全等三角形期末复习

知识框图： 全等图形 特 殊 情 况 能够完全重合的图形 定义：
形状大小都相等 性质：
对应边、对应角相等 SSS 一 性质： 般 SAS 三 全等三角形 ASA 角 判定： 形 AAS 直角三角形 HL
角平分线性质及判定
性质：角平分线上的点到 距离相等 角两边 的
判定：到角的两边距离相等的点在 角平分线 上
一、全等三角形的基础知识
全等三角形的表示方法
A D
B
C
E
F
“全等”用符号“ ≌ “ ”
记作:△ABC≌△DEF 读作 :△ABC全等于△DEF
”来表示，读作 全等于 注意：书写全等式时要 求把对应顶点字 母放在对应的位 置上。
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
D
即BC=EF
教材P109 2如图， AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,CE=BF. 求证：AE=DF
C F
D
∵CE=BF ∴CE-FE=BF-EF 即CF=BE
E
A B
涉及角的等量关系
教材P120 3 如图，CD=CA, ∠1= ∠2,EC=BC,求证：DE=AB A D E
2
∵ ∠1= ∠2 ∴ ∠1+ ∠ECA= ∠2+ ∠ECA
２．已知：在平面直角坐标系中， A（0,3）， B（3，0）， C 点为 x轴上一点，从原点 O 出发以每秒1个单位的速度运动。 （1）若 C 点从原点沿 x 轴负方向运动，当t=1 时，连接 AC ，作 BE ⊥AC 于 E ，交y 轴于点 F ，求 AF 的长。
（2）若C 点沿x 轴正方向运动，当t =4 时，连接AC ，作BE ⊥ AC 于 E ，直 线 BE 交 y轴于 F ， 求S △ABC 。
（3）若C 点在线段AB上，恰使AC 平分 ∠OAB ，BE ⊥ AC 交 AC 的延长线 于E ，求证：AC=2BE 。
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过 点A，且BD⊥MN于D，CE⊥MN于E. （1）当直线MN绕点A旋转到图（1）的位置时， 求证：DE=BD+CE；
M D
小结:
1.在证明全等三角形或利用它证明线段或
角相等时,首先要寻找我们已经知道了什
么（从已知条件,公共边,公共角,对顶角
等隐含条件中找对应相等的边或角）,其
次要搞清我们还需要什么,而这一步我们
就要依照几个判定方法去思考了. 2.注意正确地书写证明格式(顺序和对应 关系).
2
1
变式三： 四边形ABCD中，BC<BA,AD=CD,BD 平分∠ ABC 求证：∠A+∠C=180°
双高型问题


基础训练:
１、如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D,BF⊥AC于点F,AD=BD,求证 BE=AC。
A
E B D
F C
2、如图所示，△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在 BE上截取BD=AC，在CF延长线 上截取CG=AB，试猜想AG 、 AD G 的位置关系和数量关系
N
C
F A B M
D P E
P116 3
如图，△ABC的∠B的平分线BD与∠C 的外角的平分线CE相交于点P. 求证： 点P到三边AB、BC、CA所在直线的距 离相等. N
A F E D
P B
C
M
全等三角形基础知识巩固练习： 1. 如图， AB=CD ， AC=BD ，则与∠ ACB 相 ∠DBC ，为什么？ 等的角是________ A B D C
知识梳理:
三角形全等判定方法3 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形
知识梳理:
全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。 用符号语言表达为： A D 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D （已知 ） C F AB=DE（已知 ） B E ∠B=∠E（已知 ） ∴ △ABC≌△DEF（ASA）
知识梳理:
A
E N
B 图（1）
C
变式练习 （2）当直线MN绕点A旋转到图（2）的位置时， （1）中的结论是否仍成立？若成立，请直接 给予回答；若不成立，请给出新的结论，并 说明理由； M A
D B
E 图（2） C
N
变式练习 （3）当直线MN绕点A旋转到图（3）的位置时， DE、BD、CE又有怎样的数量关系？请直接写 出这个关系，不需要说明理由. N A E B M D 图（3）
B C
典型习题:
5 (金华):如图, A,E,B,D在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC ∥ DF
(1)求证: ΔABC≌ΔDEF; A
E
F B
D
C
典型习题:
6 已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2, A
求证:∠B=∠D.
1
B
2
D
C
E
典型习题:
7 (昆明):如图,已知,AB=CD,
三角形全等判定方法4
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个
三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）
A
D
B
CF
E
知识梳理:
A
A
B C A
B
D
C
SSA不能 判定全等
B
D
直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. D A
在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF
20
cm．
角平分线性质应用
2.与相交的两条直线距离相等的点在（C）
A 一条直线上 B 一条射线上
C 两条互相垂直的直线上 D 以上都不对
角平分线性质应用
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 垂足是E,
若AB=15 cm，则△DBE的周长为 15 cm。
A
延长AE至F，使EF=AE
B
E
D
C
F
（3）如图，在△ABC中，BD=DC， ED⊥DF,求证：BE+CF＞EF
A
E
F
延长FD至G， 使GD=FD，再 连接EG，BG
C
B
D
G
2）、遇到角平分线时截长补短
（1）如图，在△ABC中，∠B=60°， △ABC的角平分线AD,CE交于点O.求证： AE+CD=AC
CE=DF,AE=BF,则AE∥DF吗?为什么?
