第一章 数学物理中的偏微分方程
第一章+数学物理方程概述
第一章 数学物理方程概述数学物理方程，其定义是研究反映物理规律的数学方程。
由于一般的物理量基本都具有多个变量()t z y x ,,,，因此，它所满足的微分方程属于偏微分方程。
本章的目的，归纳出几个常见物理问题对应的数学物理方程。
§1.1 常见数学物理方程的导出1.1.1 常见的几个偏微分方程波动方程：数学上称双曲型方程，表现为场的波动性。
热传导方程或扩散方程：数学上称抛物型方程，表现为不可逆的输运过程。
拉普拉斯（Laplace ）方程和泊松方程：数学上称椭圆型方程，表现为场的稳定分布。
()⎪⎩⎪⎨⎧−=∇=∇zy x u u ,,022ρ其中，算符z y x e ze y e x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇，∇⋅∇=∇=Δ2称为拉普拉斯算子。
直角坐标系下， ()xx u xux u =∂∂=∇222一维yy xx u u y uxu y x u +=∂∂+∂∂=∇22222),( 二维 ()zz yy xx u u u zuy u x u z y x u ++=∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222,, 三维1.1.2 常见数学物理方程的导出一、波动方程的导出1、弦的横振动如图1所示，一根拉紧的弦在平衡位置（x 轴）附近做横向微小振动()1<<α。
已知弦的线密度为ρ，作用于弦单位长度的外力为()t x F ,，方向垂直x 轴，弦上的张力为T ，()t x u ,表示弦上x 点在时刻t 的距离平衡位置的垂直位移。
推导弦横向振动所满足的方程。
图1 弦的横振动将弦上任意一小段()x x x Δ+,作为研究对象，由牛顿第二定律，小弦纵向和横向的运动方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅Δ=Δ+−=2211222211sin sin cos cos t ul l F T T T T ραααα由于弦的振动幅度比较小（α较小），所以有如下近似条件： T T T ==⇒≈=21111cos cos αα,T 为常数； x x u ∂∂=⇒==1111sin sin tan αααα，xx xuΔ+∂∂=2sin α；弦长x dx x u l xx xΔ≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=Δ∫Δ+21。
常微分方程与偏微分方程概论
f (x)
其中，a0,…,an均为常数。 先考虑齐次情形
n
am
m0
dmy dx m
0
n
令 y = elx 代入得
aml m 0
m0
解这个方程得
l = l1,…,ln
若 li≠lj , i ≠ j
方程通解为
n
y
cmelm x
m 1
若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解
h 1
y el j x
n1
bmm0ຫໍສະໝຸດ d mu dxmelx
f
(x)
G(x)
这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过 有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个 特解
y = y0(x)
则，原方程通解为
n
y y0 (x)
cmelm x
m 1
1.2 偏微分方程的导出与定解
1.2.1 偏微分方程的概念
未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函 数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方 程称为偏微分方程（数学物理方程）。
求解方程，可引入极坐标变换，令
u = 1∕r
则得到下面的二阶常系数线性微分方程：
d 2u
d 2
u
GM
m K
2
1 r
u
u0
cos
0
G
M
m K
u0 , 0是由初始条件确定的2个常数。
1.1.2 一些典型的常微分方程
一、可分离变量的方程 具有如下形式：
dy f ( x) g ( y)可转化为 dx
u(0, x, y, z) u0 (x, y, z)
u t
(0,
x,
y,
偏微分方程基础与求解方法
偏微分方程基础与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的一个分支，它描述了自然和物理现象中的变化规律。
本文将介绍偏微分方程的基础知识以及一些常见的求解方法。
一、偏微分方程简介偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
它在数学物理、工程学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
偏微分方程可以分为线性和非线性两大类，其中线性偏微分方程具有特殊的重要性。
二、偏微分方程的分类根据方程中出现的未知函数的阶数、方程中出现的偏导数阶数以及方程的性质，偏微分方程可分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶导数的方程，如线性传热方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶导数的方程，如拉普拉斯方程、扩散方程等。
