎪+=⎩， 即26m t +=-.故选：D 11．B 【解析】 【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-， 由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+， 即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-，所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B. 12．B 【解析】 【分析】由四点共面的充要可得21156λ++=，求解即可. 【详解】O 是平面ABC 外任意一点，且2156OM OA OB OC λ=++，若A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是21156λ++=，即1330λ=. 故选：B. 13．A 【解析】 【分析】根据向量的共面定理，得到2x y +=，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，存在非零实数λ使得AP BC λ=，可得//AP BC ，即,,,P A B C 四点共面， 因为(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，根据向量的共面定量，可得11x y -++=，即2x y +=，又由621621621()()(62)(84222y x x y x y x y x y +=⋅++=⋅+++≥+=+当且仅当62y x x y=时，即x =时，等号成立，所以62x y +的最小值为4+故选：A. 14．D 【解析】 【分析】对于A ，利用空间向量基本定理判断，对于B ，利用向量的定义判断，对于C ，举例判断，对于D ，共面向量定理判断 【详解】对于A ，若,,a b c 三个向量共面，在平面α，则空间中不在平面α的向量不能用,,a b c 表示，所以A 错误，对于B ，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当,C AB D 所在的直线是异面直线时，,C AB D 有可能共面，所以B 错误，对于C ，当三个向量,,a b c 两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C 错误，对于D ，因为A ，B ，C 三点不共线，111236OD OA OB OC =++，且1111236++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，所以D 正确， 故选：D 15．B 【解析】 【分析】证明出当1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则点M 、A 、B 、C 共面.然后逐项验证可得合适的选项. 【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-， 即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面. 对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面； 对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面； 对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面. 故选：B. 16．(1)1AC ； (2)12α=，14，34γ=. 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得1113244AB A MN AA D =++，进而即得. (1)∵1111ABCD A B C D -是平行六面体， ∴1111111AA BC AB AA BC A B AC ++=++= (2)∵MN =MB BN +11324DB BC =+()()11324AB AD AA AD =-++ 1113244AB AD AA =++，又1MN AB AD AA αβγ=++， ∴12α=，14，34γ=. 17．(1)1,1,1x y z ==-= (2)11,,122x y z === 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； （2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； (1)解：BD BA AA A D ''''=++，AD AB AA '=-+，又因为BD x AD y AB z AA =+'+'， 所以1,1,1x y z ==-=; (2)AE AA A D D E =+''''+，12AA AD DB ='++，()12AA AD AB AD =++-'， 1122AD AB AA =+'+， 又因为AE x AD y AB z AA =+'+， 所以11,,122x y z ===. 18．D 【解析】 【分析】根据四点共面结论：若,,,A B C D 四点共面，则OD aOA bOB cOC =++且1a b c ++=， 【详解】若M ，A ，B ，C 四点共面，则21x y -++=，则3x y += 故选：D ． 19．B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++ 故选：B 20．D 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭ 故选：D 21．D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断 【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面 故选：D 22．A 【解析】 【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可. 【详解】因为M 是PC 中点，()()()1122BM PM PB PC AB AP AC AP AB AP ∴=-=--=--- 1122AB AC AP =-++，又BM x AB y AC z AP =++， 111,,22x y z ∴=-==，∴0x y z ++=. 故选：A. 23．B 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解 【详解】因为E 为1CD 中点， 所以()()11111112222AE AD AC AA AD AD AB AA AD AB =+=+++=++ ()11333AC AF AF AC AD AB =⇒==+ 所以1111111213322632EF AF AE AD AB AA AD AB AB AD AA =-=+---=--- 即121362a b c EF =--- 故选：B 24．C 【解析】 【分析】以A 为顶点作AB a =，AD b =，1AA c =，作出平行六面体1111ABCD A B C D -，根据空间向量的加法法则作出，,,,x y z a b c ++，然后判断各组向量是否共面可得结论． 【详解】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =， 则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面， 因此可以作为空间的基底的有3组． 故选：C ．25．D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+-()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++， 故选：D ． 26．B 【解析】 【分析】根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解. 【详解】根据向量的加法法则可得AC AB BC CC AB BC C C '''=++=+-，又23AC x AB yBC zC C ''=++，且,,AB BC C C '不共面，所以 1 2=1 3=-1x y z =⎧⎪⎨⎪⎩，解得111,,23x y z ===-，所以1171236x y z ++=+-=. 故选：B. 27．