2018版高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定及性质模拟演练 文

2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定及性质模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·福州质检]“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是( )A．直线l与平面α内的任意一条直线垂直B．过直线l的任意一个平面与平面α垂直C．存在平行于直线l的直线与平面α垂直D．经过直线l的某一个平面与平面α垂直答案 D解析若直线l垂直于平面α，则经过直线l的某一个平面与平面α垂直，当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时，直线l垂直于平面α不一定成立，所以“经过直线l 的某一个平面与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件．故选D.2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.故选D.3．[2017·潍坊模拟]已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.则上述结论中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n，β斜交或n∥β，①不正确；∀n⊂β，m⊥n，②正确；∀n⊂α，m∥n或m，n相交或互为异面直线，③不正确；④正确．故选B.4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．A′C′ B．BDC．A′D′ D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.故选B.5．[2017·济南模拟]已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( )A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD答案 D解析A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD 不垂直，故选D.6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案 3解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．[2017·辽宁五校联考]假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC∥α；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)答案①③解析如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．8.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD ⊥平面BCD ；③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE . 答案 ③解析 由AB ＝CB ，AD ＝CD 知AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，从而AC ⊥平面BDE ，故③正确． 9．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .(1)求证：AD ⊥BM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥E －ADM 的体积与四棱锥D －ABCM 的体积之比为1∶3?解 (1)证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，∴AB 2＝AM 2＋BM 2∴BM ⊥AM .∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM .∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM .(2)当E 为DB 的中点时，V E －ADM ＝12V B －ADM ＝12V D －ABM ＝12×23V D －ABCM ＝13V D －ABCM ，∴E 为DB 的中点．10．[2017·长沙模拟]如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .证明(1)∵F为AB的中点，又知AB＝4，BC＝CD＝2，∴AF綊CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴CF∥AD.又∵ABCD－A1B1C1D1为直棱柱，∴C1C∥D1D.而FC∩C1C＝C，D1D∩DA＝D，∴平面ADD1A1∥平面C1CF.∵EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥面FCC1.(2)如图，连接D1C.在直四棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC.∵底面ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝2，F是棱AB的中点，∴CF＝AD＝BF＝2，∴△BCF为正三角形，∠BCF＝∠CFB＝60°，∠FCA＝∠FAC＝30°，∴AC⊥BC.又∵BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面BB1C1C.[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·青岛质检]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β答案 C解析对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.12．如图，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD ＝AB ＝1，∠BCD ＝45°，且BD ＝DC ＝ 2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A －BCD 的体积为22；③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD .其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案 B解析 设BD 的中点为E ，并连接AE ，如图所示．对于①，因为AB ＝AD ，所以AE ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，则AE ⊥平面BCD ，AE ⊥BC ，若AD ⊥BC ，则BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥BD 与题意不符，故①错；对于②，V A －BCD ＝13S △BCD ·AE ＝13×12×2×2×22＝26，故②错；对于③，因为AE ⊥平面BCD ，所以AE ⊥DC ，又CD ⊥BD ，BD ∩AE ＝E ，所以CD ⊥平面ABD ，故③正确；对于④，由③知，CD ⊥平面ABD ，所以CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ，故④正确．13．[2017·温州十校联考]如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12， 即线段B 1F 的长为12.14．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，且SA ＝AB ，点M 是SB 的中点，AN ⊥SC 且交SC 于点N .(1)求证：SC ⊥平面AMN ；(2)当AB ＝BC ＝1时，求三棱锥M －SAN 的体积． 解 (1)证明：因为SA ⊥底面ABC ，所以SA ⊥BC . 又BC ⊥AB ，AB ∩SA ＝A ，所以BC ⊥平面SAB . 又AM ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AM .又SA ＝AB ，M 为SB 的中点，所以AM ⊥SB . 又SB ∩BC ＝B ，所以AM ⊥平面SBC ，所以AM ⊥SC . 又AN ⊥SC ，AM ∩AN ＝A ，所以SC ⊥平面AMN . (2)因为SC ⊥平面AMN ，所以SN ⊥平面AMN . 而SA ＝AB ＝BC ＝1，所以AC ＝2，SC ＝ 3. 又AN ⊥SC ，所以AN ＝63，SN ＝33. 因为AM ⊥平面SBC ，所以AM ⊥MN . 而AM ＝22，所以MN ＝66， 所以S △AMN ＝12AM ×MN ＝12×22×66＝312.1 3S△AMN×SN＝13×312×33＝136.所以V三棱锥M－SAN＝V三棱锥S－AMN＝。