3. 高阶偏微分方程：包含高于二阶导数的方程，如Schrodinger方程、Navier-Stokes方程等。
4. 椭圆型方程：二阶方程中的主对角项系数为常数，如拉普拉斯方程。
5. 抛物型方程：二阶方程中的主对角项系数只与一个自变量有关，如扩散方程。
6. 双曲型方程：二阶方程中的主对角项系数只与两个自变量有关，如波动方程。
三、常见的偏微分方程求解方法1. 分离变量法：适用于满足边界条件的简单情况，可将多变量的偏微分方程转化为多个单变量的常微分方程，从而解得原偏微分方程的解。
2. 特征线法：适用于一阶偏微分方程和某些二阶偏微分方程的求解，通过引入新的变量将原方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过适当的变换将原偏微分方程转化为常微分方程，再进行求解。
4. 矩阵法：适用于线性偏微分方程组的求解，将偏微分方程组转化为矩阵形式，利用线性代数的方法求解。
5. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，往往无法找到解析解，可以通过数值方法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
四、偏微分方程的应用偏微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
例如：1. 物理学：波动方程用于描述声波、光波等传播过程；热传导方程用于描述物体内部的温度分布。
数学物理方程
方程 uxx uyy A5ux B5uy C5u D5, 称为椭圆型方程的 标准形。
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122 a11a22 ，根据判别式判 断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11
(
dy dx
)
2
2a12
dy dx
a22
0
(2)
称为方程（1）的特征方
(2)当 0 时，特征线 (x, y) c. 令 (x, y), (x, y).
其中 (x, y)是与 (x, y)线性无关的任意函数，这样以, 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。
设这两个特征线方程的特征线为 (x, y) c1, (x, y) c2.
令 (x, y), (x, y).
第三步(1)当 0 时，令 (x, y), (x, y). 以 , 为 新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是, 的已知函数。
(3)若在(x0, y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 (x0, y0 ) 处为椭圆型方程。
例：波动方程 utt a2uxx f (x,t) a2 0 双曲型
热传导方程 ut a2uxx f (x,t) 0 抛物型
位势方程 uxx uyy f (x, y) 1
椭圆型
二、方程的标准形式
定义：方程
uxy A1ux B1uy C1u D1,
第一章 偏微分方程定解问题
定解问题
泛定方程
演化方程 稳定方程
线性边界条件 边界条件
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类边界条件 第二类 第三类
dS u1
u
(2) 第二类（Neumann）边界条件
VS
k u q(t ) n s
当q(t) 0（齐次，表示绝热）
热场
(3) 第三类（Robin）边界条件 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
h(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
h 热交换系数；u1 周围介质的温度, k为热传导系数
举例（设未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f ( y)
f 为任意函数
2. u a u 0 t x
x
t
1
a
(
)
作变量代换
x x at
a u 0
解为：u f (x at)
f 为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
2u
3.
0
xt
解为： u g(x) h(t)
数学物理方程主要内容
三种基本问题
初值问题 边值问题 混合问题
三种基本方程、 五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
通解法 行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法
叠加原理 齐次化原理
贝塞尔函数 勒让德函数
一些常见符号
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
chapter1_偏微分方程定解问题
.