D 【解析】 【分析】根据m 与n 共线，由()xa yb c z a b c ++=-+，即可求解. 【详解】因为m 与n 共线，空间的一组基底{},,a b c ， 所以()xa yb c z a b c ++=-+，所以,,1,x z y z z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=-⎩，所以x ＋y ＝0. 故选：D. 28．B 【解析】【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断. 【详解】若 a 与b ，b 与c 共线，0b = ，则不能判定a c λ= ， 故①错误；若非零向量,,a b c 共面，则向量c 可以在一个与,a b 组成的平面平行的平面上， 故②错误；,,a b c 不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；c a b λμ=+，∴ c 与,a b 共面，故,,a b c 不能组成一个基底，故④错误； 故选：C. 29．C 【解析】 【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案. 【详解】连接,AM AN 如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN =+∴ 11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++. 根据题意知1AG xAB yAA zAC =++.32x y z ∴++=. 故选：C. 30．C 【解析】 【分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④. 【详解】①：向量a b ，与空间任意向量都不能构成一个基底，则a 与b 共线或a 与b 其中有一个为零向量，所以//a b ，故①正确；②：由向量a b b c c a +++，，是空间一组基底，则空间中任意一个向量d ，存在唯一的实数组()x y z ，，使得d ()()()()()()x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++，所以a b c ，，也是空间一组基底，故②正确；③：由{}a b c ，，为空间一组基底，若0()xa yb zc x y z R ++=∈，，， 则0x y z ===，所以2220x y z ++=，故③正确；④：对于任意非零空间向量123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，若//a b ，则存在一个实数λ使得=a b λ，有112233a b a b a bλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，又123b b b ，，中可以有为0的，分式没有意义，故④错误. 故选：C 31．BD 【解析】 【分析】根据空间向量运算判断AB 选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD 选项的正确性. 【详解】A C AC AB AD a b c A A AA '=-=+-='+'-，A 选项错误. ()()11112222AM AC A AB AD AD a b c D AA =+=+++='++'，B 选项正确. 12A C A P ''=则P 是A C '的中点， ()()()111222c AP AC AA AB AD A b A a ''=+=++++=， c AD b AD AA ''=+=+，则不存在实数λ使AP AD λ'=，所以C 选项错误.()1112212122P a b c a b c b M AM AP AD +==⎛⎫=--= ⎪⎝++⎭+，由于,P M ∉直线AD ，所以,,,A P M D 四点共面，所以D 选项正确. 故选：BD 32．ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得. 【详解】∵a ，b ，c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，且两两共面､不共线， ∴若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，A 正确，B 正确；若存在x ，y 使得a xb yc =+，则a ，b ，c 共面，与已知矛盾，C 错误；设()()()22a b x b c y c a ya xb y x c +=-++=++-，则21,1,0,y x y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，∴a b +，b c -，2c a +不共面，D 正确. 故选：ABD. 33．ABC 【解析】 【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ； a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D. 【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=，故A 正确； 对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面， 即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值， 则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误. 故选：ABC. 34．CD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点， 所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=， 而12OP OA mOB nOC =+-，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能； 当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能， 故选：CD 35．ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误． 【详解】解：对于选项A ：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A 正确，对于选项B ：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底， 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面， 则已知的两个向量共线，所以选项B 正确， 对于选项C ：(c a b λμλ=+、R μ∈且λ、0)μ≠，∴a ，b，c 共面，不能构成基底，所以选项C 错误，对于选项D ：OA 、OB 、OC 共起点，若O 、A 、B 、C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D 正确， 故选：ABD ．36．BC【解析】【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得x y za b c，++=0{a，b，}c不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为{a，b，}c构成空间的一个基底，所以对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，)z，使得p xa yb zc=++，所以B对；对于C，因为2()()b a b a b=+--，=++-，2()()a ab a b所以a，b，不能与a b+，a b-构成空间另一个基底；又因为设x，y，z R∈若()()0++-+=x a b y a b zc⇒++-+=⇒===，x y a x y b zc x y z()()00所以c与a b+，a b-构成空间另一个基底；所以在a，b，c中，能与a b+，a b-构成空间另一个基底的只有c，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，++表示以O为顶点，以1a，2b，3c为相邻三边的长方体对角线，a b c23绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{a'，b'，}c'，都满足2323++='+'+'，所以D错误．