A B C D F
E
典型习题:
8 (烟台):如图在 ΔABC中,
AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F, 若BF=AC,那么∠ABC的大小是( D ) A A.40° B.50° C.60° D.45° F E B C D
角平分线性质应用
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分 ∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是
（3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，
最小的边是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角是对应角；
A
全等三角形的性质:
D
B
C
E
F
1、全等三角形的对应边相等, 2、全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△DEF （已知）
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF （全等三角形的对应边相等）
△ABP≌△CEP
一题多变
变式一：已知：点P为∠EOF平分线上
点,PC⊥OE于C，点 A 、B 分别是射线 0E ,OF 上的点，且 ∠1+∠2=180° ， （1）当点 A 在OC 的延长线上时 求证：PA=PB 2
1 M
变式二：
（2）在（1）的条件下，
OA 、OB 、
OC之间的数量关系
Ａ
Ｄ
Ｅ
A字型（燕尾型）
教材P110 3
Ｃ
A D D
Ｂ
A
M型
教材P110 8 P105 2
C
B B
E
C
F
涉及线段等量Βιβλιοθήκη Baidu系的习题
A
C
B F
E
教材P111 11如图，点B、F、 C、E在一条直线上， FB=CE,AB∥ED，AC∥FD, 求证：AB=DE,AC=DF ∵FB=CE ∴FB+FC=CE+FC
全等三角形基础知识巩固练习：
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与 BE 相 交 于 点 O ， 且 AD=AE ， AB=AC 。 若 ∠ B=200 ， CD=5cm ， 则 ∠ C=______ 200 ， 5cm BE=_______.
B C D O E
A
典型习题:
3: (浙江)如图,点B在AE上,
C
角平分线性质的应用
P115 例
如图，△ABC的角平分线BM、CN 相交于点P. 求证：点P到三边AB、 BC、CA的距离相等.
A
N
D P
F M
B
E
C
P115 练习
如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD 与∠C的外角的平分线CE相交于点P. 求 证：点P到三边AB、BC、CA所在直线 的距离相等.
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）
知识梳理:
三角形全等判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等
（可以简写为“边边边”或“SSS”） A 。 用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 B D AB=DE BC=EF CA=FD E ∴ △ABC ≌△DEF（SSS） C
F
三角形全等判定方法2 两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等。(可以简写成“边角边”或 用符号语言表达为： “ SAS”) A D 在△ABC与△DEF中 AC=DF CF ∠C=∠F B E BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS）
A F E
D B C
变式应用：
2、在Rt △ABC中，AB=AC, ∠BAC=90 °, BD是∠ABC的平分线,CE垂直于BD的延长线 与E.求证：BD=2CE.
延伸拓展
１．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，A 、 B 两点的坐标分别为 A（m,0），B（0，n）,且 Im-n-3I+ 2n 6 =0，点 P 从点A 出发 ，以每秒1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点P的运动时 间为 t 秒。过点 P 作直线 AB 的垂线，垂足为D， 直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否 存在这样的点P，使△EOP≌ △AOB， 若存在，请 求出t 的值；若不存在，请说明理由。
∠CAB=∠DAB,要使ΔABC≌ΔABD, CBA= AC=AD DBA ∠ CBE= C=∠∠ D DBE 可补充的一个条件是∠
分析：现在我们已知 A→∠CAB=∠DAB S→ AB=AB(公共边) .
C
.
A
B
D
E
SAS
ASA
AAS
典型习题:
4 (湖南株洲):如图,AE=AD,要使 ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条 ∠ BEC ADB= ∠ AB=AC CD=BE B=∠ C AEC . 件 ∠BDC= E 分析:现在我们已知 S→ AE=AD A D A→∠A=∠A (公共角) . ASA SAS (CD=BE行吗?) AAS
D
A P C
O
E B
二、全等三角形常见的基本型
及辅助线
1、几种常见的全等三角形基本图形
A D
B
E
C
F
A B
平移
C E
D
几种常见的全等三角形基本图形
A B D C A
翻折
D
C
A
B E
C
B
D
几种常见的全等三角形基本图形
D
A A B E C O B
旋转
E
F
几种常见的全等三角形基本图形
组合
双高基本型
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距 离相等．
∵ OC平分∠AOB，
点P是OC上的任意一点， A PD⊥OA于D,PE⊥OB于E. D
∴ PD=PE
P O
C
E B
角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等 的点在角平分线上。
∵ PD=PE，PD⊥OA,PE⊥OB ∴ OC平分∠AOB，
A
E O
M
在AC上截取 AM=AE
C
B
D
（1）如图所示，已知BN平分∠ABC，P为 BN上一点，且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD, 求证：∠BAP+∠BCP=180° 解法一：过P做 PF⊥B A于F ,证明 △BPF≌△BPD △PFA≌△PDC
解法二：在BC上截取 BF=BA，连接PF,证明 △ABP≌△FBP △PDF≌△PDC 解法三：在BC延长线上 截取点E使CE=BA，连 接PE,证明 △BDP≌△EDP
AB=DE
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
B
CE
F
一边一锐角对应相等的两个直
角三角形全等。 两直角边对应相等的两个直角 三角形全等。
如果两个三角形有两边和其
中一边上的中线对应相等，那 么这两个三角形全等。 如果两个三角形有两个角和 其中一对等角的平分线相等， 那么这两个三角形全等。
B
1
C
∴ ∠BCA= ∠ECD
2、全等三角形中常见的辅助线
1）、遇过中点线段延长一倍
（1）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线， AB=4,AC=2，求AD的取值范围
A
延长AD至E，使 DE=AD
B D
C
E
（2）如图所示，D是△ABC的BC上的点， 且CD=AB,∠ADB=∠BAD，AE是 △ABD的中线，求证：AC=2AE