(2)
若取 为齐次一阶线性偏微分方程
a ( x, y )
b ( x, y ) 0 x y
(3)
的解，则新方程 (2) 成为 (1) 型的方程
(a u b ) cu f x y
，
(Hale Waihona Puke ”)对 积分便可求出通解。 由于对 只要求它是 a( x, y)
1.2 定解问题及其适定性：
1.2.1 通解和特解
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如： 例 1.2.1：求解二阶偏微分方程
2u 0 ，u u ( , ) 。
解：两边依次对 ， 积分，得
u f ( ) g ( ) ，
对于任意C 1 ( R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
r
u x 2 y 2 等。
1.2.2 定解条件
方程的解中可以出现任意函数， 不能确定一个真实的运动， 这是因为在建立方程的过程中， 仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的 物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映 系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定 方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。 常见的定解条件有： 1. 初始条件：如果方程中关于时间自变量 t 的最高阶导数是 m 阶的，则
当n 时，初始条件一致趋于 0，但对任意固定的 y，当n 时，解u ( x, y ) 无界，因而解 不稳定。这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：
偏微分方程讲义
习题3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5 极坐标系下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 3.5.2 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . 周期边界条件问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv 3.6.3 3.6.4 3.6.5 Legendre方程的级数解、 Legendre多项式 . . . . . . . . . . . . . . Bessel方程的级数解、 Bessel函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 圆盘中热传导方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习题1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 线性偏微分方程的叠加原理，定解问题的适定性 1.5.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
习题3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法、球函数和柱函数 . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Bessel方程和Legendre方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . .
1 偏微分方程定解问题
(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很小。
建立坐标系：确立未知函数 研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻 牛顿运动定律： F=ma
2 u ( x, t ) dx u0 T t , x dx T t , x G t , x; dx 2 t T x dx g t , x dxu0
17
数学物理方程 翻译：对微元应用物理定律 dt时间内温度升高所需热量
第1章偏微分方程定解问题
Q Q流入 Q放出 u Q cdxdydz dt t
2u 2u 2 u Q流入 Q左右 Q上下 Q前后 k（ 2 2 2 )dtdxdydz x y z u u Q左右 k dtdydz k dtdydz x (t , x, y , z ) x (t , x dx, y , z ) 2u z k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q前后 k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q上下 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx
2 2u u 2 a f t, x 2 2 t x
ut 6uxux uxxx 0
(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
3
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
2u 2 2 a u f (t , x) ☆波动方程： 2 t
2 T2 u u u T2 T1 张力沿切线： T T12 T22 T1 1 T1 T1 x x x 由(1)得: T1 T1 t （T 与 x 无关）
数学物理方程
二、定解问题
1.初值问题（Cauchy问题） 只有泛定方程和初始条件的定解问题。 2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。 注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所 以不提初始条件）。 3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。
三、叠加原理
原理： 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加， 只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加 正好是原来的方程 如：L u1 = f1 L u2 = f2 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为 偏微分方程。
一般形式：
F ( x1 , x2 ,
, xn , u, ux , ux ,
1 2
, uxn , ux x
1 1
,
)0
以及
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 , u的有限个偏导数的已知函数。
这样方程变为
u ( x dx, t ) u ( x, t ) FT { } F ( x, t )dx dxutt , x x FT F ( x, t ) 2 令a , f ( x, t ) ,
则
utt a uxx f ( x, t )
2
为一维波动方程。
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (2)当 0 时，特征线 ( x, y) c. 令 ( x, y), ( x, y).