a b c a b c故选：BC37．ACD【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，空间任意向量,a b 都是共面向量，所以A 正确；对于B ，已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++， 则211t ++=，解得2t =-，所以B 错误；对于C ，在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则()()2PA BC PB BA PC PB PB PC PB BA PC BA PB ⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ()2PB PC PB BA PB PB PC PB BA =⋅--⋅=⋅--0PB AC =⋅=，所以C 正确； 对于D ，因为向量,,,a b b c c a +++是空间一组基底，则对于空间任一向量()d x y z =，，，都存在实数m ，n ，p ，使得()()()()d x y z m a b n b c p c a ==+++++，，，即()()()d m p a m n b n p c =+++++，所以,,a b c 也是空间的一组基底，所以D 正确． 故选：ACD ．38．AC【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC 是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.39．1122a b c -++ 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA AC AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 故答案为：1122a b c -++.40．0【解析】 【分析】由2=PM MC 可得出BM 关于{},BP BC 的表达式，再利用空间向量的减法可求得x 、y 、z 的值，即可得解.【详解】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-， 所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++， 所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.41．④【解析】【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.【详解】对于①，若0a b ==，则对于平面内任意一个向量p ，无法得到(),p a b R λμλμ=+∈，①错误；对于②，若0a b ==，则,λμ为任意实数，②错误；对于③，若p 与,a b 不共面，则对于空间任意一个向量p ，无法得到p a b λμ=+(),R λμ∈，③错误；对于④，由平面向量基本定理可知④正确.故答案为：④.42．13-【解析】连接OD ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接OD∵四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC = ∴()2111232223DE OE OD OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+∴121223αβγ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴13αβγ++=-.故答案为：13-43．111444a b c ++【解析】【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.,,OA a OB b OC c ===，而M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，则1()2OM OB OC =+1122b c =+， 因AP ＝3PN ，23ON OM =，则33()44OP OA AP OA AN OA ON OA =+=+=+-132111443444OA OM a b c =+⋅=++， 所以111444OP a b c =++. 故答案为：111444a b c ++44．()12c a b -- 【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，则()11112222MN MB BO ON AB OB OC OB OA OB OC =++=-+=--+()11112222OC OA OB c a b =--=--， 所以MN 等于()12c a b --． 故答案为：()12c a b --. 45．（1）（4）【解析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．【详解】（1）若a b a b -=+，则a ，b 反向共线，即满足充分条件，但当非零向量a ，b 同向共线时，不存在a b a b -=+，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量a ，b 中有一个零向量，则存在无数个实数λ，使a b λ=，即（2）错误；（3）若0a b ⋅=，0b c ⋅=，说明a b ⊥，b c ⊥，不一定存在a c =，即（3）错误；（4）令()()a b b c c a λμ+=+++，则()a b a b c μλλμ+=+++，所以110λμλμ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，即a b +，b c +，c a +不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底，即（4）正确； （5）()()cos ,a b c a b c a b c a b ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，即（5）错误．命题（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．46．(1)111333OG OA OB OC =++(2)73【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得111()()333OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-，根据空间向量数量积的运算律及定。
专题07 三点共线与四点共面充要条件(解析版)
）
A． 1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【详解】解：依题意可得 A 、 B 、 D 三点共线，所以 OD OA 1 OB ，
又 A 关于点 O 的对称点为 C ，所以 OC OA ，
又 OD xOB yOC ，所以 OD xOB yOA ，
所以 y ， x 1 ，则 x y 1 1 .
如图空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x, y) ，使 AP x AB y AC ．
或者等价于：对空间任意一点 O ，空间一点 P 位于平面 ABC 内（ P, A, B,C 四点共面）的充要条件是存在
有序实数对 (x, y) ，使 OP OA x AB y AC ，该式称为空间平面 ABC 的向量表示式，由此可知，空间中
该平面外一点且
PA
5
PB
x PC
1
PD
，则实数
x
的值为（
）
3
3
A． 4 3
B． 1 3
C． 1 3
D． 4 3
【答案】C
【详解】解：因为空间 A ， B ， C ， D 四点共面，但任意三点不共线，
则可设 AB mAC nAD ，
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又点 P 在平面外，则 PB PA m(PC PA) n(PD PA) ，
2
3
3
33
所以 1 2 xy
1 (2x 6
y)
1
x
2 y
1 6
2
2
y x
4x y
1 6
2
2
2
y4x xy
4 3
，
当且仅当 x 3 ， y 3 时等号成立. 2