平面与平面垂直的判定定理(课件)

D C
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
CБайду номын сангаас
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
铅垂线——模拟铅垂线
墙面——书本
地面——桌面
做模拟小实验
? 结论：
问题探究
将实际问题转化成数学模型，解释该生活实例中蕴含 的数学原理：
铅垂线——直线CD 墙面——平面α 地面——平面β
转化成几何图形
α
C
B
β
D
E
A
获得新知
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
知识小结
1．判定面面垂直的两种方法：
（1）利用定义；证明两平面所成的二面角为直二面角
（2）利用判定定理．即
l l
α β
αβ
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
面面垂直
线面垂直
线线垂直
课后探究及作业
课后探究 已知AB 面BCD，BC CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么? 那么如果在已知这些面面垂直的条件下，又能得到哪些结论？
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
证明：
P
因为PO⊥平面ABCD ,则可知CO、AO分别是
PC和PA在平面ABCD中的射影，
E
又知正方形ABCD,则有CO⊥BD、AO⊥BD. 所以BD⊥PC,BD⊥PA; 又PA,PB都在平面PAC中，且相交，
D
C
A
O B
BD⊥平面PAC,又BD在平面BDE中.
定理的应用
跟踪训练2 在四面体 ABCD 中，BD= 2 求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
分析：
思路一：两平面的二面角是直二面角
，AB=AD=CB=CD=AC=1，
A B
B
D
思路二：线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
定理的应用
跟踪训练2 在四面体 ABCD 中，BD= 2 ，AB=AD=CB=CD=AC=1，
求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
证明： 取BD的中点为O，连接AO、CO.
因为AB=AD=1、CB=CB=1,
A
课后作业 学法P117-118
B
D
C
定理的应用
跟踪训练2 已知AB 面BCD，BC CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
解： 因为AB⊥面BCD，AB在平面ABC和平面ABD， A 则有平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面BCD；
由AB⊥面BCD,可知AB⊥CD; 又BC⊥CD，且BC是AC在平面BCD内的射影， B 可得CD⊥平面ABC;又因为CD在平面ACD中， 所以平面ACD⊥平面ABC.
符号表示：l l
α β
αβ
A
lB CD
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
定理的理解
一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（× ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ × ）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 的两条相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
2.3.2平面与平面 垂直的l 判定

l

复习回顾
1、平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.



复习回顾
2、利用定义法证明两个平面垂直的步骤：
（1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）求出这个角是90。.
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
故在RtΔABO和RtΔBCO中,BO= 2 ，
所以 AO=OC=
2 2
2
B
O
D
又因为ΔAOC中，有 AC 2 1 AO2 CO2，
所以AO⊥CO; 又CO、BD都在平面BCD,且交于点O C
所以AO⊥平面BCD;又因为AO在平面ABD中，
从而得到平面ABD⊥平面BCD