其中 ( x, y)是与 ( x, y)线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
偏微分方程基础知识
偏微分方程基础知识偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是研究多个变量与它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍偏微分方程的基础知识，包括定义、分类和基本解法。
一、定义偏微分方程是含有多个未知函数及其偏导数的方程。
一般形式为：F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn, ∂2u/∂x1^2,∂2u/∂x1∂x2, ..., ∂^2u/∂xn^2) = 0其中，u是未知函数，F是已知函数。
偏微分方程的求解即是找到满足该方程的函数u。
二、分类根据方程中各阶导数的最高次数以及未知函数的个数，偏微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
1. 常微分方程：当未知函数只含有一个变量，且方程中只出现一阶导数时，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为：F(x, u, du/dx) = 0常微分方程主要用于描述变化率与状态之间的关系，如物体的运动、电路中的电流等。
2. 偏微分方程：当未知函数含有多个变量，或者方程中含有高阶导数时，称为偏微分方程。
偏微分方程的一般形式为：F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn, ∂^2u/∂x1^2,∂^2u/∂x1∂x2, ..., ∂^2u/∂xn^2) = 0偏微分方程主要用于描述多变量之间的关系，如传热、波动方程等。
三、基本解法解偏微分方程的方法有很多种，以下介绍几种常见的基本解法。
1. 分离变量法：分离变量法适用于具有可分离变量形式的偏微分方程。
其核心思想是将未知函数分解为各个变量的乘积，再将方程变为对各个变量的常微分方程。
这种方法常用于求解热传导方程、波动方程等。
2. 特征线法：特征线法适用于具有特殊的特征线形式的偏微分方程。
其思想是将偏微分方程转化为常微分方程沿特征线方向的方程，并通过求解常微分方程来得到解。
偏微分方程基础知识
偏微分方程基础知识偏微分方程是数学中重要的分支，涉及到数学物理、工程学和应用数学等领域。
本文将介绍偏微分方程的基础知识，包括定义、分类、解的求解方法以及一些经典的例子。
一、定义偏微分方程是包含未知函数及其各个偏导数的方程，其一般形式可以表示为：F(x, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ...) = 0其中，u表示未知函数，x和y表示自变量，∂u/∂x和∂u/∂y表示偏导数。
偏微分方程可以是一阶的或高阶的，可以是线性的或非线性的。
二、分类根据方程的性质和特点，偏微分方程可以分为几个主要的分类：1. 抛物型方程：抛物型方程具有热传导、扩散等性质，常见的抛物型方程包括热传导方程和扩散方程。
2. 双曲型方程：双曲型方程具有波动、传播等性质，常见的双曲型方程包括波动方程和二维亥姆霍兹方程。
3. 椭圆型方程：椭圆型方程具有稳定、静态等性质，常见的椭圆型方程包括拉普拉斯方程和泊松方程。
三、解的求解方法解决偏微分方程的具体方法取决于方程的类型、边界条件和初值条件等因素。
以下是几种常见的解法：1. 分离变量法：适用于可分离变量的线性偏微分方程。
通过假设解为一系列函数的乘积形式，将偏微分方程化简为一系列常微分方程。
2. 特征线法：适用于一些特定的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些可变系数的二阶偏微分方程。
通过选取适当的特征线，将偏微分方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过引入适当的变量变换和新的坐标系，将原偏微分方程转化为更简单或标准形的方程，从而求解。
4. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，常常需要使用数值方法进行求解，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
四、经典的例子1. 热传导方程：描述热传导现象，一维热传导方程可以表示为∂u/∂t = α∂^2u/∂x^2，其中α为热扩散系数。
2. 波动方程：描述波动现象，一维波动方程可以表示为∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，其中c为波速。
偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出
nv
它所包围的区域记为 .
G
由热传导的 Fourier 实验定律知，
S
热场
在[t, t+dt] 时间内，流过曲面 ds 的热量 dQ 为
dQ
k
(x,
y,
z)
u
dsdt
k
u
v dSdt
n
24
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量，k为热传导系数。
故从t1 到t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1
其质量为 x, 所以由Newton第二定律知
T
sin
T sin
F (x,t)x
2u t 2
(x,t)x
17
因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程 中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有
（1）由于 cos 1 2 4 L
24
略去 , 的高于一次方的各项有
cos cos 1.
（2）
sin tg u (x,t)
t2
t1
c
u t
(
x,
y,
z,
t)dxdydz
dt
其中c为比热， 为质量密度。
由能量守恒定律，有
Q1 Q2.
26
由Gauss公式有
S
k
u n
dS
S
ku
v dS
ku
dxdydz
kudxdydz.
故有
t2
t1
c
u t
dxdydz
dt
t2
t1
kudxdydz dt.
