2.1.2换元微分法

注 因为 f ( x)dx 是关于x ，最后一步必须要回代，
还原到原来的变量. 注 第一换元法也称为凑微分法：
f ( x)dx
g(( x))( x)dx
g(( x))d( x) g(u)du G u C
G(( x)) C.
凑微分法1：
f (ax b)dx 1 f (ax b)d(ax b) 1 f (u)du.
1
x a
2
1 arctan x C.
a
a
例3 求
dx (a 0).
a2 x2
dx 1 dx
a2 x2 a
1
x a
2
d
x a
arcsin x C
1
x a
2
a
例4 求
dx x2 a2
(a 0).
解
dx x2 a2
1 2a
1 xa
1 xa
dx
1 2a
a
x2 a2
ln x a
x2 a2 a
C ln x
x2 a2 C1,
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
例9
求
dx ( x2 a2 )2
(a 0).
解
x a tan t,
|
t
|
π 2
,
dx ( x2 a2 )2
a sec2 t a4 sec4 t
xa
例
1
e
x
e
x
dx
1 1 exd
1 ex
ln 1 e x C.
x1
dx 2ln
x
.
有时，需要将被积函数作适当的恒等变形后，再用
凑微分法求不定积分．
凑微分法5： 有时需将
f
x
变形为 g
x
h
x,
g h
x x
然后观察 g x与h x的关系．例如
例1 tan xdx
sin cos
x x
dt
1 a3
cos2 tdt
1
2a3 (1 cos 2t)dt
x2 a2
x
1 2a 3
(t
sin
t
cos
t)
C
t a
1 2a 3
arctan
x a
ax x2 a2
C.
二、分部积分法
定理8.5 (分部积分法)
若u(x)与v(x)可导, 不定积分 u( x)v( x)dx存在, 则 u( x)v( x)dx 也存在, 且 u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
§2 换元积分法与分部积分法
一、换元积分法
定理8.4 (i) (第一换元积分法)
设 f ( x) 在 区间I 上有定义，( x)在区间J上可导，
且(J) I。并且
f ( x)dx F ( x) C.
换元u ( x )
则
f (( x))( x)dx f (u)du
回代
F(u) C F (( x)) C. (1)
解 (解法一)
sec
xdx
1 cos
x
dx
cos x cos2 x
dx
d(sin x 1 sin2
) x
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1 ln 2
1 sin x 1 sin x
C.
(解法二) sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x) sec x tan x
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
1
x a
2
C
例8 求
dx (a 0). x2 a2
解 设 x a sect, 0 t π , 2
x
dx a sect tan t dt
x2 a2
a tan t
t
sectdt ln | sect tan t | C
d( x a) xa
1 2a
d( x a) xa
1 2a
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
凑微分法7： 分子分母需同时乘以（除以）某个因子
xk ,ex ,sin x,cos x,1 sin x,1 cos x 等然后再凑微分.
例 求sec xdx.
简记为 udv uv vdu.
证 由 (u( x)v( x)) u( x)v( x) u( x)v( x) 或 u( x)v( x) (u( x)v( x)) u( x)v( x), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
注 分部积分的关键是把被积表达式 f ( x) 写成 u( x)v( x) 的形式，即如何选取 u,v.
ln
|
sec
x
tan
x
|
C
.
这两种解法所得结果只是形式上的不同，可以将
它们恒等变形后统一起来．
第二换元积分法
f (u)du f (( x))( x)dx g( x)dx G( x) C
G( 1(u)) C.
（最终不要忘记变量还原）．
注 由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理
条件的变换 u ( x)，从而使的不定积分 g(u)du
xsin x cos x C
类型2 x arctan xdx, x ln xdx, x arcsin xdx
选 v 为 x , u 分别取为 arctan x,ln x,arcsin x.
例13 x3 ln xdx.
解 u ln x,v x3,
u 1 ,v x4 , x4
x3 ln xdx 1 ( x4 ln x x3dx) 4 x4 (4ln x 1) C. 16
sin 5 x
8 dx
1 5
sin5
x
8d
5x
8
1 5
cos
5x
8
C
1
x2
e
1 x
dx
1
e xd
1 x
1
e x
C.
凑微分法3：
f sin xcos xdx f sin xd sin x. f cos xsin xdx f cos xd cos x. f tan xsec2 xdx f tan xd tan x. f cot xcsc2 xdx f cot xd cot x.
a
a
例 sin5x 8dx.
解
sin
5
x
8
dx
1 5
sin
5
x
8
d
5
x
8
1 令u5 x8
sin
udu
1
cos
u
C
回代
1
cos
5
x
8
C
.
5
5
5
凑微分法2：
xk1 f ( xk )dx 1 f ( xk )d ( xk ) 1 f (u)du.
k
k
xk
f (axk1
b)dx
k
1
1a
f (axk1
b)d (axk1
b).
例
1 x2
e
1 x
dx.
解
1
x2
e
1 x
dx
e
1
xd
1 x
令u 1 x
回代 1
eudu eu C e x C .
对换元积分法较熟练后，可以不写出换元变量
u x ，在计算时只需要把 x 视为一个整体
看作一个新的积分变量，可使书写简化. 例如上面几个例子可直接写成
（3）若被积函数含有 x2 a2 ，一般令 x a tan t.
例7 求 a2 x2dx (a 0).
解 设 x a sin t, | t | π , 2
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
例12 arctan xdx.
解
u
arctan
x,v
1, u
1
1 x2
,v
x,
arctan
xdx
x
arctan
x
1
x x2
dx
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C 2
注 分部积分法适用于两类函数乘积的积分，也适用
于单个反三角函数，单个对数函数的积分．
容易求出。那么如何选择变换呢？这往往与被积函数 的形式有关。 常用代换有无理代换,三角代换等.
1 无理代换
若被积函数是 x n1 , n2 x , , nk x 的无理式时,设n为
ni (1 i k) 的最小公倍数, 令 t n x即x t n.
例6
du u3u
6x5 x3x
2
dx
口诀 ：反对幂指三（谁在后先就选为 v ），
类型1 xn sin xdx, xn cos xdx, xne xdx
选 u xn,v 分别取为 sin x,cos x,e x
例11 求 x cos xdx.
解 u x,v cos x, u 1,v sin x
x cos xdx xsin x sin xdx
例
cos2
x
sin
xdx
cos2
xd
cos
x
1 3
cos3
x
C
.
凑微分法4：
f ex exdx f ex d ex .
f aex b e xdx 1 f ae x b d ae x b . a f ln x 1 dx f ln xd ln x. x
f a ln x b 1 dx 1 f a ln x bd a ln x b.
6
( x2 x 1 1 )dx x 1
x3 x2
6
3
2
x ln x 1 C
2 u 3 3 u 6 6 u 6ln 6 u 1 C
2 三角代换 （1）若被积函数含有 a2 x2 ，一般令 x a sin t （2）若被积函数含有 x2 a2 ，一般令 x asect
dx
(cos x) cos x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln
cos
x
C.
凑微分法6： 对于形似某种不定积分公式时，可通过
变形向其靠拢.
例2
求
dx a2 x2
(a 0).
分析：基本积分表中含有
1
1 x
2
dx,
本题目标向
1
1 x2dx 转化，怎么转化呢？
解
dx
a2 x2
1 a
d
x a