以上推导过程实际上就是将微元运动满足的物理 定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数 表示的数学式子。弦振动中的基本物理定律是 牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、 弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都 可用类似方法导出同一类型的方程
数学中的数学物理与偏微分方程
数学中的数学物理与偏微分方程在数学领域中，数学物理与偏微分方程是两个密切相关的领域。
数学物理是利用数学方法来研究物理现象的学科，而偏微分方程则是研究描述自然界中各种现象的数学方程。
这两个领域既有相互联系，又有各自的独立性，对于理解自然界和解决实际问题都起着重要的作用。
一、数学物理的基础数学物理作为一门学科，主要研究的是物理学中的各种问题，如力学、电磁学、热力学等。
它采用数学方法来描述和解决这些问题，并通过建立数学模型来对物理现象进行定量分析。
数学物理中常用的数学方法包括微积分、线性代数、泛函分析等。
数学物理的研究对象通常是一些基本的物理定律和方程，比如牛顿的运动定律、麦克斯韦方程组等。
利用数学物理的方法，可以对这些方程进行精确求解，从而获得关于物理现象更深入的了解。
数学物理的研究成果不仅可以用于解决实际问题，还对其他学科的发展起着推动作用。
二、偏微分方程的重要性偏微分方程是数学物理领域中的一个重要工具，它描述了自然界中各种现象的规律。
例如，热传导方程描述了物体内部的温度分布变化，波动方程描述了机械波的传播规律，薛定谔方程描述了量子力学中的粒子行为等等。
通过对偏微分方程的研究，可以揭示自然界中的一些普遍规律，并为实际问题的求解提供依据。
偏微分方程的研究涉及到多个数学分支，如函数论、泛函分析、几何学等。
在解偏微分方程的过程中，常常需要利用数学工具来分析和求解。
通过建立适当的数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，并利用偏微分方程的理论与方法进行求解。
偏微分方程的研究不仅对于数学理论的发展有着重要的意义，同时也为解决实际问题提供了有力的工具。
三、数学物理与偏微分方程的应用数学物理与偏微分方程的研究为许多领域的科学研究和工程应用提供了重要的理论基础和方法。
在工程学中，数学物理的方法被广泛应用于流体力学、结构力学等领域。
通过建立适当的数学模型，可以对复杂的工程问题进行定量分析和求解，为设计和优化提供有力支持。
数学物理与偏微分方程
数学物理与偏微分方程数学物理与偏微分方程是现代科学研究领域中相互交融的学科。
数学物理作为一门独立的学科，研究数学方法在物理问题中的应用；而偏微分方程则是数学物理的重要工具，用于对自然现象进行建模与分析。
在这篇文章中，我们将探讨数学物理与偏微分方程之间的关系以及它们在科学研究中的应用。
一、数学物理的基础数学物理作为一门交叉学科，旨在研究和发展适用于物理问题的数学方法。
它结合了数学的抽象性和物理的具体问题，通过建立数学模型来描述和解决物理问题。
数学物理中的关键概念包括微积分、线性代数、概率论和泛函分析等。
在数学物理中，微积分是一个基本工具。
微积分的发展使得我们能够处理连续变量和函数，进行求导和积分等运算。
线性代数则是研究向量空间和线性方程组的工具，其在数学物理中的应用广泛。
概率论在统计力学和量子力学中发挥着重要的作用，用于描述随机变量和随机过程。
泛函分析则研究无穷维空间中的函数和算子，为研究物理问题提供了强大的数学工具。
二、偏微分方程的概述偏微分方程是描述函数多个独立变量的变化规律的方程。
它的解是一个或多个未知函数，这些函数满足一定的偏微分方程和边界条件。
偏微分方程广泛应用于物理、工程、生物学和金融等领域。
偏微分方程可以分为线性和非线性两类。
线性偏微分方程中的未知函数及其导数只有一次出现，而非线性偏微分方程则包含未知函数及其导数的高次项。
常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程等。
三、数学物理与偏微分方程的关系数学物理与偏微分方程密不可分，它们互为支撑、相互促进。
数学物理提供了解决物理问题的数学方法和理论基础，而偏微分方程作为数学工具在物理问题的建模和求解中发挥着重要作用。
偏微分方程在解决物理问题中的应用需要借助数学物理的知识和方法。
例如，在研究波动现象时，我们可以利用物理规律建立波动方程，然后使用偏微分方程的理论和技巧求解波动方程，得到波动的数学描述和解的性质。
四、数学物理与偏微分方程的应用数学物理与偏微分方程在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
第一章-数学物理中的偏微分方程
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： ➢ 弹性杆的纵向振动 ➢ 管道中气体小扰动的传播 ➢ ………等等
因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，而是一类问题。
2+1维波动方程或膜振动方程
一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位 置的微小振动，其运动规律满足
一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷（Dirichlet）边界条件。
定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t 0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
波动方程的三类边界条件的垂直方向上的合力为： NhomakorabeaT
( sin 2
sin1 )
T
(tg 2
tg1 )
T[ u(x x, t) x
u(x, t) ] x
假设2和假设3
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
tt T[ u(x x, t) u(x, t) ]dt
t
x
x
另一方面，在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a, t) 0
狄利克雷（Dirichlet）边界条 件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。 把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化假设，以便抓住
问题的最本质特征。
偏微分方程在数学物理中的应用
偏微分方程在数学物理中的应用偏微分方程是解决自然现象中的数学问题的重要方法，广泛应用于数学、物理和工程学科中。
它们描述了复杂的物理现象，如电磁波、流体力学、固体力学等，并被应用于地震预测及金融模型等多个领域。
偏微分方程以空间变量和时间变量为自变量，以未知的函数为因变量，通常包括几个未知的函数及其导数。
这些方程的形式难以直接解决，需要求助于数值方法或者一些特殊的解答方法来解决问题。
下面我们将从数学物理角度来看待偏微分方程的应用。
1. 常见的偏微分方程偏微分方程中最常见的是波动方程、热方程、拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
波动方程通常描述各种波的传播方式，例如声波、光波、电磁波等等。
热方程涉及到温度变化问题，例如热传导、温度分布等等。
拉普拉斯方程是描述静电场和静磁场的方程。
亥姆霍兹方程应用于声波、电磁波、水波等问题。
2. 偏微分方程在物理中的应用在物理学中，偏微分方程被广泛应用于各种不同的问题，例如流体力学、固体力学等，具有很高的实用价值。
例如，在流体力学中，偏微分方程可以描述任何一种流体的粘度、密度、压力和速度变化，以及相对应的静压力、波动、旋转和不稳定性等等。
这些方程可以帮助我们理解空气动力学、船舶运动、地震波、海洋电磁场和天体物理现象等等。
在固体力学中，偏微分方程可以解决各种各样的弹性、弹塑性、塑性变形、破裂和断裂等等问题，此外，它们还可以应用于机械工程、建筑设计、电子器件和医学领域。
3. 数学中的应用在数学领域，偏微分方程是许多重要模型的核心，例如经典的黑——斯和尔方程和定向表模型等等，它们还常应用于非线性方程的求解、组合优化等领域。
在统计学中，最常见的偏微分方程是布朗运动方程和扩散方程，因为它们描述了物质的扩散和随机漂移，是研究“随机过程”的重要工具，例如金融模型。
总的来说，偏微分方程的应用十分广泛，不同领域需要解决的问题是不同的，但偏微分方程为我们提供了一种重要的数学工具，帮助我们解决实际问题，掌握最前沿的技术工具，对于发展大闸蟹科技和工程技术都具有非常重要的作用。
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M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
13
u ( x x, t ) u ( x, t ) T ( sin 2 sin1 ) T (tg 2 tg1 ) T [ ] x x
假设2和假设3
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t t
t
T[
u ( x x, t ) u ( x, t ) ]dt x x
另一方面，在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
于是由冲量定理：
x x
x
u ( x, t t ) u ( x, t ) [ ]dx t t
t t
t
x x u ( x x, t ) u ( x, t ) u ( x, t t ) u ( x, t ) T[ ]dt [ ]dx x x x t t
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦 段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x, t )dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t t
t
x x
x
F ( x, t )dxdt
于是有：
t
t t
x x
x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) [ T F ( x, t )]dxdt 0 2 2 t x
17
物理背景： 波的传播和弹性体振动。 弦振动方程的导出 首先，考察弦横振动这个物理问题：
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。 把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化 假设，以便抓住问题的最本质特征。
基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。 弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 （细弦） 2. 弦在某一个平面内作微小横振动。 弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂 直于该直线的方向上作微小振动。 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变 形与张力的关系服从虎克定律。 （横振动） 基本规律： 牛顿第二定律（冲量定律）
2u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2 u ( x, t ) a t 2
ds dx
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx 2 x x x x x
5.
2u 2u 2 0 2 x y
任意解析函数
不易找出其通解，但还 是可以找出一些特解
f ( z ) 的实部和虚部均满足方程。
1 ln r
也是解
r x2 y2
KDV方程 特解都不易找到
11
u u 3u 6u 3 0 6. t x x
7.
ut uux eu
主部 线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分． 常系数线性PDE: 齐次线性PDE:
系数aij , bj , c均为常数.
不然称为变系数的．
f 0.
不然称为非齐次的．
7
非线性PDE
拟线性PDE：
u a ( , ij x1 i , j 1
n
PDE中对最高阶导数是线性的。例如：
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
2+1维波动方程或膜振动方程
一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作 垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
T u 2 ( x, t ) 2u ( x, t ) g 2 x t 2
从而有：
t
t t
x x
x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) [ T ]dxdt 0 2 2 t x
进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a 0, 2 2 t x
a2 T /
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 横向： T cos T 'cos ' 纵向： T sin T 'sin ' gds ma 其中：cos 1 cos ' 1
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics
数学物理方程 指从物理学或其他各门自然科
学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方 程(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它 们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空 间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、 电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学 物理方程的范围。
2 2u 2u 2 u a 2 2 f ( x, y , t ) 2 t x y
其中：u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在 (x,y) 点处的位移
f (x,y,t)表示单位质量所受的外力
a2=T/ ： T表示张力、 为线密度
28
3+1维波动方程或声波方程
研究对象： u ( x, t ) 弦线上任意一点在 t 时刻沿y轴上的位移
y
M'
T'
ds
'
在右图所示的坐标系，用u(x, t)表示弦 上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在 这条弦上任意取一弦段(x, x+Δx)，它的弧 长为 ：
T
M
gds
x
x dx x
由假设3，弦线张力T(x)总是沿着弦在x处的切线方向．由于弦只在垂直x 轴的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成 常数Ｔ。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为：
i , j 1
aij ( x1,
n
完全非线性PDE： PDE中对最高阶导数不是线性的。
8
举例（未知函数为二元函数）
1.
u 0 x
解为：
u f ( y)
u u a 0 2. t x
变换
x x at
解为： u f ( x at)
9
举例（未知函数为二元函数）
a 2 T / , f ( x, t ) F ( x, t ) /
2 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a f ( x, t ), 2 2 t x
类似地，三维波动方程可以表示为：
2 2u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2 ) f ( x, y , z , t ) 2 t x y z
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
解为：
u g ( x at) h( x at)
2u 0
10
` 举例（未知函数为二元函数）
偏微分方程的一般形式
5
概念
PDE的阶： m m1 m2 古典解 PDE 的解 广义解 线性PDE 非线性PDE 半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE